第八章 组合变形

第八章 组合变形

内容提要

一、组合变形综述

组合变形：拉伸、压缩、弯曲、剪切、扭转称为基本变形。构件同时产生两种或两种以上的基本变形时称为组合变形。

组合变形的计算方法：在小变形且材料在线弹性范围内工作时，将组合变形分解成几种基本变形，分别计算各基本变形时的应力和位移，将其各自叠加，可得到组合变形时的应力和位移。

二、斜弯曲

斜弯曲的概念：在横力弯曲时，设梁上的横向力通过横截面的弯曲中心(梁不产生扭转变形)。当横向力的方向和横截面的形心主轴平行时，梁产生平面弯曲，即外力作用面和挠曲面平行；当横向力方向和横截面的形心主轴不平行时，梁产生斜弯曲，即外力作用面和挠曲面不平行。斜弯曲时，外力和中性轴不垂直，挠度仍垂直于中性轴。

斜弯曲的计算方法：将横向力向两个形心主轴方向分解，在两个形心主轴方向的横向力作用下，梁在两个形心主惯性平面内分别发生平面弯曲。分别计算两个平面弯曲时的应力和位移，将其各自叠加，就得到斜弯曲时的应力和位移。

▲正多边截面梁，不会产生斜弯曲。

▲横截面具有外棱角(例如工字形、矩形、角形等)时，危险点位于危险截面的角点处，该处为单向应力状态，其强度条件为

?max???? (8-1)

▲圆截面梁，不会产生斜弯曲，且圆截面对任一形心轴的弯曲截面系数均为W?M??d322y3中性轴aMz(d为圆截面的直径)。于是

?M2zz ?????MMW (8-2)

bMyM?max?y图8?1 式中，My、Mz分别为绕y、z轴的弯矩，M为总弯矩，M的矢量方向为中性轴，?max发生在图中的a和b点处。

三、拉伸(压缩)与弯曲

Ⅰ、构件发生拉伸(压缩)与弯曲组合变形时，分别计算其中拉伸(压缩)与弯曲时的应力，并将其叠加就得到组合变形的应力。

II、构件受偏心拉伸(压缩)荷载作用时，将偏心力向横截面的形心简化，得到一轴向荷载以及绕横截面的形心主轴弯曲的弯矩My和Mz。偏心拉伸(压缩)仍然是拉伸(压缩)与弯曲的组合变形问题。

1、横截面具有外棱角(例如工字形、矩形等)时，危险点在横截面的外角点处，该点处于单向应力状态，只需计算出最大正应力，便可建立强度条件。

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2、横截面没有外棱角时，如图8-2截面，y、z为形心主轴，需首先确定中性轴位置，才能确定危险点位置，中性轴方程为

1?zFz0iy2ay(yF,zF)切点az?yFy0iz2?0 (8-3)

切点式中，yF、zF为偏心力的偏心矩，y0、z0为中性轴任一点的坐标，iy、iz为截面的惯性半径。中性轴为不通过形心的直线，其截矩公式为

ay??iz2中性轴图8?2 yF，az??iy2zF (8-4)

III、截面核心

当偏心力作用在截面形心附近的一个封闭区域的边界上时，中性轴和截面周边相切，这个封闭区域称为截面核心。

z例如图8-3所示为任意形状截面，y、z为形心主轴，当偏心力

21分别作用在1、2、3、4点时，对应的中性轴为切线①、②、③、④。 43y1、偏心力作用在截面核心时，截面只产生一种应力，偏心拉

伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力。 2132、砖、石、混凝等材料的拉伸强度较低，这类材料的偏心受4压杆，最好是偏心压力作用在截面核心上。 图8?3 3、确定截面核心的方法：作一系列和截面周边相切的切线作为中性轴，中性轴的截矩ay、az为已知，由中性轴的截距公式得

