初中数学第14章一次函数

明镜学院讲义 讲课人：邓威

第十四章 一次函数

测试1 变量与函数

学习要求

1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）

2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．

3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．

课堂学习检测

一、填空题

1．设在某个变化过程中有两个变量x和y，如果对于变量x取值范围内的______，另一个变量y都有______的值与它对应，那么就说______是自变量，______是的函数．

2．设y是x的函数，如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为______时的______． 3．对于一个函数，在确定自变量的取值范围时，不仅要考虑______有意义，而且还要注意问题的______．

4．飞轮每分钟转60转，用解析式表示转数n和时间t（分）之间的函数关系式： （1）以时间t为自变量的函数关系式是______． （2）以转数n为自变量的函数关系式是______．

5．某商店进一批货，每件5元，售出时，每件加利润0.8元，如售出x件，应收货款y元，那么y与x的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______．

6．已知5x＋2y－7＝0，用含x的代数式表示y为______；用含y的代数式表示x为______． 7．已知函数y＝2x2－1，当x1＝－3时，相对应的函数值y1＝______；当x2??5时，相对应的函数值y2＝______；当x3＝m时，相对应的函数值y3＝______．反过来，当y＝7时，自变量x＝______． 8．已知y?x y ? 26,根据表中 自变量x的值，写出相对应的函数值． x－4 －3 －2 －1 ? 1 20 1 21 2 3 4 ? 二、求出下列函数中自变量x的取值范围 9．y?x?x?5 12．y?

x2x?110．y?4x 2x?311．y?2x?3

13．y?31?2x

14．y?x?3 x?2 1 / 26

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x015．y?

x?116．y?3x?2

|x?2|17．y?2x?3?3?2x

综合、运用、诊断

一、选择题

18．在下列等式中，y是x的函数的有（ ）

3x－2y＝0，x2－y2＝1，y?x,y?|x|,x?|y|.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

19．设一个长方体的高为10cm，底面的宽为xcm，长是宽的2倍，这个长方体的体积

V（cm3）与长、宽的关系式为V＝20x2，在这个式子里，自变量是（ ） A．20x2 B．20x C．V D．x

20．电话每台月租费28元，市区内电话（三分钟以内）每次0.20元，若某台电话每次通

话均不超过3分钟，则每月应缴费y（元）与市内电话通话次数x之间的函数关系式 是（ ）

A．y＝28x＋0.20 B．y＝0.20x＋28x C．y＝0.20x＋28 D．y＝28－0.20x 二、解答题

21．已知：等腰三角形的周长为50cm，若设底边长为xcm，腰长为ycm，求y与x的函数

解析式及自变量x的取值范围．

22．某人购进一批苹果到集市上零售，已知卖出的苹果x（千克）与销售的金额y元的关系

如下表：

x（千克） y（元） 1 2+0.1 2 4+0.2 3 6+0.3 4 8+0.4 5 10+0.5 ? ? （1）写出y与x的函数关系式：______；

（2）该商贩要想使销售的金额达到250元，至少需要卖出多少千克的苹果？

拓展、探究、思考

23．用40m长的绳子围成矩形ABCD，设AB＝xm，矩形ABCD的面积为Sm2，

（1）求S与x的函数解析式及x的取值范围；

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（2）写出下面表中与x相对应的S的值： x S ? 8 9 9.5 10 10.5 11 12 ? ?

（3）猜一猜，当x为何值时，S的值最大？

（4）想一想，如果打算用这根绳子围成的面积比（3）中的还大，应围成么样的图形？

并算出相应的面积．

测试2 函数的图象

学习要求

初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，能初步学会依据函数的图象分析（或回答）该函数的某些性质（即“看图识性”）．

课堂学习检测

一、解答题 1．回答问题．

（1）什么是函数的图象？

（2）为什么要学习函数的图象？

（3）用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤是什么？

2．用“描点法”分别画出下列各函数的图象． （1）y?1x 2 3 / 26

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x y ? －6 －4 －2 0 2 4 ? 解：函数y?（2）y?1x?3 21x的自变量x的取值范围是______． 2

