2016年湖南省长沙市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

2016年湖南省长沙市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题 1．已知复数z=

，则对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若集合，B={1，m}，若A?B，则m的值为（ ） A．2

B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或

3．双曲线=1的焦点到渐近线的距离为（ ） A．

B．

C．1

D．

4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（ A．9 B．10 C．8 D．6

5．某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

6．函数f（x）=log2，等比数列{an}中，a2?a5?a8=8，f（a1）+f（a2）+…+f（a9）=（ A．﹣9 B．﹣8 C．﹣7 D．﹣10 7．若sin（+α）=，则cos（﹣2α）=（ ）

A．

B．

C．

D．﹣

8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，则∫

f（x）dx的值为（ ）第1页（共21页）

） ）

A．2﹣9．设

B． C．2 D．1

的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展

开式中x的系数为（ ） A．﹣150 B．150 C．300 D．﹣300

10．如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ）

A． B． C． D．2

与向量

的

11．已知向量，是夹角为60°的单位向量．当实数λ≤﹣1时，向量

夹角范围是（ ）

A．[0°，60°） B．[60°，120°） C．[120°，180°） D．[60°，180°）

12．如图所示，直线y=m与抛物线y2=8x交与点A，与圆（x﹣2）2+y2=16的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是（ ）

A．（6，8） B．（4，6） C．（8，12） D．（8，10）

二、填空题

13．设等差数列{an}的前n的和为Sn，若S9=72，则a2+a4+a9= ．

14．抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，则使得直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过

的概率为 ．

第2页（共21页）

15．在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为 cm． 16．已知R上的奇函数f（x），f（x+2）=f（x），x∈[0，1]时f（x）=1﹣|2x﹣1|，定义：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn﹣1（x）），n≥2，n∈N，则f3（x）=

在[﹣1，3]内所有不等实根的和为 ．

三、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求

的最大值．

．

18．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面

值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：①该福利彩票中奖率为50%；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．

（1）假设某顾客一次性花15元购买三张彩票，求其至少有两张彩票中奖的概率； （2）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．

19．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB=4，BE=1．

（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；

（2）当三棱锥C﹣ADE的体积最大时，求直线CE与平面ADE所成角的正弦值．

20．已知F1（﹣，0），F2（

，0），点M是圆x2+y2=4上的动点，动点G满足

=，

过点M作直线l⊥F2G并交直线F1G于点N．

（1）求点N的轨迹方程E；

（2）设P是（1）中轨迹E上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A，关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴相交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA，PB是否相互垂直？并证明你的结论．

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21．已知不等式ex≥1+ax对一切x∈R恒成立，求a的值．

[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，∠BAC的平分线与BC和△ABC的外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D，E，C三点的圆于点F． （1）求证：EC=EF；

（2）若ED=2，EF=3，求AC?AF的值．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．已知曲线C1的参数方程为，曲线C2的极坐标方程为ρ=2

cos（θ﹣

），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C2的直角坐标方程；

（2）求曲线C2的动点M到曲线C1的距离的最大值．

[选修4-5:不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|． （1）解不等式f（x）＞1； （2）当x＞0时，函数g（x）=a的取值范围．

（a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数

第4页（共21页）

2016年湖南省长沙市高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题 1．已知复数z=

，则对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】化简已知复数，可得其共轭复数，由复数的几何意义可得． 【解答】解：化简可得z===

=﹣2+i，

∴=﹣2﹣i，

对应的点为（﹣2，﹣1），在第三象限， 故选：C 2．若集合A．2

B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或

【考点】集合关系中的参数取值问题． 【分析】由已知中集合

，B={1，m}，若A?B，则m的值为（ ）

，解根式方程可得A={2}，结合B={1，

m}，及A?B，结合集合包含关系的定义，可得m的值． 【解答】解：∵集合又∵B={1，m} 若A?B 则m=2 故选A 3．双曲线A．

B．

=1的焦点到渐近线的距离为（ ） C．1

D．

={2}

【考点】双曲线的简单性质． b2=1，【分析】由a2=m，利用用点到直线的距离公式即可得出．

第5页（共21页）

可得右焦点F．取渐近线y=x．利

【解答】解：∵a2=m，b2=1，∴取渐近线y=∴右焦点F故选：C．

x，即x﹣

y=0．

=．可得右焦点F．

到渐近线的距离d==1．

4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（ ）

A．9 B．10 C．8 D．6

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．

【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分）， 由z=2x+3y+1，得y=平移直线y=y=

，

，由图象可知当直线y=

的截距最大，此时z最大．

经过点A时，直线

由，得，即A（3，1），

此时z的最大值为z=2×3+3×1+1=10， 故选：B．

5．某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（ ）

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A．4

C．6 D．7

【考点】循环结构．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S，k值并输出k，模拟程序的运行过程，即可得到答案． 【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S k 是否继续循环 循环前 100 0/

