2022届河北衡水金卷新高考模拟试卷(三)数学(文科)试题

2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（三）

数学（文科）试卷

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}220A x x x =--≤，{}0B x x =>，则A

B =（ ） A. [1-，2]

B. （1，2]

C. （0，2]

D. （2，+∞） 【答案】C

【解析】

【分析】 由题意可得{}12A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}()(){}{}

22021012A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤， 所以{}{}{}(]120020,2A B x x x x x x ?=-≤≤?>=<≤=.

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，属于基础题.

2.已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）

A. i -

B. i

C. 1

D. 1-

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.

【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-， 所以()()()

211111i i z i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-.

故选：D.

【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

3.已知10.330.3log

22,2a b c -===，，则a b c 、、的大小关系是（ ） A. a b c <<

B. a c b <<

C. c a b <<

D. b c a << 【答案】A

【解析】

【分析】

由题意结合对数函数、指数函数的性质可得01a b c <<<<，即可得解.

【详解】由题意0.30.3log 2log 10a =<=，1030

221b ，0.30221c =>=， 所以01a b c <<<<.

故选：A.

【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考查了对数函数、指数函数单调性的应用，属于基础题. 4.已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：

由此所得回归方程为?12y

x a =+，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A. 100万元

B. 101 万元

C. 102万元

D. 103万元． 【答案】C

【解析】

【分析】 由题意计算出x 、y ，进而可得12a y x =-，代入9x =即可得解. 【详解】由题意()18.27.887.98.185x =++++=，()19289898793905

y =++++=， 所以12901286a y x =-=-?=-，所以?126y

x =-， 当9x =时，?1296102y

=?-=. 故选：C.

【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3644a a a +=+，则9S =（ ）

A. 18

B. 24

C. 48

D. 36 【答案】D

【解析】

【分析】

由题意结合等差数列的性质可得54a =，再由等差数列前n 项公式结合等差数列的性质可得1995992

a a S a +=?=，即可得解. 【详解】

数列{}n a 是等差数列，∴365444a a a a a +=+=+， ∴54a =，∴199599362

a a S a +=

?==. 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.

6.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg 110x

f x -=??，则90dB 的声音与50dB 的声音

强度之比为（ ）

A. 10

B. 100

C. 1000

D. 10000 【答案】D

【解析】

【分析】

设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg

110x -=??，1225010lg 110x -=??，计算即可得解.

【详解】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ， 由题意1219010lg

110x -=??，1225010lg 110x -=??， 所以3110x -=，7210x -=，所以3

417210101000010

x x --===. 故选：D.

【点睛】本题考查了对数运算的应用，考查了对于新概念的理解，属于基础题.

7.函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为（ ）

A. (2,0),k k Z π∈

B. (,0),k k Z π∈

C. (,0),2k k Z π∈

D. (,0),4k k Z π∈ 【答案】D

【解析】

【分析】 由题意结合正切函数的图象与性质可得2,2k x k Z π=

∈，即可得解. 【详解】令2,2k x k Z π=∈，则,4

k x k Z π=∈， 所以函数tan 2y x =图象对称中心坐标为,0,4k k Z π??∈

???. 故选：D.

【点睛】本题考查了正切函数图象与性质应用，属于基础题.

8.中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“菱形”处应填入（ ）

A. 221a -∈Z

B. 215a Z -∈

C. 27a -∈Z

D. 23

a -∈Z 【答案】A

【解析】

由题意可知，该程序框图的功能是使得实数a ，使得3除余2，被5除余3，被七除余2的数值， 其中53a n =?+表示除5除余3的数，

再使得3除余2，被7除余2的数，所以是除21余2的数，所以判断框应填入221

a -∈Z ，故选A ． 9.已知函数228,1()4,1x ax x f x x a x x ?-+≤?=?++>??

，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值不可能是（ ） A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 【答案】A

【解析】

【分析】

由题意结合基本不等式可得当1x >时，()4f x a ≥+；由二次函数的性质可得1a >，进而可得924a a -≤+，即可得解.

【详解】由题意当1x >时，()444f x x a x a a x x

=+

+≥?=+， 当且仅当2x =时，等号成立；

当1x ≤时，()228f x x ax =-+，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为x a =， 当1a <时，()f a 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，不合题意；

当1a ≥时，()1f 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，()192f a =-，

由题意可得924a a -≤+，解得53a ≥； 综上，实数a 的取值范围为53a ≥

. 故选：A.

【点睛】本题考查了分段函数最值相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

10.已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=?，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）

A. 43π

B. 323π

C. 12π

D. 643

π 【答案】B

【解析】

【分析】

取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、BO ，设1OO m =，由勾股定理可得22134OD m =+、2

23312OA m ??=+- ? ???

，利用22OD OA =即可得3m =，进而可得外接球半径2R =，即可得解.

