导数选择题之构造函数法解不等式的一类题

导数选择题之构造函数法解不等式的一类题

一、单选题

1．定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 ，有 ，且 为奇函数，则不等式 的解集为 A． B． C． D．

2．设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时， 立的 的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

，则使得 成

3．定义在 上的偶函数 的导函数 ，若对任意的正实数 ，都有 恒成立，则使 成立的实数 的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

4．已知函数 定义在数集 ， ， 上的偶函数，当 时恒有 ，且 ，则不等式 的解集为( )

A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，

5．定义在 上的函数 满足 ， ，则不等式 的解集为（ ）

A． B． C． D．

6．设定义在 上的函数 满足任意 都有 ，且 时，有 、 、 的大小关系是 （ ）

A． B． C． D． 7．已知偶函数 满足 ，且 ，则 A． 或 B． C． 或 D．

8．定义在R上的函数 满足： 是 的导函数，则不等式 （其中e为自然对数的底数）的解集为( )

A． B． C． D．

，则

的解集为

试卷第1页，总3页

9．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，满足 ，且 ，则不等式 的解集为（ ）

A． B． C． D．

10．定义在 上的函数f(x)满足 ，则不等式 的解集为 A． B． C． D．

11．已知定义在 上的函数 满足 ，其中 是函数 的导函数．若 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于?x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有（ ） A． e2017f(－2017)e2017f(0) B． e2017f(－2017)f(0)，f(2017)>e2017f(0) D． e2017f(－2017)>f(0)，f(2017)

13．已知可导函数 的定义域为 ，其导函数 满足 ,则不等式 的解集为

A． B． C． D．

14．函数 是定义在区间 上的可导函数，其导函数为 ，且满足 ，则不等式 的解集为（ ） A． B．

C． D．

15．已知函数 的导数是 ，若? ，都有 成立，则( ) A． B． C． D．

16．已知函数 满足条件：当 时， ，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D．

17．定义在 上的函数 ， 是它的导函数，且恒有 成立.则有（ ） A． B．

C． D．

18．已知函数 是偶函数， ，且当 时其导函数 满足 ，若 ，则（ ）

A． B． C．

试卷第2页，总3页

D．

19．设函数 是奇函数 的导函数，当 时， ，则使得

成立的 的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

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参考答案

1．B

【解析】【分析】 构造函数

，则得 的单调性，再根据 为奇函数得 ，转化不等式为 ，

最后根据单调性性质解不等式. 【详解】 构造函数

，则

，所以 在 上单独递减，

因为 为奇函数，所以 . 因此不等式 等价于 ，即 ，选B. 【点睛】

利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 构造 2．A

【解析】分析：构造函数

， 构造 ，

， 构造 等

，首先判断函数的奇偶性，利用

可判断 时函数的单调

性，结合函数图象列不等式组可得结果. 详解：

设

，

则 的导数为 因为 时，

，

，

即 成立，

所以当 时， 恒大于零， 当 时，函数

为增函数，

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又

，

函数 为定义域上的偶函数， 当 时，函数 又

为减函数，

函数 的图象性质类似如图，

数形结合可得，不等式 ， 或 ，

可得 或 ，

使得 成立的 的取值范围是 ，故选A.

点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 3．A 【解析】 【详解】

分析：构造新函数 ，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解．

详解：设 ，则 ，由已知当 时， ，∴ 在 上是减函数，又∵ 是偶函数，∴ 也是偶函数， ，

不等式 即为 ，即 ， ∴ ，∴ ，即 或 ． 故选A．

点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式．解题关键是构造新函数．新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造．如 ， 4．B

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， ，

等等．

【解析】分析：设

，结合求导法则，以及题中的条件，可以断定函数在相应区间上的单调性，

根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可. 详解：设

，所以

，

因为当 时，有 恒成立， 所以当 时 ，所以 在 上递增， 因为 ，所以

，所以 是奇函数，

所以 在 上递增，因为 ，所以 当 时， 等价于当 时， 等价于

，

，所以 ），所以 ， ，所以 ，所以 ，

所以原不等式的解集为 ，故选B.

点睛：该题考查的是有关函数的问题，结合题中所给的条件，结合商函数求导法则构造新函数，结合函数的单调性与导数的符号的关系，得到相应的结果，在求 时的情况的时候，可以直接根据函数 是偶函数求得结果. 5．B

【解析】分析：根据题意，设 ，对其求导分析可得 在区间 上递减，利用 的值可得 的值，进而将原不等式转化为 ，结合函数的单调性、定义域，分析可得答案.

详解：根据题意，设 ， 则 ，

又由函数 定义在 上，且有 ， 则 ，则 在区间 上递减， 若 ，则 ，

， 则 ，

即不等式的解集为 . 故选：B.

点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数 ，并分析其单调性. 6．C

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【解析】

根据题意，函数 满足任意 都有 ，则有 ，则 是周期为 的函数，则有 ，设

，则导数为

，又由 时，

，则有 ，则有

，则函数 在 上为减函数，则有 ，即

，

又由 ，则有 ，故选C.

