凸分析作业

第四节 凸函数

函数f定义在Rn的子集S上，值域为实数或者??.集合

{(x,?)|?x?S,??R,??f(x)}

称为f的上图，记为epi f.如果epi f 为R的子集上的凸集，我们称f为凸函数.S上的凹函数就是凸函数的反面.S上的仿射函数就是具有确定的凸性或者凹性的函数.

S上凸函数的有效定义域是f上图到R的投影，我们记为dom f ，即

dom f={x|??,(x,?)?epif}={x|f(x)???}.

这是一个R上的凸集，因为它是凸集epi f在线性变化下的像.它的维数叫做f的维数.一般地，f的凸性就取决于dom f到f的约束条件，所有的兴趣就集中在这个约束条件上，S本身没起多大的作用.

很显然，为什么我们只考虑有确定有效定义域C的凸函数是有很重要的原因的.两个处理方法可以使用.一个方法是仅仅关注不含??的函数，从而使S与dom f相符合（随着f的不同而不同）.当然，也可以关注所有Rn上的函数，因为S上的凸函数可以通过补充定义f（x）=??（当x?S），可以扩张成为Rn上的凸函数.

第二个处理方法将在本书中阐明.此后，除非特别声明，我们认为凸函数就是指定义在全体实值Rn（包括无穷大）上的凸函数.

然而，这个方法会牵涉到+?或??的算术运算，我们给出如下规则：

?????????，???

n

n

n+1

??=??=?, ?(－?)=(－?)?=－?, ?0

0?=?0=0=0(－?)=(－?)0, －(－?)=?

inf ?=+?, sup ?=－?

由于运算?－?和－?+?没有定义，我们需要避免.在这些原则下，以下的运算法则成立：

?1??2=?2??1,

(?1??2)+?3=?1+(?2+?3),

??=??1221,

(?1?2)?3=?1(?2?3), ,

?(?1+?2)=?

?1+??2为了避免???需要小心，比如避免除数为0.在实际中，一般假设运算不包括无穷大，所以不会产生矛盾.

如果f的上图是非空的并且不包含垂直线就是真凸函数.比如说如果存在x使f（x）??.因此，f是真凸函数当且仅当凸集C=dom f是非空的.换一种说法，Rn上的真凸函数是从非空凸集C上取有限凸函数，并且f（x）=??（x?C

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）扩充到R函数.

不是真凸函数的凸函数为非真的.真凸函数是我们所要学习的，但是非真凸函数在很多情况下也会由非真凸函数产生，并且考虑它比排除它方便的多.一个不是??或??的简单的非真凸函数的例子是R上如下定义的函数：

????f(x)??0????当当当x?1,x?1, x?1.n

凸函数有重要的插值性质.通过定义，S上f是凸函数当且仅当

(1??)(x,?)??(y,?)?((1??)x??y,(1??)????).

属于epi f，?(x,?),(y,?)属于epif，0???1. 换言之，存在(1??)x??y?S和

f((1??)x??y)?(1??)????

?x?S,y?S,f(x)???R,f(y)??,0???1.

这还可以用多种方法表述，以下两种不同形式的表达最有用：

定理 4.1. 设f是凸集C（例如C= R2）到???,???的函数，那么f是C上的凸函数

必须且只须

f((1??)x??y)?(1??)f(x)??f(y), 0???1 ,对任何x?C,y?C成立.

定理 4.2. 设f是Rn到???,???的函数，那么f是凸函数必须且只须 ?f((1??)x??y)?(1??)????, 0???1 ,对f(x)??,f(x)??成立.

另外的重要形式可以通过定理 2.2.推出.

定理 4.3. （Jensen不等式）设f是Rn到???,???上的函数.f是凸函数必须且只须

f(?1x1????m[1]

xm)??1f(x1)????mf(xm),

对?1?0,?,?m?0,?1????m?1成立.

证明 非常简单，留作练习.

当然，在相同条件下，凹函数满足相反的不等式.仿射函数满足上述的等式情形.因此，n

R上的仿射函数是Rn到R的一个仿射变换.

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定理4.1.中不等式通常被用作凸集C到???,???的函数f的凸性的定义，但是这个方法会带来麻烦.因为当f能取到??,??时会出现???的情况.当然，定理4.2.可以用来定义一般情况下的凸函数.但是，这一节开头部分的定义似乎更好，因为它利用了几何知识，而几何是凸分析理论的基础.