【详解】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，

由题意可得1O 为BCD 的外心，AG ⊥平面BCD ，

过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，

过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、OD ，可知四边形1OHGO 为矩形， ABC 是边长为3，2CD =，

∴AG =，BD =11O G =，

设1OO m =，则2

HA m =-，

∴222211134OD DO OO m =+=+，22221OA OH HA m ?=+=+-????

，

由22OD OA =可得221314m m ?+=+????，解得2m =，

∴三棱锥A BCD -外接球的半径2R ==， ∴此三棱锥外接球的体积343233

V R ππ==

. 故选：B. 【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题.

11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A B ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若2BC =，1FB =，则AB =（ ）

A. 3

B. 4

C. 6

D. 6 【答案】B

【解析】

【分析】

分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由抛物线的性质可得1BG FB ==，设AF AH x ==，由平面几何的知识即可得解.

【详解】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，

由题意1BG FB ==，2BC =， 设AF AH x ==，由三角形相似可得

BG BC AH AC =即1212x x

=++，解得3x =， 则4AB AF BF =+=.

故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

12.已知2()2(ln )x e f x t x x x x

=-++恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ） A. 1(]46e ??-∞?????， B. 1(,]6-∞ C. 1[0]46e ???????， D. 1(,]4

-∞ 【答案】D

【解析】

【分析】 由题意结合导数转化条件得()22x t e x =+在()0,∞+上无解，令()()

()022x e g x x x =≥+，求导后确定函数()g x 的值域即可得解.

【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()0,∞+，

对函数()f x 求导得()

()()2221212()2(1)21x x x e x e f x t x x x t x x ??-+??'--=-+-=，

2()2(ln )x e f x t x x x x

=-++恰有一个极值点为1， ∴()220x

e x t +=-在()0,∞+上无解，即()22x

t e x =+在()0,∞+上无解， 令()()()022x

e g x x x =≥+，则()()()()()

222222102222x x x e x e e x g x x x +-+'==>++， ∴函数()g x 在[)0,+∞单调递增，

当()0,x ∈+∞时，()()104

g x g >=， ∴14

a ≤. 故选：D.

【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于基础题.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知x ，y 满足约束条件1020x y x y y -+≥??+≤??≥?

，则2x y -的最小值是______．

【答案】2-

【解析】

【分析】

由题意作出可行域，转化目标函数为2y x z =-，数形结合即可得解.

【详解】由题意画出可行域，如图阴影所示：

令2z x y =-，目标函数可转化为2y x z =-，

上下平移直线2y x z =-，数形结合可得，当直线2y x z =-过点A 时，z 取最小值， 由010

y x y =??-+=?可得()1,0A -，此时min 2z =-. 故答案为：2-.

【点睛】本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题.

14.已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.

【解析】

分析】

将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.

【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：

（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；

（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；

（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.

【点睛】本题主要考查空间线面位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S a +=+则n S =______．

【答案】()11312

n -+ 【解析】

【分析】

由题意利用数列n a 与n S 的关系可转化条件为131n n S S +=-，进而可得111322n n S S +??-=- ???，利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】121n n S a +=+，11a =，∴111S a ==，11211n n n n S a S S ++=+=-+, ∴131n n S S +=-即113133222n n n S S S +??-=-=- ???， 又11122S -=，∴数列12n S ??-???

?是首项为12，公比为3的等比数列， ∴111322n n S --=?，∴()11111331222n n n S --=?+=+. 故答案为：()11312

n -+. 【点睛】本题考查了数列n a 与n S 关系的应用，考查了通过构造新数列求数列的通项，属于中档题.

16.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，

12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，1C 的离心率为

37，则2C 的离心率是______． 【答案】3

【解析】

【分析】

设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由椭圆的离心率结合题意可得1123PF F F ==，再由双曲线的离心率公式即可得解.

【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =， 由题意椭圆1C 的离心率12111122327F F c c e a a PF PF ====+， 又12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，

∴1212347

F F F F =+，解得1123PF F F ==， ∴双曲线2C 的离心率1222212

232F F c c e a a PF PF ====-. 故答案为：3.

【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.已知(2cos ,sin ),(cos ,23)m x x n x x ==，且()f x m n =?．

（1）求()f x 在[0,]2π上的值域；

（2）已知,,a b c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若()32A f =，且2a =，4b c +=，求ABC 的面积．

【答案】（1）[0,3]（2【解析】

【分析】

（1）由题意结合平面向量数量积运算、三角恒等变换可得()2sin 216f x x π?

?=++ ???，根据0,2x π??∈????

可得72,666x πππ??+∈????，进而可得1sin 2,162x π????+∈- ????

???，即可得解； （2）由题意可得3A π

=

，利用余弦定理可得24()3b c bc =+-，求得4bc

=后，利用三角形面积公式即可得解.

