高中文科数学二轮复习数列训练

专题三 数 列 真题体验·引领卷

一、选择题

1．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( ) A．5

B．7

C．9

D．11

2．(2014·天津高考)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝( ) A．2

1

B．－2 C.

2

1D．－

2

3．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝( ) 17A. 2

19

B. C．10 2

D．12

1

4．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )

4A．2

B．1

1

C. 2

1D. 8

5．(2013·全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )

A．3 B．4 C．5

D．6

6．(2015·福建高考)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( ) A．9 二、填空题

7．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．

18．(2015·安徽高考)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于

2________．

9．(2015·广东高考)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋26，c＝5－26，则b＝________． 三、解答题

10．(2015·安徽高考)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.

B．5 C．4

D．2

(1)求数列{an}的通项公式；

an＋1

(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

SnSn＋1

11．(2015·福建高考)在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋?＋b10的值．

1??12．(2015·山东高考)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列?a·a?的前n项和为

?nn＋1?n

. 2n＋1

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

专题三 数 列 经典模拟·演练卷

一、选择题

1．(2015·济南模拟)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝( ) A．75

B．90

C．105

D．120

11

2．(2015·成都诊断检测)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且满足a4a6＝，a7＝，48则S4的值为( ) A．15

B．14

C．12

D．8

a10－a12

3．(2015·衡水中学调研)已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为( )

a6－a8A．2

B．4

C．8

D．16

4．(2015·南昌二模)已知数列{an}是等差数列，a3＝5，a9＝17，数列{bn}的前n项和Sn＝3n.若am＝b1＋b4，则正整数m的值为( ) A．26

B．27

C．28

D．29

5．(2015·山西康杰中学、临汾一中联考)设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则S6＝( ) A．44 1

C.·(46－1) 3

1

D.·(45－1) 3

B．45

6．(2015·成都模拟)若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋1，则向量m＝(a1，a4)的模为( ) A．53 二、填空题

37．(2015·郑州质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＝，a＋a＝6，则S6＝________．

445S12S108．(2015·潍坊调研)在等差数列{an}中，a1＝－2 015，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 015

1210的值为________．

9．(2015·河北质检)设曲线y＝xn1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令

＋

B．50 C.53 D．52

an＝lg xn，则a1＋a2＋a3＋?＋a99的值为________． 三、解答题

n2＋n

10．(2015·长沙调研)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.

2(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．

11．(2015·大连模拟)已知数列{an}与{bn}满足：a1＋a2＋a3＋?＋an＝log2bn(n∈N*)，且数列{an}为等差数列，a1＝2，b3＝64b2. (1)求an与bn；

(2)设cn＝(an＋n＋1)·2an－2，求数列{cn}的前n项和Tn.

12．(2015·衡水点睛大联考)若{an}是各项均不为零的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，1*且满足a2，Tn为数列{bn}的前n项和． n＝S2n－1，n∈N.数列{bn}满足bn＝an·an＋1(1)求an和Tn；

(2)是否存在正整数m、n(1

专题三 数 列 专题过关·提升卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是数列“{an}为递增数列”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要且不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则a9等于( ) A．32

B．24 C．16

D．8

3．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－10x＋9＝0的两个根，则S6等于( ) A．120

B．254 C．364

D．128

4．(2015·长春调研)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若S4＝20，S6－S2＝36，则该等差数列的公差d＝( ) A．－2

B．2 C．－4

D．4

5．各项为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝5S2，a2＝2且Sk＝31，则正整数k的值为( ) A．4

B．5

C．6

＋

D．7

6．(2015·太原诊断)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n1＋a(n∈N*)，则实数a的值是( ) A．－3

B．－1 C．1

D．3

7．(2014·肇庆模拟)已知正项数列{an}为等比数列且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为( ) 33

A. 12

31

B．31 C.

4

D．以上都不正确

8．(2015·焦作高三统考)已知正项等比数列{an}满足a3·a2n－3＝4n(n＞1)，则log2a1＋log2a3＋log2a5＋?＋log2a2n－1＝( ) A．n2

B．(n＋1)2 C．n(2n－1) D．(n－1)2

1?n1?9．(2015·衡水点睛联考)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋?3?(n≥2，且n∈N*)则数列

3{an}的通项公式为( )

n＋23n

A．an＝ B．an＝n C．an＝n＋2

3n＋2

D．an＝(n＋2)·3n

10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋1＝2a6，且S7＝S10，则使得Sn取得最小值时，n的值是( ) A．8

B．9 C．8或9

D．10

11．(2015·绵阳市一诊)设各项均不为0的数列{an}满足an＋1＝ 2an(n≥1)，若a2a4＝2a5，则a3＝( ) A.2

B．2

C．22

D．4

1??

12．(2015·郑州质检)设数列{an}是首项为1，公比为q(q≠－1)的等比数列，若?a＋a?是等

?nn＋1?11??11?11??11?

＋＋＋＋?＋?＋＋差数列，则?＋?a2a3??a3a4??a2 013a2 014??a2 014a2 015?＝( ) A．2 012

B．2 013 C．4 024

D．4 026

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上) 13．(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．

14．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．

?1?

15．(2015·江苏高考)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列?a?前10项的

?n?