第一圈100﹣20 1 是 第二圈100﹣20﹣21 2 是 …

第六圈100﹣20﹣21﹣22﹣23﹣24﹣25＜0 6 是 则输出的结果为7． 故选C．

6．函数f（x）=log2，等比数列{an}中，a2?a5?a8=8，f（a1）+f（a2）+…+f（a9）=（ ） A．﹣9 B．﹣8 C．﹣7 D．﹣10 【考点】等比数列的性质．

【分析】根据等比数列的性质求出a5=2，然后根据对数的运算法则进行化简计算即可得到结论．

【解答】解：等比数列{an}中，a2?a5?a8=8， ∴（a5）3=8，即a5=2，

∵函数f（x）=log2=log2x﹣2，

∴f（a1）+f（a2）+…+f（a9）=（log2a1+…+log2a9）﹣2×9 =log2（a1?…?a9）﹣2×9=9﹣18=﹣9， 故选：A． 7．若sin（

+α）=，则cos（

﹣2α）=（ ）

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B．5

A． B． C． D．﹣

【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数． 【分析】由已知利用诱导公式可求cos（算得解．

【解答】解：∵sin（∴cos（故选：C．

8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，则∫

f（x）dx的值为（ ）

+α）=cos[

﹣（

+α）]=cos（

﹣α）=， ．

﹣α）=，利用二倍角的余弦函数公式即可计

﹣2α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×（）2﹣1=﹣

A．2﹣ B． C．2 D．1

【考点】定积分；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】由图象可得：A=1，T==

×4=

，解得ω，由

=1，可取φ，再利用微积分基本定理即可得出．

×4=

，解得ω=， =1，可取φ=﹣

．

【解答】解：由图象可得：A=1，T=∴f（x）=sin（x+φ），由∴f（x）=

．

=

∴故选：D． 9．设

=2=1．

的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展

开式中x的系数为（ ） A．﹣150 B．150 C．300 D．﹣300

第8页（共21页）

【考点】二项式定理的应用．

【分析】由题意可得4n﹣2n=240，求得n值，确定通项，令x的指数为1，即可求得结论．

【解答】解：由题意可得 4n﹣2n=240，∴n=4． 通项Tr+1=C4r （5x）4﹣r （﹣令4﹣r=1，可得r=2

∴展开式中x的系数为（﹣1）2 C42 52=150 故选B．

10．如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ）

）r=（﹣1）r C4r 54﹣r

，

A． B． C． D．2

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱锥C1﹣BDE，其中E是CD中点，由此能求出该四面体的体积．

【解答】解：由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱锥C1﹣BDE， 其中E是CD中点， △BDE面积∴该四面体的体积： V=

=．

，三棱锥C1﹣BDE的高h=CC1=2，

故选：A．

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11．已知向量，是夹角为60°的单位向量．当实数λ≤﹣1时，向量与向量的

夹角范围是（ ）

A．[0°，60°） B．[60°，120°） C．[120°，180°） D．[60°，180°） 【考点】数量积表示两个向量的夹角．

【分析】根据向量的几何意义，画出图形，结合图形得出向量围是什么． 【解答】解：∵向量

，

是夹角为60°的单位向量，

与向量

的夹角范

∴画出图形，如图所示；

设=， =，∠AOB=60°， 当λ=﹣1时， +λ=+=， 此时与+λ的夹角为∠AOD=60°； 当λ＜﹣1时， +λ=+=， 此时与+λ的夹角为∠AOF， 且∠AOD＜∠AOF＜∠AOE； 综上，向量

与向量

的夹角范围是[60°，120°）．

故选：B．

12．如图所示，直线y=m与抛物线y2=8x交与点A，与圆（x﹣2）2+y2=16的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是（ ）

