2009年数学建模作业题

《数学建模》期末作业题 2008-6-16

数学模型课程期末大作业题

1、生产安排问题

某厂拥有4台磨床，2台立式钻床，3台卧式钻床，一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作p1至p7。工厂收益规定作产品售价减去原材料费用之余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表（表1）：

表1 产 品 收 益 磨 垂直钻孔 水平钻孔 镗 刨 p1 10 0.5 0.1 0.2 0.05 0 p2 6 0.7 0.2 0 0.03 0 p3 8 0 0 0.8 0 0.01 p4 4 0 0.3 0 0.07 0 p5 11 0.3 0 0 0.1 0.05 p6 9 0.2 0.6 0 0 0 p7 3 0.5 0 0.6 0.08 0.05 各种产品各月份的市场容量如下表（表2）： 表2

产 品 一月 二月 三月 四月 五月 六月 p1 500 600 300 200 0 500 p2 1000 500 600 300 100 500 p3 300 200 0 400 500 100 p4 300 0 0 500 100 300 p5 800 400 500 200 1000 1100 p6 200 300 400 0 300 500 p7 100 150 100 100 0 60 每种产品存货最多可到100件。存费每件每月为0.5元。现在无存货。要求到6月底每种产品有存货50件。

工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。 不需要考虑排队等待加工的问题。

在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是规定了月份，而是选择最合适的月份维修。除了磨床外，每月机床在这6个月中的一个月中必须停工维修；

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6个月中4台磨床只有2台需要维修。扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值若何？

注意，可假设每月仅有24个工作日。 2、安排问题：

在某给定区域内均匀分布若干个几何形状相同的小区域（小区域为边长a的正三角形）。在每个区域中心安排一个寻呼台，管理部门将拿出一贯频域区间由于安排这些寻呼台，这个频域区间被规则地分成若干频域区间，分别被依次标号为：1、2、3、……，每一个寻呼台被分配给一个具有标号的频率小区间，只要不相互干扰，标号相同的频域小区间可以被分配多个寻呼台使用，为了避免干扰，在安排过程中，应满足以下要求：

1）、距离为2a以内的两个寻呼台的编号至少必须相差2，在4a以内的寻呼

台编号不能相同； 2）、除1）以外并考虑三角形区域在三个方向任意延伸的情况；

3）、除条件 1），2）外，但要求距离在2a以内的寻呼台编号至少相差R，此

时能够得到什么结果？ 请你在上述各种情况条件下建立数学模型，确立需要的频域区间的最小长度，即要求给出各种不同分配方案中所使用的最大编号达到最小。 3、电梯问题

某办公大楼有十一层高，办公室都安排在7，8，9，10，11层上．假设办公人员都乘电梯上楼，每层有60人办公．现有三台电梯A、B、C可利用，每层楼之间电梯的运行时间是3秒，最底层(一层)停留时间是20秒，其他各层若停留，则停留时间为10秒．每台电梯的最大的容量是10人，在上班前电梯只在7，8，9，10，11层停靠．为简单起见，假设早晨8∶00以前办公人员已陆续到达一层，能保证每部电梯在底层的等待时间内(20秒)能达到电梯的最大容量，电梯在各层的相应的停留时间内办公人员能完成出入电梯．当无人使用电梯时，电梯应在底层待命．请问：

把这些人都送到相应的办公楼层，要用多少时间？

怎样调度电梯能使得办公人员到达相应楼层所需总的时间尽可能的少？ 请给出一种具体实用的电梯运行方案． 4、食品加工问题

一项食品加工工业，为将几种粗油精炼，然后加以混合成为成品油。原料油有两大类，共5种：植物油2种，分别记为V1和V2；非植物油3种，记为O1、O2

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和O3。各种原料油均从市场采购。现在（一月份）和未来半年中，市场价格（元/吨）如下表所示：

油 V1 月份 一 二 三 四 五 六 1100 1300 1100 1200 1000 900 V2 1200 1300 1400 1100 1200 1000 O1 1300 1100 1300 1200 1500 1400 O2 1100 900 1000 1200 1100 800 O3 1150 1150 950 1250 1050 1350 成品油售价1500元/吨。

植物油和非植物油要在不同的生产线精炼。每个月最多可精练植物油200吨，非植物油250吨。精练过程中没有重量损失。精练费用可以忽略。

每种原料油最多可存储1000吨备用。存贮费为每吨每月50元。成品油和经过精练的原料油不能贮存。

对成品油限定其硬度在3与6单位之间。各种原料油的硬度如下表所示：

油 硬度 V1 8.8 V2 6.1 O1 2.0 O2 4.2 O3 5.0 假设硬度是线性地混合的。 为了使公司获得最大利润，应该取什么样的采购加工方案。 现存有5种原料油每种500吨。要求在六月底仍然有这么多存货。

研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格变化。考虑如下的价格变化方式：2月份植物油价上升x%，非植物油价上升2x%；3月份植物油价上升4x%；其余月份保持这种线性的上升势头。对于不同的x值（直到20），就方案的变化及对总利润的影响，作出全面计划。 对于食品加工问题，附加下列条件：

（1） 每个月最多使用3种原料油；

（2） 在一个月中，一种原料油如被使用，则至少要用20吨； （3） 如果某月使用了原料油V1和V2，则必须使用O3。

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扩展食品加工模型，以包含这些限制条件，并求出新的最优解。 5、生产计划

某厂有4台磨床，2台立钻，3台水平钻，1台镗床和1台刨床，用来生产7种产品，已知生产单位各种产品所需的有关设备台时以及它们的利润如表所示： 单件所需台时 ( 表1 )

产品 P1 设备 收益 磨 垂直钻孔 水平钻孔 镗孔 刨 10 0.5 0.1 0.2 0.05 0 P2 6 0.7 0.2 0 0.03 0 P3 8 0 0 0.8 0 0.01 P4 4 0 0.3 0 0.07 0 P5 11 0.3 0 0 0.1 0.05 P6 9 0.2 0.6 0 0 0 P7 3 0.5 0 0.6 0.08 0.05 从1月到6月份，下列设备需进行维修：1月—1台磨床，2月—2台水平钻，3月—1台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备在当月内不能安排生产。又知从1月到6月份市场对上述7种产品最大需求量如表所示： ( 表2 )

产品 P1 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 500 600 300 200 0 500 P2 1000 500 600 300 100 500 P3 300 200 0 400 500 100 P4 300 0 0 500 100 300 P5 800 400 500 200 1000 1100 P6 200 300 400 0 300 500 P7 100 150 100 100 0 60 当月销售不了的每件每月贮存费为0.5元，但规定任何时候每种产品的贮存量均不得超过100件。现在无库存，要求6月末各种产品各贮存50件。若该厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，假定不考虑产品在各种设备上的加工顺序，要求：

（a）该厂如何安排计划，使总利润最大；

（b）在什么价格的条件下，该厂可考虑租用或购买有关的设备。

6、配送问题

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一公司有二厂,分处A,B两市,另外还有4间具有存贮机构的库房,分别在P,Q,R和S市.公司出售产品给6家客户c1,c2??c6,由各库房或直接由工厂向客户供货.

