工程力学第9章 组合变形习题集

9-2 矩形截面钢杆如图所示，用应变片测得杆件上下表面的线应变分别为

?a?1?10?3,?b?0.4?10?3，材料的弹性模量E?210GPa。要求：

（1）试绘制横截面的正应力分布图； （2）确定拉力P及偏心距δ的大小。

εPaPδεm=PδPbδPm=Pδ62.99+210.03147.04++-62.99=+ζFN84.05ζMζ25

解：（1）外力分析判变形：杆所受外力与轴线平行，杆件发生拉弯组合变形。 （2）内力分析判危险面：杆各横截面上具有相同的轴力和弯矩。

FN?P,M?P?

（3）应力分析确定拉力P及偏心距δ的大小：轴力引起均匀分布的正应力，横截面上还有弯曲正应力。应力分布如图所示，忽略弯曲剪应力。

FNMPP??9?3??E?=210?10?1?10?+=?aa?AWz0.005?0.0250.005?0.0252/6?P?18.38kN ????FMPP?9?3???1.785mmN???E?=210?10?0.4?10?-=?bb?AWz0.005?0.0250.005?0.0252/6?147.04 62.99 210.03 84.05

（4）忽略弯曲剪应力, 将拉力P及偏心距δ代入上式，计算得到：

?F?147.04MPa,?M?62.99MPaN??a?147.04?62.99?210.03MPa,?a?147.04?62.99?84.05MPa

正应力分布如图所示。 .

9-5 构架如图所示，梁ACD由两根槽钢组成。已知a=3m,b=1m,F=30kN。梁德材料的许用应力[σ]=170MPa。试选择槽钢的型号。

1

ab(a)AD30°CFB(b)FAyFAx30°FCB69.28+F(c)FNkN)(d)MkN·m)-30

解：〈1〉外力分析：梁的计算简图如图(b)所示，外力在纵向对称面内与轴斜交，故梁AC段发生拉弯组合变形。对A取矩BC杆所受压力为：

(3?1)?30?103?mA(F)?0?FCBasin30?(a?b)F?0?FCB?3?0.5N?80kN

?2〉内力分析： 轴力图、弯矩图如图。C左截面轴力和弯矩同时达到最大，是危险面。

FN?69.28kN,Mmax?30kN?m

（3）应力分析判危险点：

由于发生的是发生拉弯组合变形，加之截面有有两个对称轴，危险面的上边缘具有最大拉应力，比下边缘的最大压应力的绝对值大，上边缘上各点正应力最大。

（4）强度计算选择槽钢的型号：

??maxFNMmax69.28?10330?103?????????170MPa 2A2Wz2A2Wz1）忽略轴力项的正应力，仅由弯曲项选槽钢的型号：

30?103?170MPa?Wz?88.24cm3。

2Wz查表可知，的A?21.95cm,Wz?108.3cm 2）对所选槽钢进行校核：

23 2

??max69.28?10330?103???15.781?138.504?154.29?????170MPa2?21.95?10?42?108.3?10?6故，所选择16号槽钢能满足强度要求。

9-9 如图所示，轴上安装两个圆轮，P、Q分别作用在两轮上，并沿竖直方向。轮轴处于平衡状态。若轴的直径d=110mm, 许用应力[σ]=60MPa。试按第四强度理论确定许用荷载P。

y1.5m2m1.5m1m0.5mDzxACPB(a)P题9-9图QQP(b)0.5QMT图0-P0(c)2PP(d)1.7P2.25P+1.3P1.95P(e)MZ图

解：（1）外力分析，判变形。

力P、Q向轴线平移，必附加引起扭转的力偶，受力如图所示；平移到轴线的外力使轴在铅锤面平面内上下弯曲。外力沿竖直方向与轴异面垂直，使轴发生弯扭组合变形。

1) 由于轴平衡，故::

?m(F)?0??P?1?Q?0.5?0?Q?2P

x2) 将轴进行简化，计算简图如图所示，研究铅垂面内梁的求其约束反力

???mA(F)?0??1.5Q?3.5P?5FB?0?FB?1.3P???? ????mB(F)?0??1.5P?3.5Q?5FA?0?FA?1.7P(2)内力分析，判危险面：

扭矩图、弯矩图如图所示，C的右截面是危险面：Mz,max?2.25P MT?P (3) 应力分析：

Mz使C横截面上下边缘点弯曲正应力最大，同时又有最大的扭转剪应力，故C的右截

面上下边缘点是强度理论的危险点。

3

（4）按第四强度理论求许可荷载

?r4?

Mz2,max?0.75MT2Wz?Mz2,max?0.75MT2?D332(2.25P)2?0.75P2??????60?106?P?2.91kN3??0.110329-11 传动轴如图所示，C轮受铅垂力P1作用，直径D1=200mm, P1=2kN；E轮受水平拉力P2作用，D2=100mm。轴材料的许用应力[σ]=80MPa。已知轮轴处于平衡状态。要求（1）画出轴的扭矩图和弯矩图。（2）试按第三强度理论设计轴的直径，单位为mm。

300D1400400P2(a)D2xzAP1200N·mBCD200N·m(b)(c)MT图（N·m）y0-2000(d)xP1=2kN(e)MZ图（N·m）z-600300x(f)2kN(g)P2=4kNMy图（N·m）02kN-800

解：（1）外力分析，判变形。与轴异面垂直的外力P1、P2向轴线平移，必附加引起扭转的力偶P1?D10.2?2?103??200N?m；力平移后使轴发生方位难确定的平面弯曲，总之22轴发生弯扭组合变形。

(2)内力分析，判危险面： 将轴进行简化，计算简图如图（b）、（d）、（f）所示，扭矩图、弯矩图如图（c）、（e）、（g）所示，B的左截面合成弯矩最大是危险面。

222MTmax?200N?m，Mmax?MB??Mz2,B??My300?800(N?m) ??,B (3) 按第三强度理论设计轴的直径d

22Mmax?MT2Mmax?MT2(3002?5002)?20026?r3??????80?10?d?48.16mm ??33?d??dWz3232 4

补充1： 简支折线梁受力如图所示，截面为25cm×25cm的正方形截面，试求此梁的最大正应力。

P/2FND1+ + +----- - -PByFQD2M2mA25C2.4m2.4m9.6-2.561+FN（kN ）

解：（1）外力分析，判变形。由对称性可知，A、C两处的约束反力为P/2 ，主动力、约束反力均在在纵向对称面内，简支折线梁将发生压弯组合变形。

(2)内力分析，判危险面：从下端无限靠近B处沿横截面将简支折线梁切开，取由右边部分为研究对象，受力如图所示。梁上各横截面上轴力为常数，B横截面具有最大弯矩，故B横截面为压弯组合变形危险面。

M图（kN .m）My,max?P?2.4?4?2.4?9.6(kN?m)2

P82FN??cos???=2.561(kN)22222?2.4(3)应力分析，判危险点，如右所示图

由于截面为矩形，而D1 D2是压弯组合变形的压缩边缘，故危险面上D1 D2边缘是出现最大压应力。

??max?FNMz,max?AWz 2.561?1039.6?103??Pa?0.040976?3.6864MPa?3.727MPa252?10?41?253?10?66

5

25zφ

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