A．（6，8） B．（4，6） C．（8，12） D．（8，10） 【考点】抛物线的简单性质．

【分析】由抛物线定义可得|AF|=xA+2，由已知条件推导出△FAB的周长=6+xB，由此能求出三角形ABF的周长的取值范围．

【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F（2，0）， 由抛物线定义可得|AF|=xA+2，

第10页（共21页）

∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+（xB﹣xA）+4=6+xB， 由抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16， 得交点的横坐标为2， ∴xB∈（2，6） ∴6+xB∈（8，12）

∴三角形ABF的周长的取值范围是（8，12）． 故选：C．

二、填空题

13．设等差数列{an}的前n的和为Sn，若S9=72，则a2+a4+a9= 24 ． 【考点】等差数列的性质．

【分析】先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案． 【解答】解：∵

∴a5=8

又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24 故答案是24

14．抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，则使得直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过

的概率为

．

【考点】直线与圆相交的性质；概率的基本性质．

【分析】根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，所有的点数所形成的数组（a，b）有36种情况．若直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过

，则圆心到直线的距离不

超过，利用点到直线的距离公式建立不等式，列举出满足条件的（a，b），再利用古典概型公式加以计算，即可得到所求的概率

【解答】解：解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组（a，b）有（1，1）、（1，2）、 （1，3）、…、（6，6），共36种， 其中满足直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过小于，

≥，即1＜a2+b2≤9的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）四种，

，则圆心到直线的距离不

即1＞

第11页（共21页）

故直线bx+ay=1与圆x2+y2=1相交且所得弦长不超过故答案为：．

的概率P==，

15．在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为 6 cm．

【考点】点、线、面间的距离计算．

【分析】设A、B、C三点所在圆的半径为r，圆心为O，从而可解得r=8；从而求答案． 【解答】解：设A、B、C三点所在圆的半径为r，圆心为O， 则∵∠ACB=60°， ∴∠AOB=120°；

则在等腰三角形ABO中， AO=

=8；

即r=8；

故球心O到平面ABC的距离为

=6（cm）；

故答案为：6．

16．已知R上的奇函数f（x），f（x+2）=f（x），x∈[0，1]时f（x）=1﹣|2x﹣1|，定义：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn﹣1（x）），n≥2，n∈N，则f3（x）=

在[﹣1，3]内所有不等实根的和为 14 ．

【考点】分段函数的应用．

【分析】逐次作出f1（x），f2（x），f3（x）的函数图象，观察f3（x）与函数y=象交点的横坐标，作图求解即可．

【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x），f（x+2）=f（x）， ∴f（x）是周期为2的奇函数．

∵x∈[0，1]时，f（x）=1﹣|2x﹣1|． ∴函数f1（x）的图象如下图所示：

图

∵f2（x）=f（f1（x）），

第12页（共21页）

∴函数f2（x）的图象如下图所示：

∵f3（x）=f（f2（x））， ∴作函数f3（x）与函数y=

图象如下图所示：

由图可知两函数图象共有14个交点，且两两关于（1，0）点对称， 故f3（x）=

在[﹣1，3]内所有不等实根的和为14．

故答案为14．

三、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求

的最大值．

．

【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数． 【分析】（Ⅰ）化简已知条件可得sin（A+而求得 C的值．

（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得【解答】解：（Ⅰ）sinA+

=2sin（A+

），由此可得

的最大值．

）=sinB．…

）=sinB，再由大边对大角可得A+B=

，从

cosA=2sinB，即 2sin（A+）=2sinB，则 sin（A+

因为0＜A，B＜π，又a≥b，进而A≥B，

第13页（共21页）

所以A+=π﹣B，故A+B=，故 C==

．… =

[sinA+sin（A+

）]

（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得=

sinA+cosA=2sin（A+

时，

）．…

故当A=取最大值2．…

18．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：①该福利彩票中奖率为50%；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．

（1）假设某顾客一次性花15元购买三张彩票，求其至少有两张彩票中奖的概率； （2）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围． 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【分析】（1）利用概率求解公式，可求其至少有两张彩票中奖的概率；

（2）确定福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金的取值，求出相应的概率，可得其分布列与期望，利用期望大于0，即可求得结论．

