江苏省南京市玄武区2022-2022学年八年级(上)期末数学试卷 (解析

江苏省南京市玄武区2018-2019学年八年级（上）期末数学试卷 （解析版）

1 / 24 南京市玄武区2018-2019学年八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．下列各数中，是无理数的是（ ）

A ．0

B ．1.010 010

001 C ．π

D ． 2．已知a ＞0，b ＜0，那么点P （a ，b ）在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．如图，两个三角形是全等三角形，x 的值是（ ）

A ．30

B ．45

C ．50

D ．85

4．下列函数中，y 随x 的增大而减小的有（ ）

①y ＝﹣2x +1；②y ＝6﹣x ；③y ＝

；④y ＝（1﹣）x ．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

5．如图，动点P 从点A 出发，按顺时针方向绕半圆O 匀速运动到点B ，再以相同的速度沿直径BA 回到点A 停止，线段OP 的长度d 与运动时间t 的函数图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE ＝a ，HG ＝b ，则斜边BD 的长是（ ）

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A ．a +b

B ．a ﹣b

C ．

D ．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．4的算术平方根是 ，﹣64的立方根是 ．

8．小明的体重为48.86kg ，48.86≈ ．（精确到0.1）

9．如图，∠C ＝90°，∠1＝∠2，若BC ＝10，BD ＝6，则D 到AB 的距离为 ．

10．若直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为 ．

11．写出一个一次函数，使它的图象经过第一、三、四象限： ．

12．将函数y ＝3x +1的图象平移，使它经过点（1，1），则平移后的函数表达式是 ．

13．如图，长方形网格中每个小正方形的边长是1，△ABC 是格点三角形（顶点都在格点上），则点C 到AB 的距离为 ．

14．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝k 1x +b （k 1，b 均为常数）与正比例函数y ＝k 2x （k 2为常数）的图象如图所示，则关于x 的不等式k 2x ＜k 1x +b 的解集为 ．

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4 15．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为（3，0）、（0，4）．以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴交于点C ，则点C 的坐标为 ．

16．如图，在长方形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝9，折叠纸片ABCD ，使顶点C 落在边AD 上的点G 处，折痕分别交边AD 、BC 于点E 、F ，则△GEF 的面积最大值是 ．

三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．计算：

+（）2﹣．

18．求x 的值：

（1）（x +1）2＝64

（2）8x 3+27＝0．

19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点，∠B ＝30°，∠DAB ＝45°．

（1）求∠DAC 的度数；

（2）求证：DC ＝AB ．

20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣2，4），B （﹣5，4），C （﹣3，1），直线l 经过点（1，0），且与y 轴平行．

（1）请在图中画出△ABC ；

（2）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于直线l 对称．请在图中画出△A 1B 1C 1；

（3）若点P （a ，b ）关于直线l 的对称点为P 1，则点P 1的坐标是 ．

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21．如图，在Rt △ACB 和Rt △ADB 中，∠C ＝∠D ＝90°，AD ＝BC ，AD 、BC 相交于点O ．求证：CO ＝DO ．

22．客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李质量超过规定时，需付的行李费y （元）是行李质量x （kg ）的一次函数，且部分对应关系如表所示．

x （kg ）

… 30 40 50 … y （元） … 4 6 8 …

（1）求y 关于x 的函数表达式；

（2）求旅客最多可免费携带行李的质量；

（3）当行李费2≤y ≤7（元）时，可携带行李的质量x （kg ）的取值范围是 ．

23．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，BC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点D 、E ，求CD 的长．

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5 / 24 24．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2BC ，点E 是AD 的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）

（1）在图1中，画出△ACD 的边AC 上的中线DM ；

（2）在图2中，若AC ＝AD ，画出△ACD 的边CD 上的高AN ．

25．甲骑电动车、乙骑摩托车都从M 地出发，沿一条笔直的公路匀速前往N 地，甲先出发一段时间后乙再出发，甲、乙两人到达N 地后均停止骑行．已知M 、N 两地相距km ，设甲行驶的时间为x （h