配送货物的费用由公司负担单价见下表: 表一: 受货者 P库房 Q库房 R库房 S库房 客房C1 客房C2 客房C3 客房C4 客房C5 客房C6 供货者 P库房 Q库房 ---- 1.0 1.5 0.5 0.5 0.5 1.5 1.0 ---- 0.5 1.0 ---- A市厂

0.5 0.5 1.0 0.2 1.0 ---- 1.5 2.0 ---- 1.0 B市厂 ---- 0.3 0.5 0.2 2.0 ---- ---- ---- ---- ---- R库房 ---- 1.5 2.0 ---- 0.5 1.5 S库房 ---- ---- 0.2 1.5 0.5 1.5 注:单位元/吨;划”—“表示无供货关系. 某些客户表示喜欢由某厂或某库房供货.计有:

C1-------- A市厂 C2-------- P库房 C5--------Q库房

C6--------R库房或S库房

A市厂月供货量不能超过150千吨,B市厂月供货量不能超过200千吨.各库房月最大流通量千吨数为: 表二: 库房 流通量 P Q R S 70 50 100 40 各客户每月所必须满足的供货量为(单位:千吨): 表三:

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客户 C1 C2 C3 C4 C5 C6 要求货量 50 10 40 35 60 20 公司希望确定以下事项:

(1) 如何配货,总费用最低?

(2) 增加工厂和库房的生产能力对配送费用的影响是什么?

(3) 费用单价,工厂和库房生产能力以及客户对供货量的最低要求等,各微小变化对配货方案的影响是什么?

(4) 能不能满足客户对供货者的喜好选择?如果满足,会引起配送费用提高多少?

。 7、牧场管理

有一块一定面积的草场放牧羊群，管理者要估计草场能放牧多少羊，每年保留多少母羊羔，夏季要储存多少草供冬季之用 为解决这些问题调查了如下背景材料： ⑴本地环境下这一品种草的日生长率为： 季节 生长率（g/m2） 冬 0 春 3 夏 7 秋 4 ⑵ 羊的繁殖率 通常母羊每年产1—3只羊羔，5岁后被卖掉。为保持羊群的规模可以买进羊羔，或者保留一定数量的母羊。每只母羊的平均繁殖率为 年龄 产羊羔数 0—1 0 1—2 1.8 2—3 2.4 3—4 2.0 4—5 1.8 ⑶ 羊的存活率 不同年龄的母羊的自然存活率（指存活一年）为

年龄 存活率 1—2 0.98 2—3 0.95 3—4 0.80 ⑷ 草的需求量 母羊和羊羔在各个季节每天需要的草的数量（kg）为：

季节 母羊 羊羔 冬 2.10 0 春 2.40 1.00 夏 1.15 1.65 秋 1.35 0 注：只关心羊的数量，而不管它们的重量，一般在春季产羊羔，秋季将全部公羊和部分母羊卖掉，保持羊群数量不变。

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8、立方填充问题

27个立方体空盒,排成3×3×3的三维阵列,如图1所示.

如果三个盒在同一条水平线上,或同一条垂直线上,或同一条对角线上,则认为是三盒一线.这样的线共有49条;水平线18条,垂直线9条,水平面对角线6条,垂直面对角线12条,对角面对角线4条.

现在有13个白球—0,14个黑球—x,每个盒中放入一球.如何投放,使有单一色球的线数最少?

对一般n×n×n的三维阵列进行讨论，并对4×4×4，求解上列类似的问题

9疏散问题

甲市一家大公司由5个部门（A、B、C、D、E）组成。现要将它的几个部门迁出甲市，迁至乙市或丙市。除去因政府鼓励这样做以外，还有用房便宜、招工方便等好处。对这些好处已作出数量估价，所值每年万元数如下表： 部门 迁市 乙 丙

然而，疏散之后个部门间的通讯费用将增加。部门间每年通讯量如表：

部门 A B C D B 0 C 1000 1400 D 1500 1200 0 E 0 0 2000 700 A 10 10 B 15 20 C 10 15 D 20 15 E 5 15 7

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不同城市间单位通讯量的费用如下表（单位：元）

市 甲 乙 丙 甲 100 乙 130 50 丙 90 140 50 试求各个部门应置于何市，使年费用最少？ 10、农场计划

英国某农场主有81英亩土地的农场，用来饲养奶牛。现要为五年制定生产计划。现在他有120头母牛，其中20头为不到2岁的幼牛，100头为产奶牛。每头幼牛需用0.27英亩土地供养，每头奶牛需用0.4英亩。产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，出生后不久即卖掉，平均每头卖30英镑；另一半为母牛，可以在生出后不久卖掉，平均每头40英镑，也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。幼牛年损失5%；产奶牛年损失2%。产奶牛养到满12岁就要卖掉，平均每头卖120英镑。现有的20头幼牛中，0岁和1岁各10头；100头奶牛中，从2岁至11岁各有10头。应该卖掉的小牛都已卖掉。所有20头要饲养成奶牛。

一头牛所产的奶提供年收入370英镑。现在最多只能养130头牛，超过此数每多养一头，每年要多花费200英镑。每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7吨甜菜。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每英亩产甜菜1.5吨。只有32.4英亩的土地适合于种粮食，且产量不同。按产量可分作4组：第一组8.1英亩，亩产2.7吨；第二组12.1英亩，亩产2.2吨；第三组8.1英亩，亩产2吨；第四组4.1英亩，亩产1.6吨。从市场购粮食每吨90英镑，卖粮食每吨75英镑；买甜菜每吨70英镑，卖甜菜每吨50英镑。

养牛和种植所需劳动量为：每头牛每年10小时；每头产奶牛每年42小时；种一英亩粮食每年须10小时；种一英亩甜菜每年须35小时。

其他费用：每头幼牛每年50英镑；产奶牛每头每年100英镑；种粮食每亩每年37.1英镑；种甜菜每亩每年24.7英镑；劳动费用现在每年为4000英镑，提供5500小时的劳动量。超过此数的劳动量每小时费用为1.20英镑。 任何投资支出都从10年期贷款得到。贷款年利率15%，每年偿还本息总和的1/10，十年还清。每年货币的收支之差不能为负植。此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末较现在减少超过50%，也不希望增加超过75%。 应如何安排5年的生产，使收益最大？ 11、销售问题

一家大公司有二个分部D1和D2。该公司的业务是向零售商供应石油产品和酒精。

现在要将零售商划分给二个分部，由分部向属于它的零售商供货。这种划分要尽可能地使分部D1占有40%的市场，D2占有60%。零售商共23家，记作M1

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到M23。其中M1至M8在1区，M9至M18在2区，M19至M23在3区。有好的发展前途的零售商作为A类，其余为B类。各零售商目前估计占有的销售额，及所据有的货点数给出在表1（见附表）中。要求对分部D1和D2的这一划分。在下述七个方面，都接近于40/60比例，具体说，在每个方面，D1所占份额在35%至45%之间，当然D2所占份额在65%至55%之间。这七个方面是： （1） 货点总数；

（2） 酒精市场占有份额；

（3） 区1的油品市场占有份额； （4） 区2的油品市场占有份额； （5） 区3的油品市场占有份额； （6） A类零售商数； （7） B类零售商数。

第一步目标是根据七个方面都接近于40/60比例的要求找一个可行解，也就是说看这种划分法是否存在，如果存在，找出一种分法。

进一步，如果存在多种划分法的话，按下列两种目标分别求最优解： 目标（i）划分的七个方面的百分数对40/60的偏差总和最小； 目标（ii）最大偏差为最小。 附表：

油品市场区 零售商 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 M13 M14 M15 M16 （106加仑） 9 13 14 17 18 19 23 21 9 11 17 18 18 17 22 24 货点 11 47 47 25 10 26 26 54 18 51 20 105 7 16 34 100 酒精市场(106加仑） 34 411 82 157 5 183 14 215 102 21 54 0 6 96 118 112 分类 A A A B A A B B B A B B B B A B 9

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3 M17 M18 M19 M20 M21 M22 M23 36 43 6 15 15 25 39 50 21 11 19 14 10 21 535 8 53 28 69 65 27 B B B A B B B 12、农产品定价

某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。所有这些产品都直接或间接国家的原奶生产。原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组份，去掉供生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，供国内全年消费。 各种产品的百分数组成分见下表：

成分 产品 奶粉 奶油 奶酪1 奶酪2 脂肪 4 80 35 25 奶粉 9 2 30 40 水 87 18 35 35 往年的国内消费和价格如下表：

产品 消费量（千吨） 价格（元/吨） 奶粉 4820 297 奶油 320 720 奶酪1 210 1050 奶酪2 70 815 价格的变化会影响消费要求。为表现这方面的规律性，定义需求的价格伸缩性E：

需求降低百分数 E?价格提高百分数

各种产品的E值，可以根据往年的价格和需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性概念。从产品A到B的交叉伸缩性E12定义作

A需求提高百分数B价格提高百分数 E12?