yFi??iz2ayi ，zFi??iy2azi2?n? (8-5) ?i?1、由yF、 zF可得到截面核心边界上一系列的点,这些点的连线即为

iiAF截面核心边界。要特别强调，截面周边的切线一定不能穿过截面。例

如图8-3所示截面中不能用凹进去的曲线的切线作为中性轴，又如不能用图8-4所示的角形截面的DE和EF边作为中性轴，因为它们穿过

B截面。

ED图8?4Cz 四、弯扭组合变形

以图8-5所示圆截面钢杆为例，横截面上的内力为弯矩My、

MzdxTyMzyM、扭矩T。其第三和第四强度理论的强度条件分别为

图8?5 第 2 页 共 16 页

?r?3?M?M2y?MW2z??T2?2M2?T2W?M2????22y?r?4?M2z??0.75T?0.75TWW???? ????? ?? (8-6)

式中， W??d323，M?M2y?M2z 注：第三和第四强度理论各有三种形式： ① ?r??1??3????

3?r?41??????2??????2??????2????? 122331?2?② ?r??2?4?2????

3?r?4??3?M222????

③ ?r?3?T2W2????

?r?4M?0.75TW2????

其中：①为原始公式，

?2?适用于所有应力状态(图MM8-6a)。 ?TdT②仅适用于图示的特殊??1平面应力状态(有一个正交

?c?(b)方向的正应力等于零)(图?3?a?8-6b)。 图8?6 ③仅适用于圆截面杆的弯扭组合变形(图8-6c)。

小结：以上对几种典型的组合变形进行了分析，工程中还会遇到更复杂的组合变形问题，例如，拉伸(压缩)与斜弯曲的组合变形；偏心拉伸(压缩)与弯曲的组合变形；弯曲与扭转及拉伸(压缩)的组合变形等等。不论组合变形多么复杂，只要认真进行分析，弄清楚组合变形是哪几种基本变形的组合，分别计算每一种基本变形的应力，再利用叠加法计算组合变形的应力，确定危险点的应力状，从而建立相应的强度条件。

例8-1 图示矩形截面杆，受力F1和F2作用，已知，F1?5kN，F2?100kN，b?50mm，

h?100mm，l?1m，E?200GPa，??0.3。试求：

1、杆中的最大拉应力和最大压应力，并指出它们的作用点位置； 2、k点处沿45°方向的线应变?45

o第 3 页 共 16 页

解：1、求?xmat,和?c,max

12zb本题为斜弯曲和轴向拉伸的组合变形。将F1沿形心主轴y、z方向分解为

F1y?F1cos30

?5?0.866?4.33kN ???

ok4345l2?F2y30B?F1?kzykxhkAyl2?k(b)?k?a?例8?1图 F1z?F1sin30?5?0.5?2.5kN ??o?

A截面的内力为

FN?F2?100kNMz

?F1yl?4.33?1?4.33kN?m?F1zl?2.5?1?2.5kN?mMy

最大拉应力和最应力分别为

?t,max?FNA?MzWz?MyWy?100?103?650?100?10FNA?6?4.33?1023?950?100?10My?6?2.5?1023?9100?50?10?132MPa?c,max??MzWz?Wy??92MPa

?t,max和?c,max分别发生在A截面的1点和3点。

2、求k点处的线应变?45

ok点处的应力为

?k?FNA?MyWy?100?103?650?100?103?6?0.5?2.5?10100?50?103?62?93?50MPa

?k?3F1y2A?4.33?10250?100?10?1.3MPa

k点的应力状态如图b所示，k点处沿45°方向的线应变为

?45?o??E1145o????45o??1????????????????????E??2??2??

??23.7?106?0.3?26.3?106???79.0?10?69?200?10?