），甲、乙两人之间的距离为y （km ），表示y 与x 函数关系的部分图象如图所示．请你解决以下问题：

（1）求线段BC 所在直线的函数表达式；

（2）求点A 的坐标，并说明点A 的实际意义；

（3）根据题目信息补全函数图象．（须标明相关数据）

26．【初步探究】

（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，点E 是边BC 上一点，AB ＝EC ，BE ＝CD ，连接AE 、DE ．判断△AED 的形状，并说明理由．

【解决问题】

（2）如图2，在长方形ABCD 中，点P 是边CD 上一点，在边BC 、AD 上分别作出点E 、F ，使得点F 、E 、P 是一个等腰直角三角形的三个顶点，且PE ＝PF ，∠FPE ＝90°．要求：仅用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．

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6 / 24 【拓展应用】

（3）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，0），点B （4，1），点C 在第一象限内，若△ABC 是等腰直角三角形，则点C 的坐标是 ．

（4）如图4，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，0），点C 是y 轴上的动点，线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90°至线段CB ，CA ＝CB ，连接BO 、BA ，则BO +BA 的最小值是 ．

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参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．下列各数中，是无理数的是（ ）

A ．0

B ．1.010 010

001 C ．π D ． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：A ．0是整数，属于有理数；

B ．1.010 010

001是有限小数，即分数，属于有理数；

C ．π是无理数；

D ．是分数，属于有理数； 故选：C ．

2．已知a ＞0，b ＜0，那么点P （a ，b ）在（ ）

A ．第一象限 B

．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

【分析】根据各象限点的坐标特点进行判断即可．

【解答】解：∵a ＞0，b ＜0，

∴点P （a ，b ）在第四象限．

故选：D ．

3．如图，两个三角形是全等三角形，x 的值是（ ）

A ．30

B ．45

C ．50

D ．85

【分析】根据三角形内角和定理求出∠A ，根据全等三角形的性质解答即可．

【解答】解：∠A ＝180°﹣105°﹣45°＝30°，

∵两个三角形是全等三角形，

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8 / 24 ∴∠D ＝∠A ＝30°，即x ＝30，

故选：A ．

4．下列函数中，y 随x 的增大而减小的有（ ）

①y ＝﹣2x +1；②y ＝6﹣x ；③y ＝

；④y ＝（1﹣）x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

【分析】分别确定四个函数的k 值，然后根据一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的性质判断即可． 【解答】解：①y ＝﹣2x +1，k ＝﹣2＜0；②y ＝6﹣x ，k ＝﹣1＜0；③y ＝

，k ＝﹣

＜0；④y ＝（1﹣）x ，k ＝（1﹣）＜0． 所以四函数都是y 随x 的增大而减小．

故选：D

．

5．如图，动点P 从点A 出发，按顺时针方向绕半圆O 匀速运动到点B ，再以相同的速度沿直径BA 回到点A 停止，线段OP 的长度d 与运动时间t 的函数图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】根据P 点半圆O 、线段OB 、线段OA 这三段运动的情况分析即可．

【解答】解：①当P 点半圆O 匀速运动时，OP 长度始终等于半径不变，对应的函数图象是平行于横轴的一段线段，排除A 答案；

②当P 点在OB 段运动时，OP 长度越来越小，当P 点与O 点重合时OP ＝0，排除C 答案；

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③当P点在OA段运动时，OP长度越来越大，B答案符合．

故选：B．

6．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则斜边BD的长是（）

A．a+b B ．a﹣b C ．D ．

【分析】设CD＝x，则DE＝a﹣x，求得AH＝CD＝AG﹣HG＝DE﹣HG＝a﹣x﹣b＝x，求得CD ＝，得到BC＝DE＝a﹣＝，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：设CD＝x，则DE ＝a ﹣x，

∵HG＝b，

∴AH＝CD＝AG﹣HG＝DE﹣HG＝a﹣x﹣b＝x，

∴x＝，

∴BC＝DE＝a﹣＝，

∴BD2＝BC2+CD2＝（）2+（）2＝，

∴BD＝，

故选：C．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题卡相应位置上）

7．4的算术平方根是 2 ，﹣64的立方根是﹣4 ．

【分析】根据算术平方根和立方根的定义求解可得．

【解答】解：4的算术平方根是2，﹣64的立方根是﹣4，

故答案为：2，﹣4．

8．小明的体重为48.86kg，48.86≈48.9 ．（精确到0.1）

【分析】把百分位上的数字6进行四舍五入即可．

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【解答】解：48.86≈48.9．（精确到0.1）．

故答案为48.9．

9．如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，若BC＝10，BD＝6，则D到AB的距离为 4 ．

