步步高高中数学 步步高选修2-1 第二章 2.2.2(二)

1 2．2.

2 椭圆的简单几何性质(二) 学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识．

知识点一 点与椭圆的位置关系

思考 点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)有几种位置关系？ 答案 点P 与椭圆有三种位置关系：在椭圆外、在椭圆内、在椭圆上．

梳理 设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示：

知识点二 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？

答案 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．

思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的位置关系？ 答案 联立?????

y ＝kx ＋m ，x 2a

2＋y 2b 2＝1，

消去y 得关于x 的一元二次方程 梳理 (1)将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离．

(2)根与系数的关系及弦长公式：

2 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，将y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 代入上式，得AB ＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2＝(x 1－x 2)2＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，所以AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1·x 2均可由根与系数的关系得到．

(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.

例如，直线l ：y ＝k (x －2)＋1和椭圆x 216＋y 29

＝1.无论k 取何值，直线l 恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交

.

类型一 直线与椭圆的位置关系

例1 (1)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23

＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定

答案 A

解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．

(2)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22

＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．

解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22

＋(kx ＋2)2＝1.整理得????12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4????12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22

. 即k 的取值范围为?

???－∞，－22∪????22，＋∞. 反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)

联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程

(1)Δ>0?直线与椭圆相交?有两个公共点．

(2)Δ＝0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点．

(3)Δ<0?直线与椭圆相离?无公共点．

跟踪训练1 (1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 2

36

＝1，则直线l 与椭圆C 的公共

3 点的个数为( )

A ．1

B ．1或2

C ．2

D ．0

(2)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22

＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33

答案 (1)C (2)C

解析 (1)因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)2

36

<1， 所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点．

(2)把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2

2

＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0， ∴k 2＝23，∴k ＝±63

. 类型二 直线与椭圆的相交弦问题

例2 已知椭圆x 236＋y 2

9

＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点． (1)当直线l 的斜率为12

时，求线段AB 的长度； (2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．

解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)， 即y ＝12x .由??? y ＝12x ，x 236＋y 2

9

＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，

x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2

＝ (x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2 ＝

52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝52

×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.

(2)方法一 设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．

联立?????

y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0.

4 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2

， 由于AB 的中点恰好为P (4,2)，

所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2

＝4， 解得k ＝－12

，且满足Δ>0. 这时直线的方程为y －2＝－12

(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.

方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有??? x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219

＝0， 整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1)，

由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，

于是k AB ＝－9×836×4

＝－12， 于是直线AB 的方程为y －2＝－12

(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.

反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．

跟踪训练2 如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为

22

.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .

(1)求椭圆C 的方程；

(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解 (1)由题意得????? a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，

解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

2

＝1.

5 (2)由?????

y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，

得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，

则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，

x 1＋x 2＝4k 2

1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2

， 所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2

又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2

， 由|k |4＋6k 21＋2k

2＝103，解得k ＝±1. 类型三 椭圆中的最值(或范围)问题

例3 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .

(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；

(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．

解 (1)由?????

4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－

52≤m ≤52

. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，

由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，

所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15

(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2

＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]

＝ 2????4m 225－45(m 2－1)＝25 10－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .

反思与感悟 求最值问题的基本策略

(1)求解形如|P A |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共

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