惠州市2015届高三第三次调研考试(理数)

1 惠州市2015届高三第三次调研考试

数学（理科）

本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈

，{|B x y ==，则A B =( )． A.{}|01x x ≤≤ B.{}|0x x ≥ C.{}|11x x -≤≤ D.? 2．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1上单调递减的函数为( )． A.x

y 1= B.x y lg = C.x y cos = D.2x y = 3．“0>>b a ”是“22b a >”成立的( )条件．

A.必要不充分

B.充分不必要

C.充要

D.既不充分也不必要

4．设双曲线22

221x y a b

-=的虚轴长为2，焦距为32，则此双曲线的离心率为( )．

B.32

5．空间中，对于平面α和共面．．

的两直线m 、n ，下列命题中为真命题的是( )． A.若m α⊥，m n ⊥，则//n α B.若//m α，//n α，则//m n

C.若m 、n 与α所成的角相等，则//m n

D.若m α?，//n α，则//m n

2 6．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为( )．

A.840

B.720

C.600

D.30

7．数列{}n a ，满足对任意的n N +∈，均有12n n n a a a ++++为定值．若792,3,a a == 984a =，则数列{}n a 的前100项的和100S =( )．

A.132

B.299

C.68

D.99

8．在平面直角坐标系中，定义两点11(,)P x y 与22(,)Q x y 之间的“直角距离”为

1212(,)d P Q x x y y =-+-．给出下列命题：

(1)若(1,2)P ，(sin ,cos )Q αα()R α∈，则(,)d P Q

的最大值为3

(2)若,P Q 是圆221x y +=上的任意两点，则(,)d P Q

的最大值为

(3)若(1,3)P ，点Q 为直线2y x =上的动点，则(,)d P Q 的最小值为

12． 其中为真命题的是( )．

A. (1) (2) (3)

B. (2)

C. (3)

D. (2) (3)

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如右表，已知在

全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概

率是0.2．现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿

者，则在高二抽取的学生人数为______．

10．已知(1,2)a =，(0,1)b =，(,2)c k =-，若(2)a b c +⊥，则实数k =______． 11

．已知复数z a i =-? (R a ∈)，若i z 23212-=，则实数a 的值为__________． 12．已知x R ?∈，使不等式2log (4)31a x x -≤++-恒成立，

则实数a 的取值范围是__________．

13．,,A B C 是平面内不共线的三点，点P 在该平面内且有230PA PB PC ++=，现将一

粒黄豆随机撒在△ABC 内，则这粒黄豆落在△PBC 内的概率为__________．

3

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的参数方程为24x a t

y t

=-???

=-??（t 为参数），圆C 的

参数方程为4cos 4sin x y θ

θ

=???=??（θ为参数）．若直线l 与圆C 有公共点，则实数a 的取值范

围是__________．

15．（几何证明选讲选做题）如图1，点,,A B C 都在圆O 上，

过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若5AB =，

3BC =，6CD =，则线段AC 的长为__________．

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）

16．（本小题满分12分）

已知函数()sin()f x A x ω?=+，x ∈R （其中ππ0,0,22

A ω?>>-<<），其部分图像如图2所示．

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点

,,M N P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．

17．（本小题满分12分）

惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．

（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球

的概率．

A

C

B D

O 图1

图2

4 参考公式：互斥事件加法公式：()()()P A

B P A P B =+（事件A 与事件B 互斥）． 独立事件乘法公式：()()()P A

B P A P B =?（事件A 与事件B 相互独立）． 条件概率公式：()(|)()

P AB P B A P A =

．

18．（本小题满分14分） 三棱柱111ABC A B C -的直观图及三视图（正视图和俯视图是正方形，侧视图是等腰直角三角形）如图所示，D 为AC 的中点．

（1）求证：1

AC ⊥平面1BDC ； （2）求二面角1A BC D --的正切值．

19．(本小题满分14分)

已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．

若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．

正视图 侧视图

D A B C 1A 1C 1B

5 20．（本小题满分14分）

已知抛物线2

1:2C y px =(0)p >的焦点F 以及椭圆22

222:1y x C a b +=(0)a b >>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上．

（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；

（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，

已知1NA AF λ=，2NB BF λ=，求12λλ+的值；

（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为','P Q ，

''10OP OQ OP OQ ?+?+=，若点S 满足OS OP OQ =+， 证明：点S 在椭圆2C 上．

21．（本小题满分14分） 已知函数()(0)t f x x x x =+

>，过点(1,0)P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ．

（1）当2t =时，求函数()f x 的单调递增区间；

（2）设()g t MN =，求函数()g t 的表达式；

（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间642,n n ??+

????内，总存在1m +个数121,,,,,m m a a a a +使得不等式121()()()()m m g a g a g a g a ++++<成立， 求m 的最大值．

数学(理科）参考答案

1．

|

B x x

∴=≥。01

A B x x

∴=≤≤

|。故选A.

