高教版基础数学第二册教案（全）

7.1 向量的概念和向量的几何表示

【教学目标】

理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念； 掌握向量的几何表示，会用字母表示向量； 理解向量组共线、不共线的概念． 【教学重点】

向量、相等向量、共线向量的概念，向量的几何表示． 【教学难点】

在复杂的几何图形中分清各向量相等、共线的关系；向量与数量的关系． 【教学方法与思路】

通过十分有趣的实际问题说明现实生活中有些量既有大小又有方向，从而引入向量的概念；通过学生自学、回答教师问题的方法，使学生理解向量的概念及向量的几何表示；通过教师精讲、学生解决实际问题，使学生理解相等向量、共线向量的概念；最后通过总结提炼和引申，使学生明白向量和数量的区别，有一个关于向量的总的印象．

【教学过程】 一、情境设置

1．如图，老鼠由A向西北方向逃窜，如果猫由B向正东方向追，那么猫能抓到老鼠吗？为什么？

B· A·

2．现实世界是丰富多彩的，描述现实世界的量有的只有大小没有方向，有的既有大小

又有方向．现实生活中哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？

既有大小又有方向的量：力、速度、位移等，只有大小没有方向的量：温度、长度、重量、面积、体积等．我们把既有大小又有方向的量叫做向量．今天我们就来学习向量的概念和向量的几何表示（板书大标题）．

二、学习新课

1． 向量及有关附属概念的学习

（1）请大家翻开课本第3页，阅读第3页至第4页“观察”以上内容．

（2）讨论总结：这一部分都有哪些概念？包含哪些知识点？ 向量：既有大小又有方向的量叫做向量（或矢量）． 记法：用黑体小写英文字母表示向量． 手写：a，b，c，…；力F

几何表示：用带有一个箭头的线段（称有向线段）直观地表示向量．

A aa C B a D

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例：（如图）AB的长度表示a的大小，记a；AB的箭头指向表示a的方向．将有向线段AB平移得到有向线段CD，有向线段AB和有向线段CD是两条不同的有向线段,它们表示同一个向量a．

向量的两个要素：大小和方向．

相等的向量:大小相等且方向相同的向量叫做相等的向量． 几何表示：用长度相等并且方向相同的有向线段表示相等的向量．

零向量：长度为零的向量，记做0，它的方向不确定．也可记为AA或BB． 单位向量：长度为1的向量．（问：单位向量是相等向量吗?）

a负向量（或a的反向量）：与非零向量a长度相等且方向相反的向量称为a负向量 （或a的反向量）．记：- a 规定：0的负向量为0．

问：向量BA与AB有什么关系？ 2． 共线向量

操作：任画三个方向相同或相反的向量，将三个向量平移到同一起点的位置，你能得到什么结论？（三向量在同一条直线上）

定义共线向量：如果一组向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，像这样的一组向量称为共线的；否则称为不共线的．

零向量与任一向量共线．

a与b共线的充分必要条件是：a与b的方向相同或相反，或者有一个是零向量． 不共线向量举例：

三、知识运用

BA??AB b a

例1 如图：在平行四边形ABCD中，找出与向量AB相等的向量，以及AB的负向量． 分析：相等的向量即方向相同、大小相等的向量，用有向线段表示，即为方向相同、长度相等的有向线段．负向量即方向相反、大小相反的向量，

用有向线段表示，即为方向相反，长度相等的有向线段． 解： AB =DC ， - AB= BA = CD. 例2 上图中，与向量AD 共线的非零向量．

分析：共线的非零向量是所有方向相同和相反的非零向量． 解：与向量AD共线的向量有AD，BC，DA，CB．

D A B C 第 2 页 共 159 页

注意：两个长度相等、方向相反的向量互为反向量，也是共线向量．找共线向量时，防止遗漏其中一个．

例3：如图设O是正六边形ABCDEF的中心，请分别写出图中满足下列条件的向量： （1）与向量OB相等的向量； （2）向量OB的负向量； （3）与向量OB共线的非零向量． （由学生口答） 例4 判断正误：

（1）共线向量一定方向相同或相反． （ ） （2）不共线的向量一定不相等． （ ） （3）与任意向量都平行的向量只有零向量． （ ） （4）共线向量一定在同一条直线上． （ ） （5）共线的向量一定可平移到同一条直线上． （ ） 四、总结提炼延伸

（1）向量不同于数，它是一种新的量，关于它的概念比较多，我们今天就着重学习了向量、零向量、单位向量、负向量、相等向量、共线向量等概念．

（2）描述一个向量有两个要素：长度和方向．

（3）共线向量也称为平行向量，它类似于平面几何中的平行线，但它不是平行线概念的简单移植，共线是指方向相同或相反的一组向量，它与长度无关，与是否真的在一条直线上无关．