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奶酪1到奶酪2的E12值和奶酪2到奶酪1的E21值，同样可以凭数据用统计方法求出。 已经求出牛奶、奶油、奶酪1和奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4，以及E12=0.1，E21=0.4。

试求4种产品的价格，使所导致的需求使销售总收入为最大。

然而，政策不允许某种价格指标上升。这使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加。因此，对问题的一个特别重要的附加要求，是对这一政策限制的经济代价，给出数量表示。 13、采矿问题

某地区有4个矿区，产同一种矿石。某采矿公司获得了这些矿在未来连续5年中的开采权。但在每年度中，该公司最多有能力开3个矿，而有一矿闲置。对于闲置的矿，如果这5年期内随后的某年还要开采，则不能关闭；如果从闲置起在这5年内不再开采，就关闭。对开采和保持不关闭的矿，公司应交付土地使用费。各矿每年土地使用额见表1第2行。各矿每年矿砂产量上限如表1第3行。不同矿所产矿砂质量不同。矿砂质量同一质量指数表示，见表1第4行。将不同矿的矿砂混合所成的矿砂，其质量指数为各组份的线性组合，组合系数为各组份在混成矿砂中所占的重量百分数。例如，等量的二矿砂混合，混成矿砂的质量指数为二组份指数的平均值。每年公司将各矿全年产出的矿砂混合，要生成具有约定质量指数的矿砂。不同年度的约定质量指数如表2所示。各年度成品矿砂售价每吨10元。年度总收入和费用开支，为扣除物价上涨价因素，以逐年9折计入5年总收入和费用中。 表1

矿 土地使用费（万元） 产量上限（万吨） 质量指数 表2 年度 质量指标 1 0.9 2 0.8 3 1.2 4 0.6 5 1.0 1 500 200 1.0 2 400 250 0.7 3 400 130 1.5 4 500 300 0.5 试问各年度应开采哪几个矿？产量应各为多少？ 14、电价问题

几个发电站负责满足下述电力负荷要求。在一天中

0点至6点 15000（MW，兆瓦）

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6点至9点 30000（MW，兆瓦） 9点至15点 25000（MW，兆瓦） 15点至18点 40000（MW，兆瓦） 18点至24点 27000（MW，兆瓦）

有三种类型的发电机可投入运输。1型12台，2型10台，3型5台， 表一给出了有关的数据。 类型 1 2 3 最低水平 850 MW 1250 MW 1500 MW 最高水平 2000 MW 1750 MW 4000 MW 最低水平每小时费用 1000 2600 2000 最高水平以上每兆瓦每小时费用 2 1.30 3 开动费用 2000 1000 500 表中第2，3列分别给出各类发电机运转的最低水平和最高水平。各发电机运转的水平不能超出这一范围。第4列给出在最低水平运转的每小时费用。第5列为在高于最低水平运转时，每超出一兆瓦，每小时的费用。另外，每开动一发电机也需要费用，这给出在第6列。

在满足估计的负载要求之外，在每开动一发电机应足够多，使得当负载增加不超过15%时，能够通调高运转着的发电机的输出（在最高水平界定的范围内）满足增载的要求。

试求在一天中的各段时间应使那些发电机运转，使总费用最低？

在一天中的每段时间，电力生产的边际费用各为多少？也就是说应当为电定什么价？

将后备输出保证的指标15%加以降低，费用节省情况如何？也就是说这一供电保险性的费用如何？

15、人力计划问题

某公司正经历一系列的变化，这要影响到它在未来几年的人力需求。由于装备了新机器，对不熟练工人的需求相对减少，对熟练和不熟练工人的需求相对增加；同时，预期下一年度的贸易量将下降，从而减少对各类岗位人力的需求。据估计，当前及以后三年需要的人员数如表1：

表1人数需求（单位：人）

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分类 现有人数 第一年需求 第二年需求 第三年需求 不熟练 2000 1000 500 0 半熟练 1500 1400 2000 2500 熟练 1000 1000 1500 2000 为了满足以上人力需要，该公司考虑为未来三年确定1、招工；2、再培训；3、解雇和超员雇佣。；4、设半日工的计划方案。

因工人自动离职和其它原因，存在自然减员问题，在招工中，受雇后不满一年就自动离职的人数特别多；工作一年以上再离职的人数就很少了。考虑到这一点，设自然减员率如表2：

表2 离职的人数比例

分类 工作不到一年 工作一年以上 不熟练 25% 10% 半熟练 20% 5% 熟练 10% 5% 当前没有招工，并且现有的工人都已工作一年以上。

1． 招工 假定每年可以招工的人数有一定的限制，如表3所示：

表3 每年招工人数上限（单位：人）

不熟练 500 半熟练 800 熟练 500 2． 再培训 每年可以将200个不熟练工人培训成半熟练工人，每人每年的培训费是400元。每年将半熟练工人培训成熟练工人的人数不得超过年当时熟练工人的四分之一，培训半熟练工人成为熟练工人的费用是500元。

把工人降等级使用（即让熟练工去做半熟练工或不熟练工的工作等），虽然这样公司不需要支付额外的费用，但被降等使用的工人中有50%会放弃工作而离职（以上所说的自然离职不包括这种情况）。

3． 解雇 解雇一名的不熟练工人要付给他200元，而解雇一个半熟练或熟练 工人要付给他500元。

4． 超员雇佣 该公司总共可以额外雇用150人，对于每个额外雇用的人员，公司要付给他额外的费用如表4： 表4额外招工的费用（单位：元/年）

不熟练 1500

半熟练 2000 熟练 3000 表5 半日工的费用（单位：元/年）

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不熟练 半熟练 熟练 500 400 400 5． 半日工 不熟练、半熟练或熟练工人可以各有不超过50名作为半日工，完成半个人的生产任务。每个工人的费用如表：

问题1：如果公司的目标是尽量减少解雇人员。为此，应如何运转？

问题2：如果公司的目标是尽量减少费用，能节省多少费用？导出每年每类岗位所节省的费用。 16、露天采矿

某公司获准在一块200m?200m的方形的土地上露天采矿。因为土石滑坡，控坑的坑边坡度不能陡于45o。公司已得到不同位置不同深度处的矿砂所含纯金属的百分数的估计值。考虑到坡度角对挖坑工作所加的限制，公司决定将问题作为长方形块的挖取问题处理。每个长方形块水平尺寸为50m?50m，铅直尺寸为25m。若在一个深度层挖了四块，则在下一层还可以挖一块；若俯视这5块的水平位置关系，将是如图1所示的情形（实线为上一层块，虚线为下一层块）。

