2013高考真题分类汇编导数在研究函数中的应用

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导数在研究函数中的应用

1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足2

2

()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（ ）

.A 有极大值，无极小值 .B 有极小值，无极大值

.C 既有极大值又有极小值 .D 既无极大值也无极小值

【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。

【解析】选D.由题意知233

2()2()()x x e f x e x f x f x x x x -￠=-=， x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2x f '(x)4xf (x 2(()2())

22(1).)

x x x x e x f x xf x e e e x x 则令￠==--+=-=-=--

由()0g x ￠=得2x =,当2x =时,

2

22min ()2208

e g x e =-创= 即()0g x 3,则当0x >时,3()()0g x

f x x ￠=

, 故()f x 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.

2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同

已知函数???>+≤+-=0

),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是（ ） A.]0,(-∞ B. ]1,(-∞ C. ]1,2[- D. ]0,2[-

【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.

【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当0≤x 时，

x x x f x g 2|)(|)(2-==，

22)(-='x x g ，2)0(-='g ，故2-≥a .

\

- 2 - 当0>x 时，)1ln(|)(|)(+==x x f x g ，1

1)(+='x x g 由于)(x g 上任意点的切线斜率都要大于a ，所以0≤a ，综上02≤≤-a .

3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同 设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）

A.0x R ?∈，0()0f x =

B.函数()y f x =的图象是中心对称图形

C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减

D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=

【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.

A 项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x 0∈R,使f(x 0)=0,A 正确.

B 项,假设函数

f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量(,)a m n =-- 将函数的图象平移,则所得函数

y=f(x+m)-n 是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x 2+m 3+am 2+bm+c-n=0.上式对x ∈R 恒成立,故3m+a=0,得m=-

3a ,n=m 3+am 2+bm+c=f 3a ??- ???,所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为,33a a f ????-- ? ?????

,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()f x '=3x 2+2ax+b 是二次函数,f(x)有极小值点x 0,必定有一个极大值点x 1,若x 1

4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( )

A.3

B.4

C. 5

D.6

【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.

【解析】选A 。因为2'()32f x x ax b =++，函数的两个极值点为12,x x ，所以12()0,()0f x f x ''==，

所以12,x x 是方程2320x a x b ++=的两根，所以解方程23(())2()0

f x a f x b ++=得12()()f x x f x x ==或，由上述可知函数f(x)在(-∞,x 1),(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减.又f(x 1)=x 1

\

- 3 -

数形结合可知f(x)=x 1有两个不同实根,f(x)=x 2有一个实根,所以不同实根的个数为3.

5.（2013·安徽高考理科·Ｔ10）若函数32()=+a +bx+f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( )

A.3

B.4

C. 5

D.6

【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.

【解析】选A 。因为2'()32f x x ax b =++，函数的两个极值点为12,x x ，所以12()0,()0f x f x ''== ，

所以12,x x 是方程2320x a x b ++=的两根，所以解方程23(())2()0

f x a f x b ++=得12()()f x x f x x ==或，不妨设 12.x x <由题意知函数f(x)在(-∞,x 1),(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减.又f(x 1)=x 1

,

数形结合可知f(x)=x 1有两个不同实根,f(x)=x 2有一个实根,所以不同实根的个数为3. 6.（2013·湖北高考理科·Ｔ10）已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）

A. 121()0,()2f x f x >>-

B. 121()0,()2f x f x <<-

C. 121()0,()2f x f x ><-

D. 121()0,()2f x f x <>-

【解析】选 D. 1f '(x)ln x ax x(a)ln x 12ax(x 0)x

=-+-=+->，令0)('=x f ，由题意可得12ln -=ax x 有两个实数解x 1,x 2?函数g(x)=lnx+1-2ax 有且只有两个零点

\

- 4 - ?g(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0, g'(x)=1x -2a=12ax ,x

- . ①当a ≤0时,g (x)'>0, f (x)'单调递增, 因此g(x)= f (x)'至多有一个零点,不符合题意,应舍去. ②当a>0时,令g (x)'=0,解得x=

1,2a 因为1(0,

),g (x)02a x ∈'>，,函数g(x)单调递增; 1(,)2a

x +∞∈时，g (x)0'<，函数g(x)单调递减. 所以x=

12a 是函数g(x)的极大值点,则g 12a ?? ???>0, 即ln 12a

+1-1=-ln(2a)>0, 所以ln(2a)<0, 所以0<2a<1,即0

12 因为0

f'(x 2)=lnx 2+1-2ax 2=0.

