第一章 函数极限与连续

《高等数学》（微积分）教案

【教学内容】§1.1 函数

【教学目的】理解并掌握函数的概念与性质 【教学重点】函数的概念与性质 【教学难点】函数概念的理解 【教学时数】2学时 【教学过程】

一、组织教学，引入新课

极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。 二、讲授新课 （一）实数概述 1、实数与数轴 （1）实数系表 （2）实数与数轴关系

?封闭性??有序性（3）实数的性质： ?

?稠密性?连续性?2、实数的绝对值

?x,x?0（1）绝对值的定义：x??

?x,x?0?（2）绝对值的几何意义 （3）绝对值的性质

练习：解下列绝对值不等式：① x?5?3，② x?1?2 3、区间

（1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间

设a与b均为实数，且a?b，则

1

《高等数学》（微积分）教案

数集{xa?x?b}为以a、b为端点的闭区间，记作[a，b] 数集{xa?x?b}为以a、b为端点的开区间，记作（a，b） 数集{xa?x?b}为以a、b为端点的半开半闭区间，记作[a，b） 数集{xa?x?b}为以a、b为端点的半开半闭区间，记作（a，b] 区间长度：b?a ② 无限区间

数集{xa?x???}记作[a，??）， 数集{xa?x???}记作（a，??） 数集{x???x?a}记作（??，a]， 数集{x???x?a}记作（??，a） 实数集R记作（??，??） （3）邻域

① 邻域：设a与?均为实数，且??0，则开区间（a??，a??）为点a的?邻域 记作U(a,?)，其中点a为邻域的中心，?为邻域的半径。 ② 去心邻域：在的?邻域中去掉点a后，称为点a的去心邻域，记作U(a,?) （二）函数的概念 1、函数的定义：

设有一非空实数集D，如果存在一个对应法则f，使得对于每一个x?D，都有一个惟一的实数y与之对应，则称对应法则f是定义在D上的一个函数. 记作y?f(x)，其中x为自变量，y为因变量，习惯上y称是的函数。

定义域：使函数y?f(x)有意义的自变量的全体，即自变量x的取值范围D

函数值：当自变量x取定义域D内的某一定值x0时，按对应法则f所得的对应值y0 称 为函数y?f(x)在x?x0时的函数值，记作y0?f(x0)。

值 域：当自变量x取遍D中的一切数时，所对应的函数值y构成的集合，记作M， 即M??yy?f(x),x?D? 函数的二要素： 定义域、对应法则

。 2

《高等数学》（微积分）教案

【例1.1】 设f(x)?1 ，求（1）f(x?1)；（2）x?1??1??f?f???． ??x?? 答：（1）f(x?1)?11?；

(x?1)?1x?x????x?1?1x?1x?1?x?1 2x?1 （2）f?f????f???1????x??【例1.2】 设f(x?1)?x2?4x?3，求f(x)，f??.

2?1??x?1?1??1??1?答： f(x)?x2?2x?6，f??=???2???6?2(1?2x?6x2)．

x?x??x??x?【例2】 判断下列每组的两个函数是否相同

（1）y?2lnx,y?lnx2， （2） y?x,y?【例3】求下列函数的定义域：

x2 ?1,1?4?x； （2）f(x)=? （1）f(x)?2x?2??1,0?x?11?x?2．

答：（1）Dy?(??,?2)?(?2,2)?(2,4]；（2）函数f(x)的定义域是[0，2]． 2、函数的表示法

（1）公式法：用数学表达式表示函数的方法

分段函数：当自变量在定义域内的不同区间取值时，用不同的表达式表示的函数

?1,x?0?x,x?0? 例如：绝对值函数y?x?? ； 符号函数y?sgnx??0,x?0

??x,x?0??1,x?0? 取整函数y?[x]?n,n?x?n?1 现行出租车的收费标准：p(x)????7.5,0?x?3

??7.5?1.5?x?3?,3?x 其中?x?表示不小于x的最小整数

（2）列表法：将一系列自变量x的数值与对应的函数值y列成表格表示函数的方法 （3）图形法：用图形表示函数的方法

3

《高等数学》（微积分）教案

说明：三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用. 3、函数的性质 （1）单调性

定义：设函数y?f(x)的定义域为D，区间I?D，若对I内的任意两点x1,x2，当x1?x2时，

f(x1)?f(x2)，则称y?f(x)在I上单调增加；若当x1?x2时，有f(x1)?f(x2)，则称f(x) 在I上单调减少，区间I称为单调区间. 说明：讨论函数的单调性必须指明所在的区间。 （2）奇偶性

定义：设函数y?f(x)在D上有定义，若对于任意的x?D，都有f(?x)?f(x)，则称 y?f(x)为偶函数；若有f(?x)??f(x)，则称y?f(x)为奇函数. 性质：奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称。

偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.