这样一来，所能挖取的块数，第一层最多为16块，第二层最多为9块，第三层最多为4块，第四层最多为1块。不能再往深挖取。

所有这些可挖取的块，按已得的估计值，将各块含金属的百分数作为块的值，则各块的值如下： 第一层（地表层） 1.5 1.5 1.0 0.75 1.5 2.0 1.0 0.75 1.5 1.5 0.75 0.5 0.75 0.75 0.5 0.25 第二层（深25m处） 4.0 3.0 2.0 4.0 3.0 2.0 2.0 1.0 0.5 2

《数学建模》期末作业题 2008-6-16

第三层（深50m处） 12.0 5.0 6.0 4.0 第四层（深75m处） 6.0 挖取费用随深度增加。各层的块挖取费用为： 层 块费用 一 二 三 四 3000 6000 8000 10000 挖取一块的收入同该块矿砂的值成正比；从一个值为100的块的收入为200000。 试建一模型以帮助决定挖取哪些块，使收入减费用之差为最大。 17、系统可靠性问题

系统由若干个部件串接而成，只要一个部件出现故障，系统就不能正常工作，为提高系统可靠性每个部件都装有备件，一旦原部件出现故障，备件就自动进入系统。显然，备件越多系统可靠性越大，但费用也越高。问题是在一定的费用下，如何配置各部件使系统的可靠性最大。

(1) 由n个部件串接的系统，当部件k配置j个备件时，该部件正常工作的概率及费用均已知，在总费用不超过定值的条件下，建立使系统的可靠性最大的模型。

(2) 设n=3且每个部件至多配置3个备件，部件k配置j个备件时正常工作的概率pkj及费用ckj如下：

pkj 部件号k 1 2 3 备件数量j 1 2 3 0.5 0.7 0.9 0.7 0.8 0.9 0.6 0.8 0.9 Ckj 部件号k 1 2 3 备件数量j 1 2 3 2 4 5 3 5 6 1 2 3 总费用不超过10，如何配置各部件的备件数使系统的可靠性最大。 18、配送问题

[配送问题一]：一公司有二厂，分处A、B两市，另外还有4间具有存贮机构的库房，分别在P、Q、R和S市。公司出售产品给6家客户C1,C2,...,C6，由

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23、工件的安装与排序问题

某设备由24个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。 Ⅰ．设备的24个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边缘上，放在每个扇形区域的4个工件总重量与相邻区域的4个工件总重量之差不允许超过一定值（如4g）。 Ⅱ．工件的排序不仅要对重量差有一定的要求，还要满足体积的要求，即两相邻工件的体积差应尽量大，使得相邻工件体积差不小于一定值（如3 ）； Ⅲ．当工件确实不满足上述要求时，允许更换少量工件。 问题1．按重量排序算法；

问题2．按重量和体积排序算法；

问题3．当工件不满足要求时，指出所更换工件及新工件的重量和体积值范围，并输出排序结果。

请按下面两组工件数据（重量单位：g ，体积单位： ），进行实时计算：

序号 重量 体积 序号 重量 体积 1 348 101.5 1 358.5 103 2 352 102 2 357.5 103 3 347 105 3 355 103 4 349 105.5 4 351 103.5 5 347.5 106 5 355.5 103 6 347 104 6 357 102 7 330 94 7 341 96 8 329 98 8 342 96.5 9 329 100.5 9 340 95.5 10 327.5 98.5 10 344 97 11 329 98 11 342.5 95.1 12 331.5 99 12 343.5 96.5 13 348.5 104.5 13 357.5 102.5 14 347 105 14 355 103 15 346.5 107.5 15 353.5 103.5 16 348 104.5 16 356.5 103.5 17 347.5 104 17 356 103.5 18 348 104.5 18 352.5 104 19 333 97 19 342.5 98 20 330 97 20 344 96.5 21 332.5 99 21 339.5 98 22 331.5 98 22 341.5 96 23 331.5 96.5 23 341 96 24 332 94.5 24 345 97

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《数学建模》期末作业题 2008-6-16

24、水、气阀门问题

常见的水、气阀门开关时，旋转的角度与流量之间不是线性关系。有一些场合要求二者为线性关系，这为设计制造提出了一个难题。比如阀体为两个圆柱形筒，外筒固定，侧面有一个圆形的孔；内筒可旋转，侧面也有一个孔，流体从两个孔的相交部分流过，于是问题就是如何设计内筒的孔的形状，使相交部分的面积与旋转的角度尽量为线性关系，并且在开到最大角度时，相交部分就是外筒的圆。 如果把圆柱展开为平面，即为两个长方形。圆筒的转动转化为两个长方形的相对平动。固定的长方形上有一个圆孔，请设计可移动长方形上孔的形状。 试根据以上条件建模

25、军用设备的海中投放

军方需要用轰炸机定点空投一军用球型设备到某海域，飞机速度为100米/秒，球型设备半径为0.1米，密度为0.85，当地海水密度为1.03，若此设备在水中的摩擦力与速度相反，且成正比，比例系数=0.5公斤.秒/米，（ g = 9.8 ）。 （1）、军方希望球型设备不要落入比65米还深的海水里，请你分析飞机当时应飞行的高度。

（2）、军方也关心球型设备停在海面上时的位子，请你给出。

（3）、描述球型设备的轨迹特征，并给出球型设备的一种轨迹图。

26、农场计划

英国某农场主有200英亩土地的农场，用来饲养奶牛。现要为五年制定生产计划。现在他有120头母牛，其中20头为不到2岁的幼牛，100头为产奶牛，但他手上已无现金，且欠别人帐20000英镑须尽早用利润归还。每头幼牛需用2/3英亩土地供养，每头奶牛需用1英亩。产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，出生后不久即卖掉，平均每头卖30英镑；另一半为母牛，可以在生出后不久卖掉，平均每头40英镑，也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。幼牛年损失5%；产奶牛年损失2%。产奶牛养到满12岁就要卖掉，平均每头卖120英镑。现有的20头幼牛中，0岁和1岁各10头；100头奶牛中，从2岁至11岁各有10头。应该卖掉的小牛都已卖掉。所有20头要饲养成奶牛。

一头牛所产的奶提供年收入370英镑。现在最多只能养160头牛，超过此数每多养一头，每年要多花费90英镑。每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7吨甜菜。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每英亩产甜菜1.5吨。只有80英亩的土地适合于种粮食，且产量不同。按产量可分作4组：第一组20英亩，亩产1.1吨；第二组30英亩，亩产0.9吨；第三组20英亩，亩产0.8吨；第四组10英亩，亩产0.65吨。从市场购粮食每吨90英镑，卖粮食每吨75英镑；买甜菜每吨70英镑，卖甜菜每吨50英镑。养牛和种植所需劳动量为：每头牛每年10小时；每头产奶牛每年42小时；种一英亩粮食每年须4小时；种一英亩甜菜每年须14小时。

其他费用：每头幼牛每年50英镑；产奶牛每头每年100英镑；种粮食每亩每年15英镑；种甜菜每亩每年10英镑；劳动费用现在每年为6000英镑，提供5500小时的劳动量。超过此数的劳动量每小时费用为1.80英镑。

