递推式求数列通项公式常见类型及解法

递推式求数列通项公式常见类型及解法

甘肃武威第六中学 李立德

对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化

成等差数列或等比数列，也可以通过构造把问题转化。下面分类说明。 一、

型

例1. 在数列{an}中，已知，求通项公式。

解：已知递推式化为，即，

所以。

将以上个式子相加，得

，

所以二、

型

。

例2. 求数列的通项公式。

解：当，

即

当三、例3. 在数列解法1：设于是，得比数列。 所以有

。 型 中，

，所以。

，求

，对比

。

，得

。

，以3为公比的等

解法2：又已知递推式，得上述两式相减，得

为首项，以3为公比的等比数列。 所以四、

型

，因此，数列

是以

，所以。

例4. 设数列解：设

，则

，

，求通项公式。

，

所以，

即。

设这时，所以。

由于{bn}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。

由此得：。

说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。 五、

型

例5. 已知b≠0，b≠±1，

写出用n和b表示an的通项公式。

，

解：将已知递推式两边乘以设

，得，又

，仿类型三，可解得

。

，于是，原递推式化为，故

说明：对于递推式入辅助数列六、

型

，可两边除以，得，引

，然后可归结为类型三。

例6. 已知数列，求。

解：在两边减去。

所以为首项，以。

所以令上式

，再把这

个等式累加，得

。所以

说明：

可以变形为，则可从

。

，就是

，解得

，于是

是公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。

等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。

转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

附：构建新数列巧解递推数列竞赛题

递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中，怎样构造新数列是答题关键。 1 求通项

求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。

例1、数列?an?中，a1?1，an?1?11?4an?1?24an。求an。 16??（1981年第22届IMO预选题）

分析 本题的难点是已知递推关系式中的1?24an较难处理，可构建新数列?bn?，令bn?1?24an，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。

解：构建新数列?bn?，使bn?1?24an?0

2bn?1则 b1?5，b?1?24an ，即an?

242n22?bnbn?11?22?1?1?? 化简得 ??????1?4??b2b?b?3nn?1n??2416?24?? 2bn?1?bn?3，即 bn?1?3?1?bn?3?

21数列 ?bn?3? 是以2为首项，为公比的等比数列。

2?1?bn?3?2????2?n?1?22?n 即 bn?22?n?3

2bn?122n?1?3?2n?1?1? an?? 2n?1243?22 证明不等式

这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。

例2、设a0?1，an?21?an?1?1an?1 ?n?N?，求证：an??2n?2。

（1990年匈牙利数学奥林匹克试题）

2分析 利用待证的不等式中含有?及递推关系式中含有1?an?1这两个信

息，考虑进行三角代换，构建新数列??n?，使an?tg?n，化简递推关系式。

???证明：易知an?0，构建新数列??n?，使an?tg?n，?n??0,?

?2?则 an?1?tg2?n?1?1tg?n?1?1?cos?n?1??tgn?1

sin?n?122?1?tg? tg?n?tg?n?1，?n??n?1又 a0?1，a1?22?8 ，从而 ?1??8

因此，新数列??n?是以

?1为首项，为公比的等比数列。

28?1??n????2?n?1??8??2n?2

???考虑到当x?(0,)时，有 tgx?x。所以，an?tgn?2?n?2

2222注：对型如 1?an，1?an，

an?1?an都可采用三角代换。

1?anan?13 证明是整数

这类题把递推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据题目中的信息，构建新数列，找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化，结合数论知识解决。

例3、设数列?an?满足a1?1，an?1?求证：

2a?22n11 (n?N) an?2an?N ?n?N,n?1?。

2a?22n分析 直接令bn?，转化为证明bn?N (n?N,n?1)

证明：构建新数列?bn?，令bn?442，?2a??2 n?122bnbn?12a?22n?0

2则 an?2代入 an?1?11?222???a? 整理得 b?b4?2bnn?1nn?2?an??2??222从而 bn?bn4?2b?1n?1 (n?3)

22222????b4?2b4?2b?2bb于是 bn?1nn?1n?1nn?1?1? (n?3)

2??????? bn?1?2bn?bn2?1?1? (n?3)

