湖南省长沙一中2015-2016学年高一上学期期中数学试题

2015-2016学年湖南省长沙一中高一（上）期中数学试卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2

﹣2x=0}，则M∩N=（ ） A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0}

2．已知函数

，则f[f（2）]=（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（ ） A．y=|x| B．y=3﹣x

C．y= D．y=﹣x2

+4

4．下列函数是偶函数的是（ ） A．y=x B．y=2x2

C．y=x D．y=x2

，x∈[0，1]

5．函数f（x）=2x2﹣2x的单调递增区间是（ ） A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）

6．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A．e0

=1与ln1=0；

B．8

=2与log82=

C．log39=2与9=3 D．log33=1与31

=3

7．函数y=loga（x+2）+1的图象过定点（ ） A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，1）

8．三个数a=0.72，b=log20.7，c=20.7

之间的大小关系是（ ） A．a＜c＜b． B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a

9．函数f（x）=log3x+x﹣3零点所在大致区间是（ ） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）

10．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a

﹣x

与y=logax的图象（

）A． B． C．

D．

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11．函数f（x）=

12．当x∈（﹣1，2]时，函数f（x）=3的值域为 ．

13．函数f（x）=

是偶函数，且定义域为[a﹣1，2a]，则a+b= ．

x

+log3（x+2）的定义域是 ．

14．函数f（x）在（﹣1，1）上是奇函数，且在区间（﹣1，1）上是增函数，f（1﹣t）+f（﹣t）＜0，则t的取值范围是 ．

15．计算机成本不断降低，若每隔三年计算机价格就降低，现价格为8100元的计算机，则9年后的价格为 元．

三、解答题：（本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．计算下列各式： （1）log23?log32﹣log2（2）（0.125）

；

0

+（﹣）+8+16．

17．（12分）（2015秋?长沙校级期中）根据下列条件，求函数解析式：

（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x）=2x+17，求f（x）； （2）已知g（x+1）=x+3x，求g（x）．

2

18．（12分）（2015秋?长沙校级期中）已知函数f（x）=x﹣4|x|+3． （1）试证明函数f（x）是偶函数； （2）画出f（x）的图象；（要求先用铅笔画出草图，再用中性笔描摹） （3）请根据图象指出函数f（x）的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）

2

（4）当实数k取不同的值时，讨论关于x的方程x﹣4|x|+3=k的实根的个数．

19．（12分）（2015秋?长沙校级期中）．已知幂函数关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数， （1）求函数f（x）的解析式；

0.70.6

（2）若a＞k，比较（lna）与（lna）的大小．

20．（13分）（2015秋?长沙校级期中）若f（x）=x﹣x+b，且f（log2a）=b，log2f（a）=2（a＞0且a≠1）．

（1）求a，b的值和f（x）的解析式

（2）求f（log2x）的最小值及相应x的值．

21．（18分）（2010秋?温州校级期末）设a是实数，

．

2

2

的图象

（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；

（2）试证明：对于任意a，f（x）在R上为单调函数；

xxx

（3）若函数f（x）为奇函数，且不等式f（k?3）+f（3﹣9﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

2015-2016学年湖南省长沙一中高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

2

1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x﹣2x=0}，则M∩N=（ ） A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0} 【考点】交集及其运算． 【专题】集合．

【分析】求出N中方程的解确定出N，找出两集合的交集即可． 【解答】解：由N中方程变形得：x（x﹣2）=0， 解得：x=0或x=2，即N={0，2}， ∵M={﹣1，0，1}， ∴M∩N={0}， 故选：D．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．已知函数，则f[f（2）]=（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】分段函数的应用．