则f(x 1)=x 1(lnx 1-ax 1)=x 1(2ax 1-1-ax 1)

=x 1(ax 1-1)< 111a 10,2a 2a 2a ???-=-< ???

f(x 2)=x 2(lnx 2-ax 2)=x 2(ax 2-1)>1×111a 11.2a 22a ?????-=-> ? ?????

7. （2013·天津高考文科·Ｔ8）设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ）

A. ()0()g a f b <<

B. ()0()f b g a <<

C. 0()()g a f b <<

D. ()()0f b g a <<

【解题指南】先由()0,()0f a g b ==确定a,b 的大小，再结合22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=的单调性进行判断.

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- 5 - 【解析】选A. 因为0,(1)'=+>x f x e 所以()2=+-x f x e x 在其定义域内是单调递增的，由()0=f a 知01,g x x x

，故2()ln 3=+-g x x x 在(0,)+∞上也是单调递增的，由

()0

=g b 知12<

( )

A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值

B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值

C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值

D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值

【解题指南】当k=1,2时,分别验证f '(1)=0是否成立,根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点.

【解析】选 C.当k=1时,f ′(x)=e x (x-1)+e x -1,此时f'(1)≠0,故排除A,B;当k=2时,f'(x)=e x (x-1)2+(e x -1)(2x-2),此时f'(1)=0,在x=1附近左侧,f'(x)<0,在x=1附近右侧,f'(x)>0,所以x=1是f(x)的极小值点.

9.(2013·浙江高考文科·T8)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f '(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 (

)

【解题指南】根据导数的性质来判断函数的性质.

【解析】选B.因为f '(x)>0(x ∈(-1,1)),所以f(x)在(-1,1)为增函数,又x ∈(-1,0)时,f '(x)为增函数,x ∈(0,1)时,f '(x)为减函数,所以选B.

10. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ10）

已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（ ）

A.9

B.6

C.-9

D.-6

\

- 6 - 【解题指南】先对函数求导，将x=-1代入到导函数中即可求出a 的值.

【解析】选 D.由题意可知，点)2,1(+-a 在曲线上，因为ax x y 243+='，则8)1(2)1(43=-?+-?a ，解得6-=a

二、填空题

11. （2013·广东高考文科·Ｔ12）若曲线y=ax 2-lnx 在点(1,a)处的切线平行于x 轴,则a= .

【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识,可先求导.

【解析】对y=ax 2-lnx 求导得12y ax x '=-

,而x 轴的斜率为0,所以在点(1,a)处切线的斜率为1210x y a ='=-=,解得12

a =. 【答案】12

. 12. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ16）若函数))(1()(22b ax x x x f ++-=的图像关于直线2-=x 对称，则)(x f 的最大值为_______.

【解题指南】首先利用数)(x f 的图像关于直线2-=x 对称求出b a ,的值，然后利用导数判断函数的单调性，这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解.

【解析】因为函数)(x f 的图像关于直线2-=x 对称，所以)4()0(-=f f ，得a b 15604+-=，又a x b ax x x f +-+--=')1(234)(23，

而0)2(=-'f ，0)2()1(2)2(3)2(423=+-?-+---?-a b a .

得28411=-b a 即?

??=-+-=2841115604b a a b ，解得8=a ，15=b . 故)158)(1()(22++-=x x x x f ，

则828244)(23+---='x x x x f )276(423-++-=x x x

)14)(2(42-++-=x x x

令0)(='x f ，即0)14)(2(2=-++x x x ，则2-=x 或52--=x 或52+-.