例8-2 图a所示悬臂梁，由200mm?200mm?20mm的等边角钢组成，在自由端受集

中力F作用，F力的作用线通过等边角钢竖直肢的中心线，F=20kN，l=1m。试求梁的最

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大拉应力和最大压应力。

解：等边角钢的弯曲中心位于两肢中线的交点处，y和z轴为形心主轴，F力通过弯曲中心，梁不会产生扭转，F力和形心主轴方向不平行，梁产生斜弯曲。

将F力沿形心主轴y、z方向分解为

FFlzaaCyaABCz20056.9zy20?a?FzF例8?2图22Fyy?b?56.9200 Fy?Fz?Fsin45??F

在两个形心主惯性平面内的弯矩分别为

My?Fzl?M2220?1?14.14kN?m

z?Fyl?14.14kN?m

在My作用下，y为中性轴，最大拉应力和最大压应力分别发生在A截面的a(c)和b点处；在Mz作用下，z为中性轴，最大拉应力和最大压应力分别发生在A截面的a和c两点处。

角钢的几何性质为 Iy?11.80?106mm4，Iz?45.55?106mm，形心C的坐标已示于图中，b点和a(c)点坐标的绝对为

yb?0，zb?2?56.9?80.5mm

22ya?22?200?141.1mm，za??200?80.5?60.6mm

a、b、c三点的应力分别为

?a?MyzaIy?MzyaIz?14.14?10?60.6?1011.80?10?106?123?3?14.14?10?141.1?1045.55?10?106?123?3

?72.6MPa+43.8MPa=116.4MPa ?拉应力?

?b?MyzbIy??14.14?10?80.5?1011.80?10?63?3?96.5MPa ?压应力?

?33?3?c?MyzcIyMzycIz?14.14?10?60.6?1011.80?10?63?14.14?10?141.1?1045.55?10?6

?72.6MPa?43.8MPa=28.8MPa ?拉应力?

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116.4MP，a ? c,max?96.5MPa 故 ?t,ma?x

例8-3 图示16号工字钢简支梁，因强度不足，在紧靠支座处焊上钢板，并设置钢拉杆对梁进行加固。试求加固后梁的最大正应力减小的百分数。已知，q?13kNm，l?4m，

a?120mm，工字钢的A1?2160mm2，Iz?11.30?106mm4，Wz?141?103mm3，拉杆的横

截面面积A2?400mm2，梁和拉杆的弹性模量均为E?200GPa。

qqzFNMAl?a?FNM?AAA?a?BBB?ByFN?b?FN?c?例8?3图 解：加固前梁的最大正应力为 1?ax?8?mql21Wz?8?184.4MPa3?9141?10?10?13?4?1023

加固后为超静定问题，取拉杆为多余约束，相当系统如图b所示，变形的几何关系为，梁在A和B处相对水平移?AB等于拉杆的伸长量?l2，即

?AB??l2 (1)

将FN力向梁两端的轴线简化，得轴向压力FN，弯矩M?FNa，梁的轴向缩短为

?l1??FNlEA1

A截面的转角为

?A?ql324EI??FNa?l3EI??FNa?l6EI?ql324EI??FNa?l2EI

A和B处的相对水平位移为

?AB??l1?2??Aa???FNlEA1?qla12EI3?FNalEI2 (2)

拉杆的伸长量为

?l2?FNlEA2 (3)

将(2)和(3)式代入(1)式，化简后得

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qlaFN?1A112I1A2aI22

??将已知数据代入上式得

FN?43.44kN

加固后梁的最大正应力为

1??ax???mFNA1?8ql?FNaWz?127.5MPa2

184.4?127.5184.4?100%?31%

可见加固后梁的最大正应力减小31%。

例8-4 图a所示矩形截悬臂梁受均

匀分布的切向荷载q作用，试求自由端下边缘处的竖直位移和水平位移。梁的A弹性模量为E。

解：将q向梁的轴线处平移(图b)，梁的内力为

qhm?qa2yzqAlBbxl?a?例8?4图?b?B FN?x??q xM?x???mx??12qhx

梁的轴向伸长量为

?l??l0FN?x?dxEA??l0qxEAdx?ql22Ebh

A截面的转角和挠度，可用积分法求出，即

EIw???EIw??EIw?1121412qhx2

qhx?C3qhx?Cx?D由x?l，w??0，w?0得

C??1422qhl2 D?16qhl

3?A??3qlEbh ???

wA?2ql32Ebh???

