江苏大学线性代数习题详解(7)

线性代数习题详解（7）

习题5.2

1. (1)解：A的特征多项式为：

|A- E|= 5 6 62 0

14 2 = 14

3 6 4 3 6 =(2- ) 10

1

14

2 3 6 4 =(2- ) 10

0 14

1 3 6

1

=-(2- )[(4- )(1+ )-6]=( -1)( -2)2 所以A的特征值为： 1=1 2= 3=2 当 1=1时， 解方程(A-E)x=0

A- E= 4

6 610 1 1

32 132 3 6 53 6

5

1

0 1

10 1

31 011 0

6 20

00

3 得基础解系 p1

1

1=

1

3 k1p1(k1 0)是对应于 1=1的全部特征向量

当 2= 3=2时， 解方程(A-2E)x=0 A-2E= 3

6 63 6 6 1

22 000 3

6 6000

2+ 2 4

1

0

0 2 200 00

22

得基础解系 p2= 1 p3= 0

01

k2p2+k3p3(k2、k3不同时为0)是对应于 2= 3=2的全部特征向量

(2)解：A的特征多项式为： 2 117

|A- E|= 23 2 = 2

334 311

=(7- ) 23

3310

=(7- ) 21

30

1

2 4

0 =(7- )(1- )2 1

7 3 3

7 2 4

所以A的特征值为： 1= 2=1 3=7 当 1= 2=1时， 解方程(A-E)x=0 111111

A-E= 222 000

333000 1 1

得基础解系 p1= 1 p2= 0

01

k1p1+k2p2(k1、k2不同时为0)是对应于 1= 2=1的全部特征向量 当 3=7时， 解方程(A-7E)x=0

5

A-7E= 2

111

42 1

211 1 33 300010

1 1

21

3 2 3

00

01

2 00

3

1 得基础解系 p3

= 32

1

3

k3p3(k3 0)是对应于 3=7的全部特征向量 (3)解：A的特征多项式为：

|A- E|= 2 2 22

25 4 = 2

2 45 2 2 =(1- ) 2 2 2

25 4

201 =(1- ) 6 2 2

105 4

001 =(1- )[(6- )(5- )-20]=(1- )2(10- ) 所以A的特征值为： 1= 2=1 3=10 当 1= 2=1时， 解方程(A-E)x=0 A-E= 12 2

12 2

24 4 00

0 2 44

000

2 25 4 0

1

22

得基础解系 p1= 1 p2= 0

01

k1p1+k2p2(k1、k2不同时为0)是对应于 1= 2=1的全部特征向量 当 3=10时， 解方程(A-10E)x=0 82 22 5 4

A-10E= 2 5 4 0 9 9

2 4 500020

01

00

111 000

1

211 00

1

2

得基础解系 p3= 1

1

k3p3(k3 0)是对应于 3=10的全部特征向量

2. 解：(1) 根据题意： 1

|A-0E|= a

1

a11b =0 b1

1+ab+ab-1-a2-b2=0 (a-b)2=0 a=b 0

|A-E|= a

1

a10b =0 b0

0+ab+ab-0-0-0=0 ab=0

a=b=0 (2) 解方程(A-0E)x=0 1

A-0E= 0

1

0110110 010 01000

1

得基础解系：p1= 0

1 解方程(A-E)x=0 0011

A-E= 000 0

10000

得基础解系：p2= 1

0 解方程(A-2E)x=0 10

A-2E= 0 1

101

得基础解系：p1= 0

1 1

故 P= 0

1

3. 证：设 为A的特征值，p为对应的特征向量 则 Ap= p A2p= A(Ap)=A( p)= Ap= 2p ∵ A=A2

0110 01

1100 01 100

1

0 0

0001 00

Ap=A2p p= 2p ( - 2)p=0

∵ p 0 - 2=0 故 =0 或 =1 即A的特征值等于0或1. 命题得证，证毕

4. 证：用反证法。假设p1+p2是特征向量， 是对应的特征值 则：一方面 A(p1+p2)= (p1+p2)