当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：

\

- 7 -

=--)52(f ]15)52(8)52][()52(1[22+--?+-----=16)548)(854(=--- =+-)52(f ]15)52(8)52][()52(1[22++-?++-+--=16)548)(854(=+- 故)(x f 的最大值为16.

【答案】16

三、解答题

13. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ21）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++ （I

）求();a f x =的单调性；

（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围

【解析】（I ）当=a 2-时，1323)(23++-=x x x x f ，

3263)(2+-='x x x f .

令0)(='x f ，得121-=x ，122+=x . 当)12,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 在)12,(--∞是增函数； 当)12,12(+-∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 在)12,12(+-是减函数； 当),12(+∞+∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),12(+∞+是增函数.

（II ）由0)2(≥f 得4

5-≥a . 当4

5-≥a ，),2(+∞∈x 时， )125(3)12(3)(22+-≥++='x x ax x x f 0)2)(2

1(3>--=x x ， 所以)(x f 在),2(+∞是增函数，于是当),2(+∞∈x 时，0)2()(≥≥f x f .

\

- 8 - 综上，a 的取值范围是),4

5[+∞-. 14. （2013·江苏高考数学科·Ｔ20）设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x -=)(，其中a 为实数。

（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围；

（2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论。

【解题指南】(1)先对f(x)=lnx-ax 求导,利用条件f(x)在(1,+∞)上是单调减函数求出a 的范围,再利用g(x)在(1,+∞)上有最小值求出a 的范围,两者取交集.(2)注意函数方程不等式间的相互转化.

【解析】(1)令11()0ax f x a x x

-'=-=<,考虑到f(x)的定义域为(0,+∞),故a>0,进而解得x>a -1,即f(x)在(a -1,+∞)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a -1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+∞)?(a -1,+∞),从而a -1≤1,即a ≥1.令g'(x)=e x -a=0,得x=lna.当xlna 时, ()g x '>0.又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以lna>1,即a>e.综上,有a ∈(e,+∞).

(2)当a ≤0时,g(x)必为单调增函数;当a>0时,令()g x '=e x -a>0,

解得alna,因为g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,类似(1)有lna ≤-1,即0

(i)当a=0时,由f(1)=0以及1()f x x

'=>0,得f(x)存在唯一的零点. (ii)当a<0时,由于f(e a )=a-ae a =a(1-e a )<0,f(1)=-a>0,且函数f(x)在[e a ,1]上的图象不间断,所以f(x)在(e a ,1)上存在零点.

另外,当x>0时,

01)(>-='a x x f ,故f(x)在 (0,+∞)上是单调增函数,所以f(x)只有一个零点.

(iii)当0

f'(x)=-a=0,解得x=a -1.当0a -1时, ()f x '<0,所以,x=a -1是f(x)的最大值点,且最大值为f(a -1)=-lna-1.

①当-lna-1=0,即a=e -1时,f(x)有一个零点x=e.

②当-lna-1>0,即0

实际上,对于00,且函数f(x)在[e -1,a -1]上的图象连续,所以f(x)在(e -1,a -1)上存在零点.另外,当

\

- 9 - x ∈(0,a -1)时,f'(x)=1a x

->0,故f(x)在(0,a -1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a -1)上只有一个零点. 下面考虑f(x)在(a -1,+∞)上的情况,先证f(1a e -)=a(a -2-1

a e -)<0.为此,

我们要证明:当x>e 时,e x >x 2.设h(x)=e x -x 2,则()h x '=e x -2x,再设()()l x h x '= =e x -2x,则()l x '=e x -2. 当x>1时, ()l x '=e x -2>e-2>0,所以()()l x h x '=在(1,+∞)上是单调增函数.故当x>2时,()h x ' =e x -2x>(2)h ' =e 2-4>0,从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数,进而当x>e 时,h(x)=e x -x 2>h(e)=e e -e 2>0.即当x>e 时,e x >x 2.