2．【解析】首先cos

y x

=是偶函数，且在()

0,π上单减，而()

0,1?()

0,π，故cos

y x

=满足条件。故选C.

3．【解析】由不等式的性质知，当0

a b

>>时，22

a b

>成立；

反之，例如取31

,

a b

=-=，显然22

a b

>，而0

a b

>>不成立。故选B.

4．【解析】由已知知1,

b c

==a=

c

e

a

==。选A.

5．【解析】当mα

?，//

nα时，必有//

m n或m与n异面直线，

而m与n是共面的两条直线，所以//

m n。故选D.

6．【解析】分两类。第一类：甲、乙两人中恰有一人参加，方法种数为134

254

480

C C A

??=种，

第二类：甲、乙两人同时参加，方法种数为24

54

240

C A

?=种，根据分类计数原理，满足条件的方法种数为480+240=720种。故选B.

7．【解析】对任意的n N+

∈，均有

12

n n n

a a a

++

++为定值，

12312

()()

n n n n n n

a a a a a a

+++++

∴++-++=，故

3

n n

a a

+

=，

{}

n

a

∴是以3为周期的数列，故

17

2

a a

==，

298

4

a a

==，

39

3

a

a

==，

1001239798991001

33243299

()()()

S a a a a a a

a a

∴=+++++++=+++=。选B.

8

．【解析】对于（1），123

4

dPQ

π

ααα??

=-+-=+

?

??

(,)sin cos，

,(,)

R d P Q

α∈∴的最大值为31）不正确。

对于（2），要使(,)

d P Q最大，必有,P Q两点是圆上关于原点对称的两点，可设

P

??

Q

?

??

，则(,)

d P Q=2）正确；

对于（3），设

00

2

(,)

Q x x，则

00

123

(,)

d P Q x x

=-+-，去掉绝对值后可知当

3

2

x=时，(,)

d P Q取得最小值

1

2

。故（3）正确。故选D.

二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

9．30 10．8 11．

1

2

12．[)

24,13．

1

6

14. ?-?15．

9

2 9．【解析】由条件有40000.2800

x=?=，4000140014001200

y z

∴+=--=，而抽样比例为

1001

400040

=，故高二抽取的学生人数为

1

120030

40

?=人。

10．【解析】214

(,)

a b

+=，(2)0

a b c

+?=?808

k k

-=?=。

6

7 11．

【解析】223)4a i a i -?=-?

，23114222

a a ?-=??∴?=??=-??。 12．【解析】易知31x x ++-的最小值为4，2log (4)124a a ∴-≤?≤<，

故实数a 的取值范围是[

)24,。

13．【解析】解析：由230PA PB PC ++=2()3()0AP AB AP AC AP ?-+-+-=, 得1132

AP AB AC =+，设C 到AB 距离d ，如图， 则11112326

PCE ABC S AB d S ??=????=， 11112232

33ABPE ABC S AB AB d AB d S ???=+??=?= ???， 所以121(1)S S 636

PBC ABC ABC S ???=--=，所以所求概率为 16. 14．【解析】因为直线l 的普通方程为220x y a --=，圆C 的普通方程为2224x y +=，