【分析】由已知条件首先求出线段CD的大小，接着利用角平分线的性质得点D到边AB 的距离等于CD的大小，问题可解．

【解答】解：∵BC＝10，BD＝6，

∴CD＝4，

∵∠C＝90°，∠1＝∠2，

∴点D到边AB的距离等于CD＝4，

故答案为：4．

10．若直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为 6.5 ．【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．

【解答】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，

∴斜边＝＝13，

∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．

故答案为：6.5．

11．写出一个一次函数，使它的图象经过第一、三、四象限：y＝x﹣1 ．【分析】根据一次函数的性质解答即可．

【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，

∴写出的解析式只要符合上述条件即可，例如y＝x﹣1．

故答案为y＝x﹣1．

12．将函数y＝3x+1的图象平移，使它经过点（1，1），则平移后的函数表达式是y＝3x ﹣2 ．

【分析】根据函数图象平移的性质得出k的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点代入即可得出答案．

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11 / 24 【解答】解：新直线是由一次函数y ＝3x +1的图象平移得到的，

∴新直线的k ＝3，可设新直线的解析式为：y ＝3x +b ．

∵经过点（1，1），则1×3+b ＝1，

解得b ＝﹣2，

∴平移后图象函数的解析式为y ＝3x ﹣2；

故答案为：y ＝3x ﹣2．

13．如图，长方形网格中每个小正方形的边长是1，△ABC 是格点三角形（顶点都在格点上），则点C 到AB 的距离为 1.2 ．

【分析】设点C 到AB 的距离为h ，根据勾股定理得到AB ＝

＝5，根据三角形的

面积公式即可得到结论．

【解答】解：设点C 到AB 的距离为h ，

∵AB ＝＝5， ∴S △ABC ＝×2×3＝×5×h ，

∴h ＝1.2，

故答案为：1.2．

14．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝k 1x +b （k 1，b 均为常数）与正比例函数y ＝k 2x （k 2为常数）的图象如图所示，则关于x 的不等式k 2x ＜k 1x +b 的解集为 x ＜3 ．

【分析】由图象可以知道，当x ＝3时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式k 2x ＜k 1x +b 的解集．

【解答】解：两条直线的交点坐标为（3，﹣1），且当x ＜3时，直线y ＝k 2x 在直线y ＝

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12 / 24 k 1x +b 的下方，

故不等式k 2x ＜k 1x +b 的解集为x ＜3．

故答案为x ＜3．

15．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B

的坐标分别为（3，0）、（0，4）．以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴交于点C ，则点C 的坐标为 （﹣2，0）或（8，0） ．

【分析】根据题意求出AB 的长，以A 为圆心作圆，与x 轴交于C ，C ′，求出C 的坐标即可．

【解答】解：∵点A 、B 的坐标分别为（3，0）、（0，4），

∴OA ＝3，OB ＝4，

∴AB ＝＝5，

∴AC ′＝5，AC ＝5，

∴C ′点坐标为（﹣2，0）；C 点坐标为（8，0）．

故答案为：（﹣2，0）或（8，0）．

16．如图，在长方形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝9，折叠纸片ABCD ，使顶点C 落在边AD 上的点G 处，折痕分别交边AD 、BC 于点E 、F ，则△GEF 的面积最大值是 7.5 ．

【分析】当点G 与点A 重合时，△GEF 的面积最大，根据折叠性质可得GF ＝FC ，∠AFE ＝∠EFC ，根据勾股定理可求AF ＝5，根据矩形的性质可得∠EFC ＝∠AEF ＝∠AFE ，可得AE ＝AF ＝5，即可求△GEF 的面积最大值．