（4）向量不同于数量的一个显著特征是，向量有它自己的运算系统：加、减、实数和向量的积、向量的数量积等运算，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用．关于向量的运算也是我们今后要学习的重点．

五、布置作业：

C D O E B A F 7.2 向量的加法与减法

目标要求：掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则；

会运用向量加法的定义和运算法则进行向量的加法运算．

教学重点：向量加法的三角形法则，向量加法的运算法则的运用． 教学难点： 向量加法定义的理解． 教学方法与思路：

通过实例抽象出向量加法的定义，分析定义的要点使学生理解三角形

法则，并会用公式形式表达出来，在例题中得出向量加法的平行四边形法则，通过一定量的

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练习使学生熟练运用三角形法则和平行四边形法则求和向量，熟练运用定义和运算法则进行向量的加法运算． 教学内容与教学过程：

情景设置

请同学们看这样一些问题：（多媒体演示）

1．如图(1)，某人从A到B，再从B按原来的方向到C，则两次位移的总效果AB+BC应该是 ；

2.如图(2)，飞机从A到B,再改变方向从B到C，则两次位移的总效果AB+BC应该是 ；

3.如图(3)，船的速度是AB，水流速度是BC，则两个速度的和AB+BC应该是 ．

C A B C A B A B C

（1） （2） （3）

学生回答完问题后，教师总结：从这里看出，两个向量的和向量仍是一个向量．我们这节课就来学习向量的加法（板书大标题），请同学们根据刚才的问题思考如何定义向量的加法运算？

讲授新课

1、向量的加法运算定义

对于向量a，b，任取一点A，作有向线段AB表示向量a，接着以AB的终点B为起点作有向线段BC表示向量b，则有向线段AC表示的向量c称为a与b的和，记作c=a+b．

2、分析定义要点：

(1)作法上：作和的两个向量首尾相连，以第一条有向线段的终点作为第二条有向线段的起点，则从第一条有向线段的起点到第二条有向线段的终点的有向线段就表示和向量．可编成口诀如下：

“首尾相连补成三角形， 和向量的方向就确定

——起起终终．”

(2)向量a与b的和，与初始起点的选择无关．

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C b A a c

b B a

上述关于向量加法的定义称为向量加法的三角形法则．

(3)公式：AB+BC=AC，

特点：第一个向量的终点与第二个向量的起点是同一个点． 应用：①从左向右，可求出和向量；

②从右向左，可把一个向量分解成两个向量的和．

3、定义应用及延伸

例1 如图，ABCD是平行四边形，求AB+AD。

Q B A P D A B C （学生口答，多媒体演示规范解题过程．）

由此抽象出向量加法的平行四边形法则：求不共线的两个向量a，b的和，可以从同一起点A作有向线段AB，AD分别表示a，b，然后以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则有向线段AC就表示a+b，其中AC是对角线．这种求不共线的两个向量的和的方法称为向量加法的平行四边行法则． 练习1

1.如图，已知a、b，用向量加法的三角形法则作a+b.

2.如图，已知a、b，用向量加法的平行四边形法则作a+b.

（学生板演作法。）

4、向量的运算法则

b a b b a b a a (1) (2) (3) (4)

b a

b a

(1) a+b=b+a （交换律）

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(2) (a+b)+c=a+(b+c) （结合律） (3) a+0=0+a

(4) a+(-a)=(-a)+a=0

说明：求多个向量的和，例如，求a+b+c+d，只要相继作出有向线段OA，AB，BC，

CD，分别表示a，b，c，d，则有向线段OD就表示a+b+c+d，即OA+AB+BC+CD=OD。

练习2

求下列各题中的和向量：

（1）BC+AB （2）DB +CD+BC （3） EF+AB+（-AB） （4）（AB+MB）+BO+OM

小结

① 向量的加法：三角形法则和平行四边形法则；② 向量的运算法则；③ 一组首尾相连的向量和。 布置作业

P10 A组 第1—4题

板 书 设 计

7.2.1 向量的加法

1． 向量加法的定义 练习1 练习2

（1） 三角形法则 （2） 公式形式表示 2． 平行四边形法则

向量加法的运算律

D C d c O A b

B a

7.3 数乘向量

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教学目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。 教学过程：

一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。 二、1．引入新课：

已知非零向量a ，作出a+a+a和(?a)+(?a)+(?a)

????????a ??aN M Q ??? ?