【分析】根据x=2＞1符合f（x）=﹣x+3，代入求出f（x），因为f（x）=1≤1，符合f（x）=x+1，代入求出即可．

【解答】解：∵x=2＞1， ∴f（x）=﹣x+3=﹣2+3=1， ∵1≤1，

∴f[f（x）]=x+1=1+1=2， 即f[f（x）]=2， 故选C．

【点评】本题考查了分段函数的应用，注意：要看x的取值在x＞1范围内还是x≤1范围内，再代入相应的函数解析式中，求出即可．

3．下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（ ）

A．y=|x| B．y=3﹣x C．y= D．y=﹣x+4

2

【考点】函数单调性的判断与证明． 【专题】阅读型．

【分析】本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题．在解答时，可以结合选项逐一进行排查，排查时充分考虑所给函数的特性：一次函数性、幂函数性、二次函数性还有反比例函数性．问题即可获得解答． 【解答】解：由题意可知： 对A：y=|x|=

，易知在区间（0，1）上为增函数，故正确；

对B：y=3﹣x，是一次函数，易知在区间（0，1）上为减函数，故不正确；

对C：y=，为反比例函数，易知在（﹣∞，0）和（0，+∞）为单调减函数，所以函数在（0，1）上为减函数，故不正确；

2

对D：y=﹣x+4，为二次函数，开口向下，对称轴为x=0，所以在区间（0，1）上为减函数，故不正确； 故选A．

【点评】此题是个基础题．本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题．在解答的过程当中充分体现了对不同基本初等函数性质的理解、认识和应用能力．值得同学们体会反思．

4．下列函数是偶函数的是（ ） A．y=x B．y=2x

2

C．y=x

D．y=x，x∈[0，1]

2

【考点】函数奇偶性的判断．

【专题】计算题；函数的性质及应用．

【分析】利用函数奇偶性的定义，即可得出结论． 【解答】解：对于A，y=x是奇函数；

2

对于B，y=2x是偶函数； 对于C，y=

，定义域是[0，+∞）；对于D，y=x，x∈[0，1]，都是非奇非偶函数，

2

故选：B．

【点评】本题考查函数奇偶性的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

5．函数f（x）=2的单调递增区间是（ ） A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞） 【考点】二次函数的性质． 【专题】函数的性质及应用．

x2﹣2x

【分析】根据复合函数的单调性可知f（x）=2的单调递增区间即为二次函数y=x﹣2x

2

的增区间，即y=x﹣2x的对称轴左侧部分，从而解决问题．

2

【解答】解：令g（x）=x﹣2x，则g（x）的对称轴为x=1，图象开口向上， ∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．

∴f（x）=2在（﹣∞，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增． 故选B．

【点评】本题考查了二次函数的单调性和复合函数的单调性，是中档题．

6．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A．e=1与ln1=0；

0

x2﹣2x

x2﹣2x2

B．8

=2与log82=

1

C．log39=2与9=3 D．log33=1与3=3

【考点】指数式与对数式的互化． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】利用指数式与对数式互化的方法即可判断出．

0

【解答】解：A．e=1与ln1=0，正确； B.8

=2与log82=，正确；

2

C．log39=2应该化为3=9，不正确；

1

D．log33=1与3=3，正确． 故选：C．

【点评】本题考查了指数式与对数式互化，考查了计算能力，属于基础题．

7．函数y=loga（x+2）+1的图象过定点（ ） A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，1） 【考点】对数函数的单调性与特殊点． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】由对数函数恒过定点（1，0），再根据函数平移变换的公式，结合平移向量公式即可得到到正确结论．

【解答】解：由函数图象的平移公式，我们可得：

将函数y=logax（a＞0，a≠1）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位， 即可得到函数y=loga（x+2）+1（a＞0，a≠1）的图象． 又∵函数y=logax（a＞0，a≠1）的图象恒过（1，0）点，

由平移向量公式，易得函数y=loga（x+2）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过（﹣1，1）点， 故选：D

【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，记住结论：函数y=loga（x+m）+n（a＞0，a≠1）的图象恒过（1﹣m，n）点

8．三个数a=0.7，b=log20.7，c=2之间的大小关系是（ ） A．a＜c＜b． B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【考点】对数值大小的比较． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可判断出．

20.7

【解答】解：∵0＜a=0.7＜1，b=log20.7＜0，c=2＞1． ∴b＜a＜c． 故选：C．

【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查推理能力与了计算能力，属于基础题．

20.7

9．函数f（x）=log3x+x﹣3零点所在大致区间是（ ） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5） 【考点】二分法求方程的近似解．