A截面下边缘的竖直位移和水平位移分别为

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?y?wA?2ql32Ebh???

ql2?x??l??Ah2??Ebh???

例8-5 矩形截面铸铁立柱，受偏心压力F作用，F力的作用点可以在立柱顶面上，以形心O为圆心，R为半径的圆上移动。立柱的强度由拉应力控制，许用拉应力??t??30MPa。

b?150mm，h?200mm，R?60mm。

(1)F力作用在圆上何处时,立柱的许用荷载值最

xFAR小?并求?F?min。

(2)F力作用在圆上何处时,立柱的许用荷载值最大?并求?F?max。

解：该题是偏心受压问题，当F力移动到圆上的某点时，若立柱中产生的最大拉应力为最大时，则B立柱的许用荷载为最小；若立柱中产生的最大拉应力为最小，则立柱的许用荷载为最大。

1、求?F?min

bOzRzkhyhybFAMMzy例8?5图 设F力作用于圆上任一点k，将F力向截形心简化，内力为

FN??F, My?FRsin?, Mz?FRcos?

A点处的拉应力为

?t,max??d??t,d?bh?FA?MyWy?MzWz??Fbh?6FRsin?bh2?6FRcos?bh2 (1)

令

max??0?6FRcos?bh2?6FRsin?bh2?0

得 tan??150200?0.75

???7或??180?36.87?216.87 (2) ??36.8?

A点处的最大拉应力为

??t,max?max??Fbh?6FRsin36.87bhF2??6FRcos36.87bh2?

6F48?102?3?9??150?200?10?6?6F?36?102?3?9150?200?10?200?150?10

?66.7F???t? ?30MPa (3)

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得 ?F?min?45kN (2)求?F?max

由(1)式可见，当??0??180??或??90??270??时，A点的拉应力可能为最小,注意到

h?b，所以??90??270??，A点的拉应力为最小。

??t,max?min??Fbh?6FRbh2??F150?200?10?6?6F?60?102?3?9150?200?10?26.7F???t? ?30MPa

得 ?F?max?1123.6 kN例8-6 材料分别为①和②的两根杆，其两端固结于刚性块上，如图所示。两种材料的弹性模量分别为E1和E2，E2且E1>E2。若要两杆发生均匀拉伸，试求两杆内力和偏心

2距e。

解:本题为两种材料的偏心拉伸问题。因为要使两杆均发生均匀伸长，故两杆只能有轴力，受力图如图b所示，未知量有FN、FN和e共三个，所以为一次超静定问题，

12eFeFlE11FN2FN1b2b2b2b2eFbbh?a??b?例8?6图变形相容条件为?l1??l2。

由平衡方程得

FN1?FN2?F (1)

由?l1??l2,得

FN1lE1A?FN2lE2A , FN?1E1E2FN2 (2)

由(1)和(2)式得

FN1?E1E1?E2F , FN?2E2E1?E2F

由?M0?0,得

?b??b?FN2??e??FN1??e? ?2??2?eFN1?FN2???b2?FN1?FN2?

b

e?FN1?FN2FN1?FN2?b2?E1?E22?E1?E2?

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例8-7 折杆ABC，由材料不同的圆管①和实心杆②紧密套在一起，如图a所示。材料 的弹性模量、切变模量和许用应力分别为E1?3E、G1?3G、??1??2???；E2?E、G2?G、

??2?????。试按第三强度理论写出折杆的强度条件。

zyFxaC2dddc2b1?1,maxa?2,maxcA2lBl?1,max?2,max?a?例8?7图?b? 解:折杆的AB杆为弯扭组合变形，A截面的弯矩为M2?2Fl，扭矩为T??Fl，所以A为危险截面。求A截面处两种材料组合杆各自的弯矩及扭矩，是超静定问题，弯曲变形的几何关系为两杆的曲率相等，扭转变形的几何关系为两杆的单位长度的扭转角相等。