当0e 时，f(1a e -)=a(a -2-1a e -)<0,

又f(a -1)>0,且函数f(x)在[a -1, 1a e -]上的图象连续,所以f(x)在(a -1, 1a e -)上存在零点.又当x>a -1时,f'(x)= 1a x -<0, 故f(x)在(a -1,+∞)上是单调减函数,所以f(x)在(a -1,+∞)上只有一个零点.

综合(i),(ii),(iii)可知,当a ≤0或a=e -1时,f(x)的零点个数为1,

当0

15. （2013·湖南高考理科·Ｔ22）已知0a >，函数()2x a f x x a -=

+. (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式.

(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

【解题指南】(1)首先是去掉绝对值符号,然后利用导数求出函数的单调区间,再求出f(x)在区间

[0,4]上的最大值为g(a).

(2)首先要根据函数的单调性讨论出a 取什么范围时可能存在两点,在该两点处的切线相互垂直,然后利用两互相垂直的直线斜率之积等于-1去讨论求解.

【解析】（1）当a x ≤≤0时，a x x a x f 2)(+-=；当a x >时，a

x a x x f 2)(+-=. 因此，当),0(a x ∈时，0)2(3)(2<+-=

'a x a x f ，)(x f 在),0(a 上单调递减； 当),(+∞∈a x 时，0)

2(3)(2>+='a x a x f ，)(x f 在),(+∞a 上单调递增. ② 4≥a ，则)(x f 在)4,0(上单调递减，2

1)0()(==f a g . ②若40<

\

- 10 - 而14a 1f (0)f (4)242a 2

a =，a ---=-++，故当10≤

f a

g .综上所述，4a ,0a 142a 1, 1.2g(a)a -<≤+>?=?? （2）由（1）知，当4≥a 时，)(x f 在)4,0(上单调递减，故不满足要求.

当40<

x a a x 23221+=+，由，)4,(),,0(21a x a x ∈∈得x 1+2a ∈(2a,3a),

23a 3a x 2a 42a （,1）∈++. 故(*)成立等价于集合A={x|2a

的交集非空. 因为3a 3a 42a

<+，所以当且仅当0<2a<1,即0

16.（2013·湖南高考文科·Ｔ21）已知函数f （x ）=

x e x

21x 1+-. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）证明：当f （x 1）=f （x 2）(x 1≠x 2)时，x 1+x 2＜0. 【解题指南】第(Ⅰ)小题解题依据是在定义域下不等式0)(>'x f 的解集是原函数的增区间，不等式0)(<'x f 的解集是原函数的减区间。第（Ⅱ）小题首先要确定在什么范围下f （x 1）=f （x 2），然后再构造新函数利用单调性去证明。

【解析】（Ⅰ）函数的定义域是(-∞,+∞)，

22

22222211()()11211[(1)2](1)12(1)x x x x x x f x e e x x x x x x x e e x x x --''=+++??-----+=+=??+++??

，

\

- 11 - 当0'x f ，当0>x 时，0)(<'x f ，

所以)(x f 的单调递增区间是)0,(-∞，单调递减区间是),0(+∞。

（Ⅱ）当1

>>>+由于故；同理，当1>x 时0)(

)()(),1,0(x f x f x -<∈?，即证x x e x x e x x -++<+-2211)11(，此不等式等价于01)1(<+--x x e

x e x ，令x x e

x e x x g +--=1)1()(，则)1()(2--='-x x e xe x g ，当)1,0(∈x 时，()0,g x '< )(x g 单调递减，从而0)0()(=

x e x ， 所以)()(),1,0(x f x f x -<∈?，而)1,0(2∈x ，所以)()(22x f x f -<，从而)()(21x f x f -<，由于)0,(,21-∞∈-x x ，)(x f 在)0,(-∞上单调递增，所以21x x -<，即021<+x x 。

17.（2013·江西高考文科·Ｔ21）设函数1x,0x a a f (x)1(1x),a x 11a ?≤≤??=??-<≤?-?

a 为常数且a ∈（0，1）. （1）当1a 2=时，求1f (f ())3；

（2）若x 0满足f （f （x 0））= x 0,但f （x 0）≠x 0，则称x 0为f （x ）的二阶周期点.证明函数f

（x ）有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x 1，x 2；

（3）对于（2）中x 1，x 2，设A （x 1,f （f （x 1））），B （x 2,f （f （x 2）））,C(a 2,0)，记△ABC 的面积为S(a)，求S(a)在区间11[,]32上的最大值和最小值.

