江苏省徐州市2007-2008学年度高三第三次质量检测（数学）

徐州市2007－2008学年度高三第三次质量检测

数学试题参考答案及评分标准

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．?(4,4)? 2．?4?2i 3．54 4． 5．?x?R,x2?2x?1?0 6．341010 7．y2?20x

8．

807 9．16 10．8 11．(?4,4] 12．7 13．

9100 14． ①③

二、解答题：本大题共6小题，共90分．

15．(1)设集合A中的点(x,y)?B为事件M， 区域A的面积为S1?36， 区域B的面积为S2?18

?P(M)?S2S1?1836?12．

（2）设点(x,y)在集合B为事件N， 甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数为36个，其中在集合B中的点有21个，故P(N)?16．（1）由4sinB · sin2????422136?712．

?2?B)]?cos2B?1?3 ?B??2?+ cos2B = 1 +3得：2sinB[1?cos(B?3， sin322sinB(1?sinB)?1?2sinB?1? ?0?B?? ?B?34?3或

2?3．

（2）法1：?B为锐角 ?B?由已知得：c?由正弦定理

asinA1212?3 sinC?12sinB?134

2?3?C)?3(13?1)8b?b， 角C为锐角 ?cosC??csinC 可得：sinA?sin(

得：c?213?23．

22?法2：由sinC?sinB得：b?2c， 由余弦定理知：(2c)?c?16?8ccos60

?2?2313即：3c2?4c?16?0 c? ?c?0 ?c?213?32．

17．（1）证明：连接BD，取AE中点M，连接BM,DM．

?在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，?ABC?60，E是BC的中点 ??ABE与?ADE都是等边三角形 ?BM?AE,DM?AE

??BM?DM?M,BM,DM?平面BDM ?AE?平面BDM

?BD?平面BDM ?AE?BD．

（2）证明：连接CM交EF于点N，连接PN

?ME∥FC，且ME＝FC ?四边形MECF是平行四边形 ?N是线段CM的中点

?P是线段BC的中点 ?PN∥BM ?BM?平面AECD ?PN?平面AECD．

（3）DE与平面ABC不垂直．

证明：假设DE?平面ABC， 则DE?AB

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?BM?平面AECD ?BM?DE

?AB?BM?M，AB,BM?平面ABE ?DE?平面ABE

??DE?AE，这与?AED?60矛盾

?DE与平面ABC不垂直．

18．（1）设椭圆的标准方程为

xa22?yb22?1(a?b?0)

?2c?2,22?xy?c?1,?22依题意得：?2a，得? ∴b?4 所以，椭圆的标准方程为??1．

54a?5,?10,????c（2）设过点A的直线方程为：y?k(x?5)，代入椭圆方程

(4?5k)x?50kx?125k?20?0 (*)

2222x25?y24?1得;

依题意得：??0，即(50k2)2?4(4?50k2)(125k2?20)?0 得：k??55，且方程的根为x?1 ?D(1,?455)

当点D位于x轴上方时，过点D与AD垂直的直线与x轴交于点E， 直线DE的方程是：y?455?5(x?1)， ?E(15,0 )3255)?2425)?所求圆即为以线段DE为直径的圆，故方程为：(x?)2?(y?53

2425同理可得：当点D位于x轴下方时，圆的方程为：(x?)2?(y?5255．

2?x12y1??1??????????x1?5?t(x2?5)?54（3）设P(x1,y1)，Q(x2,y2)由AP=tAQ得：?，代入?2 2y?ty2?1?x2?y2?1?4?5?x1??2t?3????????1?x1?t(x2?1)?(1)??? 3t?2（**） 要证SB=tBQ，即证?y?ty?(2)x?2?1?2t????????由方程组（**）可知方程组（1）成立,(2)显然成立．∴SB=tBQ

19．（1）由an?1?2an?1得：an?1?1?2(an?1) ?a1?0 ?a1?1?1 ??an?1?是等比数列

1n[1?()]1?a121?12*1n??i?111?ai?12 ??12， 即

11?a1?14?11?12n对任意n?N*恒成立

?11?a1?4 ?a1≥3 ?a1?4，a1?N ?a1?3．

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（2）由2(?n?bn)?2n?n?an?1(??0)得：bn?(n?1)?n?2n 设数列{(n?1)?n}的前n项的和为Tn

234n?Tn???2??3????(n?1)?

?Tn? ??2????(n?2)??(n?1)?(1??)Tn???????????(n?1)?234nn?134nn?1

当??1时，Tn?1?2???(n?1)?当??1时，Tn????2n?1n(n?1)2n?1?(n?1)(1??)?(1??)2?n(n?1)n?2?1??(??1)?2?． ?Sn??2n?1n?1????(n?1)(1??)?n??2?1??(??1)2?(1??)?（3）存在k?1满足题意

n?n?1?2nn?1n(n?1)??2≤

??2222?2n??n?1≤(n?1)?n?2?4(n?1)?n?2n?2（*）

当n≥2时，∵(n?1)?n?2?4(n?1)?n?2n?2?(n?1)?n(?2?4)?2n?2≥(n?1)?n?4??2n?2

?(4n?4)?n?1?2n?n?1

又n?1时， （*）式成立

（*）式成立． ?对任意n?N，

a3*20.（1）f(x)?x3?2ax2?a2x 令f?(x)?3x2?4ax?a2?0， 得：x1?1当a?0时， x1?x2（表可删）

?，x2?a．

aa?所求单调增区间是(??,)，(a,??)， 单调减区间是（，a）

332当a?0时，所求单调增区间是(??,a)，(?a3,??)， 单调减区间是（a，

a3）

2?3当a?0时，f?(x)?3x≥0 所求单调增区间是(??,??)．

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（2）f?x??x??a?b?x?abx ?f??x??3x?2?a??bx?a ,b322?当x???1,1?时，恒有f??x??32 ??32?f??1?3?,23?2?f??1??3?,23???0?f?23 ?,2?????即???????323?3?2?a?b??ab?323,3?ab??,??3?2?a?b??ab?,得?2 22?a?b?0,?33?ab?,2232此时，满足当x?[?1,1]时|f?(x)|≤

恒成立．?f?x??x3?32x．

????????（3）存在a,b 使得OA?OB?0．

若OA?OB?0，即m?n?f(m)?f(n)?0 ?mn?m(nm?)a(???????? bm?)b(?n)a(?n)?由于0?a?b，知mn?0 ?(m?a)(m?b)(n?a)(n ○1 ?b)? ?由题设，m,n是f?(x)?0的两根 ?m?n?2代入○1得：ab(a?b)○

222(a?b)3，mn?ab3 ○2

2?9 9ab?4ab≥236?12，当且仅当ab?3232?(a?b)?(a?b)?4ab?时取“＝” ?a?b≥23

23?26?a?b≤23 ?a?b?23 又?ab?，0?a?b ?a?， b?23?26．

（以上各题如另有解法，参照本评分标准给分）

（1）设点P(x,y)

则|x?(?2)|?(x?1)?y?1 |x?2|?1?若x≥?2，则x?1?若x??2，则?x?3?22222(x?1)?y 22(x?1)?y 化简得：y?4x

(x?1)?y 化简得：y?8(x?1) 不合题意，舍去

2222故，所求轨迹为：以原点为顶点，开口向右的抛物线y?4x （2）S?2?(2x)dx?04643

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