江苏省海安高级中学2018届高三1月月考

江苏省海安高级中学2018届高三1月月考（阶段检测 三）

数 学 Ⅰ卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷规定的横

线上）

1．已知集合A??1,2?，B??a,a2?3?，若A?B??2?，则实数a的值为 ▲ . 12．复数z?1?在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限.

i3．根据如图所示的伪代码，当输入a的值为4时，输出的S值为 ▲ .

Read a S?0 I?1 While I≤3 S?S＋a a?a×2 I?I＋1 End While Print S 第4题

第3题

4．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直

方图（如图）.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 ▲ .

5．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的

黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一 点，则此点取自黑色部分的概率是 ▲ .

第5题

6．若命题“存在x?R，ax2?4x?a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是

▲ .

已知函数y?cosx与y?sin(2x??)（0≤???），它们的图象有一个横坐标为7．

的交点，则?的值是 ▲ .

?32y2x8．已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为3x-4y=0，则该双曲ab线的离心率为 ▲ .

9．已知向量a?(1,3)，b?(3,1)，则a与b的夹角的大小为 ▲ . 10．已知一个圆锥母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为

▲ .

11．已知等比数列?an?的前n项和为Sn，若S3?7,S6?63，则a7?a8?a9?

▲ .

12．已知A，B是圆C：x2?y2?1上的动点，AB=2，P是直线x?y?2?0上的动点，则

uuruurPA?PB的最小值为 ▲ .

13．若a是1+2b与1-2b的等比中项，则

2ab的最大值为 ▲ . a+2b14．在?ABC中，角A，B，C的对边依次为a，b，c，若?ABC为锐角三角形，且满

足c?b?ab,则

2211??2sinC的取值范围是▲． tanBtanC二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）

如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形

DCEF为梯形，EF∥CD，FB?FD．

（1）若CD?2EF，求证：OE∥平面ADF； （2）求证：平面ACF?平面ABCD．

第15题

16．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?2sin(x??6)cosx.

（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期；

，C的对边分别为a，b，c，且c?23，f(C)?（2）设?ABC的角A，BsinB?2sinA，求边a，b的值.

（本小题满分14分） 17．

1，若2x2y2在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为3，且点2ab(2，2在椭圆C上.

2)（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴

????????的对称点为Q，设PD??PQ，直线AD与椭圆C的另一个交点为B，若PA⊥

PB，求实数λ的值.

（本小题满分16分） 18．

第17题

y P O A B x D Q

一块圆柱形木料的底面半径为12cm，高为32cm，要将这块木料加工成一只毛笔筒，在木料一端正中间掏去一个小圆柱，使小圆柱与原木料同轴，并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一，设小圆柱底面半径为r cm，高为h cm，要求笔筒底面的厚度超过2cm．

（1）求r与h的关系，并指出r的取值范围；

（2）笔筒成形后进行后续加工，要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油

漆，其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a（元/ cm2），桶内侧面喷漆费用为

2

a

（元/cm2），而桶内底面铺贴金属薄片，其费用是7a（元/ cm2）（其中a为正常数）． ①将笔筒的后续加工费用y（元）表示为r的函数；

②求出当r取何值时，能使笔筒的后续加工费用y最小，并求出y的最小值．

19．（本小题满分16分）

已知数列?an?中，首项a1?1，a2?a，an?1?k(an?an?2)对任意正整数n都成立，数列?an? 的前n项和为Sn． （1）若k?1，且S18?171，求实数a的值； 2（2）是否存在实数k，使数列?an?是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项an，

an?1，an?2按某顺序排列后成等差数列．若存在，求出所有的k的值；若不存

在，请说明理由；

（3）若k??

1，求Sn（用a，n表示）． 220．（本小题满分16分）

已知函数f(x)?alnx?1（a?0）. x（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若存在两条直线y?ax?b1，y?ax?b2（b1?b2）都是曲线y?f(x)的切线，

求实数a的取值范围；

（3）若?x|f(x)≤0??(0,1)，求实数a的取值范围.