【解题指南】（1）把a 的值代入，利用分段函数的解析式，由内到外进行求解；（2）先求出f （f （x ））的解析式，再根据二阶周期点的定义依次分段求解；（3）在第二问的基础上写出点A 、B 的坐标，把△ABC 的面积表示成a 的函数，再结合函数求最值得方法进行处理.

【解析】(1)当1a 2=时，12f ()33=，1222f (f ())f ()2(1).3333==-=

（2）22222

21x,0x a ,a 1(x a),a x a,a(1a)f (f (x))1(x a),a x a a 1,(1a)1(1x),a a 1x 1.a(1a)

?≤≤???-<≤?-?=??-<<-+?-??--+≤≤?-?

\

- 12 - 当20x a ≤≤时，由

21x x a =解得x 0=，因为f (0)0=，故x=0不是f （x ）的二阶周期点； 当2a x a <≤时，由

1(x a)x a(1a)-=-解得22a x (a ,a]a a 1=∈-++, 因为2222a 1a 1a f ()a a 1a a a 1a a 1a a 1

=?=≠-++-++-++-++， 故2a x a a 1

=-++为f （x ）的二阶周期点； 当2a x a a 1<<-+时，由

21(x a)x (1a)-=-解得21x (a,a a 1)2a =∈-+-， 因为1111f ()(1)2a 1a 2a 2a =-=----，故1x 2a

=-不是f （x ）的二阶周期点； 当2a a 1x 1-+≤≤时，由

1(1x)x a(1a)-=-解得221x [a a 1,1]a a 1=∈-+-++ 因为2222111a 1f ()(1)a a 11a a a 1a a 1a a 1

=-=≠-++--++-++-++， 故21x a a 1

=-++为f （x ）的二阶周期点. 综上，函数f （x ）有且仅有两个二阶周期点12a x a a 1=-++，221x a a 1

=-++. (3)由（2）得22a a A(,)a a 1a a 1-++-++,2211B(,)a a 1a a 1

-++-++. 则221a (1a)S(a)2a a 1

-=?-++，32221a(a 2a 2a 2)S (a)2(a a 1)--+'=?-++， 方法一：因为11a [,]32

∈，有2a a 1+<，所以32221a(a 2a 2a 2)S (a)2(a a 1)--+'=?-++ 22221a[(a 1)(a 1)(1a a)]02(a a 1)+-+--=?>-++，则S(a)在区间11[,]32

上单调递增， 故S(a)在区间11[,]32上的最小值为11S()3

33=，最大值为11S().220

= 方法二：令32g(a)a 2a 2a 2=--+

，则222g (a)3a 4a 23(a 33

'=--=--， 因为a (0,1)∈，g (a)0'<，所以g (a )在区间11[,]32上的最小值为15g()028=>，则对任意的11a [,]32∈，g(a)0>.所以32221a(a 2a 2a 2)S (a)02(a a 1)--+'=?>-++，则S(a)在区间11[,]32

上单调递增，故S(a)在区间11[,]32上的最小值为11S()333=，最大值为11S().220

=

\

- 13 - 18.（2013·安徽高考文科·Ｔ20）与（2013·安徽高考理科·Ｔ17）相同 设函数f(x)=ax-(1+a 2)x 2，其中a ＞0，区间l ={x|f(x)>0}。