故圆C 的圆心到直线l

的距离4d =≤

，解得a -≤ 15．【解析】由切割线定理知||4BD =，又易知ADC ?∽CDB ?，故||||||||

AC AD BC CD =， 故9||2AC =。

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）

16.（本小题满分12分）

解：（1）由图可知，1A = ， ……………………………………………1分

最小正周期428,T =?= 所以2ππ8,.4

T ωω===

…………………………………3分 又π(1)sin()14f ?=+= ，且ππ22

?-<< 所以ππ3π444?-<+<，πππ,.424??+== …………………5分 所以()sin()44

f x x ππ

=+． ……………………6分 (2) 解法一: 因为ππ(1)sin (11)0,(1)sin (11)1,44

f f -=-+==+= π(5)sin (51)14

f =+=-， 所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ………………………………8分

MN MP PN ===

8

从而3cos 5MNP ∠==-， …………………………10分 由()0,MNP π∠∈

，得4sin 5

MNP ∠==. ……12分 解法二: 因为ππ(1)sin (11)0,(1)sin (11)1,44

f f -=-+==+= π(5)sin (51)14

f =+=-， 所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ………………………………8分

(2,1),(4,2)NM NP =--=-,6NM NP ?=-,

5,20NM NP ===

则3cos 55NM NP

MNP NM NP ?∠===-?. ……………10分 由()0,MNP π∠∈，得4sin 5MNP ∠==

. ……12分 17.（本小题满分12分）

解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2． ……………………1分

设“第一次训练时取到i 个新球（即i =ξ）”为事件i A （=i 0，1，2）． 因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，

所以5

1)0()(26230====C C P A P ξ， …………………………3分 5

3)1()(2613131====C C C P A P ξ， …………………………5分 5

1)2()(26232====C C P A P ξ． ………………………7分 所以ξ的分布列为

ξ的数学期望为15

25150=?+?+?=ξE ． …………………8分 （2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ．

则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++．

而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥，

所以)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++．

由条件概率公式，得

25

3535151|()()(261313000=?=?==C C C A B P A P B A P ），……………………9分 2581585353|()()(261412111=?=?==C C C A B P A P B A P ），…………………10分

9

A C

D

1A 1B 1C

O

S 1S

1O

1C A

B C

D

1A

1B

H E A

B

C D

1A 1B 1C

O

151315151|()()(261

511

222=?=?==C C C A B P A P B A P ）．…………………11分

所以75

38151258253)(210＝++=

++B A B A B A P ． …………………12分 所以第二次训练时恰好取到一个新球的概率为38

75

。

18.（本小题满分14分）

解：由三视图可知，几何体为直三棱柱ABC —111A B C ，侧面11B C CB 为边长为2的正方形，底面ABC 是等腰直角三角形，,2AB BC AB BC ⊥==……………2分 （1） 直三棱柱ABC —111A B C 中，1AA ⊥平面ABC ，

BD ?平面ABC ， 1AA BD ∴⊥，

2AB BC ==，D 为AC 的中点，

BD AC ∴⊥，

又1AA ?面11AAC C ，AC ?面11AAC C ，

且1

AA AC A =

， BD ∴⊥平面11AAC C ，又

1

AC ?面11AAC C ， 1BD AC ∴⊥①………..6分 又1111111,A B B C A B B B ⊥⊥，

又1BB ?面11BB C C ，11B C ?面11BB C C ，且1BB 11B C B =， 11A B ∴⊥面11BB C C ，BC ?面11BB C C ，11A B ∴⊥1BC 在正方形11BB C C 中，11BC B C ⊥

又1BC ?面11A B C ，11B A ?面11A B C ，且1B C

111B A B =， 1BC ∴⊥面11A B C ，又1

AC ?面11A B C ，1BC ∴⊥1AC ②………………..8分 由①②，又BD ?面1BDC ，1BC ?面1BDC ，且BD 1BC B =， 1AC ∴⊥面1BDC . …………………………………………………………9分 （2）解法一（空间向量法）以1B 为原点建系，易得1(2,2,0),(1,0,1)CB BD =-= 设平面1BC D 的法向量1(,,),n x y z =由111,n CB n BD ⊥⊥， 得220

0x y x z -+=??

+=?

令1x =，得1(1,1,1),n =-…………..12分

又平面1BC A 的法向量21

(2,2,0),n BC ==设二面角 1A BC D --的平面角为θ，

所以126cos cos ,tan n n θθ=<>=∴=

…………..14分 解法二：所求二面角1A BC D --与二面角1C BC D --互余， 取BC 中点H ，有DH ⊥平面1BCC ，过H 作1BC 垂线， 垂足为E ， 1111111

DH BC DH BCC BC EDH EH BC BC BCC DE EDH DH EH H DE BC ⊥?

⊥?????⊥????

?????=?