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】由已知条件分别求出f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），由此利用零点存在性定理能求出结果．

【解答】解：∵f（x）=log3x+x﹣3， ∴f（1）=log31+1﹣3=﹣2，

f（2）=log32+2﹣3=log32﹣1＜0， f（3）=log33+3﹣3=1，

f（4）=log34+4﹣3=log34+1＞0， f（5）=log35+5﹣3=log35+2＞0，

∴函数f（x）=log3x+x﹣3零点所在大致区间是（2，3）． 故选：B．

【点评】本题考查函数的零点所在大致区间的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质和零点存在性定理的合理运用．

10．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a

﹣x

与y=logax的图象（ ）

A． B． C．

D．

【考点】函数的图象与图象变化． 【专题】数形结合．

【分析】先将函数y=a化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果． 【解答】解：∵函数y=a函数y=

﹣x﹣x

可化为

，其底数小于1，是减函数，

又y=logax，当a＞1时是增函数， 两个函数是一增一减，前减后增． 故选A．

【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11．函数f（x）=

+log3（x+2）的定义域是 （﹣2，﹣1）∪（﹣1，3] ．

【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据对数函数的性质以及二次公式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．

【解答】解：由题意得：，

解得：﹣2＜x≤3且x≠﹣1， 故答案为：（﹣2，﹣1）∪（﹣1，3]．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．

12．当x∈（﹣1，2]时，函数f（x）=3的值域为 （，9] ． 【考点】指数函数的图像与性质．

x

【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用． 【分析】直接利用指数函数的单调性，求解函数的值域即可． 【解答】解：由题意可知函数是增函数， 所以函数的最小值为f（﹣1）=． 函数的最大值为：f（2）=9，

所以函数f（x）=3的值域为（，9]； 故答案为：（，9]．

【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．

13．函数f（x）=

是偶函数，且定义域为[a﹣1，2a]，则a+b= 0 ．

x

【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据偶函数的定义，以及偶函数的定义域关于原点对称可得解此方程组求得a和b，即可求得a+b的值． 【解答】解：∵函数f（x）=

是偶函数，且定义域为[a﹣1，2a]，

2

，

由偶函数的定义域关于原点对称可得 （a﹣1）+2a=0，解得 a=，故函数f（x）=x+（b+）x+3．

由题意可得，f（﹣x）=f（x）恒成立，

即 （﹣x）+（b+）（﹣x）+3=x+（b+）x+3 对任意的实数x都成立， 故有b+=0，解得 b=﹣，故有a+b=0，

故答案为 0．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性，奇、偶函数的定义域的特征，属于基础题．

14．函数f（x）在（﹣1，1）上是奇函数，且在区间（﹣1，1）上是增函数，f（1﹣t）+f（﹣t）＜0，则t的取值范围是 （，1） ．

【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】不等式f（1﹣t）+f（﹣t）＜0转化为f（1﹣t）＜﹣f（﹣t），利用奇函数性质化为f

22

（1﹣t）＜f（t），然后利用单调性得出不等式组，解得答案．

【解答】解：∵f（1﹣t）+f（﹣t）＜0

∴f（1﹣t）＜﹣f（﹣t）

∵f（x）在（﹣1，1）上是奇函数 ∴f（﹣t）=﹣f（t）． ∴f（1﹣t）＜f（t）．

∵f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数，

∴，解得＜t＜1．

故答案为（，1）．

【点评】本题考查了函数奇偶性的性质和利用函数单调性解决函数不等式，是基础题．

15．计算机成本不断降低，若每隔三年计算机价格就降低，现价格为8100元的计算机，则9年后的价格为 2400 元．

【考点】等比数列与指数函数的关系． 【专题】计算题．

【分析】计算机成本每隔三年计算机价格就降低，由此可以建立计算机价格与年份的关系，从而求得9年后的价格．

【解答】解：∵计算机每隔三年计算机价格就降低，现价格为8100元，

∴计算机价格y与年份n之间的关系为：y=8100×∴9年后的价格y=8100×

=2400元．

，

故答案为：2400．

【点评】本题是个基础题，主要考查等比数列与指数函数的关系．本题又是个应用题，一定要注意审题．

三、解答题：（本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．计算下列各式：

（1）log23?log32﹣log2； （2）（0.125）

+（﹣）+8

0

+16．

【考点】有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）利用对数的运算法则即可得出； （2）利用指数的运算法则即可得出．

