2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质学案(含解析)新人教A版选修1_1

2．3.2 抛物线的简单几何性质

[提出问题]

问题1：抛物线有几个焦点？

提示：一个焦点．

问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？

提示：不对．

问题3：抛物线y2＝2px有对称性吗？

提示：有，关于x轴对称．

[导入新知]

抛物线的简单几何性质

[化解疑难]

1．抛物线只有一条对称轴，一个顶点，一个焦点，一条准线．无对称中心，无渐近线．标准方程只有一个参数，不同于椭圆、双曲线．

2．p的几何意义：焦点到准线的距离．它的大小，影响抛物线开口大小.

1

2

[例1] 若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点F ，求直线AB 的方程．

[解] 如图所示．设A (x 0，y 0)，由题意可知B (x 0，－y 0)， 又F ? ??

??p 2，0是△AOB 的垂心， 则AF ⊥OB ， ∴k AF ·k OB ＝－1，

即y 0

x 0－

p 2·? ????－y 0x 0＝－1， ∴y 20＝x 0?

????

x 0－p 2， 又y 20＝2px 0， ∴x 0＝2p ＋p 2＝5p 2

. 因此直线AB 的方程为x ＝5p 2

. [类题通法]

根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．

[活学活用]

已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．

解：由题意，可设抛物线方程为y 2

＝2px (p ≠0)，则 焦点F ? ??

??p 2，0，直线l ：x ＝p 2， ∴A ，B 两点坐标分别为? ????p 2，p ，? ??

??p 2，－p ， ∴|AB |＝2|p |.

∵△OAB 的面积为4，

∴12·p 2

·2|p |＝4， ∴p ＝±2 2.

3 ∴抛物线方程为y 2＝±42x .

[例2] 若抛物线y 2＝4x 与直线y ＝x －4相交于不同的两点A ，B ，求证：OA ⊥OB .

证明：由?

???? y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ， 得x 2－12x ＋16＝0.

∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ，

∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.

∵OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2

＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)

＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16

＝16＋16－4×12＋16＝0，

∴OA ―→⊥OB ―→，即OA ⊥OB .

[类题通法]

将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．

[活学活用]

过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程．

解：显然，直线斜率k 存在，

设其方程为y －2＝k (x ＋3)，

由????? y －2＝k x ＋，y 2＝4x ，

消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0.①

(1)当k ＝0时，方程①化为－4y ＋8＝0，即y ＝2，此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2，满足条件．

(2)当k ≠0时，方程①应有两个相等实根．

由????? k ≠0，Δ＝0，即????? k ≠0，16－4k ＋12k ＝0，

得k ＝13

或k ＝－1.

4 所以直线方程为y －2＝13

(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3)， 即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.

故所求直线有三条，其方程分别为：y ＝2，x －3y ＋9＝0，x ＋y ＋1＝0.

[例3] 离的最小值．

[解] 法一：设P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，

则点P 到直线l 的距离

d ＝

|x

0－y 0＋3|2＝ ＝y 0－

2＋5|22，

当y 0＝1时，d min ＝524

， ∴P ? ??

??12，1. 法二：设与抛物线相切且与直线x －y ＋3＝0平行的直线方程为x －y ＋m ＝0，

由?

???? x －y ＋m ＝0，y 2＝2x ， 得y 2－2y ＋2m ＝0， ∵Δ＝(－2)2

－4×2m ＝0，

∴m ＝12

. ∴平行直线的方程为x －y ＋1

2＝0， 此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则d min ＝524，此时点P 的坐标为? ??

??12，1. [类题通法]

解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解．总之，与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：(1)定义法；(2)函数法．

5

[活学活用]

点P 在抛物线2y 2＝x 上，点Q 在圆(x －2)2＋y 2

＝1上，求|PQ |的最小值． 解：圆(x －2)2＋y 2＝1的圆心为M (2,0)，

设P (2y 21，y 1)，

则|PM |2＝(2y 21－2)2＋y 21＝4y 41－7y 21＋4 ＝4?

????y 21－782＋1516≥1516， ∴|PM |≥154

， ∴|PQ |min ＝|PM |min －1＝

15

4－

1.

4.探究抛物线中焦点弦问题

[典例] 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点．求证：

(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 2

4

； (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p . [证明] (1)过焦点F ? ????p 2，0的直线AB 的方程为y ＝k ? ??