【解答】解：如图，当点G 与点A 重合时，△GEF 的面积最大，

∵折叠

∴GF ＝FC ，∠AFE ＝∠EFC

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在Rt∠ABF中，AF2＝AB2+BF2，

∴AF2＝9+（9﹣AF）2，

∴AF＝5

∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC，

∴∠AEF＝∠EFC

∴∠AEF＝∠AFE

∴AE＝AF＝5

∴△GEF的面积最大值＝×5×3＝7.5

故答案为：7.5

三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．计算：+（）2﹣．

【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝3+2﹣

＝．

18．求x的值：

（1）（x+1）2＝64

（2）8x3+27＝0．

【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．

【解答】解：（1）x+1＝±8

x＝7或﹣9

（2）8x3＝﹣27

x3＝

x＝

19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．

（1）求∠DAC的度数；

（2）求证：DC＝AB．

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【分析】（1）由AB＝AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B＝∠C＝30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC＝120°，而∠DAB＝45°，则∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°；

（2）根据三角形外角性质得到∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，而由（1）得到∠DAC＝75°，再根据等腰三角形的判定可得DC＝AC，这样即可得到结论．

【解答】（1）解：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝30°，

∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，

∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

∵∠DAB＝45°，

∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°；

（2）证明：∵∠DAB＝45°，

∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，

∴∠DAC＝∠ADC，

∴DC＝AC，

∴DC＝AB．

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，4），B（﹣5，4），C（﹣3，1），直线l经过点（1，0），且与y轴平行．

（1）请在图中画出△ABC；

（2）若△A1B1C1与△ABC关于直线l对称．请在图中画出△A1B1C1；

（3）若点P（a，b）关于直线l的对称点为P1，则点P1的坐标是（2﹣a，b）．

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【分析】（1）直接利用已知点坐标得出△ABC ；

（2）利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；

（3）根据直线l 经过点（1，0），点P （a ，b ）关于直线l 的对称点为P 1，则P 与P 1的横坐标的和除以2等于1，纵坐标相等，进而得出答案．

【解答】解：（1）如图所示：△ABC 即为所求；

（2）如图所示：△A 1B 1C 1即为所求；

（3）点P （a ，b ）关于直线l 的对称点为P 1，则点P 1的坐标是（2﹣a ，b ）

．

故答案为：（2﹣a ，b ）．

21．如图，在Rt △ACB 和Rt △ADB 中，∠C ＝∠D ＝90°，AD ＝BC ，AD 、BC 相交于点O ．求证：CO ＝DO ．

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【分析】由“HL”可得Rt△ACB≌Rt△BDA，可得∠CBA＝∠DAB，可得OA＝OB，即可得结论．【解答】证明：在Rt△ACB和Rt△BDA中，∠C＝∠D＝90°

∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）

∴∠CBA＝∠DAB

∴OA＝OB

又AD＝BC，

∴CO＝DO

22．客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李质量超过规定时，需付的行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数，且部分对应关系如表所示．

x（kg）…30 40 50 …

y（元）… 4 6 8 …

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）求旅客最多可免费携带行李的质量；

（3）当行李费2≤y≤7（元）时，可携带行李的质量x（kg）的取值范围是20≤x≤45 ．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（2）令y＝0时求出x的值即可；

（3）分别求出2≤y≤7时的x的取值范围，然后解答即可．

【解答】解：（1）∵y是x的一次函数，

∴设y＝kx+b（k≠0）

将x＝30，y＝4；x＝40，y＝6分别代入y＝kx+b，得

，

解得：

∴函数表达式为y＝0.2x﹣2，

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（2）将y＝0代入y＝0.2x﹣2，得0＝0.2x﹣2，

∴x＝10，

（3）把y＝2代入解析式，可得：x＝20，

把y＝7代入解析式，可得：x＝45，

所以可携带行李的质量x（kg）的取值范围是20≤x≤45，

故答案为：20≤x≤45．

23．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，BC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，求CD的长．

【分析】连接DB，根据勾股定理的逆定理得到∠A＝90°，根据线段垂直平分线的想知道的DC＝DB，设DC＝DB＝x，则AD＝8﹣x．根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：连接DB，