【解答】解：（1）设至少有两张彩票中奖事件A，则P（A）=C32（0.5）3+C33（0.5）3=，（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，﹣45，﹣145，

故ξ的分布列为 ξ 5 0 ﹣45 ﹣145 50%﹣2%﹣p 2% P 50% p 所以ξ的期望为Eξ=5×50%+0×（50%﹣2%﹣p）+（﹣45）×2%+（﹣145）×p=2.5﹣90%﹣145p

所以当1.6﹣145p＞0时，即P＜所以当0＜P＜

时，福彩中心可以获取资金资助福利事业．

19．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB=4，BE=1．

（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；

（2）当三棱锥C﹣ADE的体积最大时，求直线CE与平面ADE所成角的正弦值．

第14页（共21页）

【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）由矩形性质得出DE⊥CD，DE∥BC，由圆的性质得出BC⊥AC，故而DE⊥AC，于是DE⊥平面ACD，从而得出平面ADE⊥平面ACD； （2）设AC=x，求出棱锥C﹣ADE的体积，利用基本不等式得出当x=2时棱锥体积最大，以C为原点建立坐标系，求出

和平面ADE的法向量，则|cos＜

＞|即为所求．

【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径， ∴AC⊥AB，

∵四边形DCBE是矩形，∴CD⊥DE，DE∥BC． ∴AC⊥DE．

又AC?平面ACD，CD?平面ACD，AC∩CD=C， ∴DE⊥平面ACD．∵DE?平面ADE， ∴平面ADE⊥平面ACD． （2）解：设AC=x，则BC=

，

∴VC﹣ADE=VE﹣ACD=

==

=≤=．

当且仅当x2=16﹣x2即x=2时，VC﹣ADE取得最大值．

以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则A（2，0，0），C（0，0，0），D（0，0，1），E（0，2，1）． ∴=（0，2，1），=（﹣2，0，1），=（0，2，0）． 设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则令x=

得=（

＞=

，0，4），

=

=

．

，∴

．

∴cos＜，

∴直线CE与平面ADE所成角的正弦值为．

第15页（共21页）

20．已知F1（﹣

，0），F2（

，0），点M是圆x2+y2=4上的动点，动点G满足

=

，

过点M作直线l⊥F2G并交直线F1G于点N．

（1）求点N的轨迹方程E；

（2）设P是（1）中轨迹E上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A，关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴相交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA，PB是否相互垂直？并证明你的结论．

【考点】轨迹方程． 【分析】（1）连接NF2，则|NF2|=|NG|，利用椭圆的定义，即可求椭圆E的方程； （2）PA⊥PB，设P（x0，y0），将直线AD的方程y=

（x+x0）﹣y0代入椭圆的方程，

并整理，求出B的坐标，证明kPA?kPB=﹣1，即可得到结论． 【解答】解：（1）连接NF2，则|NF2|=|NG|， ∴|NF1|+|NF2|=|F1G|．

连接OM，则|F1G|=2|OM|=4， ∴|NF1|+|NF2|=4＞|F1F2|，

∴点N的轨迹是以F1（﹣，0），F2（，0）为焦点的椭圆，且2a=4，2c=2∴a=2，c=， ∴b=1，

∴点N的轨迹方程E：（2）PA⊥PB．

证明：设P（x0，y0），则A（﹣x0，﹣y0），D（x0，﹣y0）且x02+4y02=4 将直线AD的方程y=

，

=1；

（x+x0）﹣y0代入椭圆的方程，

第16页（共21页）

并整理得（4x02+y02）x﹣6x0y02+9x02y02﹣16x02=0 由题意，可知此方程必有一根﹣x0， xB=

+x0，yB=

，

所以kPB=

==﹣

故有kPA?kPB=﹣1，即PA⊥PB．

21．已知不等式ex≥1+ax对一切x∈R恒成立，求a的值． 【考点】不等式的证明；函数恒成立问题．

【分析】由题意可得ex﹣1﹣ax≥0恒成立，即为0≤ex﹣1﹣ax的最小值．设f（x）=ex﹣1﹣ax，求得导数，对a讨论，求得单调区间和极值、最值，可得a﹣1﹣alna≥0，设g（a）=a﹣1﹣alna（a＞0），求出导数，可得单调区间和最大值，进而得到所求a的值． 【解答】解：不等式ex≥1+ax对一切x∈R恒成立，即为 ex﹣1﹣ax≥0恒成立，即为0≤ex﹣1﹣ax的最小值． 设f（x）=ex﹣1﹣ax，f′（x）=ex﹣a，