【详解】（1）由题意可得

2()2cos cos f x m n

x x x

=?=

+1cos 222cos 2212sin 2126x x x x x π+??=?+

=++=++ ??

? 0,2x π??∈????，∴72,666x πππ??+∈????，1sin 2,162x π????+∈- ???????

∴()f x 的值域为[0,3]；

（2）因为32A f ??= ???，所以2sin 136A π?? ??+?+=，sin 16A π??+= ??

? 因为0A π<<，所以3A π

=，

由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-

∴24()3b c bc =+-，由4b c +=可得4bc =，

1sin 32

ABC S bc A ∴==△． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换与解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.

18.已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D 是BC 的中点.

（1）求证：1//A B 平面1ADC ；

（2）求三棱锥11C A AD -的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）

33 【解析】

【分析】

（1）连结1A C ，设11AC AC M =，再连接DM ，可证1A B ∥DM ，即可证明；

（2）根据等体积法可转化为1111C A AD D AC A V V --=，即可求其体积.

【详解】证明：（1）连结1A C ，设11AC AC M =，再连接DM ,如图，

则M 是1A C 的中点，DM 是1A BC 的中位线， 所以1A B ∥DM ，

又因为1A B ?平面1ADC ， MD ?平面1ADC ， 所以1A B ∥平面1ADC

（2）过点作DH AC ⊥，垂足为H ，如图，

在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ， ∴1A A AD ⊥，

又∵DH AC ⊥，1A A AD A =

∴CH ⊥平面11ACC A ，32DH =，

∴111111111332233223

C A A

D D AC A AC A V V S DH --==?=????=. 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，等体积法，三棱锥的体积，属于中档题.

19.环境问题是当今世界共同关注的问题，且多种多样，中国环境十大问题是指大气污染问题、水环境污染问题、垃圾处理问题、土地荒漠化和沙灾问题、水土流失问题、旱灾和水灾问题、生物多样性破坏问题、WTO 与环境问题、三峡库区的环境问题、持久性有机物污染问题.其中大气环境面临的形势非常严峻，大气污染物排放总量居高不下，我国环保总局根据空气污染指数PM 2.5浓度，制定了空气质量标准（前者是空

气污染指数，后者是空气质量等级）：（1）(0,50]优；（2）(50,100]良；（3）(100,150]轻度污染；（4）

(150,200]中度污染；（5）(200,300]重度污染；（6）(300,)+∞严重污染.辽宁省某市政府为了改善空气质量，节能减排，从2012年开始考察了连续六年12月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图如图，经过分析研究，决定从2018年12月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆施行限号出行，请根据这段材料回答以下两个问题：

①若按分层抽样的方法，从空气质量等级为优与良的天气中抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是优的概率；

②该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的12月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：

空气质量

优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数

12 28 11 6 2 1

根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写22?列联表，并回答是否有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.

参考数据：

参考公式2

2

()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 【答案】①

710

②计算及填表见解析；有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关 【解析】

【分析】 (1)利用分层抽样空气质量优的天气被抽取2天,空气良的天气被抽取3天，分 别标记，再利用古典概型的概率公式即可算出结果；

（2）根据题目所给的数据填写2x2列联表，计算K 的观测值K 2,对照题目中的表格，得出统计结论.

【详解】（1）因为空气质量优与良的天气的概率之比为0.004:0.0062:3=

按分层抽样从中抽取5天，则空气质量优的天气被抽取2天，记作1A ，2A ，空气良的天气被抽取3天，记作1B ，2B ，3B ，

从这5天中随机抽取2天，所包含的基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，

()12,B B ，()13,B B ，()23,B B 共10个，

记事件A 为“至少有一天空气质量优”，则事件A 所包含的基本事件有：()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，

()22,A B ，()13,A B ，

()22,A B ，()23,A B ，共7个， 故7()10

P A =，即至少有一天空气质量优的概率为710. （2）限行前空气质量为优良的概率为（0.004+0.006）×50=0.5，

则限行前空气质量为优良的天数为180×

0.5=90， 列联表如下：

由表中数据可得2

2

240(90204090) 5.035 3.84118060130110K ??-?=≈>???， 所以有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.

【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用问题,以及古典概型的概率公式，也考查了计算能力的应用问题，属于中档题.

20.己知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：过点,1)2

P ，1(0,1)F -，2(0,1)F 是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为()0r r >的圆，

（1）求椭圆C 的方程；

（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围．

【答案】（1）2

2:12

y C x +=（2） 【解析】

【分析】

（1）由题意结合椭圆性质可得122|a PF PF =+=2221b a c =-=，即可得解；

（2）

当直线斜率不存在时，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =， ()11,G x y ，()22,H x y ，联立方程后利用弦长公式可得

||GH

=||AB =||||AB GH =，可得24212132r k k ??=+ ?++??