解：函数y?x y ? 1x?3的自变量x的取值范围是______． 2－6 －4 －2 0 2 4 ? 问题：当（2）中的自变量x的取值范围变为－2≤x＜4时，请在上图中标出相应的图象部分． （3）y＝x2

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解：函数y＝x2的自变量x的取值范围是____．

x y ? ? ?3 2 －1 1? 2 0 1 2 1 3 2 ? 从图象可以得到，函数图象的最低点的坐标是______；此图象关于______对称．

3．如图2－1，下面的图象记录了某地一月份某大的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图象回答下面的问题：

图2－1

（1）在这个问题中，变量分别是______，时间的取值范围是______；

（2）20时的温度是______℃，温度是0℃的时刻是______时，最暖和的时刻是_______

时，温度在－3℃以下的持续时间为______小时； （3）你从图象中还能获得哪些信息？（写出1～2条即可）

答：__________________________________________________．

综合、运用、诊断

一、选择题

4．图2－2中，表示y是x的函数图象是（）

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图2－2

5．如图2－3是护士统计一位病人的体温变化图，这位病人中午12时的体温约为（）

图2－3

A．39.0℃ B．38.2℃ C．38.5℃ D．37.8℃

6．如图2－4，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t（小时）与山高h（千米）间的函数关系用图象表示是（ ）

图2－4

二、填空题

7．星期日晚饭后，小红从家里出去散步，图2－5所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题

图2－5

（1）公共阅报栏离小红家有______米，小红从家走到公共阅报栏用了______分； （2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了______分；

（3）邮亭离公共阅报栏有______米，小红从公共阅报栏到邮亭用了______分； （4）小红从邮亭走回家用了______分，平均速度是______米／秒． 三、解答题

8．已知：线段AB＝36米，一机器人从A点出发，沿线段AB走向B点．

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（1）求所走的时间t（秒）与其速度V（米／秒）的函数解析式及自变量V的取值范围； （2）利用描点法画出此函数的图象．

拓展、探究、思考

9．大家知道，函数图象特征与函数性质之间存在着必然联系．请根据图2－6中的函数图象 特征及表中的提示，说出此函数的变化规律．此外，你还能说出此函数的哪些性质？

图2－6

序号 （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）

函数图象特征 曲线与y轴交于点D（0，4） 曲线与x轴分别交于点B（－5，0）、F（2，0）、H（6，0） 曲线经过点E（1，2） 由左至右曲线AC呈上升状态 由左至右曲线CG呈下降状态 由左至右曲线GK呈____________ 曲线上的最高点是C（－2，5） 函数变化规律 自变量的取值范围是______． 当x=______时，y=______． 当x的值分别为时______，y=0． 当x=______时，y=______． 当－6≤x≤－2时，y随x的增大而______． 当______时，y随x的增大而___________． 当______时y随____________． 当x=______时，y有______值，且这个值为 7 / 26

（1） 曲线从点A（－6，－4）至点K（7，2） 明镜学院讲义 讲课人：邓威

____________． （9） （10） 曲线上的最低点是____________ 曲线BCF位于x轴的上方 当x=______时，y有______值，且这个值为____________． 当______时，y______0． 测试3 正比例函数 学习要求

理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y＝kx的图象，能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．

课堂学习检测

一、填空题

1．形如______的函数叫做正比例函数．其中______叫做比例系数．

2．可以证明，正比例函数y＝kx（k是常数．k≠0）的图象是一条经过______点与点（1，______的__________，我们称它为______．

3．如图3－1，当k＞0时，直线y＝kx经过______象限，从左向右______，因此正比例函数y ＝kx，当k＞0时，y随x的增大而______；当k＜0时，直线y＝kx经过______象限，从左向右______，因此正比例函数y＝kx，当k＜0时，y随x的增大反而______．

图3－1

4．若直线y＝kx经过点A（－5，3），则k ＝______．如果这条直线上点A的横坐标xA＝4，那么它的纵坐标yA＝______． 5．若??x??4,是函数y＝kx的一组对应值，则k＝______，并且当x≥5时，y______；当y