当a≤0时，ex＞0，可得f′（x）＞0，f（x）在R上递增，无最小值； 当a＞0时，由f′（x）＞0可得x＞lna，由f′（x）＜0可得x＜lna， 即有x=lna处，f（x）取得极小值，且为最小值a﹣1﹣alna， 则a﹣1﹣alna≥0，

设g（a）=a﹣1﹣alna（a＞0），g′（a）=1﹣（1+lna）=﹣lna， 当a＞1时，g′（a）＜0，g（a）在（1，+∞）递减； 当0＜a＜1时，g′（a）＞0，g（a）在（0，1）递增． 即有a=1处g（a）取得极大值，且为最大值0． 即a﹣1﹣alna≤0，

故a﹣1﹣alna=0，解得a=1．

[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，∠BAC的平分线与BC和△ABC的外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D，E，C三点的圆于点F． （1）求证：EC=EF；

（2）若ED=2，EF=3，求AC?AF的值．

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【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（1）运用圆内接四边形的性质，内角平分线的定义，证明∠ECF=∠EFC，即可证明EC=EF；

（2）由三角形相似的判定定理，证明△CEA∽△DEC，求出EA，利用割线定理，即可求AC?AF的值． 【解答】（1）证明：因为∠ECF=∠CAE+∠CEA=∠CAE+∠CBA， ∠EFC=∠CDA=∠BAE+∠CBA，

AE平分∠BAC，可得∠CAE=∠BAE，

可得∠ECF=∠EFC，即△ECF为等腰三角形， 所以EC=EF；

（2）解：因为∠ECD=∠BAE=∠EAC，∠CEA=∠DEC， 所以△CEA∽△DEC，即又ED=2，EF=3，

由（1）知，EC=EF=3，所以EA=，

所以AC?AF=AD?AE=（AE﹣DE）?AE=（﹣2）×=

．

=

，即EA=

，

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．已知曲线C1的参数方程为，曲线C2的极坐标方程为ρ=2

cos（θ﹣

），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C2的直角坐标方程；

（2）求曲线C2的动点M到曲线C1的距离的最大值．

【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

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【分析】（1）曲线C2的极坐标方程为ρ=2

cos（θ﹣

），展开可得：ρ2=2

（ρcosθ+ρsinθ），利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直角坐标方程．

（2）曲线C1的参数方程为

，消去参数t可得普通方程．利用点到直线的距

离公式可得圆心C2到直线C1的距离d．即可得出曲线C2的动点M到曲线C1的距离的最大值=d+r．

【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ=2展开可得：ρ2=2

cos（θ﹣

），

（ρcosθ+ρsinθ），可得直角坐标方程：x2+y2=2x+2y，

．

配方为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，可得圆心C2（1，1），半径r=（2）曲线C1的参数方程为

，消去参数t可得普通方程：x+y+2=0．

∴圆心C2到直线C1的距离d=

=．

+

．

∴曲线C2的动点M到曲线C1的距离的最大值=d+r=

[选修4-5:不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|． （1）解不等式f（x）＞1； （2）当x＞0时，函数g（x）=a的取值范围．

（a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数

【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．

【分析】（1）由条件利用绝对值的意义，求得不等式f（x）＞1的解集． =（2）根据绝对值的意义，可得函数f（x）的最大值为3，再结合题意可得g（x）

（a＞0）的最小值大于3．利用基本不等式求得g（x）的最小值，从而求得a的范围． 【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|表示数轴上的x对应点到2对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离，

而0对应点到2对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离正好等于1， 故不等式f（x）＞1的解集为{x|x＜0}．

（2）根据绝对值的意义，可得函数f（x）的最大值为3， 根据当x＞0时，函数g（x）=

（a＞0）的最小值总大于函数f（x），

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可得g（x）=（a＞0）的最小值大于3．

∵g（x）=

=ax﹣1+≥2﹣1，∴2﹣1＞3，∴a＞4．

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2016年8月29日

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