，即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，

由题意1c

=，122|a PF PF =+=，所以22a =，2221b a c =-=，

故椭圆C 的方程为2

212

y x +=； （

2）当直线斜率不存在时，圆M 过原点，符合题意，r = 当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ， 由直线l 与椭圆C 交于G 、H 两点，

则2212y kx y x =???+=??，所以()

22220k x +-=，>0?， 则1212220,2x x x x k

+==-+，

所以

||H G ==

点M

到直线l

的距离d

=，则||AB =， 因为AG BH =，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上， 只需||||AG BH =即||||AB GH =，

所以()

2222812421k r k k +??=- ?++??， 则()()2422224242212332121123232k k k r k k k k k k +++??=+==+ ?++++++??

因为24223132224k k k ??++=+-≥ ???，

所以42110322k k <≤++，所以(]22,3r ∈，r ∈；

综上，r 的取值范围为.

【点睛】本题考查了椭圆方程的确定，考查了直线、圆、椭圆的综合应用，属于中档题. 21.已知函数()ln f x x =，()x g x e =.

（1）若21()()(1)2

h x af x x a x =+-+，a R ∈，求函数()h x 的单调区间； （2）不等式1()12()m m g x x f x x ?

???+≥+

?????对于0x >恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）2m e ≥

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数(1)()()x x a h x x

--'=，对a 分类讨论即可求出函数的单调区间； （2）不等式恒成立可转化为()()2211ln mx mx e x x ++，即()()221ln 1ln mx mx e e x x ++，令()(1)ln (0)F x x x x =+>，研究其单调性即可求解.

【详解】（1）21()ln (1)2

h x a x x a x =+-+，(0)x > 2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a h x x a x x x

-++--'=+-+== （ⅰ）当1a >时，增区间为(0,1)和(,)a +∞，减区间(1,)a

（ⅱ）当1a =时，增区间(0,)+∞，无减区间

（ⅲ）当01a <<时，增区间(0,)a 和(1,)+∞，减区间(,1)a

（ⅳ）当0a ≤时，增区间(1,)+∞，减区间(0,1)

（2）不等式1()12()m m g x x f x x ?

???+≥+ ?????，即()112ln mx m e x x x ??+≥+ ???

恒成立 ()()2211ln mx mx e x x +≥+，即()()221ln 1ln mx mx e e x x +≥+，

设函数()(1)ln (0)x x x x ?=+>，1()1ln x x x

?'=++， 1()1ln U x x x =++，22111()x U x x x x -'=-=，在(0,1)上，()0U x '<，在(1,)+∞上，()0U x '>，()x ?'

在（(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，

∴()(1)0x ??''≥=，

所以()x ?在(0,)+∞上单调递增，

所以2mx e x ≥ 两边取自然对数，得

ln 2m x x

≥在0x >上恒成立. 设ln ()x F x x =，21ln ()x F x x

-'=，在(0,)e 上，()0F x '>，()F x 在(,)e +∞上，()0F x '<，()F x 单调递减，所以1()()F x F e e

≤= 所以12m e ≥，即2m e ≥ 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.已知平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为22

1162

x y +=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建

立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos()6π

ρθ+=1C 上的所有点的横坐标缩小到原来的

倍，得曲线2C ．

（1）写出直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；

（2）设点(1,0)P ， 直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB

+的值．

【答案】（10y --=，224x y +=（2 【解析】

【分析】

（1）转化直线l 的极坐标方程为12sin 22ρθθ??-= ? ???

，利用极坐标方程与直角坐标方程转化公式得直线l 的直角坐标方程；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P x y 的对应点，由

题意得12x x y ?=???='?

'，代入化简即可得解； （2

）写出直线的参数方程112x t y ?=+????=??

,(t 为参数)，代入2C 的直角坐标方程，由根与系数的关系可得1A B t t +=-，30A B t t =-<，转化条件

11PA PB +=即可得解.

【详解】（

1）直线l

的极坐标方程可化为12cos sin 22ρθθ??-= ? ???

，

∴直线l

0y --=；

设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P x

y 的对应点，

则12x x y ?=???='?

'，∴()2

2221162

x ??' ?'??+=，化简得()()224x y ''+=， ∴曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=；

（2）由题意点(1,0)P 在直线l 上，

则直线l 的参数方程为1122x t y t ?=+????=??

,(t 为参数)， 将直线l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程可得：230t t +-=，112130?=+=>，

则1A B t t +=-，30A B t t =-<，

∴

1111A B A B A B A B A B t t t t PA PB t t t t t t +-+=+====??. 【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.

23.已知函数()ln(12)f x x x m =--+-．

（1）当2m =时，求函数()y f x =的定义域；

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