人教版高中数学必修一 1.3.1 函数的单调性 教学设计（全国一等奖

课 题：函数的单调性

一、教材分析 1、地位和作用

“函数的单调性”是北师大版高中数学必修1课本第一册第二章第三节，是函数的重要性质之一，是进一步学习函数的基础，在教材中起着承上启下的作用。一方面，是初中有关内容的深化，使学生对函数单调性的认识从感性层次提升到理性层次。另一方面，通过对函本节学习，为今后学习其他初等函数（如指数函数、对数函数）及数列等特殊的函数打下基础，此外本节内容与其它数学知识（如不等式、因式分解、函数的值域以及数形结合思想方法等）有紧密的联系。 2、教材结构

函数的单调性这一性质在初中只是通过图象的上升和下降直观观察得出，而本节对函数的单调性的要求则上升到理论的高度，要求学生用准确的数学语言表达，这种由形到数，由直观到抽象的转变对学生来说是比较困难的，教学中我从学生熟悉的函数图象（一次函数、二次函数）出发，利用图象的上升和下降，引导学生发现y随x的变化的变化规律,并将这种规律用数学语言表达出来,从而使学生逐步接受函数单调性的抽象定义。

3.教学重、难点

教学重点 函数单调性的概念；判断及证明简单函数的单调性． 教学难点 1.关于函数单调性概念的符号语言的认知，

2.应用定义证明函数的单调性的代数推理论证．

二、教学目标 1.知识与技能

（1）使学生从形与数两方面理解函数单调性和单调函数的意义； （2）掌握判断和证明函数单调性的方法——图象法和定义法． 2.过程与方法

（1） 培养学生观察、归纳、推理论证的逻辑思维能力和语言表达能力； （2）通过对函数单调性定义的探究，体会数形结合、分类讨论的数学思想； (3) 培养从概念出发，进一步研究其性质的意识和能力； 3.情感、态度、价值观

(1)由实际生活中的例子出发，引出学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习数学的兴趣。

(2)通过函数单调性概念的探究过程，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 三、教学方法

教师启发讲授，学生自主探究．

四、学法

在学习过程中，学生通过数形结合和类比的方法，观察图像，形成函数单调性的概念；通过小组讨论辨析，，加深对函数单调性概念的理解；在合作探究环节，分组讨论法，是将将自己的意见在小组内交换,达到取长补短,体验学习活动中的合作、交流。通过学生自主展示、点评，吸收所学内容，增强学习数学的热情；随后的当堂检测，做到及时巩固所学的知识；课后作业完成夯实基础，拓展知识的作用。 四、教学手段

计算机辅助教学 五、教学过程

（一）、创设情境，引入课题

今天早上，我们迎来了冬天的第一场大雾天气，雾的形成是因为地面的温度急剧下降，使得近地面空气层中的水汽凝结成小水滴，浮在空气中，便形成了雾。

那么我们来研究一下明天24小时内气温随时间的变化情况：

问题1 观察图形，能得到什么信息？ [教师活动]

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考 [学生活动]

学生独立思考，观察得出

(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻； (2)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 问题2 明天早晨有可能出现大雾天气吗？ [教师指出]

在生活中，我们关心很多数据的变化规律，比如：降雨量、燃油价格、股票价格等．了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． [教师归纳]

从函数的角度来看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是逐渐变大还是逐渐变小．

【设计意图】由生活情境引入新课，激发学生学习兴趣．

对于自变量变化时，函数值是逐渐变大还是逐渐变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，（板书课题），同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. （二）、明确目标，认识重、难点 1.学习目标

理解函数单调性的概念；掌握判断和证明简单函数单调性的方法——图像法和定义法。 2.学习重点

函数单调性的概念，判断和证明简单函数单调性的方法。 3.学习难点：

关于函数单调性概念的符号语言的认知；应用定义证明函数的单调性的代数推理论证． [学生活动]

认识了解，做到学习上有的放矢

【设计意图】在课前明确目标，认清重难点，可以缓解学生的学习压力，集中注意力，提高学习效率。

（三）、归纳探索，探求新知 （1）借助图象，直观感知

问题1：分别作出函数的图象，观察自变量变化时，函数值的变化规律？

[学生活动]

学生独立思考，组织语言； [教师活动]

教师引导学生得出以下结论：

(1)函数的整个图像从左到右呈上升趋势，因此在整个定义域内 y随x的增大而增大；

(2)函数的图像从左到右先下降再上升，因此在在上,y随x的增大而减小，在上 y随x的增大而增大，

【设计意图】在正式教学前，通过对学生熟悉的一次函数和二次函数进行分析，有利于学生集中注意力，激发学习兴趣。

问题2：同学们能否根据自己的理解，结合图像，说说函数的增减性? [学生活动]

学生独立思考，组织语言； [教师活动]