一些古典凸函数的例子可以从如下定理获得：

定理4.4. 设f是开区间??,??上的二阶连续可微实值函数.则f是凸函数必须且只须

它的二阶微分f\在区间??,??非负.

证明 首先，假设f\在??,??非负，则f'在??,??上是不减的.当??x?y??，

0???1,且z?(1??)x??y,有

f(z)?f(x)?f(y)?f(z)???zxyf'(t)dt?f'(z)(z?x),

zf'(t)dt?f'(z)(y?z),

由于z?x??(y?x),y?z?(1??)(y?x),有

f(z)?f(x)??f'(z)(y?x), f(z)?f(y)?(1??)f'(z)(y?x),

两式两边分别乘以(1??)和?，再相加，有

(1??)f(z)??f(z)?(1??)f(x)??f(y).

该式左边即f(x)?f((1??)x??y),通过定理4.1.就证明了f的凸性.

考虑定理的反面，假设f\在区间??,??不是非负的，则f\是某个连续区间??',?'?是负的.考虑区间??',?'?有

f(z)?f(x)?f'(z)(z?x), f(y)?f(z)?f'(z)(y?z),

因此

(1??)f(z)??f(z)?(1??)f(x)??f(y).

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从而f在??,??就不是凸函数.产生矛盾.

定理4.4.将由定理24.1.和定理24.2推广到一般情况.

由定理4.4.下列函数是R上的凸函数： 1.f(x)?2.f(x)?e?x,???????;

xp,当x?0,f(x)??，当x<0,?1?p

p3.f(x)??x,当x?0,f(x)??,当x?0,?0?p?1; 4.f(x)?

考虑多维的情形，从定理4.1可知：函数

f(x)??x,a??? a?Rn且??R

在Rn上显然为凸函数，对于仿射函数在Rn上确实具有这种形式（定理1.5）.对于二次型函数：

f(x)?12?x,Qx???x,a???

xp，当x>0,

其中Q为n阶的对称矩阵，当且仅当Q为半正定时，即对?z?Rn，?z,Qz??0时，

f(x)在R上为凸函数. 根据定理4.4该结论显然成立.

n定理4.5[2]. 设C?Rn为开凸集，f:C?IR为二次连续性可微函数，那么f为

凸函数必须且只须其海赛矩阵

Qx?(qij(x)) qij(x)?对一切的x?C为半正定矩阵.

证明 C上的函数f的凸性等价于约束函数f的每一部分在凸性，也就是说等价于函数g(?)?f(y??z)在实开区间{?∣y??z?C，y?C且z?R} 上的凸性. 简明表示如下：

g(?)??z,Qz?, x?y??z

''n?f??i??j2(?1,.......,?n),

由定理4.4可知，对?y?C,z?R ，g为凸函数当且仅当对于 ?z?R,x?C，

?z,Qnz??0都成立.

nn - 4 -

Rn上的一个有趣凸函数的凸性能被定理4.5证实，这个函数就是几何平均值的相反数.函数表示如下：

1/n???(????)n12f(x)?f(?1,......?n)??????当??0，?，?1n?0,

其它于是可得

n?z,QXz??n?2f(x)[(?j?1?nj?j)?n?(j?12?2j?)]

j其中z?(?1,.......?n)，x?(?1.......,?n),?1?0,...........,?n?0

222由于f(x)?0且（?1??2?.........?n） . ?n（?1?.......??n）故对??i?R?z,Qnz?非负.

Rn上最重要的一个凸函数是欧几里得范数

∣x∣=?x,x?12?（?1,.........,?n）2.

1当n?1时为绝对值函数，欧几里得范数的凸性需满足下面两个条件.

∣x+y∣?∣x∣+∣y∣, ∣?x∣=?∣x∣ ??0

凸集与凸函数的对等关系是很重要的数学工具，简单的联系到Rn上C的示性函数

?(xC)，其表达式

?0?(xC)?????当x?C,当x?C.

横截面C的半圆柱是示性函数的上图，显然若C为凸集必须且只须?(xC)）在Rn上为凸函数.正如特征函数在分析中所起的作用一样，示性函数在凸分析中也有很重要的作用.

对于Rn上的凸集f，其承托函数定义为

*?（x∣C）=sup{∣y?C}.

度规函数定义为

?(xC)=inf{??0∣x??C}， C≠?

距离函数定义为

d(x,C)=inf{x?y∣y?C}.

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