贷款年率10%，每年货币的收支之差不能为负值。此外，农场主不希望产奶

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《数学建模》期末作业题 2008-6-16

牛的数目在五年末较现在减少超过50%，也不希望增加超过75%。 应如何安排5年的生产，使收益最大？

27、 雷达测船

海面上一轮船沿直线匀速前行，速度为30公里/小时，船上有一雷达可用来测距、测角，船长关心的是周围目标那些是活动的船，那些是不动的岩石，若是活动的船，请按下面假设，分析有关因素，给出船的运动方向和速度。 1、若船上雷达测距、测角是准确的，请你给出你的结论。 2、若船上雷达测距、测角是有误差，请你给出你的结论。 3、进一步的问题：

（1）、误差怎样表述更合理？

（2）、有关数据和误差怎样时，你难于下结论？

4、若船长40分钟前测得一目标距离 d1=50公里，与本船前进方向成 a1=80 度角，现测得此目标距离 d2=75公里，与本船前进方向成 a2=105 度角，请给出你的结论。

28、制定月建造计划

某市某著名房地产公司通过对历史资料进行回归分析（即数据拟合），并结合今年上半年可能出现的影响楼盘销售的因素，预测该公司2005年上半年的销售情况如下表所示： 月份 销售量（套） 1 42 2 32 3 41 4 67 5 25 6 29 该公司的楼盘2004年12月的销售均价为4000元/平方米，平均每套120平方米，今年上半年的售价保持不变。2004年12月末尚有49套现房未售出。商品房从规划到售出会发生下列费用：（1）建造成本，包括固定成本（主要是指购地、机器设备的折旧）和可变成本（钢材、水泥、装饰材料和人工成本等，其中人工成本在可变成本中占到大约40％），按照2004年12月份的建材价格计算，可变成本（万元）与商品房建造套数（以平均每套120平方米计算）的平房成正比，比例系数是0.5。且可变成本与建材价格上涨幅度有关，例如建材价格上涨10％，则可变成本是按前面方法计算结果的1.1倍。（2）销售费用。与当月的销售金额成正比。（3）折旧，建造好的商品房未售出的必须计提折旧，折旧分40年平均摊销，即该公司生产的商品房平均每套每月的折旧为48万元/（40×12）＝0.1万元。

2004年以来，央行和发改委出台了一系列措施平抑建材价格，但由于对建材需求结构而言，总体上求大于供的市场状况没有得到根本改善，预计今年上半年

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《数学建模》期末作业题 2008-6-16

建材的价格仍会有一定的增长。预计的增长速度（以2004年12月的价格为基准）见下表： 月份 增长速度 1 10％ 2 10％ 3 20％ 4 20％ 5 30％ 6 30％ 该公司希望在上半年就把建造好的房屋全部销售完，为使利润最大化，需要制定出从2005年1月到6月每月的建造计划（即每月完成多少套，以平均每套120平方米计算）。

（1）如果公司的月建造能力没有限制，并且允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在6月底前全部完成交房，如何制定月建造计划？

（2）如果公司每月的建造能力限于33套（以平均每套120平方米计算），并且允许期房销售，但在6月底前要全部完成交房，又该如何制定月建造计划？ 29、洁具流水时间设计

某洁具生产产家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供使用。 方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，为使用者离开后再放水一次，持续时间为10秒。

方案二：使用者开始使用洁具，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为T。但若使用时间超过2T-5秒，则到4T时刻再开始第三次放水，持续时间也为T……

在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过两次。

该厂家随即调查了100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间（单位：秒）见下表： 时间（秒） 人次 12 13 14 15 16 17 18 1 5 12 60 13 6 3 （1）请你根据以上数据，比较这两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？并为该厂家提供设计参数T（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的；

（2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。

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《数学建模》期末作业题 2008-6-16

30、人力资源安排问题

“PE公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示。

表1 公司的人员结构及工资情况

高级工程师 人 数 9 日工资（元） 250 工程师 17 200 助理工程师 10 170 技术员 5 110 目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2所示。

表2 不同项目和各种人员的收费标准

A 收费 B （元/天） C D 高级工程师 1000 1500 1300 1000 工程师 800 800 900 800 助理工程师 600 700 700 700 技术员 500 600 400 500 为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3 所示：

表3：各项目对专业技术人员结构的要求

高级工程师 工程师 助理工程师 技术员 总计 A 1～3 ≥2 ≥2 ≥1 ≤10 B 2～5 ≥2 ≥2 ≥3 ≤16 说明：

? 表中“1～3”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“～”符号的同理；

? 项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能

参加；

? 高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工

程师的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；

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C 2 ≥2 ≥2 ≥1 ≤11 D 1～2 2～8 ≥1 -- ≤18

《数学建模》期末作业题 2008-6-16

? 各项目客户对总人数都有限制；

? 由于C、D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。 由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41。因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？并写出相应的论证报告。 31、零件装配优化

在航空工业中，特别在飞机工业制造过程中，各零部件合理装配非常有助于提高整机的性能。

现有19个零件均匀装配在一个圆盘周围，每个零件具有频率和质量，装配时要求满足以下条件：

1.相邻零件应具有频率差，且为一大一小分布；

2.相邻零件频率差应不小于6Hz，允许在不相邻的三处，相邻零件频率差不小于4Hz；

3. 整个圆盘上的配重值不大于10g , 配重值计算公式为：则： a. 设计满足上述要求的优化算法，并用表2中三组数据验证； b.如果数据可做局部调整（可换一个零件），分析对装配效果的影响。 表2 数据 序号 频率Hz 质量g 序号 频率Hz 质量g 序号 频率Hz 质量g 1 111 70 1 96 39 1 96 32 2 108 65 2 100 32 2 113 90 3 112 86 3 108 62 3 106 59 4 100 32 4 98 10 4 96 27 5 102 50 5 110 59 5 100 48 6 100 36 6 98 32 6 96 41 7 99 10 7 98 20 7 96 25 8 106 67 8 108 74 8 105 55 9 98 26 9 110 49 9 112 63 10 102 35 10 98 5 10 97 42 11 97 16 11 98 12 11 97 25 12 100 20 12 98 30 12 97 49 13 109 71 13 96 16 13 108 60 14 99 38 14 108 80 14 96 20 15 109 93 15 109 60 15 112 62 16 113 72 16 107 52 16 111 82 17 109 66 17 108 59 17 110 84 18 100 27 18 98 39 18 97 45 19 101 66 19 102 37 19 108 47

32、制陶材料优化设计

硅酸盐（Si3N4）制陶材料是一种强度高、耐磨、抗氧化和耐高温的材料，它广

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《数学建模》期末作业题 2008-6-16

泛应用于高温结构的材料中，如切割工具、齿轮、内燃机部件及航空、航天飞行器的有关部件等。影响这种材料的强度的因素有： A：加热方案，A1=两步，A2=一步；（其中“两步”包括“一步”上的预烧结阶段）. B：四种烧结添加剂CaO,Y2O3,MgO和Al2O3的总量，B1=14摩尔%，B2=16

摩尔%，B3=18摩尔%。

C：CaO的含量，C1=0.0摩尔%，C2=1.0摩尔%，C3=2.0摩尔%。 D：Y2O3的摩尔%与MgO的摩尔的比率，D1=1:1, D2=1:2, D3=1:6. E：Y2O3的摩尔%与Al2O3的摩尔%的比率，E1=2:1, E2=1:1, E3=1:4. F：烧结温度，F1=1800oC, F2=1850oC, F3=1900oC. G：烧结时间，G1=1h, G2=2h, G3=3h.

为了寻找使得该种材料的强度达到最高的工艺条件，特此安排了如下试验方案，测量数据见表1.