（Ⅰ）求l 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α)；

（Ⅱ）给定常数k ∈（0，1），当1-k ≤a ≤1+k 时，求l 长度的最小值。

【解题指南】（1）求出方程()=0f x 的两个根；（2）利用导数求函数的最小值。

【解析】（1）因为方程ax-(1+a 2)x 2=0(a>0)有两个实根1220,,1a x x a

>=

+ 故f(x)>0的解集为{x|x 1

=+则2221-()1a d a a '=+（），令()01d a a '==，得，由于0时k a d a d a 单调递增；当'11,()0,()<≤+<时a k d a d a 单调递减。 因此当1-1+,≤≤时k a k d a 的最小值必定在1-=1+a k a k =或处取得。而

23

22321(1)21(1)11(1)21(1)

k

d k k k k k d k k k k ----+-==<++-+++，故(1)(1)d k d k -<+， 因此当1,()a k d a =-时在区间[1-k,1+k]上取得最小值2

12-2+k k k -。 19.（2013·北京高考文科·Ｔ18）已知函数f(x)=x 2+xsin x+cos x.

（1）若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b 相切，求a 与b 的值。

（2）若曲线y=f(x)与直线y=b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。

【解题指南】（1）把已知条件转化为'()0,()f a f a b ==；

（2）转化为y=f(x)的极值与b 的关系。

【解析】（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x =+=+，

由线()y f x =在(,())a f a 处的切线为y b =，因此，'()0,()f a f a b ==， 于是22cos 0sin cos a a a a a a a b +=++=且，

解得0,a =1b =。

（2）由（1）知'()(2cos )f x x x =+，于是当0x >时，()f x 单调递增，当0x <时，()f x 单调递减，当0x =时，()f x 取得极小值1.

\

- 14 - 因此b 的取值范围为(1,)+∞。

20.(2013·福建高考理科·T17)已知函数f(x)=x-alnx(a ∈R )

(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.

(2)求函数f(x)的极值.

【解题指南】对函数求导,根据导数即切线斜率,求出切线方程,欲求极值,先求单调性,要注意对参数a 进行讨论.

【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f ′(x)=1-

a x

. (1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f ′(x)=1-

2x (x>0), 所以f(1)=1,f'(1)=-1,

所以y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),

即x+y-2=0.

(2)由f ′(x)= 1--=a x a x x ,x>0可知: ①当a ≤0时,f '(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;

②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a;

因为x ∈(0,a)时,f '(x)<0,x ∈(a,+∞)时,f'(x)>0,

所以f(x)在x=a 处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.

综上:当a ≤0时,函数f(x)无极值,

当a>0时,函数f(x)在x=a 处取得极小值a-aln a,无极大值.

21.(2013·福建高考理科·T20)已知函数)0,0)(sin()(π??<<>+=w wx x f 的周期为π,图象的一个对称中心为??

? ??0,4π,将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移2π

个单位长度后得到函数g(x)的图象.

(1)求函数f(x)与g(x)的解析式.

(2)是否存在??

? ??∈4,60ππx ,使得f(x 0),g(x 0), f(x 0)g(x 0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x 0的个数,若不存在,说明理由.

(3)求实数a 与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在()πn ,0内恰有2 013个零点.

【解题指南】第(3)问要求考生化整体到局部,先研究函数在一个周期内图象的性质,再从特殊

\

- 15 - 到一般地解决问题.

【解析】(1)由函数f(x)=sin(ωx+?)的周期为π,ω>0,得ω=2,

又曲线y=f(x)的一个对称中心为(,0)4

π,?∈(0,π), 故()sin(2)044

f ππ?=?+=,得?=2π,所以f(x)=cos 2x. 将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos x 的图象,再将y=cosx 的图象向右平移2

π个单位长度后得到函数g(x)=sin x. (2)当x ∈(,)64ππ时, 12

,0

, 所以sinx>cos2x>sinxcos2x.

