2017年普通高等学校招生全国统一考试3卷数学模拟试题

2017年普通高等学校招生全国统一考试3卷模拟试题

（理科数学）

一．选择题（共12小题） 1．已知集合A={x|x2﹣x＞0}，A．A∩B=? B．A∪B=R C．B?A

D．A?B

，则（ ）

2．已知i为虚数单位，则z=i+i2+i3+?+i2017=（ ） A．0

B．1

C．﹣i D．i

=，且a2=2，则a4等于（ ）

3．已知数列{an}满足：A．﹣ B．23 C．12 D．11

4．已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（ ） A．4

B．﹣1 C．﹣4

，则输入的x可能为（ ）

5．一算法的程序框图如图所示，若输出的

A．﹣1 B．1 C．1或5 D．﹣1或1

6．如图所示，由直线x=a，x=a+1（a＞0），y=x2及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即 a2＜若对?n∈N*，不等式等于（ ）

＜A＜+

x2dx＜（a+1）2．类比之，+?+

恒成立，则实数A

第1页（共24页）

A．ln B．ln 2 C．ln 2 D．ln 5

7．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于（ ）

A． B． C． D．

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若则△ABC的外接圆的面积为（ ） A．4π B．8π C．9π D．36π

，bcosA+acosB=2，

9．如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=ex﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．

10．已知函数y=f（x）和函数y=g（x）的图象如下：则函数y=f（x）g（x）的图象可能是 （ ）

第2页（共24页）

A． B． C．

D．

11．已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上

存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A．（

，1） B．（，1）

C．（0，

） D．（0，）

，则关于x的方程f2（x）

12．设定义域为R的函数f（x）=

+bf（x）+c=0有7个不同的实数解得充要条件是（ ） A．b＜0且c＞0

二．填空题（共4小题）

13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，（﹣2+log35）= ． 14．已知（2x﹣

n）展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是 ．

B．b＞0且c＜0 C．b＜0且c=0 D．b≥0且c=0

，则f

15．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE、△EBF、△FCD分别沿DE、EF、FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为 ．

第3页（共24页）

16．已知等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，设{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若

三．解答题（共6小题）

17．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边． （1）若△ABC面积S△ABC=

，c=2，A=60°，求a、b的值；

，n∈N*，则d= ，q= ．

（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状． 18．已知某校5个学生的数学和物理成绩如下表 学生的编号i 数学xi 物理yi 80 70 75 66 70 68 65 64 60 62 1 2 3 4 5 （1）假设在对这5名学生成绩进行统计时，把这5名学生的物理成绩搞乱了，数学成绩没出现问题，问：恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少？

（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系的，在上述表格是正确的前提下，用x表示数学成绩，用y表示物理成绩，求y与x的回归方程；

（3）利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在（﹣0.1，0.1）范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”．

参考数据和公式：，其中，；

，

第4页（共24页）

残差和公式为：．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．

（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由； （Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．

20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三

角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T． （Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|?|PB|，并求λ的值． 21．已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．

（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； （Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值．

22．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l：

（t是参数），且直线l与曲线C1交于A，B两点．

（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）设定点P（0，

第5页（共24页）

），求+．

2017年全国3卷模拟试题（理科数学）

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．（2017?唐山一模）已知集合A={x|x2﹣x＞0}，A．A∩B=? B．A∪B=R C．B?A

D．A?B

，则（ ）

【分析】先分别求出集合A和B，由此得到A∪B=R． 【解答】解：∵集合A={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1或x＜0}，

，

∴A∩B={x|﹣A∪B=R． 故选：B．

【点评】本题考查并集、交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、交集定义的合理运用．

2．（2017?贵阳一模）已知i为虚数单位，则z=i+i2+i3+?+i2017=（ ） A．0

B．1

C．﹣i D．i

或1＜x＜

}，

【分析】利用等比数列的求和公式、复数的周期性即可得出． 【解答】解：z=故选：D．

【点评】本题考查了等比数列的求和公式、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．（2017?钦州二模）已知数列{an}满足：A．﹣ B．23 C．12 D．11