【解答】解：（1）原式=﹣=1﹣=；

（2）原式==

+

+1++

=6．

【点评】本题考查了指数与对数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题． 17．（12分）（2015秋?长沙校级期中）根据下列条件，求函数解析式：

（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x）=2x+17，求f（x）；

2

（2）已知g（x+1）=x+3x，求g（x）． 【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【专题】函数思想；函数的性质及应用． 【分析】（1）设f（x）=ax+b，由于3f（x+1）﹣2f（x）=2x+17，可得3a（x+1）+3b﹣2（ax+b）=2x+17，化简即可得出；

22

（2）g（x+1）=x+3x=（x+1）+（x+1）﹣1，即可得出． 【解答】解：（1）设f（x）=ax+b，∵满足3f（x+1）﹣2f（x）=2x+17， ∴3a（x+1）+3b﹣2（ax+b）=2x+17，化为ax+（3a+b）=2x+17， ∴a=2，3a+b=17，b=11， ∴f（x）=2x+11．

22

（2）g（x+1）=x+3x=（x+1）+（x+1）﹣1，

2

∴g（x）=x+x﹣1．

【点评】本题考查了一次函数的解析式、配方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．（12分）（2015秋?长沙校级期中）已知函数f（x）=x﹣4|x|+3． （1）试证明函数f（x）是偶函数； （2）画出f（x）的图象；（要求先用铅笔画出草图，再用中性笔描摹） （3）请根据图象指出函数f（x）的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）

2

（4）当实数k取不同的值时，讨论关于x的方程x﹣4|x|+3=k的实根的个数． 【考点】函数图象的作法；函数奇偶性的判断；根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）根据函数的定义域为R，关于原点对称，且满足f（﹣x）=f（x），可得函数 f（x）是偶函数．

（2）先去绝对值，然后根据二次函数、分段函数图象的画法画出函数f（x）的图象． （3）通过图象即可求得f（x）的单调递增和递减区间；

（4）通过图象即可得到k的取值和对应的原方程实根的个数．

2

【解答】解：（1）由于函数f（x）=x﹣4|x|+3的定义域为R，关于原点对称，

22

且满足f（﹣x）=（﹣x）﹣4|﹣x|+3=x﹣4|x|+3=f（x）， 故函数 f（x）是偶函数． （2）f（x）的图象如图所示：

（3）根据图象指出函数f（x）的单调递增区间为[﹣1，0]、[2，+∞）； 单调递减区间为（﹣∞，﹣1]、[0，1]．

2

（4）当实数k取不同的值时，讨论关于x的方程x﹣4|x|+3=k的实根的个数 由图象可看出，当k＜﹣1时，方程实根的个数为0； 当k=﹣1时，方程实根的个数为2；

2

当﹣1＜k＜3时，方程实根个数为4； 当k=3时，方程实根个数为3； 当k＞3时，方程实根个数为2．

【点评】本题主要考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值，二次函数、分段函数图象的画法，函数单调性的定义，以及根据图象写出函数的单调区间，数形结合讨论方程实根个数的方法，属于中档题．

19．（12分）（2015秋?长沙校级期中）．已知幂函数

关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数， （1）求函数f（x）的解析式；

0.70.6

（2）若a＞k，比较（lna）与（lna）的大小．

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；有理数指数幂的化简求值． 【专题】函数的性质及应用．

的图象

【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过k∈N，求出k的值，写出函数的解析式．

x

（2）利用指数函数y=（lna）的性质，把不等式大小比较问题转化为同底的幂比较大小，即可得出答案．

【解答】解：（1）幂函数

所以，k﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3， 因为k∈N，所以k=1，2；且幂函数函数， ∴k=1，