??x －p 2或x ＝p 2. 当直线AB 的方程为y ＝kx －p

2时， 由????? y ＝k ? ????x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2

＝0. ∵AB 与抛物线有两个交点，

∴k ≠0.由根与系数的关系得y 1y 2＝－p 2

.

又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，

6 ∴x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝y 1y 224p 2＝p 24. 当直线AB 的方程为x ＝p 2时，x 1x 2＝p 24

，y 1＝p ，y 2＝－p ， ∴y 1y 2＝－p 2.

(2)由抛物线的焦半径可知：

|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2

， ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p .

[多维探究]

解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．

1．若本例中，AB 是经过焦点且倾斜角为π4

的直线l 被抛物线所截得的弦，其弦长为6，求抛物线方程．

解：直线l 的方程可写为y ＝x －p 2

. 因|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝6，

∴x 1＋x 2＝6－p .① 由????? y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，

得? ??

??x －p 22＝2px ， 即x 2－3px ＋p 24

＝0. ∴x 1＋x 2＝3p ，代入①式，

得3p ＝6－p ，

∴p ＝32

. ∴抛物线的标准方程是y 2＝3x .

2．在本例条件下，试求1|AF |＋1|BF |

的值． 解：设直线AB ：y ＝k ? ????x －p 2或x ＝p 2.

7 当直线AB 的方程为y ＝k ? ????

x －p 2时， 由?

???? y 2＝2px ，y ＝k ? ????x －p 2， 消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋

k 2p 24＝0.

∵AB 与抛物线有两个交点，

∴k ≠0. ∴x 1＋x 2＝p k 2＋k 2

，x 1x 2＝p 24. 又|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2

， ∴|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p .

|AF |·|BF |＝?

????x 1＋p 2? ????x 2＋p 2 ＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24

＝p 2(x 1＋x 2)＋p 22

＝p 2

(x 1＋x 2＋p ) ＝p 2

(|AF |＋|BF |)， 即|AF |＋|BF |＝2p

·|AF |·|BF |， ∴1

|AF |＋1|BF |＝2p . 当直线AB 的方程为x ＝p 2时， x 1＝x 2＝p 2

， y 1＝p ，y 2＝－p .

∴|AF |＝|BF |＝p .

∴1

|AF |＋1|BF |＝2p . 3．在本例条件下，若M 是AB 的中点，过点A ，B ，M 向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，B 1，M 1.试证：

8 (1)以AB 为直径的圆与准线l 相切；

(2)∠AM 1B ＝90°；

(3)∠A 1FB 1＝90°.

证明：如图．

(1)∴|MM 1|＝12

(|AA 1|＋|BB 1|) ＝12(|AF |＋|BF |)＝12

|AB |. ∴以AB 为直径的圆与准线l 相切．

(2)由(1)知，以AB 为直径的圆与准线l 相切于点M 1，

则∠AM 1B ＝90°.

(3)如图：

∵|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，

∴∠AA 1F ＝∠AFA 1，

∠BB 1F ＝∠BFB 1.

又AA 1∥x 轴，BB 1∥x 轴，

∴∠AA 1F ＝∠A 1FO ，

∠BB 1F ＝∠B 1FO .

∴∠AFA 1＝∠A 1FO ，∠BFB 1＝∠B 1FO .

∴∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝90°，

即∠A 1FB 1＝90°.

[随堂即时演练]

1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是

( )

A ．(6，＋∞)

B ．[6，＋∞)

C ．(3，＋∞)

D ．[3，＋∞)

解析：选D ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，

9 ∴p 2

＝3，即p ＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p 2

， ∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．

2．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k 等于( )

A ．2或－1

B ．－1

C ．2

D ．3 解析：选C 由????? y ＝kx －2，y 2＝8x ，

得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0.

由Δ＝(4k ＋8)2－16k 2＞0，得k ＞－1.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝4k ＋8k 2＝4， 解得k ＝2或k ＝－1(舍去)．

3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________.

解析：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.