教师引导学生得出以下结论：

如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上是增加的（即单调递增）；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上是减少的（单调递减）．

如果函数在某个区间上是增加的或减少的，那么就说函数在这个区间上具有单调性 [教师指出]

这是我们从图象的角度直观的认识和描述了函数单调性（图象法）

【设计意图】从特殊到一般的设计，符合学生的认知规律，易于学生接受新知，为揭示函数单调性的定义做好铺垫，，思维上水到渠成。

（2）抽象思维，形成概念

问题3：当给出f(x)的解析式时，你能用数学语言来确定函数的单调性呢？

教师给出函数单调递增严格的定义，然后学生类比得出函数单调递减的定义． [教师活动]

(1)板书定义 (2)巩固概念

问题4：要证明函数 f (x) = x2 在上单调递增的，你认为下面两个同学的证法对吗？

甲同学 在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以在上为增函数． 乙同学 取多组数值验证均满足，所以在为增函数． [学生活动]

学生进行尝试，小组讨论辨析，口头展示探究结果 [教师活动]

引导学生明确两个自变量的值不可能被穷举，从而加深学生认识到两个自变量在给定的区间内“任取”的重要性．

【设计意图】用数学“符号语言”定义函数的单调性，是本节的难点，这样的设计，完成了对概念由感性到理性的认识．通过辨析甲乙同学的做法，加深对定义的理解，事实上也给出了证明单调性的方法，为下阶段的学习做好铺垫. （3）讨论研究，深化概念

例1 你能说出下列函数的单调区间吗？ [学生活动]

画出函数图像，由图象指出函数的单调区间[教师指出]

通过此题，强调以下点：

①如果函数在整个定义域内递增或递减时(如一次函数)，分别称这个函数为增函数或减函数

②有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．

问题1：在题（2）中能否将单调递减区间，改为?

[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]

在题（3）中能否将单调递减区间，改为? [教师指出]

函数在区间端点处没有单调性，因此开区间或闭区间均可以，但首先应注意函数的定义域，因为单调区间必须是函数的定义域的子集．

问题2：如果函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，能不能认为函数在上是增（或减）函数？ [学生活动]

引导学生观察例1(3)的图像,在定义域内任取-3和1，得出结论 问题3：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? [学生活动]

学生联系前面的问题，口答 例2 证明函数在上是增函数． [教师板书]

证明：任取, (取值)

(作差)

(变形)

,

（断号）

∴

∴

即

∴函数在上是增函数． （定论）

[教师活动]

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、断号、定论． 【设计意图】通过例题，给出用定义证明函数单调性的步骤和格式 （四）、合作探究 巩固练习

探究一、 写出下列函数的递增区间和递减区间？

探究二、证明：函数在上是增函数．[学生活动]

分小组讨论、探究、展示、点评。

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

【设计意图】培养提升学生的动手实践能力，通过讨论、展示、点评进一步强化巩固本节重难点。

（五）、归纳小结，提高认识

(1) 函数单调性的定义（直观感受——定性描述——定量定义） (2) 判断函数单调性的方法（图像法和定义法） (3) 证明函数单调性的方法和步骤

（定义法：取值——作差——变形——定号——定结）

[来源:学科网]

(4) 数学思想方法（特殊到一般、数形结合，等价转化）

【设计意图】有利于学生巩固所学知识，也能培养归纳、概括等能力，进一步完成能力目标和情感目标。） （六）、即时训练，强化新知

1.函数，则此函数的增区间是（ D ） A. B. C. D. 2.给出下列命题：

?? 在定义域内为减函数； ? 在上是增函数

? 在内为减函数； ? 不是增函数就是减函数

其中错误的命题是 ??? 3.定义在R上的函数对任意两个不等实数 ,总有成立，则必有（ C ） A.函数是先增后减 B.函数是先减后增 C.函数在R上是增函数 D.函数在R上是减函数

【设计意图】“温故而知新” “熟才能生巧” （七）、课后作业

1.书面作业：（必做题）习题2-3 A组第4，5 题

（选做题）习题2-3 B组第2题。

2.课后拓展：若定义在R上的单调减函数满足，试确定实 数a的取值范围吗？ 【设计意图】作业进一步反馈知识的掌握情况，进一步落实教学目标，根据学生的实际学习情况，分层次布置作业，符合因材施教的原则，让每一个学生都有所收获，同时，思考题也可也让那些学有余力的学生得到更好的发展，发挥自身的潜能， 附：板书设计：

一、 定义 函数的单调性 二、例题讲解 例2（略） 证明函数单调性的解题步骤（1） （2） （3） （4） （5） 三、合作探究 探究二（略） [来源:Zxxk.Com]（略） 注意： （1） （2） （3） 判断函数单调性的方法——图像法 定义法 四、小结 （1） （2） （3）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jwgr.html