函数的解析式为：f（x）=x． （2）由（1）知，a＞1．

0.70.6

①当1＜a＜e时，0＜lna＜1，（lna）＜（lna）；

0.70.6

②当a=e时，lna=1，（lna）=（lna）；

0.70.6

③当a＞e时，lna＞1，（lna）＞（lna）．

【点评】本题是中档题，考查幂函数的基本性质，考查不等式的大小比较，注意转化思想的应用．

﹣4

*

的图象关于y轴对称，

2

*

在区间（0，+∞）为减

20．（13分）（2015秋?长沙校级期中）若f（x）=x﹣x+b，且f（log2a）=b，log2f（a）=2（a＞0且a≠1）．

（1）求a，b的值和f（x）的解析式

（2）求f（log2x）的最小值及相应x的值．

【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法． 【专题】函数的性质及应用．

2

【分析】（1）利用f（x）=x﹣x+b，且f（log2a）=b，log2f（a）=2，列出方程求a，b的值和f（x）的解析式

（2）化简函数为二次函数，通过二次函数的最值求f（log2x）的最小值及相应x的值．

22

【解答】解：（1）∵f（x）=x﹣x+b，∴f（log2a）=（log2a）﹣log2a+b=b， ∴log2a=1，∴a=2．

2

又∵log2f（a）=2，∴f（a）=4．∴a﹣a+b=4，∴b=2．

2

∴f（x）=x﹣x+2．…（4分）

（2）f（log2x）=（log2x）﹣log2x+2=（log2x﹣）+． ∴当log2x=，即x=

时，f（log2x）有最小值．…（8分）

2

2

2

【点评】本题考查函数的解析式的求法，二次函数的综合应用，考查计算能力．

21．（18分）（2010秋?温州校级期末）设a是实数，

．

（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；

（2）试证明：对于任意a，f（x）在R上为单调函数；

xxx

（3）若函数f（x）为奇函数，且不等式f（k?3）+f（3﹣9﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质． 【专题】数形结合；分类讨论；转化思想． 【分析】（1）函数f（x）为奇函数，故可得f（x）+f（﹣x）=0，由此方程求a的值；

（2）证明于任意a，f（x）在R上为单调函数，由定义法证明即可，设x1，x2∈R，x1＜x2，研究f（x1）﹣f（x2）的符号，根据单调性的定义判断出结果．

xxx

（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，由此可以将不等式f（k?3）+f（3﹣9﹣2）

xxx2xx

＜0对任意x∈R恒成立，转化为k?3＜﹣3+9+2即3﹣（1+k）3+2＞对任意x∈R恒成立，再通过换元进一步转化为二次不等式恒成立的问题即可解出此时的恒成立的条件．

【解答】解：（1）∵，且f（x）+f（﹣x）=0

∴，∴a=1（注：通过f（0）=0求也同样给分）

（2）证明：设x1，x2∈R，x1＜x2，则

==

∵x1＜x2，∴

∴f（x1）﹣f（x2）＜0即∴f（x1）＜f（x2） 所以f（x）在R上为增函数．

（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，

xxx

由f（k?3）+f（3﹣9﹣2）＜0得

xxxxx

f（k?3）＜﹣f（3﹣9﹣2）=f（﹣3+9+2）

xxx2xx

∴k?3＜﹣3+9+2即3﹣（1+k）3+2＞对任意x∈R恒成立， 令t=3＞0，问题等价于t﹣（1+k）t+2＞0，其对称轴当

即k＜﹣1时，f（0）=2＞0，符合题意，

x

2

当即对任意t＞0，f（t）＞0恒成立，等价于解得﹣1≤k＜﹣

1+2

xxx

综上所述，当k＜﹣1+2时，不等式f（k?3）+f（3﹣9﹣2）＜0对任意x∈R恒成立． 【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性的定义以及函数单调性的定义，还有它们的判断证明过程，第三小问函数的单调性与奇偶性相结合的一个典型题，综合性强，变形灵活，由于其解题规律相对固定，故学习时掌握好它的解题脉络即可心轻松解决此类题，题后注意总结一下解题的过程以及其中蕴含的固定规律．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jxk3.html