一、根据表1的测量数据，试建立合理的数学模型，并对试验结果进行分析； 二、寻找使得强度最大的最优工艺条件；

三、对你所建立的模型进行误差分析并做出评价；

四、你能否提出一种更合理的试验设计计划及试验结果的分析方法？ 五、 就你的研究对有关部门试写一份申报科技进步奖的报告。

表1、陶瓷试验方案及强度数据表

试验号 因素 A B C D E F G 1 2 2 1 3 1 3 1 2 1 2 2 3 1 1 2 3 3 1 2 2 1 3 2 1 2 3 2 1 3 1 2 1 2 3 1 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 3 2 1 1 1 1 3 2 1 2 1 1 3 1 1 3 3 2 2 2 3 1 3 1 2 2 1 1 3 2 2 2 2 3 2 2 1 3 2 3 2 2 1 1 2 2 3 1 3 3 3 3 2 3 3 1 2 2 1 2 1 2 3 2 2 3 2 1 1 3 2 2 3 2 1 3 1 1 1 1 强度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 996.8 783.6 796.9 843.8 816.2 714.3 824.4 647.1 667.9 534.3 617.7 616.3 552.3 552.6 596.0 517.8 526.1 498.1 499,5 1002.0 1097.0 882.9 940.1 806.5 933.5 964.9 1046.0 801.5 803.2 846.2 756.4 739.2 863.3 797.0 929.6 615.0 627,5 583.9 597.1 563.9 795.9 854.0 937.0 999.2 724.8 850.9 921.8 990.6 943.5 840.9 513.0 665.9 718.9 646.4 831.3 981.4 912.5 950.7 987.3 806.1 908.1 627.6 855.0 727.3 643.9 584.0 643.4 602.1 836.8 716.3 862.9 796.2 1001.0 937.6 955.3 995.8 1009.0 注：因素栏中数字“i”表示因素在试验中处于第i水平

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《数学建模》期末作业题 2008-6-16

33、分组问题 问题：

有一组数据，由F1、F2、F3三个属性组成，对该组数据分组，使分组后每组评价值之和最小。 条件： 1、分组

属性F2最大变化范围：900～1450，按属性F2分组，每组（档）间隔50，最多可分为12组（档）。G1＝[900,950]…，G12＝[1440,1450]。每个数据记录，按其属性F2可划入12组的若干组（档），具体由F2的取值范围[L, R]决定：与区间[L, R]交集不为空的所有Gi（i=1,2,…,12）。由于每一数据记录存在多个可能的分组，故存在一个最优分组问题，使每一数据分完组后，总体评价值最优。 2、评价值定义

设划归到组Gi的全部数据的属性F3值总和为F3total，则该组的评价值为mod(F3total，300)，即F3total被300整除后的余数。

要求：编程语言写一段算法程序，找出所有数据记录的最优分组并给出每组的最优评价值。

仿真数据： F2 F3 F1 L R 1 1450 1250 19527 2 1273 1023 19387 3 1432 1182 21856 4 1089 900 16575 5 1450 1224 22159 6 1450 1223 22152 7 1450 1223 22152 8 1273 1023 19387 9 1450 1275 24030 10 1450 1221 22137 11 1450 1220 22130 12 1450 1220 22130 13 1270 1020 19331 14 1450 1220 22130 15 1450 1220 22130 16 1450 1270 22491 17 1450 1272 22506 18 1450 1224 22159 19 1274 1024 19407 20 1450 1224 22159 21 1450 1224 22159 22 1450 1224 22159

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《数学建模》期末作业题 2008-6-16

23 1450 1202 22000 24 1450 1245 22311 25 1450 1220 19276 26 1450 1220 19276 27 1450 1222 18270 28 1450 1220 18255 29 1450 1220 18255 30 1450 1224 19305 31 1450 1224 19305 32 1450 1210 22106 33 1390 1140 21388 34 1317 1067 20221 35 1450 1299 22752 36 1450 1222 19291 37 1450 1295 22672 38 1269 1019 19077 39 1244 994 18648 40 1386 1136 21267 41 1450 1315 22868 42 1450 1361 23148 43 1055 900 16176 44 1075 900 16411 45 1450 1238 22260 46 1269 1019 19077 47 1450 1291 23157 48 1450 1236 22245 49 1436 1186 21884 50 1056 900 15998 51 1450 1270 22870 52 1450 1238 22870 53 1369 1119 20949 54 1269 1019 19077 55 1269 1019 19077 56 1269 1019 19077 57 1370 1120 20968 58 1450 1322 22867 59 1269 1019 19077 60 1450 1274 22520 61 1450 1219 22870 62 1394 1144 21417 63 1440 1190 21914 64 1450 1272 22506 65 1450 1272 22506

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66 1450 1270 22491 67 1450 1292 22650 68 1398 1148 21492 69 1411 1161 21704 70 1372 1122 21006 71 1450 1276 22535 72 1445 1195 21950 73 1055 900 16176 74 1075 900 16411 75 1385 1135 21510 76 1296 1046 19824 77 1412 1162 21711 78 1382 1132 21453 79 1450 1217 22108 80 1450 1269 22484 81 1450 1271 22498 82 1375 1125 22488 83 1347 1097 22166 84 1362 1112 22338 85 1442 1192 22870 86 1450 1220 23192 87 1450 1220 23192 88 1183 933 17777 89 1450 1220 23192 90 1450 1220 19276 91 1450 1220 19276 92 1450 1220 19276 93 1450 1220 19276 94 1450 1220 19276 95 1450 1220 19276 96 1310 1060 18317 97 1450 1264 22448 98 1394 1144 22706 99 1450 1272 22506 100 1450 1202 22000 101 1156 926 17549 102 1450 1220 22130 103 1450 1272 22506 104 1170 920 17435 105 1271 1021 19350 106 1421 1171 21776 107 1450 1270 22491 108 1450 1233 22224

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109 1185 935 17720 110 1356 1106 20706 111 1450 1270 22491 112 1450 1348 23054 113 1275 1025 19189 114 1450 1220 22130 115 1270 1020 19331 116 1270 1020 19331 117 1450 1220 22130 118 1450 1220 22130 119 1123 900 17077 120 1153 903 17217 121 1450 1240 22274 122 1269 1019 19311 123 1176 926 17549 124 1271 1021 19350 125 1270 1020 19096 126 1450 1270 22491 127 1450 1270 22491 128 1450 1342 23011 129 1270 1020 19331 130 1270 1020 19331 131 1450 1270 22491 132 1450 1290 22636 133 1450 1250 22347 134 1298 1048 19620 135 1250 1000 18721 136 1290 1040 19470 137 1450 1274 23932 138 1450 1309 23932 139 1450 1344 23932 140 1450 1220 22130 141 1450 1220 22130 142 1450 1220 22130 143 1450 1220 22130 144 1370 1120 21226 145 1450 1220 22130 146 1270 1020 19331 147 1270 1020 19331 148 1450 1270 22491 149 1450 1270 22491 150 1450 1270 22491 151 1450 1238 22260

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152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 1270 1270 1450 1270 1270 1270 1270 1275 1320 1072 1170 1072 1198 1248 1450 1450 1273 1450 1450 1450 1295 1393 1193 1450 1450 1450 1344 1450 1273 1273 1450 1273 1271 1450 1450 1271 1450 1450 1185 1450 1020 1020 1220 1020 1020 1020 1020 1025 1070 900 920 900 948 998 1270 1270 1023 1223 1241 1239 1045 1143 943 1270 1293 1270 1094 1286 1023 1023 1223 1023 1021 1221 1220 1021 1220 1220 935 1221 19331 19331 22130 19331 19331 19331 19331 19425 20401 16376 17435 16376 17966 18914 22491 22491 19387 22152 22282 22267 19804 21574 17871 22491 22657 22491 20733 22607 19387 19387 22152 19387 19350 22137 22130 19350 22130 22130 17827 22137 34、货物调运