在△ACB中，

∵AB 2+AC2＝62+82＝100，

又∵BC2 ＝102 ＝100，

∴AB2+AC2＝BC2．

∴△ACB是直角三角形，∠A＝90°，

∵DE垂直平分BC，

∴DC＝DB，

设DC＝DB＝x，则AD＝8﹣x．

在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB2+AD2＝BD2，

即62+（8﹣x）2＝x2，

解得x＝，

即CD＝．

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24．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD

＝2BC ，点E 是AD 的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）

（1）在图1中，画出△ACD 的边AC 上的中线DM ；

（2）在图2中，若AC ＝AD ，画出△ACD 的边CD 上的高AN ．

【分析】（1）连接BE 交AC 于M ，易得四边形BCDE 为平行四边形，再根据三角形中位线判断M 点为AC 的中点，然后连接DM 即可；

（2）连接BE 交AC 于M ，M 点为AC 的中点，再连接CE 、DM ，它们相交于F ，连接AF 并延长交CD 于N ，则AN ⊥CD ．

【解答】解：（

1）如图，DM 为所作；

（2）如图，AN 为所作．

25．甲骑电动车、乙骑摩托车都从M 地出发，沿一条笔直的公路匀速前往N 地，甲先出发一段时间后乙再出发，甲、乙两人到达N 地后均停止骑行．已知M 、N 两地相距km ，设甲行驶的时间为x （h ），甲、乙两人之间的距离为y （km ），表示y 与x 函数关系的部分图象如

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图所示．请你解决以下问题：

（1）求线段BC所在直线的函数表达式；

（2）求点A的坐标，并说明点A的实际意义；

（3）根据题目信息补全函数图象．（须标明相关数据）

【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得线段BC所在直线的函数表达式；

（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲和乙的速度，从而可以求得点A的坐标并写出点A表示的实际意义；

（3）根据（2）中甲乙的速度可以分别求得甲乙从M地到N 地用的时间，从而可以将函数图象补充完整．

【解答】解：（1）设线段BC 所在直线的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），

∵B（，0），C（，）在直线BC上，

，得，

即线段BC所在直线的函数表达式为y＝20x﹣；

（2）设甲的速度为m km/h，乙的速度为n km/h，

，得，

∴点A的纵坐标是：30×＝10，

即点A的坐标为（，10），

点A的实际意义是当甲骑电动车行驶时，距离M地为10km；

（3）由（2）可知，甲的速度为30km/h，乙的速度为50千米/小时，

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则乙从M地到达N地用的时间为：小时，

∵，

∴乙在图象中的时，停止运动，

甲到达N地用的时间为：小时，

补全的函数图象如右图所示．

26．【初步探究】

（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由．

【解决问题】

（2）如图2，在长方形ABCD中，点P是边CD上一点，在边BC、AD上分别作出点E、F，使得点F、E、P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且PE＝PF，∠FPE＝90°．要求：仅用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．

【拓展应用】

（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点B（4，1），点C在第一象限内，若△ABC是等腰直角三角形，则点C的坐标是（1，2）、（3，3）、（，）．（4）如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA 绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是．

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【分析】（1）证明△ABE ≌△ECD （SAS ），即可求解；

（2）如图，以点D 为圆心CP 长为半径作弧交AD 于点F ，以点C 为圆心，DP 长为半径作弧交BE 于点E ，连接EF ，EP ，FP ，点E 、F 即为所求；

（3）分∠CAB ＝90°、∠ABC ＝90°、∠ACB ＝90°，三种情况求解即可；

（4）求出B （m ，1+m ），则：BO +BA ＝+，BO +BA 的值相当于求点P （m ，m ）到点M （1，﹣1）和点N （0，﹣1）的最小值，即可求解．

【解答】解：

（1）△AED 是等腰直角三角形，

证明：∵在△ABE 和△ECD 中，

∴△ABE ≌△ECD （SAS ）

∴AE ＝DE ，∠AEB ＝∠EDC ，

∵在Rt △EDC 中，∠C ＝90°，

∴∠EDC +∠DEC ＝90°．

∴∠AEB +∠DEC ＝90°．

∵∠AEB +∠DEC +∠AED ＝180°，

∴∠AED ＝90°．

∴△AED 是等腰直角三角形；

（2）如图，以点D 为圆心CP 长为半径作弧交AD 于点F ，以点C 为圆心，DP 长为半径作弧

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