因动点产生的梯形问题

§1.5 因动点产生的梯形问题

解梯形的存在性问题一般分三步: 第一步分类,第二步画图,第三步计算.

一般是已知三角形的三个顶点,在某个图象上求第四个点,使得四个点围成梯形.过三角形的每个顶点画对边的平行线,这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点. 因为梯形有一组对边平行,因此根据同位角或内错角,一定可以构造一组相等的角,然后根据相似比列方程,可以使得解题简便.

如图1,已知直线y= x+3与x轴、 y轴分别交于A、 B两点,点F与点B关于x轴对称,点E在双曲线y= (x>0)上,如果四边形BAFE是梯形,怎样求点E的坐标呢?

过点F作AB的平行线,构造直角三角形相似,于是就可以用对应边成比例列方程了. 设点E的坐标为 ,根据tan∠BAO=tan∠EFH,得=.

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解方程= ,得

x=4或x=-2.

显然x=4是符合题意的,x=-2在第三象限,形成的梯形是BAEF,不符合题意.

如图2,四边形ABCD是等腰梯形,那么A、 B、 C、 D四个点的纵坐标之间有怎样的数量关系?如图3,四边形OABC是等腰梯形,那么O、 A、 B、 C四个点的横坐标之间有怎样的数量关系?

如图2中,由AE=FB(形),得yA-yD=yC-yB(数). 如图3中,由OE=FA(形),得xC-xO=xA-xB(数).

图1 图2 图3

例20 2016年上海市普陀区中考模拟第24题 在平面直角坐标系中,二次函数y=x+bx+c的图象与y轴交于点A,与双曲线y=有一个公共点B,它的横坐标为4.过点B作直线l∥x轴,与二次函数图象交于另一点C,直线AC的截距是-6.

(1) 求二次函数的解析式; (2) 求直线AC的表达式;

(3) 平面内是否存在点D,使A、 B、 C、 D为顶点的四边形是等腰梯形,如果存在,求出点D的坐标;如果不存在,请说明理由.

请打开几何画板文件名“16普陀24”,可以体验到,以A、 B、 C、 D为顶点的四边形的等腰梯形有两个.

1. 先求出点B的坐标,写出点A的坐标,再代入二次函数的解析式列方程组.

2. 如果以A、 B、 C、 D为顶点的四边形是等腰梯形,那么对称轴就是△ABC的一边的垂直平分线.

3. 等腰梯形分三种情况讨论.

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例21 2016年上海市闸北区中考模拟第24题 如图,矩形OMPN的顶点O在原点,M、 N分别在x轴和y轴的正半轴上,OM=6, ON=3,反比例函数y=的图象与PN交于点C,与PM交于点D,过点C作CA⊥x轴于点A,过点D作DB⊥

y轴于点B, AC与BD交于点G.

(1) 求证: AB∥CD;

(2) 在直角坐标平面内是否存在点E,使以B、 C、 D、 E为顶点, BC为腰的梯形是等腰梯形?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.

请打开几何画板文件名“16闸北24”,可以体验到,以BC为腰的等腰梯形有两个,对称轴分别是BD和CD的垂直平分线.

1. 第(1)题证明内错角的正切值相等.

2. 第(2)题先根据等腰梯形的性质分三种情况画图确定存在性,再用方程进行计算.分别画△BCD的边BD和边CD的垂直平分线为等腰梯形的对称轴,可以确定以BC为腰的等腰梯形有两个.

例22 2017年上海市虹口区中考模拟第24题 如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=x+bx+c经过点A(-2, 0)和原点,点B在抛物线上且tan∠BAO= ,抛物线的对称轴与x轴相交于点P.

(1) 求抛物线的解析式,并直接写出点P的坐标;

(2) 点C为抛物线上一点,若四边形AOBC为等腰梯形且AO∥BC,求点C的坐标; (3) 点D在AB上,若△ADP与△ABO相似,求点D的坐标.

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请打开几何画板文件名“17虹口24”,拖动点D在AB上运动,可以体验到,△ADP与△ABO相似存在两种情况.点击屏幕左下角的按钮“第(2)题”,可以体验到,以A、 O、 B、 C为顶点的等腰梯形存在三种情况,其中AO∥BC时,点C与点B关于抛物线的对称轴对称.

1. 已知二次函数的二次项系数和抛物线与x轴的两个交点,可以直接写出交点式. 2. 等腰梯形AOBC当AO∥BC时,C、 B两点关于抛物线的对称轴对称.

3. 分两种情况讨论△ADP与△ABO相似.由于∠A是公共角,根据夹∠A的两边对应成比例,分两种情况列方程,先求AD的长,再求点D的坐标.

§1.6 因动点产生的面积问题

面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:

第一类,先根据几何法确定存在性,再列方程求解,后检验方程的根. 第二类,先假设关系存在,再列方程,后根据方程的解验证假设是否正确.

如图1,如果三角形的某一条边与坐标轴平行,计算这样“规则”的三角形的面积,直接用面积公式.

如图2、图3,三角形的三条边没有与坐标轴平行的,计算这样“不规则”的三角形的面积,用“割”或“补”的方法.

图1 图2 图3

计算面积常用到的策略还有:

如图4,同底等高三角形的面积相等.平行线间的距离处处相等. 如图5,同底三角形的面积比等于高的比. 如图6,同高三角形的面积比等于底的比.

图4 图5 图6

例23 2016年广州市中考第24题

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