另一方面 A(p1+p2)= Ap1+Ap2= 1p1+ 2p2 (p1+p2)= 1p1+ 2p2 ( - 1)p1+( - 2)p2=0 由于p1、p2线性无关 故 - 1= - 2=0 = 1= 2

这与已知 1 2矛盾，所以假设不能成立，即p1+p2是特征向量。

命题得证，证毕

习题5.3

1. (1) 解：A的特征多项式为：

2 2 22

|A- E|= 25 4 = 2

2 45 2 2 2 2 2

=(1- ) 25 4

2016 2 2

=(1- ) 105 4

001 =(1- )[(6- )(5- )-20]=(1- )2(10- ) 所以A的特征值为： 1= 2=1 3=10 当 1= 2=1时， 解方程(A-E)x=0 1212 2

A-E= 24 4 00

00 2 44

2

0 0

25 0

2 4 1

22

得基础解系 1= 1 2= 0

01 2

令 η1= 1

225 4

η2= 0 1 = 4

5

501

1

2

25 4 单位化得：p1 1 = p2= =

35010

2

当 3=10时， 解方程(A-10E)x=0 82 22 5 4

A-10E= 2 5 4 0 9 9

2 4 500020

01

00

111 000

1

211 00

1

2

得基础解系 3= 1

1

3 2 22

单位化得 p3= 1 = 3

3

21

3

1

1

故，令

P=

23

132

3

则有P-1AP=diag(1,1,10)

(2) 解：A的特征多项式为：

3 1

3 |A- E|= 1

0 1 10

0 13 1

10 13

1111

10 =(3 ) 13

0 13 1 1013 1000

2 1 =(3 ) 12

0 13 1 1124 2

=(3 ) 1

13

=(3 ) 1

11

=(3 )2 1

11

=(3 )2 1

1

23 203 2

11 4 3 1 4

013 1 24 003 2 23

= 3 2 1 (5 )

所以A的特征值为： 1=1 2= 3=3 4=5 当 1=1时， 解方程(A-E)x=0

21

A-E= 12

0 1 101

0

00

0 110 10 02210 1

0112

00100100

1 202 2123 11 10

0 1 21101 002200022

得基础解系 1= 1

11

12

1 11

单位化得 p1= 1 = 212 1 211 2 当 2= 3=3时， 解方程(A-3E)x=0

A-3E= 1

0 1

10 110 10 0 10100100

0 10

10 1 000000

10

得基础解系 2= 0 3= 1

1001 [ 2 3]=0 2 3

10 0 01 单位化得 p2 = p3 =

100

01

0 当 4=5时， 解方程(A-5E)x=0

2

A-5E= 1

0 1

1 000

10 11 2 10 0 1 210001 20 1100 20 2

211 020

02

0 12

20 2 1 211 2311 10

00100100

得基础解系 4= 1

11

121 1 1

单位化得 p4= 1 = 12

21

211 2

11

0 22

1 1

02 故令 P= 2 110

x1

2. 解：设对应于1的特征向量为x= x2

x3

由于对应于-1的特征向量与对应于1的特征向量垂直 11

x满足方程

221

2

12

x11x

2 =0 1x

3

0 1

122

212

则有P-1AP=diag(1,3,3,5)