Ⅱ卷（附加题）

?1??8??a3?21．B【矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵A??，若A?????，求矩阵A的??2??4??2d?特征值．

C【坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程

??x?1??为??y?1???2t2（为参数）

．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆Ct2t2的方程为??4cos?．

①写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

②若点P坐标为（1，1），圆C与直线l交于A，B两点，求PA?PB的值．

（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x?y?4?0，抛物22．

线C：y2?2px（p?0）．

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； （2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为(4?p,?p)； ②求p的取值范围．

O x y l C

?n2n23．（本小题满分10分）已知(2x?1)?a0?a1x?a2x???anx（n?N，n为常数）．

（1）求a0?a1?a2???an；

0122nn（2）我们知道二项式(1?x)n的展开式(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx，若等式

1232nn?1两边对x求导得n(1?x)n?1?Cn?2Cnx?3Cnx???nCnx，令x?1得123nCn?2Cn?3Cn???nCn?n?2n?1．利用此方法解答下列问题：

①求a1?2a2?3a3???nan； ②求12a1?22a2?32a3???n2an．

答案： 1.2 2.四 3.28 4.3 5.

? 86.a＞2

? 658. 4?9. 67.10.3? 3 11.448 12.2 13.

2 414.

?53，3 3?15.【解析】

（Ⅰ）证明：取AD的中点G，连接OG、FG，

因为O为对角线AC与BD的交点，则O为AC中点， 所以OG∥CD，且OG?1CD． 2又因为EF∥CD，且CD?2EF，

所以OG∥EF，OG?EF，则四边形OGFE为平行四边形，----------3分 所以OE∥FG．

又因为FG?平面ADF，OE?平面ADF，OE∥FG，

所以OE∥平面ADF；-------------------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD为菱形，所以OC?BD，--------------------------7分

又因为FB?FD，O是BD的中点，所以OF?BD，------------------8分 又有OF?OC?O，OF?平面ACF，OC?平面ACF,

所以BD?平面ACF，----------------------------------------------12分 又因为BD?平面ABCD，

所以平面ACF?平面ABCD．----------------------------------------14分

16.【解析】（Ⅰ）因为

f(x)?2sin(x?)cosx631?2sinx?cosxcosx22????3sinxcosx?cos2x31?cos2xsin2x?22?1?sin(2x?)?62?当且仅当x?-------------------------------------------------------------------4分

?3?k?,k?Z时，f(x)max?1--------------------------------------6分 2最小正周期分别为和T?2???.------------------------------------------------7分 2（Ⅱ）因为f(C)?sin(2C??6)?11??，即sin(2C?)?1，因为0?C??，所以 226??6?2C??6?11????，于是2C??，即C?.------------------------------10分 6623因为sinB?2sinA，由正弦定理得b?2a，-------------------------------------12分

222由余弦定理得c?a?b?2abcos?322，即a?b?ab?12，

联立?b?2a?a?2，解得.-------------------------------------------14分 ?22?a?b?ab?12?b?4?17.解:(1)因为点

(2212，2在椭圆C上，则2?2?1，------------------------------1分

2a2b)又椭圆C的离心率为3，可得c=3，即c=3a，

a2222所以b=a-c=a-22()23a=1a2，代入上式，可得2?2?1，

a2a224212解得a2=4，故b=a=1.

4x2所以椭圆C的方程为?y2?1 ............................................................................................... 5分

4(2)设P(x0，y0)，则A(-x0，-y0)，Q(x0，-y0). 因为

=λ

,则(0，yD-y0)=λ(0，-2y0)，故yD=(1-2λ)y0.

所以点D的坐标为(x0，(1-2λ)y0). .................................................................................................. 7分 设B(x1，y1)，

2x12x21--1-2y12-y0441 .................................. 9分 ==-224x12-x0x12-x0kPB?kBAy1-y0y1+y0?x1-x0x1+x0()()又kBA=kAD=(1-2l)y0-(-y0)(1-l)y0=

x0x0-(-x0)故kPB=-x01=-.----------------------------------------------------------------------11分

4kBA4(1-l)y0又PA⊥PB，且kPA=x0， y0x0y?04(1-l)y0x0-1，解得l=3.