问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x 在(,)64

ππ内是否有解, 设G(x)=sin x+sinxcos 2x-2cos 2x,x ∈(,)64

ππ

, 则G '(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x). 因为x ∈(,)64ππ,所以G ′(x)>0,G(x)在(,)64

ππ内单调递增. 又1()064

G π=-<，2()042G π=>. 且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在(,)64

ππ内存在唯一零点x 0, 即存在唯一的0(,)64

x ππ∈满足题意. (3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x,令F(x)=asin x+cos 2x=0,

当sin x=0,即x=k π(k ∈Z )时,cos 2x=1,从而x=k π(k ∈Z )不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等价于关于x 的方程cos 2sin x a x

=-,x ≠k π(k ∈Z ), 现研究x ∈(0,π)∪(π,2π)时方程解的情况, 令cos 2()sin x h x x

=-,x ∈(0,π)∪(π,2π), 则问题转化为研究直线y=a 与曲线y=h(x)在x ∈(0,π)∪(π,2π)的交点情况,

22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令h ′(x)=0,得2x π=或32

x π=. 当x 变化时,h(x)和h ′(x)变化情况如下表

\

- 16 -

当x>0且x 趋近于0时,h(x)趋向于-∞,

当x<π且x 趋近于π时,h(x)趋向于-∞,

当x>π且x 趋近于π时,h(x)趋向于+∞,

当x<2π且x 趋近于2π时,h(x)趋向于+∞,

故当a>1时,直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,π)内无交点,在(π,2π)内有2个交点;

当a<-1时,直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内无交点;

当-1

由函数h(x)的周期性,可知当a ≠±1时,直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,n π)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,n π)内恰有2013个交点;当a=±1时,直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,π)∪(π,2π)内有3个交点,由周期性,2 013=3×671,所以n=671×2=1 342.

综上,当a=±1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,n π)内恰有2 013个零点.

22.（2013·福建高考文科·Ｔ22）已知函数()1x a f x x e

=-+（a ∈R ,e 为自然对数的底数）. （I ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值;

（II ）求函数()f x 的极值;

（III ）当1a =时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.

【解题指南】对函数求导，根据导数即切线斜率，知切线斜率为0，欲求极值，先求单调性，要注意对参数a 进行讨论。

【解析】方法一：（Ⅰ）由()1x a f x x e =-+，得()1x a f x e

'=-． 又因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴，

得()10f '=，即10a e

-

=，解得a e =． （Ⅱ）()1x a f x e '=-，

\

- 17 - ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为R 上的增函数，所以函数()f x 无极值． ②当0a >时，令()0f x '=，得x e a =，ln x a =．

(),ln x a ∈-∞，()0f x '<；()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>．

所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，

故()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为()ln ln f a a =，无极大值． 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极小值；

当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值．

（Ⅲ）当1a =时，()11x f x x e

=-+

令()()()()111x g x f x kx k x e =--=-+， 则直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，

等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．

假设1k >，此时()010g =>，11

11101k g k e -??=-+< ?-??， 又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤．

又1k =时，()10x

g x e =>，知方程()0g x =在R 上没有实数解． 所以k 的最大值为1．

方法二：

（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）当1a =时，()11x

f x x e =-+． 直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，

等价于关于x 的方程111x kx x e

-=-+在R 上没有实数解，即关于x 的方程： ()11x k x e

-= （*） 在R 上没有实数解．

\

- 18 - ①当1k =时，方程（*）可化为

10x e

=，在R 上没有实数解． ②当1k ≠时，方程（*）化为11x xe k =-． 令()x g x xe =，则有()()1x g x x e '=+．

令()0g x '=，得1x =-，

当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：

当1x =-时，()min g x e

=-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞， 从而()g x 的取值范围为1,e ??-+∞????

． 所以当11,1k e ??∈-∞- ?-??

时，方程（*）无实数解， 解得k 的取值范围是()1,1e -．

综上，得k 的最大值为1．

23.（2013·广东高考理科·Ｔ21）设函数2()(1)e x f x x kx =--（k ∈R ）.

（2）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；

（3）当1(,1]2

k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M . 【解题指南】本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程中，应用好分类讨论思想.

