(典型题)2014高考数学二轮复习 知识点总结 概 率

2014高考新课标通用卷数学二轮复习之全部必考点总结与解析3

概 率

（答案及解析仅限于环球培优教育学员可见）

【高考考情解读】 1.古典概型和几何概型的基本应用是高考的重点，选择题或填空题主要以考查几何概型、古典概型为主，试题难度较小，易于得分.2.解答题型中的古典概型问题常常与概率的基本运算性质，如互斥事件的概率加法公式、对立事件的减法公式等综合考查，试题难度不大，易于得满分.3.近几年高考题对概率问题的命制愈加地倾向与统计问题综合考查，涉及的统计问题有抽样、样本估计总体、回归分析和独立性检验，试题难度中等，考查知识点的同时也侧重考查逻辑思维能力、知识的综合应用能力和理解、分析问题的能力． 1． 概率的五个基本性质

(1)随机事件A的概率：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率为1. (3)不可能事件的概率为0.

(4)如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)． 2． 两种常见的概型

(1)古典概型

①特点：有限性，等可能性．

事件A中所含的基本事件数

②概率公式：P(A)＝试验的基本事件总数(2)几何概型

①特点：无限性，等可能性． ②概率公式：

P(A)＝

构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积考点一 古典概型

例1 (2013·山东)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米

2

)如下表所示：

(1)

(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率． 求古典概型概率的步骤

(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意； (2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；

(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m； (4)计算事件A的概率P(A)＝(1)(2012·安徽)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从球中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 ( ) 1

A. 5

23

B. C. 55

4

D.5

mn

(2)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ( ) 11

A. 36

B.

51 186

4

D.9

(3)盒中有6个小球，其中3个白球，记为a1，a2，a3,2个红球，记为b1，b2,1个黑球，记为c1，除了颜色和编号外，球没有任何区别． ①求从盒中取一球是红球的概率；

②从盒中取一球，记下颜色后放回，再取一球，记下颜色，若取白球得1分，取红球得2分，取黑球得3分，求两次取球得分之和为5分的概率． 考点二 几何概型

例2 (2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都

在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) 1

A. 4

当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

(1)在区间[0,2]上任取两个实数a，b，则函数f(x)＝x＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率是 ( ) 1

A. 8

13

B. C. 44

7

D.8

3

1

B. 2

3

C. 4

7D.8

(2)(2012·湖北)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，

OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影

部分的概率是 (

)

2

A．1－

π

112

B. 2ππ

D.

1

π

考点三 互斥事件与对立事件

例3 某项活动的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通

13

晓两种外语)．已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为，通晓中文和日语的概率为.若通晓中

210文和韩语的人数不超过3人． (1)求这组志愿者的人数；

(2)现在从这组志愿者中选出通晓英语的志愿者1名，通晓韩语的志愿者1名，若甲通晓英语，乙通晓韩语，求甲和乙不全被选中的概率．

求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率．

(2013·江西)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、

A3、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X>0

就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．

(1)写出数量积X的所有可能取值；

(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．

1． 互斥事件与对立事件的关系

(1)对立一定互斥，互斥未必对立；

(2)可将所求事件化为互斥事件A、B的和，再利用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)来求，也可通过对立事件公式P(A)＝1－P(A)来求P(A)． 2．古典概型与几何概型

1． 电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字构成，则一天中

任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 ( ) A.1

180

B.1

288

C.1

360

D.1480

2． 袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数．现从

中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．

3． (2012·天津)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6

所学校对学生进行视力调查．

(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．

(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．

(推荐时间：60分钟)

一、选择题

1． (2013·课标全国Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 ( )

1111

A. B. C. D.2346

2． (2013·安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则

甲或乙被录用的概率为 2

A. 3

( )

9D.10

23B.55

0≤x≤2，

3． (2012·北京)设不等式组

0≤y≤2

表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标

原点的距离大于2的概率是 π

A. 4

B.

( )

D.4－π

4

π－2π

26

4． 第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间有来自A大学2名和B大学4名的大学

生志愿者，从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，则至少有一名A大学志愿者的概率是

( )

23B.55

14

D.15

1

A. 15

5． 一个袋中有3个黑球，2个白球共5个大小相同的球，每次摸出一球，放进袋里再摸第二次，则两次摸出

的球都是白球的概率为 2

A. 5

( )

D.4 25

42

B. 525

2b

6若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x＝2a－有不等实数根的概率( )

x

1

A. 4二、填空题

13B.242

D.5

7． 点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为

________．

8． (2013·江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数

的概率为________．

9． 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为

x

x，y________．

y

10．已知区域Ω＝{(x，y)|x＋y≤10，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x－y≥0，x≤5，y≥0}，若向区域Ω上随

机投1个点，则这个点落入区域A的概率P(A)＝________. 三、解答题

11．某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所

示，现从中随机抽取一名队员，求： (1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．

12．在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题，其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题，C

为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答． (1)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率； (2)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．

13．现有8名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2，B3物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优

秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛． (1)求C1被选中的概率；

(2)求A1和B1不全被选中的概率．

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