已知该地区有生产该物资的企业三家，大小物资仓库八个，国家级储备库两

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《数学建模》期末作业题 2008-6-16

个，其分布情况见附件2。经核算该物资的运输成本为高等级公路2元/公里?百件，普通公路1.2元/公里?百件，假设各企业、物资仓库及国家级储备库之间的物资可以通过公路运输互相调运，请给出各个仓库应该从哪个企业调运。

35、运输问题

某货运公司拥有3辆卡车，每辆载重量均为8000kg，可载体积为9.084m3，该公司为客户从甲地托运货物到乙地，收取一定费用。托运货物可分为四类：A、鲜活类B、禽苗类C、服装类D、其他类，公司有技术实现四类货物任意混装。平均每类每kg所占体积和相应托运单价如下表：

类别 体积（m3/kg） 托运单价（元/kg） A、鲜活类 0.0012 1.7 B、禽苗类 0.0015 2.25 C、服装类 0.003 4.5 D、其他类 0.0008 1.12 20

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托运手续是客户首先向公司提出托运申请，公司给予批复，客户根据批复量交货给公司托运。申请量与批复量均以公斤为单位，例如客户申请量为1000kg，批复量可以为0～1000kg内的任意整数，若取0则表示拒绝客户的申请。

问题l、如果某天客户申请量为：A类6500kg，B类5000kg，C类4000kg，D类3000kg，如果要求C类货物占用的体积不能超过B、D两类体积之和的三倍(注意：仅在问题1中作此要求)。问公司应如何批复，才能使得公司获利最大? 问题2、每天各类货物的申请总量是随机量，为了获取更大收益，需要对将来的申请总量进行预测。现有一个月的数据(见附件一)，请预测其后7天内，每天各类货物申请量大约是多少?

问题3、一般，客户的申请是在一周前随机出现的，各类申请单立即批复，批复后即不能更改，并且不能将拒绝量(即申请量减批复量)累计到以后的申请量。请根据你对下周7天中各类货物申请量的预测，估算这7天的收益各为多少?

附件一 某月申请量数据表(单位：kg)

日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1l 12 13 14 A类 1601 5421 1890 4439 1703 3232 376 1167 1897 3737 1807 1628 1723 2584 B类 2845 2833 4488 4554 2928 3497 2261 6921 1391 3580 4451 2636 3471 3854 C类 4926 2871 4447 2996 5088 2829 3893 6706 8064 3386 5317 3112 4226 4520 D类 2239 243 2750 1484 4378 3593 2117 1873 1750 5938 1459 7757 2441 1373 总计 11611 11368 13575 13473 14097 13151 8647 16667 13102 16641 13034 15133 11861 12331 21

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15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1551 2479 1199 4148 2449 2026 1690 3374 2015 2480 850 2249 1674 3666 2029 1238 3556 2659 4335 2882 4084 1999 2889 2175 2510 3409 3729 3489 3172 4568 4015 3666 3494 2918 2860 5514 2008 5822 2840 2893 1121 1663 2736 4552 8794 5552 11953 9552 2365 2660 3078 3636 3081 3204 1318 4083 3833 1773 2519 6050 4710 1179 2393 2579 10966 10716 11472 16180 11622 13051 8737 12525 9479 9325 9834 16340 18350 14965 20390 17035 36、安排问题

在某给定区域内均匀分布若干个几何形状相同的小区域（小区域为边长为a的正三角形）。在每个区域中心安排一个寻呼台，管理部门将拿出一个频率区间用于安排这些寻呼台，这个频率区间被规则地分成若干个频率小区间，分别被依次标号为1，2，3 . . .，每一个呼台被分配给一个具有标号的频率小区间，只要不相互干扰，标号相同的频率小区间可以被多个呼台使用，为了避免干扰，在安排过程中应满足以下要求之一：

1） 距离在2a以内的两个呼台的编号至少必须相差2，在4a以内的寻呼台编号不能相同。

2） 除条件（1）外，并考虑三角形区域在三个方向任意延伸的情况。 3） 除条件（1），（2）外，现要求距离在2a以内的寻呼台编码至少相差R，此时，能够得到什么结果？

请你在上述各种条件下，建立数学模型，确立需要的频率区间的最小长度，即要求使给出各种不同分配方案中所使用的最大编号达到最小。

37、产的养殖与捕捞 人工养殖的水产业（如养殖场中虾的养殖），其产量的增加一般与养殖费（包括饲料、工资、技术费等）成正比。而当养殖场虾量达到养殖场最大允许虾量时，养殖费投入再大也不会使虾量增加。但若不投入养殖费，养殖场中的虾将会慢慢

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《数学建模》期末作业题 2008-6-16

死去。

现考虑养殖场中某种虾的养殖与固定努力量捕捞。用x(t)表示养殖场中第t月的虾量（单位：斤），用y(t)表示第t月的月养殖费（单位：元/月）.根据以往经验和市场调查，我们有如下数据：

1）这种虾的自然死亡率为?,??0.05（1/月）； 2）环境容许的最大虾量为N，N?104（斤）；

3）在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量x(t)的增加速度与月养殖费

其比例系数是x(t)的函数；当x(t)达到N时，此函数为0；当x(t)为y(t)成正比，

0时，此函数为常数?，?＝1（斤/元）；

4）虾的捕捞采用拉网式固定努力量捕捞，即每月的捕捞量与此时养殖场虾量x(t)成正比，比例系数为E.这种拉网式捕捞每次捕到的虾中出现小虾，中虾、大虾的概率分别为0.2、0.5、0.3,而捕捞成本为?,??0.1(元斤）；

5）小虾、中虾、大虾平均每斤的批发价格分别为5元，7元和10元. （1）若某人长期承包这养殖场，要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养殖费y(t)与该月虾量x(t)成正比，比例系数为a,a?0.2（元/斤﹒月）。试制定捕捞策略（确定E），使虾的月利润最大，此时每月养殖场的虾量及利润各是多少？

（2）若某人承包此养殖场5年，且月养殖费y(t)与该月虾量x(t)成正比，比例系数为a,又取E＝0.08（1/月）。试制定养殖策略（确定a）,使5年的总利润最大。如果初始虾量为103斤，那么使获利最大的开始捕捞的月份是多少？

（3）若某人承包此养殖场5年，每月按强度E?0.1（1/月）捕捞，试制定养殖场策略（确定养殖费y(t)）,使5年的总利润最大.