4所以kPB?kPA-1，即-3所以l= ................................................................................................................................... 14分

4218.【解析】（Ⅰ）据题意，?rh?132?48(??122?32)，所以h?，----------------------3分 23r因为32?h?2，所以h?30 即

32?48165?30，解得，----------------------------------------------------------5分 r?2r5又0?r?12，所以165?r?12；----------------------------------------------------------6分 5222（Ⅱ）①据题意，笔筒的后续加工费用y?7a?r?2a(2?rh)?a(??12???r?2??12?32)，

整理得

y?6a?r2?4a?rh?12a??76 32?482?6a?r?4a?r??12a??762r?6a?(r2?32?32165?152)，定义域为(,12)；----------------------11分 r532?32r3?83165/)?12a?? ②由①知，y?6a?(2r?，令得r?8?(,12)， y?022rr5/r 165(,8) 58 (8,12) y/ y ? 递减 0 极小值 ? 递增 由表知，当r?8时，y取极小值即最小值2064a?.------------------------15分

答：当r?8cm时，能使笔筒的后续加工费用y最小，最小值为2064a?元．----16分

19.【解析】（Ⅰ）当k?11时，由an?1?k(an?an?2)得an?1?(an?an?2)， 22即an?2?an?1?an?1?an，所以数列?an? 为等差数列，--------------------1分 公差为d?a2?a1?a?1，数列?an?的前n项和为

Sn?n?n(n?1)18(18?1)?(a?1)，由S18?171得171?18??(a?1)， 22解得a?2；---------------------------------------------------------3分

（Ⅱ）设数列?an?为等比数列，则其公比为q?a2?a，an?an?1，an?1?an，an?2?an?1． a11? 若an?1为等差中项，则2an?1?an?an?2即2an?an?1?an?1，解得a?1，与已知不符，舍去； 2? 若an为等差中项，则2an?an?1?an?2即2an?1?an?an?1，即a2?a?2?0，解得a??2

a2??； 1?a2513? 若an?2为等差中项，则2an?2?an?an?1即2an?1?an?1?an，即2a2?a?1?0，解得a??或a?12a2???（舍），仿2得k?．---------------------------------------------------8分 21?a5nn?1n?12或a?1（舍），此时由an?1?k(an?an?2)得a?k(a?a)即a?k(1?a)，故k?

综上，满足要求的实数k有且仅有一个，k?? （Ⅲ）当k??2；---------------------------------9分 511时，an?1??(an?an?2)，所以an?2?an?1??(an?1?an)， 22于是an?3?an?2??(an?2?an?1)?an?1?an．----------------------------------------11分

1? 当n为偶数时，Sn?(a1?a2)?(a3?a4)?(a5?a6)???(an?1?an)?nn(a?1)(a1?a2)?； 22---------------------------------------------------------------------------------13分

2? 当n为奇数时，Sn?a1?(a2?a3)?(a4?a5)???(an?1?an)?a1??a1?n?1(a2?a3) 2n?1n?1?[?(a1?a2)]?1?(a?1)（n?2），当n?1时，也适合该式， 22?n?11?(a?1),n为奇数??2所以Sn??．-----------------------------------------------16分

?n(a?1),n为偶数??2/20.【解析】（Ⅰ）f(x)?a1ax?1??（x?0）. xx2x2当a?0时，f/(x)?0，f(x)的递减区间为(0,??)；----------------------------1分 当a?0时，由f/(x)?0得x?1，列表得： a1 a1(,??) ax f/(x) f(x) 1(0,) a? 递减 0 极小值 ? 递增 所以，函数f(x)的递减区间为(0,)，递增区间为(,??)；-----------------------4分 （Ⅱ）因为存在两条直线y?ax?b1、y?ax?b2（b1?b2）都是曲线y?f(x)的切线， 所以f(x)?a至少有两个不等的正根，-----------------------------------------------5分

/令f(x)?1a1a/ax?12?aax?ax?1?0，记其两个根为x1、x2（x1?x2），得， 2x???a2?4a?0?则?，解得a?4，------------------------------------------------------------------------------------7分 1?x1x2??0a?而当a?4时，曲线y?f(x)在点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))处的切线分别为y?ax?f(x1)?ax1、，由 y?ax?f(x2)?ax2，设F(x)?f(x)?ax（x?0）

?ax2?ax?1?a(x?x1)(x?x2)/F(x)?f(x)?a??知，当时，x?x?xF(x)?0即F(x)在区1222xx//间[x1,x2]上是单调函数，因此F(x1)?F(x2)，所以y?ax?f(x1)?ax1、y?ax?f(x2)?ax2不重合，即y?ax?b1、y?ax?b2（b1?b2）是曲线y?f(x)的两条不同的切线，故a?4；----------------10分

（Ⅲ）当a?0时，函数f(x)是(0,??)内的减函数，因为f(e?1a)?aln(e)??1a1e?1a?e?1?0，而

1ae?(0,1)，不符合题意；----------------------------------------------------------12分

当a?0时，由（Ⅰ）知f(x)的最小值为f()??alna?a?a(1?lna).