，变形可得

【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 7．C 【解析】 【分析】

构造函数 ，由 可得 在 递增，结合奇偶性转化原不等式为 从而可得结果. 【详解】

由 得 ， 令 ，

， 时， 递增， 又 时， 不等式 等价于

是偶函数， 也是偶函数， 可得 或 ，

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所以 【点睛】

的解集为 或 ，故选C.

本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 8．B 【解析】 【分析】

构造函数 ， ，研究 的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 【详解】

设 ， ，

则

则 ， 在定义域内单调递增 ， ，

， 则不等式的解集为 ， 故选 【点睛】

本题主要考查了函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键。 9．A

【解析】分析：先构造函数 详解：令

，再根据函数单调性解不等式.

，

，因为

所以 因此解集为 ， 选A.

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点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 构造 10．C 【解析】 【分析】

构造函数 ，可得 ， 在（ ， ）上单调递增，原不等式等价

， 构造 ，

， 构造 等

于 ，利用单调性可得结果. 【详解】

设 ，

由 可得 ，

所以 在（ ， ）上单调递增， 又因为 ， 不等式 等价于 ， 因此 ， ，

即等式 的解集为 ，故选C. 【点睛】

利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 11．D 【解析】 【分析】

根据题意，构造函数

， ，利用导数研究其单调性，可得 在 上单调递减，

将 ， ，转化为而可得实数 的取值范围.

，即 ，从

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【详解】 令

， ，则

.

∵ ∴

∴函数 在 上单调递减

∵ ， ∴

，即 .

∴ 且 ，解得 . ∴实数 的取值范围为 ． 故选D． 【点睛】

本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“ ”和“ ”的联系构造函数 12．D 【解析】 【分析】 构造函数 【详解】 构造函数

.

，由 可得函数

在 上单调递减，利用单调性可得结果.

，则

，

因为? ，均有 ，并且 ， 故函数 即

在 上单调递减， ，

，

即 ，故选D. 【点睛】

利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数

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是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 13．B 【解析】 【分析】 构造函数 【详解】 令

，将不等式转化为 ，再根据 定义域以及单调性化简求解.

因为 ， 所以 因为 在 单调递减，

，选B. 所以

【点睛】

利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 构造 14．C

【解析】分析：由题意构造函数 求导可知函数是区间 上的增函数，把原不等式转化为 ，结合 求得x的范围. 详解：

则函数 是区间 上的增函数. 由不等式 ，得 ，解得 - ， 又由 ，得 - ，即 (- - . 故选C.

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， 构造 ，

， 构造 等

点睛：该题考查的是有关解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点应用导数研究函数的单调性，构造新函数，结合题意求得对应的不等式的解集. 15．D

【解析】分析：由题意构造函数 详解：令 则：

，结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果.

，

，

由? ，都有 成立，可得 在区间 内恒成立， 即函数 是区间 内单调递减， 据此可得： ，即本题选择D选项.

点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 16．C 【解析】 【分析】

令 ，得到 在 递增，有 ，从而得到答案． 【详解】

构造函数 . 在 恒成立， 在 上是增函数， 得 ， 故选 . 【点睛】

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=x2f（x）-x2是解题的关键，属中档题． 17．D 【解析】 【分析】

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，则 .

：先构造 的原函数 ，由此题意，得出原函数 单增函数，由此判断函数值的大小。 【详解】

：先构造 的原函数，因为 ，则 ，那么在不等式的两边同时乘以 不等号不变，（ ） ，所以原函数 单增函数，由此 ，

，

，

， ，所以

故选D。 【点睛】

，所以A错

，所以B错

，所以C错

：已知抽象函数的性质解不等式的基本解法有两种：（1）构造满足题目条件的特殊函数，（2）还原抽象函数，利用抽象函数的性质求解。 18．B

【解析】分析：先根据函数图象的平移，得到函数 的图象关于直线 对称，再通过讨论导数的符号得到函数 的单调性，将 ， ， 转化到同一个单调区间上进行比较大小 详解： 是偶函数，图象关于 轴对称， 的图象关于直线 对称 当 时， ，

即函数 在 ， 上为增函数

， ， ， ， 则

即 故选

点睛：本题主要考查了导数在研究函数中的应用，由已知条件结合导数确定函数的单调性，然后判定大小关系，读懂题意，理解函数性质是关键，本题较为综合，有一定难度。

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19．D

【解析】分析：构造函数 ，可得 在 上为减函数，可得在区间 和 上，都有 ，结合函数的奇偶性可得在区间 和 上，都有 ，原不等式

等价于 或 ，解可得 的取值范围，即可得到结论.

详解：根据题意，设 ，

其导数 ， 又由当 时， ，

则有 ，

即函数 在 上为减函数， 又由 ，

则在区间 上， ， 又由 ，则 ，

在区间 上， ， 又由 ，则 ，

则 在 和 上， ，

又由 为奇函数，则在区间 和 上，都有 ，

或 ，

解可得 或 ，

则 的取值范围是 ，故选D.

点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.

答案第11页，总11页

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