备用习题 1：战争模型

设战争开始时，甲方有x0门甲种大炮，乙方有y0门乙种大炮，甲种大炮的杀伤力为A，乙种大炮的杀伤力为B。

假设在战争中，双方的大炮数都得不到补充，只会不断减少。一方的大炮数减为零，就算这一方失败。

考虑以下两种情况：

1） 作战时，双方都知道对方大炮的位置，可以瞄准攻击。单位时间内，任何一方大炮数的减少量与对方现有的大炮数和杀伤力成正比。

2） 作战时，双方都不知道对方大炮的位置，只能盲目攻击。单位时间内，任何一方大炮数的减少量与对方现有的大炮数和杀伤力，以及我方现有的大炮数成正比（因为是盲目攻击，我方大炮数越多，被对方偶然击中的可能性越大）。 问：

1） 在这种情况下，双方的大炮数按怎样的规律变化？

2） 战争的胜负与双方的大炮的初始值和杀伤力是什么关系？ 3） 如果一方有两种大炮可供选择，一种价高杀伤力也高，一种价低杀伤力也底，在军火开支有限的情况下，应选择哪一种大炮？ 4） 对这一模型是否还有可以作其他的推广和改进？ 2、薄膜渗透率的测定

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某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿透它，从高浓度的溶液向低浓度的溶液扩散的功能，在试制时需测定薄膜被这种分子穿透的能力。测定方法如下：用面积为S的薄膜将容器分成体积分别为 VA、VB的两部份，在两部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。此时该物质分子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度溶液中扩散。通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系数K表征了薄膜被该物质分子穿透的能力，称为渗透率。定时测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度值，以此确定K的数值。

（1） 试对一般的问题建立以数学模型求出参数K的表达式。

（2） 设VA=VB =1000立方厘米，S =10平方厘米，对容器的B部分溶液浓度的测试结

果如表1。

表1

tj (s) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Cj(×10-5) 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59 其中Cj的单位：毫克/立方厘米。

试根据这组数据区出参数K和初始A,B容器中溶液的浓度。 3、电视塔问题

1）若将电视塔的信号覆盖区看成一圆形区域。这个圆的半径作为此电视塔的传

播半径，试求出电视塔的塔高h与传播半径R之间的关系。

2）若不考虑电视讯号的衰减，要把北京的电视讯号用电视塔发射出去，使得五千里以外的边疆也能收到，需要建多高的电视塔？这种作法可行吗？若改由微波中继站的方式，把电视讯号像接力赛那样一站一站传递下去，假设微波中继站的塔高为100米，需建几座微波中继站？ 4、药物吸收

药物既用于会引起感染的飞逸的有害细菌也用于补偿由于某些器官功能失常导致的不平衡（例如，在糖尿病患者中胰岛素的不平衡）。医生面临的总是是决定用药的量及频率。如果在人体中药的浓度太低，则将引起严惩的副作用以至死亡。试建立一个能用于决定最优用药方案的在人体内药物吸收的数学模型。 5、遗传病问题

某些人类的特征（例如，眼睛的颜色）是遗传继承的。特别有趣的是血友病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止。男人，女人都会得这种病，但是只有女人才有遗传地传递这种缺损的能力。换言之，得这种

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《数学建模》期末作业题 2008-6-16

遗传病的男人不能把这种缺损遗传地传递给他的下一代。当给定某时刻的男人和女人比例时，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型。 6、标靶设计

掷标靶是一种流行的游戏，一个圆形标靶被分成20个相等的扇行区域，在这些区域填有数字1-20表示飞标落在相应区域的得分，游戏规则是各选手轮流掷镖，每轮的得分从他的总分301中减去，首先恰好减至0分者获胜，试建立模型说明如何安排扇行区域的数字能增加掷镖的难度。 7、交通管理

大城市心脏地区的交通流主要依赖于交通管理的方案。这种管理方案包括：（1）在每一个交叉路口的交通管理色灯（即红绿灯）的交替循环，（2）不同交叉路口之间的色灯间的同步，交通管理色灯交替循环由一串或固定或可变的持续时间的红黄绿信号组成。如果控制方案很差则在一个或多个交叉路口排起长对会增加车辆穿过城市的时间。我们现在研究就问题就是研制一种能使车辆穿过城市的预期时间极小的方案。我们最终目的是了解交通现象，以便于减少交通拥挤，消除事故，增加车流量，改善交通状况. 8、后代遗传基因问题

遗传性质的携带者称为基因，基因是成对出现的。一般地，一对中的每个基因可以取两种不同形式（等位基因）A和a。在一个总体中基因A和a的比例是基因频率，相应地记为p 和q=1-p。两种等位基因可形成三个基因型：AA、Aa和aa（Aa和aA无区别）。一个后裔分别都以1/2的概率接受父亲的两个基因中的任何一个，接受母亲的两个基因中的任何一个，形成一对。

1交配进行了n代，第n+1代中出现AA 、Aa和aa的可能性各是多少？ 2对于三种基因型：AA、Aa和aa，亲本总体有比例为u:2v:w(u>0, v>0, w>0; u+2v+w=1) 交配至地n代，求第n代中AA 、Aa和aa的比例各是多少？ 3如果设a是这样的一个基因，基因型为 aa的人将在童年死去，请研究遗传风险的大小。

9、讨论一个有关军事的模型

对敌方武器实施无线电对抗，是一种强有力的对抗手段，可以采用下列几种基本的无线电对抗手段：

１．使用特制的反雷达涂层，这种涂层能减小有效反射面积；

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《数学建模》期末作业题 2008-6-16

２．施放积极干扰； ３．施放消极干扰。

采用反雷达涂层，可以使敌方雷达设备的作用半径显著减小。对雷达施放干扰时，干扰类型、干扰强度以及战斗运用方法不同，被干扰的火力装置的效能所受到的影响也极不相同。由于受到干扰，雷达设备中的某些组件，或单独地或以各种不同组合形式完全失效或局部失效。

１．假设甲方与乙方进行对战，甲方的战斗单位是一架用装有k枚“空－地”导弹进行攻击的歼击机，乙方对甲方的火力装置施以无线电对抗。问：由于受到来自乙方的无线电对抗，甲方的战斗行动效能将降低多少？

２．一般情况下，甲方可以使用n个战斗单位（如导弹、飞机等）对乙方进行攻击，乙方可以使用m个干扰设备对甲方的火力装置施以无线电对抗。请建立关于无线电对抗的战斗行动模型，并对无线电对抗的效能进行评价。

10、电梯控制问题

我校科技楼北楼有两台电梯。等电梯的人给出要上下的信号，电梯只有在空闲或同方向行进时才接受这个指令。然而，电梯经常出现十分拥挤的状况，特别在上下课的时候，要等很长的时间，所以埋怨声很多。你能否为电梯设计一个调度方案，减少大家的等待时间，减少师生的不满。

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《数学建模》期末作业题 2008-6-16

11、有价证券投资

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级，到期年限、收益如下表所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50％的税率纳税，此外还有以下限制： （1） 政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2） 所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)； （3） 所购证券的平均到期年限不超过5年。 证券名称 证券种类 信用等级 到期年限/年 到期税前收益/% A 2 9 4.3 市政 B 2 15 5.4 代办机构 C 1 4 5.0 政府 D 1 3 4.4 政府 E 市政 5 2 4.5 试问：

1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？

2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？并考虑利率在什么范围内变化时，投资方案不改变？

在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

12、医疗保障基金额度的分配

某集团下设两个子公司：子公司A、子公司B。各子公司财务分别独立核算。每个子公司都实施了对雇员的医疗保障计划，由各子公司自行承担雇员的全部医疗费用。过去的统计数据表明，每个子公司的雇员人数以及每一年龄段的雇员比例，在各年度都保持相对稳定。各子公司各年度的医疗费用支出见下表。

表 公司A、公司B的医疗费用支出（单位：万元） 年度 公司A 公司B 1980 8.28 8.81 1981 8.76 9.31 1982 9.29 10.41 1983 10.73 11.61 1984 10.88 11.39 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993

11.34 11.97 12.02 12.16 12.83 13.90 14.71 16.11 16.40 12.53 13.58 13.70 13.32 14.32 15.84 14.67 14.99 14.56 27

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