答案：8

4．线段AB 是抛物线y 2＝x 的一条焦点弦，且|AB |＝4，则线段AB 的中点C 到直线x ＋12

＝0的距离为________．

解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由于|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，

∴x 1＋x 2＝4－12＝72

， ∴中点C (x 0，y 0)到直线x ＋12＝0的距离为x 0＋12＝x 1＋x 22＋12＝74＋12＝94

. 答案：94

5．已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长|AB |＝35，求m 的值．

解：由????? y 2＝4x ，y ＝2x ＋m ，得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2

＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

10 则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24

， ∴|AB |＝ 1＋k 2

x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝ 1＋22

－m 2－4·m 24 ＝ －2m .

由|AB |＝3 5，即

－2m ＝3 5， 解得m ＝－4.

[课时达标检测]

一、选择题

1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )

A ．y 2＝－11x

B ．y 2

＝11x

C ．y 2＝－22x

D ．y 2＝22x

解析：选C 在方程2x －4y ＋11＝0中， 令y ＝0得x ＝－112， ∴抛物线的焦点为F ? ??

??－112，0，即p 2＝112， ∴p ＝11，

∴抛物线的方程是y 2＝－22x .

2．过点(2,4)作直线l ，与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线l 有( )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，∴过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．

3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA ―→·AF ―→＝－

4，则点A 的坐标为( )

A ．(2，±2 2)

B ．(1，±2)

C ．(1,2)

D ．(2,22)

解析：选B 设A (x ，y )，则y 2＝4x ，①

OA ―→＝(x ，y )，AF ―→＝(1－x ，－y )，

OA ―→·AF ―→＝x －x 2－y 2＝－4，②

由①②可解得x ＝1，y ＝±2.

11

4．设F 为抛物线y 2

＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA ―→ |＋| FB ―→|＋|FC ―→

|的值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ? ??

??12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA ―→|＋|FB ―→|＋|FC ―→|＝? ?

???x 1＋12＋? ????x 2＋12＋x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋

32＝32＋3

2

＝3. 5．(全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

解析：选B 设抛物线的方程为y 2

＝2px (p >0)，圆的方程为x 2

＋y 2

＝r 2

.∵|AB |＝42，

|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴不妨设A ? ????4p ，22，D ? ??

??－p 2，5.∵点A ? ????4p ，22，D ? ????－p

2

，5在圆x 2

＋y 2

＝r 2

上，∴?????

16

p

2

＋8＝r 2

，p

2

4＋5＝r 2

，

∴

16

p 2

＋8＝p 2

4

＋5，∴p ＝

4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.

二、填空题

6．顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是________________．

解析：顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线方程有两个：x 2

＝－2py 或x 2

＝2py (p ＞0)． 由顶点到准线的距离为4知p ＝8，

故所求抛物线的方程为x 2

＝16y 或x 2

＝－16y . 答案：x 2

＝16y 或x 2

＝－16y

7．过抛物线y 2

＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则

AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．

解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.

由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p

2

＝x 1＋x 2＋p ，

12 即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52

. 因此，点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72

. 答案：72

8．过抛物线x 2

＝2py (p ＞0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________. 解析：由题意可得焦点F ? ??

??0，p 2， 故直线AB 的方程为y ＝

33x ＋p 2， 与x 2＝2py 联立得A ，B 两点的横坐标为

x A ＝－

33p ，x B ＝3p ， 故A －33p ，16p ，B 3p ，32

p ， 所以|AF |＝23

p ，|BF |＝2p ， 所以|AF ||BF |＝13

. 答案：13

三、解答题

9．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2

＝2px (p ＞0)上，求这个正三角形的边长．

解：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分

别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，

所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，

即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，

整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0.

因为x 1＞0，x 2＞0,2p ＞0，

所以x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，

即点A ，B 关于x 轴对称．

由此得∠AOx ＝30°，

13 所以y 1＝3

3x 1，与y 2

1＝2px 1联立，

解得y 1＝23p .

所以|AB |＝2y 1＝4

3p .

10．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，

B 两点．

(1)若|AF |＝4，求点A 的坐标；

(2)求线段AB 的长的最小值．

解：由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

(1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p

2，

从而x 1＝4－1＝3.

代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.

∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－2

3)．

(2)当直线l 的斜率存在时，

设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．

与抛物线方程联立，

得????? y ＝k x －，y 2＝4x ，消去y ，整理得

k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.

∵直线与抛物线相交于A ，B 两点，

则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，

∴x1＋x2＝2＋4

k2 .

由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋4

k2

＞4.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，∴|AB|≥4，

即线段AB的长的最小值为4.

14

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jvxi.html