【解析】（1）当1k =时，2()(1)e x f x x x =--，求导可得()e 2(e 2)x x f x x x x '=-=-，令()0f x '=可得0,ln 2x x ==，则当0x <时，()0f x '>；当0l n 2x <<时，()0f x '<；当l n 2x >时，()0f x '>；所以函数()f x 的单调递增区间是(,0),(ln 2,)-∞+∞，单调递减区间是(0,ln 2)；

（2）对2()(1)e x f x x kx =--求导可得()e (1)e 2(e 2)x x x f x x kx x k '=+--=-，因为1(,1]2

k ∈，

\

- 19 - 所以2(1,2]k ∈，令()0f x '=可得0,ln(2)x x k ==，显然0(ln 2)ln 2k <≤而ln 21<.则当0ln(2)x k <<时，()0f x '<；当ln(2)x k >时，()0f x '>；所以函数()f x 的单调递增区间是((ln 2),)k +∞，单调递减区间是(0,(ln 2))k .

令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k

-'=

-=≥,又当k=1时，0g k ￠=（）， 所以()g k 在1,12?? ???上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈

所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；

所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---

令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,

令()3k k e k ?=-,则()330k k e e ?'=-<-<

所以()k ?在1,12?? ???上递减,而()()1313022e e ??????=-< ????? 所以存在01,12k ??∈ ???使得()00k ?=,且当01,2k k ??∈ ???

时,()0k ?>, 当()0,1k x ∈时,()0k ?<,

所以()h k 在01,2k ?? ???

上单调递增,在()0,1k 上单调递减.

因为17028h ??=> ???

,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12?? ???

上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”. 综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.

24.（2013·广东高考文科·Ｔ21）设函数x kx x x f +-=23)( ()k ∈R ．

(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；

(2) 当0

【解题指南】本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程中，应用好分

\

- 20 - 类讨论思想.

【解析】对函数32()f x x kx x =-+求导得()2321f x x kx '=-+.

(1)当1k =时()2321f x x x '=-+，由41280?=-=-<可知()0f x '>,()f x 在R 上单调递增.

（2）方法一：当0k <时，()2321f x x kx '=-+，其图像开口向上，对称轴3

k x = ，且过点()01， （i

）当(

241240k k k ?=-=≤

，即0k ≤<时，()0f x '≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k ==，当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.

（ii

）当(

241240k k k ?=-=>

，即k <时，令()23210f x x kx '=-+=

解得12x x ==，注意到210k x x <<<，所以()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ==-.

因为()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>，所以()f x 的最小值()m f k k ==；

因为()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---?-+-++<，所以()

f x 的最大值()32M f k k k =-=--；

综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--.

方法二：当0k <时，对[],x k k ?∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥；

323322()()()(221)f x f k x kx x k k k x k x kx k --=-++++=+-++

22()[()1]0x k x k k =+-++≤，故()()f x f k ≤-.

又()0f k k =<，3()20f k k k -=-->，所以3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==.

25. （2013·湖北高考理科·T22）设n 是正整数，r 为正有理数。

（Ⅰ）求函数()x f =)1(1)1()1(1->-+-++x x r x r 的最小值； （Ⅱ）证明：1)1(11+--++r n n r c

)1(11+-+--r n n r r ；

\

- 21 - （Ⅲ）设∈x R ,记[x ]为不小于的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-2

3]=-1. 令S =+++333838281…3125，求[S ]的值。

（参考数据：8034≈344.7，8134≈350.5，12434≈618.3，1263

4≈631.7）

【解题指南】导数的应用；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论证明。（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论r 和n 取特殊值后累加可得。

【解析】（Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =. 当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数；

当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数.

故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =.

（Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即

1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立， 故当1x >-且0x ≠时，有

1(1)1(1)r x r x ++>++. ① 在①中，令1x n =（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n

+++>+

. 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即

11

(1).1r r r n n n r +++-<+ ② 当1n >时，在①中令1x n

=-（这时1x >-且0x ≠），类似可得

11

(1).1r r r n n n r ++-->+ ③ 且当1n =时，③也成立.

综合②，③得

1111

(1)(1).11

r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++ ④ （Ⅲ）在④中，令13

r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得

444433333380(82)44

-<-（，

44443333338281(8382)44--（），