【例4】 判断下列函数的奇偶性．

ax?a?x1?x,(a?0,a?1) ； (2)y?ln（1）y?；

1?x2（3）f(x)?x4?2x2； （4）f(x)?x3?1． 答：(1) 偶函数； (2) 奇函数； （3）偶函数； （4）非奇非偶函数．

（3）有界性

定义：设函数的定义域为D，区间I?D，若存在一个正数M，使得对任意的x?I，恒有 f(x)?M，则称函数y=f(x)在区间I上有界。若不存在一个正数M，则称函数 y?f(x)在区间I上无界.

说明：讨论函数的有界性必须指明所在的区间。 例如：y?sinx与y?cosx都在（??,??）内有界.

y?

1

在（0，1）上无界，而在（1，2）上有界 x

（4）周期性

定义：设函数y?f(x)在D上有定义，若存在一个非零的实数T，对于任意的x?D，恒

4

《高等数学》（微积分）教案

有f(x?T)?f(x)，则称f(x)是以T为周期的周期函数.

最小正周期；周期函数的周期由无数个，其中正周期中最小的周期为最小正周期 说明：通常所说的函数的周期，指的是最小正周期，但有些周期函数无最小正周期 例如：y?sinx的周期是2?，y?tanx的周期是?，y?Asin(wx??)的周期是

函数y?c,（c为常数）是周期函数，但不存在最小正周期, （三）反函数

1、定义：设函数y?f(x)，其定义域为D，值域为M. 如果对于每一个y?M，有惟一 的一个x?D与之对应，并使y?f(x)成立，则得到一个以y为自变量，x为 因变量y的函数，称此函数为y?f(x)的反函数，记作x?f?1(y) 说明：x?f?1(y)的定义域为M，值域为D.

因习惯上自变量、因变量分别用x、y表示，则y?f(x)的反函数表示为y?f?1(x) 例如：y?x的反函数是y?x2(x?0)，

其定义域就是y?x的值域?0,???，值域是y?x的定义域?0,??? 2、性质：函数y=f(x)和其反函数y?f3、反函数的存在性：

一一对应的函数一定有反函数，从而严格单调的函数一定有反函数

【例5】 求下列函数的反函数

（1）y?2x?1,x?(??,??)； （2）y?ex?1,x?(??,??)

?12?. w(x)的图象关于直线y?x对称

（四）初等函数 1、基本初等函数

（1）常数函数y?c（c为常数），其图形为一条平行或重合于x轴的直线. （2）幂函数y?x?（?为实数）,其在第一象限内的图形

5

《高等数学》（微积分）教案

（1）xn?（3）xn?解：（1）xn?1n?1x? （2） nn?1n21 n(?3) （4）xn?4

1111的项依次为1，，，……，当n无限增大时，xn无限接近于0， n?124821 所以 limn?1=0

x??2n?1345 （2）xn?的项依次为2，，，……，当n无限增大时，xn无限接近于1，

n234n?1 所以lim?=1；

x??n （3）xn?1111??的项依次为，，，……，当n无限增大时，xn无限接近于0， 3927(?3)n 所以lim?x??1=0； n(?3)n?? （4）xn?4为常数数列，无论n取怎样的正整数，xn始终为4，所以lim4?4.

（二）函数的极限

1、当x??时，函数y?f(x)的极限 （1）当x??时，函数y?f(x)的极限

设函数y?f(x)在x?a时有定义（a?0），如果当自变量x的绝对值无限增大时，函数y?f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为当x??时，函数

y?f(x)的极限，记作limf?x??A（或当x??时，f(x)?A）.

x??（2）当x???时，函数y?f(x)的极限

设函数y?f(x)在x?a时有定义（a?0），如果当自变量x无限增大时，函数y?f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为当x???时，函数y?f(x)的极限，记作limf?x??A（或当x???时，f(x)?A）

x???（3）当x???时，函数y?f(x)的极限

设函数y?f(x)在x??a时有定义（a?0），如果x?0且x无限增大时，函数y?f(x) 11

《高等数学》（微积分）教案

无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为当x???时，函数y?f(x)的极限，记作limf?x??A（或当x???时，f(x)?A）

x???（4）定理：limf(x)?A的充要条件是limf(x)?limf(x)?A.

x??x???x??? 说明：只有当limf(x)与limf(x)都存在且相等时limf(x)才存在。

x???x???x??【例2】 讨论下列函数当x??时的极限.