?y??6＜－2时，x____________． 二、选择题

6．下列函数中，是正比例函数的是（ ） A．y＝2x

B．y?1 2xC．y＝x2 D．y＝2x－1 7．如图3－2，函数y＝－x（x＜0）的图象是（）

图3－2

8．函数y＝－2x的图象一定经过下列四个点中的（ ） A．点（1，2） B．点（－2，1）

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1C．点(,?1)

2

1D．点(?1,)

29．如果函数y＝（k－2）x为正比例函数，那么（ ） A．k＞0 B．k＞2 C．k为实数 D．k为不等于2的实数 10．如果函数y?(m?2)x|m?1|是正比例函数，那么（ ）

A．m＝2或m＝0

B．m＝2

C．m＝0

D．m＝1

综合、运用、诊断

一、解答题

11．若规定直角坐标系中，直线向上的方向与x轴的正方向所成的角叫做直线的倾斜角．请

在同一坐标系中，分别画出各正比例函数的图象，它们各自的倾斜角是锐角还是钝角？比例系数k对其倾斜角有何影响？

（1）y1?12x,y2?x,y3?32x,y4?3x;

（2）y1??3x,y2??31x,y3??x,y4??x. 22

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12．有一长方形AOBC纸片放在如图3－3所示的坐标系中，且长方形的两边的比为OA：

AC＝2：1.

（1）求直线OC的解析式；

（2）求出x＝－5时，函数y的值； （3）求出y＝－5时，自变量x的值； （4）画这个函数的图象；

（5）根据图象回答，当x从2减小到－3时，y的值是如何变化的？

图3－3

13．如图3－4，居室窗户的高90cm，活动窗拉开的最大距离是80cm．如果活动窗拉开xcm

时，窗户的通风面积是ycm2．

（1）试确定这个函数的解析式并指出自变量x的取值范围； （2）画出这个函数的图象．

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图5－1

3．某造纸厂污水处理的剩余污水随着时间的增加而减少，剩余污水量V（万米3）与污水处理时间t（天）的关系如图5－2所示，

（1）由图象求出剩余污水量V（万米3）与污水处理时间t（天）之间的函数解析式； （2）污水处理连续10天，剩余污水还有多少万立方米？

（3）按照图中的规律，若想将全部污水处理干净，需要连续处理污水多少天？ （4）平均一天可处理污水多少万立方米？

图5－2

拓展、探究、思考

4．某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：

类别 进价（元／台） 售价（元／台） 电视机 1800 2000 洗衣机 1500 1600 计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161800元．

（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其他费用） （2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多

利润．（利润＝售价－进价）

5．某面粉厂有工人20名，为获得更多利润，增设加工面条项目，用本厂生产的面粉加工成面条（生产1kg面条需用面粉1kg）．已知每人每天平均生产面粉600kg，或生产面条400kg．将面粉直接出售每千克可获利润0.2元，加工成面条后出售每千克面条可获利0.6元，若每个工人一天只能做一项工作，且不计其他因素，设安排x名工人加工面条

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（1）求一天中加工面条所获利润y1（元）； （2）求一天中剩余面粉所获利润y2（元）；

（3）当x为何值时，该厂一天中所获总利润y（元）最大？最大利润为多少元？

测试6 一次函数（三）

学习要求

对一次函数的概念及性质有进一步认识，对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．

课堂学习检测

一、选择题

1．某村办工厂今年前五个月中，每月某种产品的产量c（件）关于时间t（月）的函数图象如图6－1所示，该厂对这种产品的生产是（ ）

图6－1

A．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月每月生产量逐月减少 B．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月每月生产量与3月持平 C．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月均停止生产 D．1月至3月每月生产量不变，4、5两月均停止生产

2．如图6－2，圆柱形开口杯底固定在长方体水池底，向水池匀速注入水（倒在杯外），水池中水面高度是h，注水时间为t，则h与t之间的关系大致为下图中的（ ）

图6－2

3．如图6－3所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形．设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S与t的大致图象应为（ ）

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图6－3

4．一列货运火车从梅州站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，那么可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）