=，且a2=2，则a4等于（ ）

=

=

=i，

第6页（共24页）

【分析】数列{an}满足：项公式即可得出．

【解答】解：∵数列{an}满足：等比数列，公比为2．

=，可得an+1+1=2（an+1），利用等比数列的通

=，∴an+1+1=2（an+1），即数列{an+1}是

则a4+1=22（a2+1）=12，解得a4=11． 故选：D．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4．（2017?金凤区校级一模）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（ ） A．4

B．﹣1 C．﹣4

【分析】利用向量坐标运算、向量共线定理即可得出． 【解答】解：+=（﹣1，2+x）． ﹣=（3，2﹣x）， ∵+与﹣平行， ∴3（2+x）+（2﹣x）=0， 解得x=﹣4． 故选：C．

【点评】本题考查了向量坐标运算、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5．（2017?乐山一模）一算法的程序框图如图所示，若输出的可能为（ ）

，则输入的x

第7页（共24页）

A．﹣1 B．1 C．1或5 D．﹣1或1

【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是求分段函数的函数值．利用输出的值，求出输入的x的值即可． 【解答】解：这是一个用条件分支结构设计的算法，

该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y=的函数值，

输出的结果为，当x≤2时，sin即x=1，﹣7，﹣11，?

=，解得x=1+12k，或x=5+12k，k∈Z，

当x＞2时，2x=，解得x=﹣1（不合，舍去）， 则输入的x可能为1． 故选B．

【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，注意读懂框图的作用，考查计算能力．

6．（2017?淄博一模）如图所示，由直线x=a，x=a+1（a＞0），y=x2及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即 a2＜

2（a+1）．类比之，若对?n∈N*，不等式

x2dx＜+?+

＜A＜+

恒成立，则实数A等于（ ）

第8页（共24页）

A．ln B．ln 2 C．ln 2 D．ln 5

【分析】令A=A1+A2+A3+?+An，根据定积分的定义得到：A1=﹣lnn+ln（n+1），同理求出A2，A3，?，An的值，相加求出即可． 【解答】解：令A=A1+A2+A3+?+An， 由题意得：∴A1=

＜A1＜，dx=lnx|

＜A2＜

，

＜A3＜

，?，

＜An＜

，

=ln（n+1）﹣lnn，

同理：A2=﹣ln（n+1）+ln（n+2），A3=﹣ln（n+2）+ln（n+3），?，An=﹣ln（2n﹣1）+ln2n， ∴A=A1+A2+A3+?+An

=﹣lnn+ln（n+1）﹣ln（n+1）+ln（n+2）﹣ln（n+2）+ln（n+3）﹣?﹣ln（2n﹣1）+ln2n =ln2n﹣lnn =ln2， 故选：B．

【点评】本题考察了定积分的简单应用，根据定积分的定义得到A1，A2，A3，?，An的值是解题的关键，本题是一道中档题．

7．（2017?松江区一模）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于（ ）

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A． B． C． D．

【分析】由已知可得AC1⊥平面A1DB，可得P为AC1与截面A1DB的垂足时线段AP最小，然后利用等积法求解．

【解答】解：如图，连接AC1交截面A1DB于P，由CC1⊥底面，可得CC1⊥BD，又AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC1，则AC1⊥BD．

同理可得AC1⊥A1B，得到AC1⊥平面A1DB，此时线段AP最小． 由棱长为1，可得等边三角形A1DB的边长为由故选：C．

【点评】本题考查点、线、面间的距离的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．

8．（2017?合肥一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为（ ） A．4π B．8π C．9π D．36π

【分析】由余弦定理化简已知等式可求c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R的值，利用圆的面积公式即可计算得解． 【解答】解：∵bcosA+acosB=2， ∴由余弦定理可得：b×又∵