Ⅰ、求两杆A截面的最大弯曲正应力

设①和②杆A截面的弯矩分别为M1和M2，有

M1?M2?M (1)

由两杆的曲率相等，即

M1E1Iz1?M2E2Iz2

得 M1?由(1)和(2)式，得

M1?E1Iz1E1Iz1?E2Iz2E2Iz2E1Iz1?E2Iz2E1Iz1E2Iz2M2 (2)

MM2????? (3) ?M ??两杆的最大弯曲正应力分别为

?1,max??2,max???2d?644M1dIz1M2d2Iz2

将 Iz?1??d644?15?d644，Iz?2?d644，E1?3E，E2?E，M?2Fl代入上式得

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?1,max??2,max?3??23?d? (4)

32Fl? ?3?23?d?192FlII、求两杆A截面处的最大扭转切应力 设两杆A截面处的扭矩分别为T1和T2，有

T1?T2?T (5)

由两杆单位长度的扭转角相等，即

T1G1Ip1?T2G2Ip2

得 T1?由(5)和(6)式，得

T1?G1Ip1G1Ip1?G2Ip2G2Ip2G1Ip1?G2Ip2G1Ip1G2Ip2T2 (6)

TT2????? (7) ?T ??两杆的最大扭转切应力分别为

?1,max??2,max???2d?324T1?dIp1T2?d2Ip2

将Ip?1??d324?15?d324，Ip?2?d324，G1?3G，G2?G，T?Fl代入上式得

?1,max??2,max?3??23?d? (8)

8Fl? ?3?23?d?48FlIII、两杆的强度条件

①、②两杆的危险点位于A截面处的a(b)及c(d)点，a、c点的应力状态如图b所示。两杆按第三强度理论的强度条件分别为

??1?r?3??1,max?2?4??1,max?2?9.32Fl?d3?2?????? ?

??2?r?3??2,max??4??2,max??1.56第 11 页 共 16 页

2Fl?d3

例8-8 槽形截面的核面核心为四边形abcd，若集中力F作用在ab和dc延长线的交点K时，求相应的中性轴位置。

解：与截面核心的a、b、c、d四点对应的中性轴分别为①、②、③、④。当中性轴①绕B点逆时针旋转到中性轴②时，有无数条中性轴通过B点，但始终均未进入截面之内，将B点坐标?yB,zB?代入中性轴方程

1?zBiy243b23acdzK14zF?yBiz2y21yF?0

例8?8图 可见，中性轴绕B点旋转过程中，偏心力作用点?yF,zF?的轨迹为直线(式中，iy、iz为截面的惯性半径)。即a、b两点间的连线为直线。集中F沿ab移动时，中性轴始终通过B点。同理集中力F沿dc移动时， 中性轴始终通过D点，所以集中力F作用在ab和dc延长线的交点K时，中性轴为B、D两点的连线。

例8-9 图a所示刚架的各杆均为直径d?100mm的圆截面钢杆，长度l?1m，许用应力????170MPa。试用第三强度理论确定刚架的许用荷载。

zAyCFlDlMz?FlMx?FlFBlF??xMy?FlFN图T图F?a?M图例8?9图?b??c? 解：刚架的内力图如图b所示，可见A为危险截面，其内力分别为

MA?M2y?M2z?2Fl?2F?N?m?

FN?F?N? T?Fl?F?N?m?

危险点的应力分别为

??FNA?MWA?4F?d?2?322F?d3?0.0145F?MPa?

??TWp16F?d3?0.0051F?MPa?