?⊥平面平面平面平面

⊥

10 所以二面角1C BC D --的平面角是DEH ∠……………11分

1tan 2DH DH EH DEH EH

==

∴∠==， 因为二面角1A BC D --与二面角1C BC D --互余， 所以二面角1A BC D --

的正切值为

2

；……………..14分 解法三（补形）如图补成正方体，易得1OOS ∠为二面角的

平面角，1112,tan 2O O O S O OS ==

∴∠=分 19．（本小题满分14分）

（1）解法1：当2n ≥时，()11122n n n n n n a na a S S --+=-=

-，……………2分 即11

n n a a n n -=-()2n ≥．…………………………………………4分 所以数列n a n ??????是首项为111a =的常数列．……………………5分 所以1n a n

=，即n a n =()n ∈*N ． 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =()n ∈*N ．…………………7分

解法2：当2n ≥时，()11122

n n n n n n a na a S S --+=-=-， …………………2分 即11

n n a n a n -=-()2n ≥． …………………………………………4分 ∴1321122113211221

n n n n n a a a a n n a a n a a a a n n ----=?????=?????=--．…5分 因为11a =，符合n a 的表达式． ………………………………………6分

所以数列{}n a 的通项公式为n a n =()

n ∈*N ． ……………………7分 （2）假设存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列，

则2k k b b +=21k b +．……………………………………………………………8分

因为ln ln n n b a n ==()2n ≥，

所以()()2

222ln 2ln ln 2ln ln(2)22k k k k k k b b k k +??+++????=?+<=???????? ……11分 ()()2

2221ln 1ln 12k k k b +??+<=+=??????????

． ……………13分 这与2k k b b +=21k b +矛盾．

故不存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．…………14分

20．（本小题满分14分）

11

解：（1）由抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2

p F 在圆22:1O x y +=上得： 2

14

p =，2p ∴=，……………………………………………………..1分 ∴抛物线21:4C y x = …………..……………………………………….2分

同理由椭圆上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=

上可解得：1,b c a ==∴= …………4分 得椭圆2

2

2:12

y C x +=．……………………………………………..5分 （2）设直线AB 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，则(0,)N k -． 联立方程组24(1)

y x y k x ?=?=-?，消去y 得：2222(24)0,k x k x k -++=…….6分 216160,k ∴?=+>且212212

241k x x k x x ?++=???=? ……………………………..7分

由12,NA AF NB BF λλ==得：111222(1),(1),x x x x λλ-=-= 整理得：121212

,11x x x x λλ==-- ……………………………..…8分 22121212212122

24221241()11k x x x x k k x x x x k λλ+-+-∴+===-+-++-+．…………………..9分 （3）设(,),(,),(,)p p Q Q p Q p Q P x y Q x y S x x y y ∴++，则'(,0),'(,0)p Q P x Q x

由''10OP OQ OP OQ ?+?+=得21p Q p Q x x y y +=-…………① …….10分 2212p p y x +

=……………………② …………………………………….11分 2

212Q Q y x +=……………………③ ……………………………………12分

由①+②+③得2

2()()12

p Q p Q y y x x +++= …………….……...13分

∴(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆2C 的方程，命题得证．……………....14分 21. （本小题满分14分） 【解】（1）当2t =时，2(),f x x x =+222

22()10x f x x x -'=-=> --------1分

解得(,(2,)x ∈-∞+∞.------------------------------------------2分 由0x >，所以函数

()f x 有单调递增区间为)+∞--------------3分

（2）设M ，N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，

2()1t f x x '=- 所以切线PM 的方程为：11211

()(1)().t t y x x x x x -+=-----------------4分

12 所以切线PM 过点(1,0)P ，所以有11211

0()(1)(1).t t x x x x -+

=-- 即21120.x tx t +-=……① 同理，由切线PN 过点(1,0)P ，，得2

2220.x tx t +-=…… ②---------------5分

由（1）、（2），可得212,20x x x tx t +-=是方程的两根， 1212

2.x x t x x t +=-?∴??=-?…… ③ -------------------------------------------------------------7分

||MN =

=分

把③式代入，得||MN =

因此，函数()g t

的表达式为()0)g t t =

> ----------------9分 （3）易知()g t 在区间642,n n ??+????

上为增函数， (2)()(1,2,,1).i g g a i m ∴≤=+则12(2)()()().m m g g a g a g a ?≤+++

121()()()()m m g a g a g a g a ++++<n ?恒成立， 所以不等式64(2)()m g g n n

?<+n ?恒成立，

<

即m <n ?恒成立，--------------------------------12分

6416,

n n +≥≥= m ∴<m 为正整数，6m ∴≤. --------------------------------------13 分 又当6m =，存在1212,16,m m a a a a +=====任意的正整数n 满足条件 因此，m 的最大值为6. ---------------------------------------------------14分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jvzm.html