，可得：sinC=

+a×

=，

=

=6，可得：R=3， =2，整理解得：c=2，

，

，可得

，∴

，得AP=

．

．

∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R=∴△ABC的外接圆的面积S=πR2=9π． 故选：C．

【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

第10页（共24页）

9．（2017?湘潭三模）如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=ex﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．

【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论． 【解答】解：由题意，阴影部分的面积为∵矩形区域OABC的面积为e﹣1， ∴该点落在阴影部分的概率是故选D．

【点评】本题考查概率的计算，考查定积分知识的运用，属于中档题．

10．（2015春?临沂期末）已知函数y=f（x）和函数y=g（x）的图象如下：则函数y=f（x）g（x）的图象可能是 （ ）

．

=

=e﹣2，

A． B． C．

D．

【分析】可以先判断函数y=f（x）和函数y=g（x）的奇偶性，由图象知y=f（x）为偶函数，y=g（x）为奇函数，所以y=f（x）g（x）为奇函数，排除B．利用函

第11页（共24页）

数的定义域为{x|x≠0}，排除D．当x→+∞，y=f（x）g（x）＞0，所以排除B，选A．

【解答】解：由图象可知y=f（x）为偶函数，y=g（x）为奇函数，所以y=f（x）g（x）为奇函数，排除B．

因为函数y=g（x）的定义域为{x|x≠0}，所以函数y=f（x）g（x）的定义域为{x|x≠0}，排除D．

当x→+∞，f（x）＜0，g（x）＜0，所以y=f（x）g（x）＞0，所以排除B，选A．

【点评】本题考查了函数图象的识别和判断，要充分利用函数图象的特点和函数的性质进行判断．当函数图象无法直接判断时，可以采取极限思想，让x→+∞或x→﹣∞时，函数的取值趋向，进行判断．

11．（2017?广州一模）已知F1，F2分别是椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左、

右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A．（

，1） B．（，1）

C．（0，

?

） D．（0，）

＜0有解，转化为c2＞x02+y02有解，求

【分析】由∠F1PF2为钝角，得到

出x02+y02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围． 【解答】解：设P（x0，y0），则|x0|＜a， 又F1（﹣c，0），F2（c，0）， 又∠F1PF2为钝角，当且仅当

?

＜0有解，

2

即（﹣c﹣x0，﹣y0）（c﹣x0，﹣y0）=（﹣c﹣x0）?（c﹣x0）+y0＜0， 即有c2＞x02+y02有解，即c2＞（x02+y02）min． 又y02=b2﹣

x02，

∴x02+y02=b2+x02∈[b2，a2），

第12页（共24页）

即（x02+y02）min=b2． 故c2＞b2，c2＞a2﹣c2， ∴

＞，即e＞

，

又0＜e＜1， ∴

＜e＜1．

故选：A．

【点评】本题考查了椭圆的性质，主要是求离心率的范围，考查了平面向量数量积在解题中的应用，体现了数学转化思想方法，解答此题的关键在于把存在一点P使∠F1PF2为钝角转化为

12．（2005?上海）设定义域为R的函数f（x）=

，则关于x

?

＜0有解．

的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同的实数解得充要条件是（ ） A．b＜0且c＞0

B．b＞0且c＜0

C．b＜0且c=0 D．b≥0且c=0

【分析】题中原方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有7个不同实数解，结合函数图象，对f（x）的取值情况进行分析，进而得出答案． 【解答】解：f（x）图象如下图：

令f（x）=t，

第13页（共24页）

由图象可得：f（x）=t＞0有4个不相等的根，f（x）=t=0有3个不相等的根，f（x）=t＜0没有实数根．

∵题中原方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有7个不同实数解， ∴t2+bt+c=0有两个实根，且一根为0，一根大于零 ∴c=0，b＜0 故选C．