图6－4

二、解答题

5．某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人25元；超过20人，超过部分每人10元．

（1）写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）之间的函数关系式；

（2）利用（1）中的函数关系计算：某班54名学生去该风景区游览时，为购门票共花了

多少元？

综合、运用、诊断

6．某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表： 砝码的质量(x克) 指针位置(y厘米) 0 50 2 3 100 4 150 5 200 6 250 7 300 7.5 400 7.5 500 7.5 （1）求出y与x的函数关系式； （2）y关于x的函数图象是（ ）

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图6－5

7．气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km处，每升高1km，气温下降6℃．高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38℃，高空中xkm的气温为y℃．当0≤x≤11时，求y与x之间的关系式． 8．我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某市制定了每月用水4吨以内（包括4吨）和用水4吨以上两种收费标准（收费标准：每吨水的价格），某用户每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其函数图象如图6－6所示． （1）观察图象，求出函数在不同范围内的解析式； （2）说出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准； （3）若某用户该月交水费12.8元，求该户用了多少吨水．

图6－6

拓展、探究、思考

9．如图6－7，某电信公司提供了甲，乙两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误的是（ ） ．．A．若通话时间少于120分，则甲方案比乙方案便宜20元 B．若通话时间超过200分，则乙方案比甲方案便宜12元 C．若通讯费用为60元，则乙方案比甲方案的通话时间多

D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分

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图6－7

10．如图6－8，在长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，点P沿边按A—B－C—D的方

向运动到点D（但不与A、D两点重合）．求△APD的面积y（cm2）与点P所行的路程x（cm）之间的函数关系式．

图6－8

测试7 一次函数与一次方程（组）

学习要求

能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系，在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想．

课堂学习检测

一、填空题

1．已知：2x＋3y＝6．想一想，在完成下面填空的过程中，你理解了什么？ （1）如果把x、y看成是未知数，那么2x＋3y＝6是关于x、y的________．

（2）若把2x＋3y＝6转化为用含x的代数式表示y的等式，则y＝______．如果将x看

成是自变量，那么y是关于x的________．这样一个二元一次方程2x＋3y＝6就对应一个________． 2（3）由于直线y??x?2上每个点的坐标（x，y）满足一次函数______，并且这个有

3序实数对（x，y）也______方程2x＋3y＝6，都是方程2x＋3y＝6的______；反过来，方程2x＋3y＝6的每一个解组成的有序实数对（x，y）也都满足一次函数______，并且以（x，y）为坐标的点都在直线__________上．因此，二元一次方程2x＋3y

＝6与直线y??2x?3互相________．． 32．用函数的观点看解方程ax＋b＝0（a、b为常数a≠0），可以看成是当一次函数y＝ax＋b的值为______时，求相应的______的值．从图象上看，又相当于已知直线________，确．．定它与______交点的______的值．

3．一次函数与二元一次方程组有密切联系．一般的，每个二元一次方程组都对应________，于是也对应__________．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时__________相等，以及__________；从“形”的角度看，解方程组相当于确定________

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的坐标．

4．如图7－1，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，二元一次方程组??y?ax?b,的解是________．

y?kx,?

图7－1

5．一次函数y?1x?4和y＝－3x＋3的图象的交点坐标是________． 2二、选择题

6．将方程x＋3y＝7全部的解写成坐标（x，y）的形式，那么用全部的坐标描出的点都在直线（ ）上． 1717C．y??x? D．y??x?

33337．如图7－2所示，图中两条直线l1、l2的交点坐标可以看做是方程组（ ）的解．

A．y?17x? 33B．y?17x? 33?x?y?2,A．?

x?2y?4??x?y?2,C．?

2y?x?4?

?x?y?2,B．?

x?2y?4??x?y?2,D．?

x?2y??4?

图7－2

三、解答题

18．已知：直线y??x?2.