?1a1a11? 若f()?0即0?a?e时，?x|f(x)?0????(0,1)，所以0?a?e符合题意；

a1?1?2?若f()?0即a?e时，?x|f(x)?0?????(0,1)，所以a?e符合题意；

a?e?1113?若f()?0即a?e时，0??1，而f(1)?1?0，函数f(x)在(,??)内递增，所以当

aaax?1时，f(x)?0，又因为f(x)的定义域为(0,??)，所以?x|f(x)?0??(0,1)，符合题意.

综上，实数a的取值范围为(0,??).----------------------------------------------16分

?a?6?8?a?2?1??a3??1??a?6??8?【解析】因为A????，所以，解得， ??????2??2?2d??4?22d???????????2?2d?4?d?1所以A???23?，--------------------------------------------------------------------------------5分 ??21?其特征多项式为f(?)???2?2?3?(??2)(??1)?6??2?3??4， ??1令f(?)?0，解得特征值为?1??1，?2?4．----------------------------10分

??x?1??【解析】（Ⅰ）直线l的参数方程为??y?1???2t2（为参数）

． t2t2消去参数t可得直线l的普通方程为x?y?2?0；---------------------------------------2分 圆C的方程为??4cos?，即?2?4?cos?，

可得圆C的直角坐标方程为(x?2)2?y2?4．------------------------------------------4分

??x?1??（Ⅱ）将??y?1???2t2代入(x?2)2?y2?4得t2?22t?2?0， 2t2设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，

则t1?t2??22?0，t1t2??2?0，所以PA?PB?|t1?t2|?(t1?t2)2?4t1t2?4．------10分

?x?y?2?02得x?4x?2?0，则x?2?2，---------------------------------------6分 ?22另解：由?(x?2)?y?4不妨取A(2?2,2)，则B(2?2,?2)，---------------------------------------------------------------8分

PA?(2?2?1)2?(2?1)2?2(2?1)?2?2，

PB?(2?2?1)2?(?2?1)2?2(2?1)?2?2所以

，

PA?PB?2?2?2?2?4--------------------------------------------------10分

【解析】（Ⅰ）抛物线C：y2?2px（p?0）的焦点为(由点(p,0)， 2pp,0)在直线l：x?y?4?0上得?0?4?0，即p?8， 22所以抛物线C的方程为y2?16x；-------------------------------------------------2分 （Ⅱ）设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，线段PQ的中点M(x0,y0)．

因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ， 于是PQ的方程可设为y??x?b．

?y2?2px①证明：由?得y2?2py?2pb?0??（﹡），

y??x?b?因为P和Q是抛物线C上相异两点，所以y1?y2，

从而??(2p)2?4?(?2pb)?0，化简得p?2b?0，方程（﹡）的两根为

y1,2??p?p2?2pb，从而y0?y1?y2??p． 2因为M(x0,y0)在直线l上，所以x0?4?p，

因此，线段PQ的中点坐标为(4?p,?p)；--------------------------6分 ②因为M(4?p,?p)在直线y??x?b上， 所以?p??(4?p)?b，即b?4?2p．

由①知p?2b?0，于是p?2(4?2p)?0，所以p?8， 383【解析】（Ⅰ）对于(2x?1)n?a0?a1x?a2x2???anxn，

即p的取值范围为(0,)．-------------------------------------------10分

取x?1得a0?a1?a2???an?1；-------------------------------------------------------------2分 （Ⅱ）①对(2x?1)n?a0?a1x?a2x2???anxn两边求导得

2n(2x?1)n?1?a1?2a2x?3a3x2???nanxn?1，

取x?1得1a1?2a2?3a3???nan?2n；--------------------------------6分 ②将2n(2x?1)n?1?a1?2a2x?3a3x2???nanxn?1两边乘以x得

2n(2x?1)n?1?x?a1x?2a2x2?3a3x3???nanxn，两边求导得

2n[(2(n?1)(2x?1)n?2x?(2x?1)n?1]?a1?22a2x?32a3x2???n2anxn?1，

取x?1得12a1?22a2?32a3???n2an?4n2?2n．-----------------------10分

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