数学物理方法作业第三份

第七章 数学物理定解问题

1．研究均匀杆的纵振动。已知x 0端是自由的，则该端的边界条件为__2．研究细杆的热传导，若细杆的x 0端保持绝热，则该端的边界条件为__

。

3．说明物理现象初始状态的条件叫__初始条件,说明边界上的约束情况的条件叫__边界条件__，统称为_定解条件_。

4．均匀细杆热传导系数为k，在x l端有强度为q0的热流流入，则该端的边界条件为 =-q。 5、下列方程是波动方程的是

A utt auxx f； B ut auxx f；

22

u aux。 u autttxxC ； D

2

2

6、泛定方程utt a2uxx 0要构成定解问题，则应有的初始条件个数为。

A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l两端固定的弦，用手把它的中

点朝横向拨开距离h，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。

l 2h

x,x [0,] l2 2hl (l x),x [,l]

2 l

t 0

A．ut o

B．

ut

C．ut 0 h

l 2h

x,x [0,] l2 u 2hlD． t 0

(l x),x [,l]

2 l u

tt 0 0

8．“线密度为 ，长为l的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点x0(0 x0 l)受谐变力F0sin t的作用而振动。”则该定解问题为( B )。

(x x0) 2

,(0 x l) utt auxx F0sin t

A．

u

x 0 0,ux l 0,ut 0 0

(x x0) 2

u au Fsin t,(0 x l)xx0 tt

B． ux 0 0,ux l 0

u 0,utt 0 0 t 0

(x x0) 2

u au Fsin t,(0 x l)xx0 tt

C．

u

t 0 0,utt 0 0

utt a2uxx 0,(0 x l) Fsin t (x x0)

D． ux 0 0,ux l 0

ut 0 0,utt 0 0

9．研究长为l的均匀杆的纵振动。若杆的两端均为自由端，则边界条件为( D )。

A．ux 0 0,ux l 0 C．ut

x 0

B．uxD．uxx

x 0

0,ux

x l

0 0

0,ut

x l

0

x 0

0,uxx

x l

10．下面不是定解问题适定性条件的(D )。

A．有解 C．解是稳定的

B．解是唯一的 D．解是连续的

11、名词解释：定解问题；第一类边界条件；第二类边界条件；第三类边界条件；

定解问题由数学物理方程和定解条件组成，定解条件包括初值条件、边界条件和连接条件。 （1）第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量在边界上的数值，

，

代表边界

（2）第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数在边界眩的数值，

（3）第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值，

第八章 分离变数（傅里叶级数）法

ut a2uxx 0,(0 x l)

1．用分离变数法求定解问题 uxx 0 0,ux l 0的解，其中 (x)为x的已知函数。

u (x) t 0

解：令 (x) bx

设

2u auxx 0,(0 x l)tt

2．求定解问题 ux 0 0,ux l 0的解，其中I、 均为常数。

Iu 0,u (x x0),(0 x0 l) t 0tt 0

设

所求的定解问题的解为：

ut a2uxx 0,(0 x l)

3．求定解问题 ux 0 u0,uxx l u1的解，其中u0、u1均为常数。（待）

u u

0 t 0

设

令

所求的定解问题的解为：

utt a2uxx 0,(0 x l)

u0,ux l u0 u

4．求定解问题 x 0 的解，其中u0为常数。

ut 0 u0 u0 (x x0),(0 x0 l) ut

t 0 u0

设

设

所求的定解问题的解为

ut a2uxx sin t,(0 x l)

5．求定解问题 uxx 0 0,uxx l 0的解。

u 0 t 0

令

uxx uyy 0

6．求定解问题 ux 0 0,ux l 0,(0 y )的解，其中 A为常数。

x u A(1 ),limu(x,y) 0.(0 x l)

ly y 0

设

第十章 球函数

1．当R r时，函数

1

R 2rRcos r

2

2

以Pl(cos )为基本函数族的广义傅里叶级数展 开为

lR l 0

1r

l 1

Pl(cos )

2．勒让德多项式的母函数为________

1 2rcos r

2

3．在球r r0的内部求解 u 0，使满足边界条件ur r cos2 。已知 P0(cos ) 1，P1(cos ) cos ，

P2(cos )

1

(3cos2 1) 2

解 定解问题为：

这是一个关于极轴对称的拉氏方程的定解问题

当

有限

所求的定解问题的解为

4．半径为r0的球形区域外部没有电荷，球面上的电势为u0cos sin2 ，u0为常数，求球形区域外部的电势分布。已知

P0(cos ) 1，P1(cos ) cos

，

P2(cos )

1

(3cos2 1)，2

P3(cos )

1

(5cos3 3cos )。 2

5．在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的电场强度是E0，球的半径是r0，相对介电常数是 ，试求解介质球内外的电势（已知P。 ) cos ）1(cos解：

如图所示，建立坐标系，则定解问题为：

当

6．在点电荷4 0q的电场中放置一个接地导体球，球的半径为a，球心与点电荷相距 r1(r1 a)。求球外静电场的电势。

解：选择球心为球坐标系的极点，极轴通过点电荷，则极轴是对称轴，问题与 又设导体球接地，所以导体球内电势为0，即

，

；

无关；

在球外，（除点电荷处）任意点感应电荷产生的电势

的叠加。

的电势是点电荷产生的电势和导体球

满足拉普拉斯方程。于是定解问题为，

因静电感应电荷只在球面上，故由它在球外所产生的电势

因为

，

，

（1）

所以， （2）

在轴对称情况下，方程（1）的一般解为，

考虑到（2）的无限远边界条件，应舍弃

项，

以（3）代入（2）的球面边界条件，

（3）

引用母函数

比较两边的广义傅里叶系数，得

（4）

在解（4）中，第二项，相当

于像电荷产生的电势，这像电荷处在球内极轴上，带电量为。

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