【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．

二．填空题（共4小题）

13．（2016秋?江岸区校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，

，则f（﹣2+log35）=

．

【分析】可利用奇函数的定义将f（﹣2+log35）的值的问题转化为求f（2﹣log35）的值问题，再根据函数的性质求出f（﹣2+log35） 【解答】解：由题意f（﹣2+log35）=﹣f（2﹣log35） 由于当x＞0时，故答案为

，故f（﹣2+log35）=﹣f（log3）==

【点评】本题考查函数的性质，求解的关键是根据奇函数的性质将求值的问题转化到x＞0时来求，这是奇函数性质的一个很重要的运用．

14．（2016?湘阴县一模）已知（2x﹣展开式中常数项是 60 ． 【分析】根据题意，（2x﹣

）n的展开式的二项式系数之和为64，由二项式系

）n展开式的二项式系数之和为64，则其

数的性质，可得2n=64，解可得，n=6；进而可得二项展开式，令6﹣r=0，可得r=4，代入二项展开式，可得答案．

【解答】解：由二项式系数的性质，可得2n=64，解可得，n=6；

第14页（共24页）

（2x﹣6r6﹣r）的展开式为为Tr+1=C66﹣（?2x）（﹣?rr

）=（﹣1）?26﹣r?C66﹣r?，

令6﹣r=0，可得r=4， 则展开式中常数项为60． 故答案为：60．

【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．

15．（2017?广元模拟）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE、△EBF、△FCD分别沿DE、EF、FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为

．

【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径．

【解答】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF． 三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，

然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球， 正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：∴球的半径为故答案为：

． ．

=

．

【点评】本题考查三棱锥的外接球体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键．

16．（2017?清城区校级一模）已知等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，设{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若

第15页（共24页）

，n∈N*，则

d= 2 ，q= 2 ．

【分析】在已知等式中分别取n=1、2、3、4，得到关于a1，b1，d，q的方程组，求解得答案． 【解答】解：由

b1+1=2a1，b1+b1q+1=2a1+d，

，

联立以上各式解得：d=q=2． 故答案为：2，2．

【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式，考查计算求解能力，是中档题．

三．解答题（共6小题）

17．（2017?清新区校级一模）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．

（1）若△ABC面积S△ABC=

，c=2，A=60°，求a、b的值；

．

，得

（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．

【分析】（1）由A的度数求出sinA和cosA的值，再由c及三角形的面积，利用三角形的面积公式求出b的值，然后由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值；

（2）由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，代入已知的a=ccosB，化简可得出a2+b2=c2，利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，代入b=csinA，化简可得b=a，从而得到三角形ABC为等腰直角三角形． 【解答】解：（1）∵∴

，得b=1，

，

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=12+22﹣2×1×2?cos60°=3， 所以

．

第16页（共24页）

（2）由余弦定理得：所以∠C=90°； 在Rt△ABC中，

，所以

，∴a+b=c，

222

，

所以△ABC是等腰直角三角形．

【点评】此题考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

18．（2011?香坊区校级一模）已知某校5个学生的数学和物理成绩如下表 学生的编号i 数学xi 物理yi 80 70 75 66 70 68 65 64 60 62 1 2 3 4 5 （1）假设在对这5名学生成绩进行统计时，把这5名学生的物理成绩搞乱了，数学成绩没出现问题，问：恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少？

（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系的，在上述表格是正确的前提下，用x表示数学成绩，用y表示物理成绩，求y与x的回归方程；

（3）利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在（﹣0.1，0.1）范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”．

参考数据和公式：，其中，；

，

残差和公式为：．

第17页（共24页）

【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是A55，满足条件的事件是恰好有两个是自己的实际分，共有2C55，根据等可能事件的概率得到结果．

（2）分别做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出b的值，再做出a的值，写出线性回归方程，得到结果．