和为________．

16．(2015·菏泽调研)西非埃博拉病毒导致2 500多人死亡，引起国际社会广泛关注，为防止疫情蔓延，西非各国政府在世界卫生组织、国际社会援助下全力抗击埃博拉疫情，预计某首都医院近30天内每天因治愈出院的人数依次构成数列{an}，已知a1＝3，a2＝2，且满足an＋2－an＝1＋(－1)n，则该医院30天内因治愈埃博拉病毒出院的患者共有________人．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2015·大庆质检)已知公差不为0的等差数列{an}满足S7＝77，且a1，a3，a11成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

18．(本小题满分12分)(2015·揭阳模拟)已知等比数列{an}满足：an>0，a1＝5，Sn为其前n项和，且20S1，S3，7S2成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式；

?1?

(2)设bn＝log5a2＋log5a4＋?＋log5a2n＋2，求数列?b?的前n项和Tn.

?n?

19．(本小题满分12分)(2015·山东高考)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3. (1)求{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.

20．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；

?an?

(2)在(1)的条件下证明?2n?是等差数列，并求an.

??

21．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)设n∈N，xn是曲线y＝x2n2＋1在点(1，2)处的切线与

＋

x轴交点的横坐标． (1)求数列{xn}的通项公式；

22(2)记Tn＝x21x3?x2n－1，证明Tn≥

1

. 4n

22．(本小题满分12分)设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝1－2Sn；将函数y＝sin πx在区间(0，＋∞)内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{an}． (1)求{bn}与{an}的通项公式；

(2)设cn＝an·bn(n∈N*)，Tn为数列{cn}的前n项和．若a2－2a>4Tn恒成立，试求实数a的取值范围．

专题三 数 列 真题体验·引领卷

1．A [∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1， 5（a1＋a5）

∴S5＝＝5a3＝5.故选A.]

2

2．D [∵S1，S2，S4成等比数列，∴S2S4，又Sn为公差为－1的等差数列的前n项和．从2＝S1·11

4a1－×4×3?，解得a1＝－.] 而(a1＋a1－1)2＝a1?2??2

11

3．B [由S8＝4S4知，a5＋a6＋a7＋a8＝3(a1＋a2＋a3＋a4)，又d＝1，∴a1＝，a10＝＋9×1

2219

＝.] 2

2

4．C [由{an}为等比数列，得a3a5＝a24，所以a4＝4(a4－1)，解得a4＝2，设等比数列{an}的

11

公比为q，则a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝.选C.]

42

5．C [由题设，am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3.因为数列{an}为等差数列．所以公差dm（a1＋am）

＝am＋1－am＝1.由Sm＝＝0，得m(a1＋2)＝0，则a1＝－2.又am＝a1＋(m－1)d＝2，

2解得m＝5.]

p－4q＞0，??

6．A [因为a，b为函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，所以?a＋b＝p，所

??ab＝q，以a＞0，b＞0，所以当－2在中间时，a，b，－2这三个数不可能成等差数列，且只有当－2在中间时，a，b，－2这三个数才能成等比数列．经分析知，a，b，－2或b，a，－2或－2，a，b或－2，b，a成等差数列，a，－2，b或b，－2，a成等比数列．不妨取数列a，b，－2

???a－2＝2b，?a＝4，??a＝－2，

成等差数列，数列a，－2，b成等比数列，则有?解得?或?(舍去)，

?ab＝4，?b＝1?b＝－2，?????p＝5，

所以?所以p＋q＝9.]

?q＝4，?

2

2（1－2n）7．6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是以公比q＝2，首项a1＝2的等比数列．则Sn＝

1－2＝126，解得n＝6.]

1

8．27 [由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列．

2

9×81

∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.]

229．1 [∵三个正数a，b，c成等比数列， ∴b2＝ac＝(5＋26)(5－26)＝1. ∵b为正数，∴b＝1.]

10．解 (1)由题设知a1·a4＝a2·a3＝8.

??a1＝1，??a1＝8，

?又a1＋a4＝9.可解得或?(舍去)． ?a4＝8?a4＝1??

由a4＝a1q3得公比q＝2， 故an＝a1qn1＝2n1.

－

－

a1（1－qn）n

(2)Sn＝＝2－1，

1－qan＋1Sn＋1－Sn11

又bn＝＝＝－，

SnSn＋1SnSn＋1SnSn＋1

11?111??11?11

－＋－＋?＋?S－所以Tn＝b1＋b2＋?＋bn＝?＝－＝1－. ＋?S1S2??S2S3??nSn＋1?S1Sn＋12n1－111．解 (1)设等差数列{an}的公差为d，

??a1＋d＝4，

由已知得?

?（a1＋3d）＋（a1＋6d）＝15，??a1＝3，?

解得?所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.

?d＝1.?

(2)由(1)可得bn＝2n＋n，

所以b1＋b2＋b3＋?＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋?＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋?＋210)＋(1＋2＋3＋?＋10) 2（1－210）（1＋10）×10＝＋ 21－2＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.

12．解 (1)设数列{an}的公差为d， 11

令n＝1，得＝，所以a1a2＝3.

a1a23112

令n＝2，得＋＝，

a1a2a2a35

所以a2a3＝15.解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.

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