危险点的应力状态如图c所示，由第三强度理论的强度条件

?r?3??4?22??0.0145F?2?4?0.0051F?2?0.0177F?????170MPa

得 F?1700.0177?9.6kN

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? ?F??9.6kN

例8-10 图a所示圆截面立柱，受偏心力F和扭转力偶矩Me联合作用，测得a、b两点的纵向线应变分别为?a=520×10，?b=-9.5×10。已知d?100mm，Me?10kN?m，E?200GPa，

-6

-6

xeF?aOMe?a?baza45?bbba??0.3，????160MPa。试求：

cdcy1、偏心力F和偏心距e；

z2、C点处沿45°方向的线应变； y3、用第三强度理论校核立柱强度。 ?a?解：1、求F和e

a、b两点的应力状态如图b所示，切应力

例8?10图不会产生x方向的线应变，a、b两点的正应力分别为

?ea?FA?FW?E?a ?FFeb?A?W?E?b 由(1)和(2)可得

F?E?62??a??b?A?200?1092?520?10?6?9.5?10???1002?64?10?401kN

?93e?E??a?b??62FW?200?102?401?103?520?10?6?9.5?10???10032?10?9?13mm2、求C点处的?45o

C点的应力状态如图b所示，其应力为

??401?103C?FA?4?1002?10?6?51MPa

16?10?103?MeC?W?250.9MPa

p?100?10?9??11???45o?E??45o????45o??E????????2???????2?????????19?76.4?106?0.3??25.4?106??200?10??

?420.1?10?63、校核立柱强度

危险点为a点，其应力为

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?b?cc?c?b? (1) (2)

?a?FA?FeW?4?401?103?100?10?a?2?6?401?10?13?103?3?32?100?1033?9?104.1MPa

10?10?32??0.123?50.9MPa

2?r??a?4?a?104.1?4?50.9??145.6MPa????

223立柱满足强度条件。

例8-11 刚架AB、BC杆的直径为d1?50mm，CD杆的直径d2?10mm，其材料均为Q235钢，E?200GPa，G?80GPa，????160MPa，F?1.6kN，l?1m。试校核该刚架的强度。

C

C yx FFCOF CzllBA ?b?BBA lF D ?a?BAFClFC

例8?10图 ?c?

解：取相当系统如图b所示，变形的几何关系为

?Cy??lCD

ClFC?d? (1)

将FC力向B截面平移(图c)，则B截面的挠度和扭转角分别为

?By??F?FC?l3EI3， ?AB??FCl?lGIp

C截面的挠度为

?Cy??By??ABl?FCl33EI??F?FC?l3EI3?FCl3GIp?FCl33EI?FCl33EI?23FCl12EI3 (2)

CD杆的缩短量为

?lCD?FClEA

(3)

由(1)、(2)、(3)式，得

FC?4Al2212I?23AlF

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其中 I??50644?306.8?10mm，A?34?10422?78.5mm

FC?4?78.5?100032212?306.8?10?23?78.5?10001.6kN=278N

A截面的内力分别为

MA??1600?278??1?1322N?m

T?278?1?278N?m

第三强度理论的强度条件为

?r?3M2A?T2W?1322?27822?50323?110MPa

?10?9CD杆的压应力为

??278?4??0.01?2?3.5MPa????

例8-12 n?n?3?根圆杆固定在相距l的两刚性夹支板上，其支点沿半径为R的圆周上均匀分布，各杆的材料和尺寸相同，两夹支板上分别作用着大小相等方向相反的扭力偶M。求两夹支板的相对扭转角。

解：设顶板相对于底板的扭转角为?，并产生水平位移??R?，如图b所示，且各杆端部的弯曲转角为零，所以端部相应的内力有扭矩T、剪切Fs、弯矩M。如图c所示。

?1?233?Fsl?l2FslFslFsl1Ml?2???????0，M?Fsl，??R??3EI2EI12EI22EIEIFs?12EIl3

R? (1)

??TlGIp

T?GIpl? (2)

将杆上端的Fs、M、T反作用在顶板上。(图d)

?Mx?0，nT?nFsR?Me

n?T?FsR??Me (3)

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将(1)和(2)代入(3)，得

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也可用能量法，求?

12Me??V?

其中 V??n?GIp??n??12EI??????Fs??T?????3R??R???22??l??l112EI2Me??n?2?2GIp?23R?l?? ?l?∴ ??Mel3n?12EIR2?GI2pl?

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