111111

00 1001

1

得基础解系 3= 1

01

故 P= 1

1

2 121 10

(P E)= 12

1100 1100012

1010 01101110001002 11

110

111

0

1 010122 1 100 20101

12

00

1 1

12

2

0 0012121

22

P-1=1 1 14

2

11 2 11

A=Pdiag(1,1,-1)P-1 =1

12 1100 1 142

12

1 010 11 2 11000 1 110

=1

12

12

12

1 14111 2 11

01 10 =1

02

= 010

2

20

01

00 00

2

001

习题5.4

1. (1) 解：f= x2 2xx11

x2

x23 2

2 1 2

10x2

3 A= 22 22

2 2 1

022 1 0

01 01 2 1001 20

0 R(A)=3

1

1 02

1 0 0

0 1

f的秩为3

(2) 解：f= x1

x2

12

x1

x3 1x

2 1 2 2x30 10

2

1

1

1

A= 1

2

1001001

2 1 20 1 010

001010 10

R(A)=3

f的秩为3

0 x1

2

1 100 x2x4 2

x3

003 2

x41

20 22

2

1

1

1

(3) 解：f= x1

x2x3

010 0 1211 100 2 100

A= 2 003 2003 2

10 1 22 0 22 2

2

1

1 2

01

00001 2

01

0000

0010 1 03 20

0 21001

0 1 01 100 10

100

21000010

000 1 1 1 2100 01

R(A)=4

f的秩为4

2. (1) 解：f= x1

x2

x3

0x4 1

00

1000000 1

x10

0 x2

x3 1

x40

1

|A- E|= 1

0000 = ( -1)2( +1)2

00

00 =( 2-1) ( 2-1) 1 1

特征值为 1= 2=1 3= 4=-1 当 1= 2=1时，解方程 (A-E)x=0 1

A-E= 1

00

10

0 1

0 10 1

01

0 0 10

0 1

1

000

0100

01 00

10

得基础解系 1= 1 2= 0

0 101 [ 1 2]=0 1 2

0100

10 单位化得 p1 = p2 =

0 1001 0

当 3= 4=-1时，解方程 (A+E)x=0

1

A+E= 1

0010

01010 1010 0 10

011

000001 1 0000

10

得基础解系 3= 1 4= 0

0101 [ 3 4]=0 3 4

10 10 单位化得 p3 = p4 =

01001 0 00 y1x100

x2 y2

故所求正交变换为： = y3x300x4y4 00 标准形为：f=y12+ y22- y32- y42

(2) 解：f= x1

x2

22x3 25

2 4

2x1 4 x2

x35

A的特征多项式为：

2 2 22

|A- E|= 25 4 = 2

2 45 2 2 2 2 2

=(1- ) 25 4

201

2

5 0

2 4 1

6 2 2

=(1- ) 105 4

001 =(1- )[(6- )(5- )-20]=(1- )2(10- ) 所以A的特征值为： 1= 2=1 3=10 当 1= 2=1时， 解方程(A-E)x=0 1212 2

A-E= 24 4 00

00 2 44

2

0 0

22

得基础解系 1= 1 2= 0

01 2

令 η1= 1

225 4

η2= 0 1 = 4

5

501

1

25 4 单位化得：p1 1 = p2= =

35010

2

2

当 3=10时， 解方程(A-10E)x=0 82 22 5 4

A-10E= 2 5 4 0 9 9

2 4 5000

20

01

00

111 000

1

211 00

1

2

得基础解系 3= 1

1

3 2 22

单位化得 p3= 1 = 3

3

21

3

1

1

x1

故所求正交变换为： x2 =x3

0 标准形为：f=y12+ y22+10y32

132

y1

y2 3

y32

3

(注：练习册答案中给出的答案错了。)

3. (1)解：f的矩阵为： 10

A= 4

12

4122 14 141

它的顺序主子式： 10>0

104

=20-16=4>0

42

102010412526

42 14 =4 21 7 =4 21 7

400 9712 14112 141 =4(-97-800)=-3588<0

f既非正定也非负定。

(2) 解：f的矩阵为： 52

A= 21

4 2 它的顺序主子式： 5>0

52

=5-4=1>0

2152 4

21 2 =25+16+16-16-20-20=1>0

4 25 f是正定的二次型。

4. (1)解：f的矩阵为：

11

A= 12

12t

12t 5 4 2 5

它的顺序主子式： 1>0

11

=2-1=1>0

1211 1

122t =10-2t-2t-2-5-4t2=3-4t-4t2

12t5 欲使所给二次型为正定二次型，须 3-4t-4t2>0

4t2+4t-3<0 (2t+3)(2t-1)<0 -2

23

1

故当-时，所给二次型为正定二次型。

2

2

31

(2) 解：f的矩阵为：

110

A= 13t

0tt 它的顺序主子式： 1>0 1

11

1

1

=3-1=2>0 310

3t =3t+0+0-0-t-t2=2t-t2 tt

欲使所给二次型为正定二次型，须 2t-t2>0 t2-2t<0 t(t-2)<0 0<t<2

故当0<t<2时，所给二次型为正定二次型。

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