由已知，b2?4，b3?24，由上式可知，b4?N，b5?N，依次类推，bn?N

(n?1)，即

2a?22n?N。

例4、设r为正整数，定义数列?an?如下： a1?1，an?1(n?N) 求证：an?N。

nan?2(n?1)2r?

n?2（1992年中国台北数学奥林匹克试题）

分析 把条件变形为?n?2?an?1?nan?2?n?1?比较an?1与 an前的系数及

2r2ran?1与 an的足码，考虑到另一项为2?n?1?，等式两边同乘以?n?1?，容易想到

构新数列?bn?，使bn?n?n?1?an。

证明：由已知得?n?2?an?1?nan?2?n?1?

2r? ?n?1??n?2?an?1?n?n?1?an?2?n?1?2r?1构建新数列?bn?，bn?n?n?1?an

则b1?2，bn?1?bn?2?n?1?2r?1?bn?b1???bk?1?bk?

k?1n?1?21?22r?1?32r?1???n2r?1???

bn?N

? bn?2n ?2n2r?1??k2r?1?(n?k)2r?1

k?1n?1n?1??2r?112r22r?122r2r ??n2r?1?C2nk?Cnk???Cn?kr?12r?12r?1k?1??? nbn

n2r?1又 bn??kk?1??(n?1?k)k?12rn2r?1??k2r?1??n?1?k?k?12r?1n?2r?1?

????n?1?k?1n?2r?112?C2?k?C2r?1?n?1?r?1?n?1?2r2r k2???C2r?1?n?1?k? ?n?1? | bn

? n?n?1? | bn，从而 an?N。

4 解决整除问题

一般通过构建新数列求出通项，再结合数论知识解决，也可用数学归纳法直接证明。

例5、设数列?an?满足a1?1，a2?3，对一切n?N，有

an?2??n?3?an?1??n?2?an，求所有被11整除的an的一切n值。

（1990年巴尔干地区数学奥林匹克试题）

分析 变形递推关系式为an?2?an?1??n?2??an?1?an?，就容易想到怎样构建新数列了。

解：由已知an?2?an?1??n?2??an?1?an? 构建新数列?bn??n?2?, bn?1?an?1?an ?n?1? 则b2?2，bn?1??n?1??an?an?1???n?1?bn ?n?2?

? bn?nbn?1?n?n?1?bn?2???n?n?1??3b2?n! ?n?2? ? an?a1???an?an?1??1??bk??k!

k?2k?2k?1nnn从而a4?11?3，a8?11?4203，a10?11?367083，当n?11时，由于?k!被

k?11011整除，因而an??k!??k!也被11整除。

k?1k?1110n所以，所求n值为n?4，8，及n?10的一切自然数。 5 证明是完全平方数

这类题初看似乎难以入手，但如能通过构建新数列求出通项an，问题也就迎刃而解了。

例6、设数列?an?和?bn?满足a0?1，b0?0，且

?an?1?7an?6bn?3①

?b?8a?7b?4② nn?n?1?n?0,1,2,??

求证：an是完全平方数。

（2000年全国高中联赛加试题）

分析 先用代入法消去bn和bn?1，得an?2?14an?1?an?6?0，如果等式中没有常数项6，就可以利用特征根方法求通项，因此可令Cn?an?a，易求得

1a??。

2证明：由①式得bn，bn?1 代入②得

an?2?14an?1?an?6?0

1?1??1???化为?an?2???14?an?1????an???0

2?2??2???构建新数列?cn?，cn?an?11，且c0?， 22117c1?a1???7a0?6b0?3???

222cn?2?14?cn?1??cn?0

由特征方程 ?2?14??1?0 得两根

?1?7?43，?2?7?43

n所以 cn?m1?1?m2?n2

1?m?m?2??12当n?0，1时，有?

1?m7?43?m7?43?12?2?????解得：m1?m2?则 cn?1 4nn117?43?7?43 442n2n11 ?2?3?2?3

44????????nn211?则an?cn???2?3?2?3? ??24?????因为2?3?2?3 为正偶数，所以，an是完全平方数。

从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合理变形，是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在。

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