1； （2）y?2x ； （3）y?arctanx. x11解：（1）当x无限增大时，无限接近于0， 所以lim=0；

x??xx （1）y? （2）lim2???，lim2?0， 所以lim2不存在.

x???x???x??xxx （3）limarctanx?x????2，limarctanx??x????2，所以limarctanx不存在.

x??2、当x?x0时，函数y?f(x)的极限 （1）当x?x0时，函数y?f(x)的极限

设函数y?f(x)在x0的某去心邻域N(x0,?)内有定义，如果当x无限趋近于x0时，

f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为当x?x0时函数f(x)的极限，记

0作limf?x??A或当x?x0，f(x)?A

x?x0??（2）当x?x0 及x?x0时，函数y?f(x)的极限

设函数y?f(x)在（x0??,x0）（或（x0,x0??））内有定义，若当自变量x从x0的左（右）近旁无限接近于x0，记作x?x0（x?x0）时，函数y?f(x)无限接近于

f(x)?A或一个确定的常数A，则称常数A为x?x0时的左（右）极限，记作lim?x?x0??f(x0?0)?A，il（mx?x0x?x0?f(x)?A或f(x0?0)?A）.

x?x0x?x0f(x)?limf(x)?A. （3）定理 limf(x)?A的充要条件是lim?? 说明：定义中并不要求f(x)在点x0处有定义；

f(x)与limf(x)都存在且相等 limf(x)存在当且仅当lim??x?x0x?x0x?x0 例如：函数y?2x，当x从1的左、右两旁无限趋近于1时，曲线y?2x上的点M与M＇都

12

《高等数学》（微积分）教案

无限接近于点N(1,2)，即函数y?2x的值无限接近于常数2，所以lim2?2.

x?1x

x2?1【例3】 考察当x??1时，函数y?的变化趋势，并求x??1时的极限.

x?1x2?1?x?1(x??1)的图形可知，当x从左、右两旁同时无限趋近于-1时， 解： 从函数y?x?1x2?1?x?1(x??1)的值无限趋近于常数?2， 函数y?x?1x2?1?lim?x?1???2. 所以limx??1x?1x??1【例4】讨论下列函数当x?0时的极限.

?1?（1）f(x)?sgn(x)??0??1?x?0x?0x?0?x?1x?0x?0； （2）f(x)??.

1?xx?0?x?0x?0x?0sgn(x)?lim1?1，limsgn(x)?lim(?1)??1， 解：（1）因为lim???? 所以 limsgn(x)不存在.

x?0f(x)?lim(x?1)?1，limf(x)?lim(1?x)?1， （2）因为lim????x?0x?0x?0x?0 所以 limf(x)?1.

x?0

13 《高等数学》（微积分）教案

【教学内容】§1.3 极限的运算 两个重要极限 【教学目的】理解并掌握极限的概念与运算 【教学重点】极限的概念与运算 【教学难点】极限概念的理解及运算 【教学时数】2学时 【教学过程】

一、组织教学，引入新课 二、讲授新课

（一）极限的四则运算 1、极限的四则运算

定理：设limf(x)?A，limg(x)?B,则

x?x0x?x0（1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?A?B；

x?x0x?x0x?x0（2）limC?f(x)?C?limf(x)?CA，（C为常数）；

x?x0x?x0（3）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?A?B；

x?x0x?x0x?x0limf(x)f(x)x?x0A（4）lim??(B?0)

x?x0g(x)limg(x)Bx?x0说明：（1）上述运算法则对于x??时的情形也是成立的

（2）法则(1)与(3)可以推广到有限个具有极限的函数的情形. （3）对于数列极限也是有类似的四则运算法则.

【例5】 求下列极限

2x2?3x?2（1）lim(x?2x?3)； （2）lim

x?1x?2x?12【例6】 求下列极限

13x2?4?). （1）lim； （2）lim(x?11?xx?2x?21?x3【例7】求下列函数极限.

3x2?4x?52x2?x?3（1）lim； （2）lim3.

x??4x2?x?2x??3x?2x2?1

14

《高等数学》（微积分）教案

sinx?1

x?0xsinx1、列表考察当x?0时，的变化趋势.

x（二）重要极限limx sinx x?1 ?0.5 ?0.1 ?0.01 ?0.001 ??0 0.8414709 0.9588511 0.9983342 0.9999833 0.9999998 ??1 sinx的值无限趋近于1， x 从上表可以看出，当x?0时， 所以limsinx?1

x?0x说明：极限的正确性可用极限存在准则证明

02、特点：型

0 limsin?(x)?1

x?x0?(x)(x??)【例1】求下列极限

sin2x1； （2）limxsin.

x?0x??3xxtanx?1. 【例2】证明：limx?0xsinx1sinx1tanx?)=lim?lim 证： lim=lim(=1

x?0x?0x?0x?0xxcosxxcosx（1）lim【例3】 求下列极限

sin5x1?cosxsinxlimlim； （2）； （3）.

x?0x?0tan3xx????xx2xxx2sin2sinsin1?cosx2?lim1?2?2?1 解：（1）lim?limx?0x?0x?02xx2x2x222sin5xsin5xlim5?sin5x5x=5x?05x=5 （2）lim=limx?0tan3xx?0tan3x3tan3x33?limx?03x3xsinxsin(??x) （3）lim=lim=1

??x?0x????x??x1x（三）重要极限lim(1?)?e

x??x11、列表考察当x??时，函数(1?)x的变化趋势.

x （1）lim

15

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jwbh.html