（3）做出残差平方差，得到结果是0，根据所给的残差平方和的范围，得到所求的线性回归方程是一个优拟方程．

【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是A55，

满足条件的事件是恰好有两个是自己的实际分，共有2C52， ∴恰有两个人是自己的实际分的概率是（2）=70，=66， b=a=40.8，

∴回归直线方程为y=0.36x+40.8． （3）∵残差和公式为：∵0∈（﹣0.1，0.1）， ∴回归方程为优拟方程．

【点评】本题考查变量间的相关关系，考查回归分析的应用，考查新定义问题，是一个基础题，注意题目的数字运算不要出错．

19．（2017?甘肃一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°． （Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由； （Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．

第18页（共24页）

=

=0.36，

=0，

【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．

（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．

【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD， ∵BC=CD=AD，∴ED=BC，

∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD． ∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE， ∵BE?平面PBE，∴CM∥平面PBE， ∵M∈AB，AB?平面PAB，

∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．

（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M， ∴AP⊥平面ABCD． ∴CD⊥PD，PA⊥AD．

因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°． ∴PA=AD．

不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），

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∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），

，可得：

．

设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）． 设直线PA与平面PCE所成角为θ， 则sinθ=

=

=

=．

【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

20．（2017?湖南二模）已知椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的

一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．

（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|?|PB|，并求λ的值． 【分析】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F1、F2构成等腰直角三角形，结合直线l与椭圆E只有一个交点，

利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标； （Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=圆幂定理求出λ的值， 从而证明命题成立．

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y，把椭圆E变为圆E′，利用

【解法二】设出点P的坐标，根据l′∥OT写出l′的参数方程，代入椭圆E的方程中，整理得出方程，

再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA|?|PB|求出λ的值．

【解答】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0， 则c2+b2=a2；

由题意，△F1F2C为直角三角形， ∴

=

++

，解得b=c==1；

a，

∴椭圆E的方程为

代入直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，

又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3， ∴椭圆E的方程为

2

+=1；

由b=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）； （Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=则椭圆E变为圆E′：x′2+y′2=6，

设此时P、A、B、T对应的点分别为P′、A′、B′、T′， 如图所示；

y，

则==，

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==，

两式相比，得：=，

由圆幂定理得，|P′T′|2=|P′A′|?|P′B′|， 所以

=，即λ=，原命题成立．

【解法二】设P（x0，3﹣x0）在l上，由kOT=，l′平行OT， 得l′的参数方程为代入椭圆E中，得整理得2t2+4t+

+2

﹣4x0+4=0；

，

=6，

设两根为tA，tB，则有tA?tB=而|PT|2=|PA|=|PB|=

且|PT|2=λ|PA|?|PB|， ∴λ=

=

=，

=2

；

，

=|=|

tA|， tB|，

即存在满足题意的λ值．

【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了参数方程的应用问题，是难题．

21．（2017?包头一模）已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）． （Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

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（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值．

【分析】（Ⅰ）先求原函数的导数得：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，由于a＞1，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． （Ⅱ）由已知条件得，当a＞0，a≠1时，f'（x）=0有唯一解x=0，又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，等价于方程f（x）=t±1有三个根，从而t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t即得．

【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna

由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，ax﹣1＞0，所以f'（x）＞0， 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（4分）

（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f'（0）=0，且f'（x）在R上单调递增， 故f'（x）=0有唯一解x=0（6分）

所以x，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：

又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根， 而t+1＞t﹣1，所以t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2（10分）． 【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

22．（2017?清城区校级一模）在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲

线C1，又已知直线l：（t是参数），且直线l与曲线C1交于A，

B两点．

（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）设定点P（0，

），求

+

．

【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，化曲线C1的方程为（x﹣1）

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2

+y2=1，再由图象变化吧的规律可得曲线C；

=1中，得+

．

，

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程运用韦达定理，参数的几何意义，即可求

【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1． ∴曲线C1的直角坐标方程为∴曲线C表示焦点坐标为（﹣

=1， ，0），（

，0），长轴长为4的椭圆

=1中，得

．

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程设A、B两点对应的参数分别为t1，t2， ∴t1+t2=﹣∴

+

，t1t2==|

， =．

【点评】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，属于中档题．

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