21（1）求直线y??x?2与x轴的交点B的坐标，并画图；

21（2）若过y轴上一点A（0，3）作与x轴平行的直线l，求它与直线y??x?2的交点

2M的坐标； 1（3）若过x轴上一点C（3，0）作与x轴垂直的直线m，求它与直线y??x?2的交

2点N的坐标．

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9．两个一次函数的图象如图7－3所示， （1）分别求出两个一次函数的解析式； （2）求出两个一次函数图象的交点坐标； （3）求这两条直线与y轴围成三角形的面积．

图7－3

综合、运用、诊断

10．如图7－4，某边防部接到情报，近海处有一可疑船只A正向出海方向行驶，边防部迅

速派出快艇B追赶，在追赶过程中，设可疑船只A相对于海岸的距离为y1（海里），快艇B相对于海岸的距离为y2（海里），追赶时间为t（分），图中lA、lB分别表示y1、y2与t之间的函数关系，结合图象解答下列问题：

（1）分别求出y1、y2与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）B需要用多长时间追上A？

图7－4

拓展、探究、思考

11．（1）若直线y＝kx＋b与直线y＝2x－1关于x轴对称，求这条直线的解析式；

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（2）将直线y＝2x－1向左平移3个单位，求平移后所得直线的解析式；

（3）将直线y＝2x－1绕原点顺时针转90°，求旋转后所得直线的解析式．

12．如图7－5，l1、l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯费用y（费用＝灯的售价＋电费，

单位：元）与照明时间x（时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．

（1）根据国象分别求出l1、l2的函数关系式；

图7－5

（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？

（3）若照明时间不超过2000小时，如何选择这两种灯具，能使使用者更合算？

测试8 一次函数与一元一次不等式

学习要求

1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．

2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．

课堂学习检测

一、填空题 1．由于任何一元一次不等式都可以转化为______的形式，所以解一元一次不等式可以看作：______．

2．如图8－1，直线y＝kx＋b与x轴交于点（－4，0），则y＞0时，x的取值范围是______．

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图8－1 图8－2

3．如图8－2，直线y＝kx＋b与y轴交于（0，3），则当x＜0时，y的取值范围是______． 4．一次函数y＝kx＋b的图象如图8－3，则当x______时，y＜4．

5．一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2的图象如图8－4所示，则当x______时，y1＜y2；当x______时，y1＝y2；当x______时，y1＞y2．

图8－3 图8－4

6．已知：如图8－5，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点M，则点M的横坐标xM＝_____． （1）若k＞0，则当x＜xM时，y______0；当x＞xM时，y______0； （2）若k＜0，则当x＜xM时，y_____0；当x＞xM时，y______0．

图8－5

二、选择题

7．函数y＝kx＋b的图象如图8－6所示，则关于x的不等式kx＋b＜0的解集是（ ） A．x＞0 B．x＜0 C．x＞2 D．x＜2

图8－6

8．如图11－8－7，l1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量（ ）

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A．小于3吨 C．大于3吨 三、解答题

9．已知：一次函数y＝－2x＋3．

（1）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）当x为何值时，y＞0？ （3）当x为何值时，y≤1？

（4）当－2≤x≤3时，求y的变化范围，并指出当x为何值时，y有最大值？ （5）当1＜y＜5时，求x的变化范围．

图8－7

B．小于4吨 D．大于4吨

综合、运用、诊断

10．已知：y1??

13x?1，y2?x?5,试用图象法比较y1与y2的大小． 22拓展、探究、思考

11．如图8－8，某公司专销A产品，第一批A产品上市40天内全部售完．该公司对第一批

A产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中甲图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；乙图中的折线表示的是每件A产品的销售利润与上市时间的关系．

图8－8

（1）试写出第一批A产品的市场日销售量y与上市时间t的关系式：

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明镜学院讲义 讲课人：邓威

（2）第一批A产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万

元？（说明理由）

12．在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）．现有两种购买

方案：

方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；（总费用＝广告赞助费＋门票费）

方案二：购买门票方式如图8－9所示． 解答下列问题：

（1）方案一中，y与x的函数关系式为______；

方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为______， 当x＞100时，y与x的函数关系式为______．

图8－9

（2）如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请

说明理由；

（3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足场赛门票共700张，花去总费

用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张．

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