OC=OA?AB?BC=a+a+a=3a

???a a a O A B ???C ?a?a?aP ????PN=PQ?QM?MN=(?a)+(?a)+(?a)=?3a

讨论：1? 3a与a方向相同且|3a|=3|a| 2? ?3a与a方向相反且|?3a|=3|a| 2．从而提出课题：数乘向量

实数λ与向量a的积，记作：λa

?????????? 1? |λa|=|λ||a|

?????2? λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；

??λ=0时λa=0，即0a=0；λ0=0

??3．运算定律：结合律：λ(μa)=(λμ)a ①

???第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa ②

????第二分配律：λ(a+b)=λa+λb ③

4．例题

定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

???例1 化简下列各式：

????（1） 2（a+b）－3（a－b）

????（2） 3（a－2b+c）－（2a+b－3c）

例2 如图，平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，用向量AB，AD表示向量AO，

OD。

解：因为O是AC，BD的中点，所以

D 1111O AC=（AB+AD）=AB+AD；

22221111OD=BD=（AD-AB）=-AB+AD. A 2222????注：一般地，λa+μb称为a,b的一个线性组合，其中λ,μ称为系数.

AO=

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C

B

????如果c=λa+μb，则称c可以由a,b线性表出.

向量的加法、减法以及数乘向量运算统称为向量的线性运算。 三、向量共线的充要条件（向量共线定理）

??????1． 若有向量a(a?0)、b，实数λ，使b=λa 则由实数与向量积的定义知：a与

?b为共线向量

?????????若a与b共线(a?0)且|b|：|a|=μ，则当a与b同向时b=μa ???? 当a与b反向时b=?μa

??从而得：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 ??b=λa。

四、课堂练习 课本 P14 A组1、2

五、小结：掌握向量的数乘运算 六、作业： 课本 P14 3—7

7.4 平面向量分解定理

一、教学目标：

知识目标：平面向量分解定理，向量在基下的坐标 能力目标：理解平面向量分解定理，会求向量在基下的坐标 德育渗透目标：提高观察、抽象的能力

二、教学重点：平面向量分解定理及向量在基下的坐标 三、教学难点：定理的推导过程 四、教 法：启发 引导 五、教 具：三角板 投影仪 六、教学过程： （一）复习：

我们知道:一个原点O和一个单位向量确定一根数轴.记作:[O;e],如下图:

设a是轴[O;e]上的任一向量，则a与e共线. 那么存在唯一的实数x，使得a=xe, 其中x叫做轴上向量a的坐标.

（二）讲授新课

e 第 8 页 共 159 页

观察：取定一个平面，用这个平面上的有向线段表示的向量称为平面向量。 如下图：设a ,b 是平面上不共线的两个向量，平面上的任一向量c能不能由a，b

线性表出？即能不能写成λa+μb的形式呢？

b c a 分析：如果c=0,则0=0a+0 b,下面设c≠0 思考：c向量的方向有几种可能情况？

<1>若c与a 共线，则存在实数，使得c=λa=λa+0b； <2>若c与b 共线，则存在实数，使得c=μb=0a+μb；

OB、OC分别表示<3>若c与a 不共线，与b也不共线，则以O为起点作有向线段OA、a、b、c，如图所示。过点C作直线与OB平行，它与直线OA交于点M，再过点C作直线与OA平行，它与直线OB交于点N，于是四边形ONCM为平行四边形。从而有

OC?OM?ON （1）

C c b O a B N c A M 由于OM与a共线，因此存在实数x，使得OM = xa，由于ON与b 共线，因此存在实数y ，使得OM=yb，将它们代入（1）式，得

OC =xa+yb （2）

即 c=xa+yb （3） 综上所述，我们有下面的重要定理：

平面向量分解定理：平面上取定不共线的两个向量a，b，则平面上任意一个向量c可以唯一地表示成a,b 的线性组合：

c=xa+yb .

我们把a,b称为平面的一个基，把（2）式中系数组成的有序实数对（x,y）叫做向

量c 在基a,b下的坐标。

（三）例题示范

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例： 平行四边形ABCD的边BC和CD的中点分别为E，F， 取AB,AD为平面的一个基，分别求向量AB,AD,BC,CD,EF在基AB,AD下的坐标。

解：AB?1AB?0AD

D F E C

AD?0AB?1AD BC?AD?0AB?1AD

A B EF?EC?CF?111111BC?CD?AD?BA??AB?AD 2222221122因此，AB,AD,BC,CD,EF在基下的坐标是（。 1，0）,(0，1）（,0，1）,(?1，0)，(?，）（四）巩固练习 练习1：

设三角形ABC的边BC的中点D，取AB，AC为平面的一个基，分别求AD，BC，BD在基AB，AC下的坐标。 解：AD?111AE?AB?AC 222BC?AC?AB??AB?AC

1111BC?（?AB?AC）??AB?AC 22221111因此，AD，BC，BD在基AB，AD下的坐标分别为（，），（?1，1），（?，）2222BD?。 练习2:

如图,把下列向量表示成a,b的线性组合,然后 写出它们在基a,b下的坐标。 .

. B O E. C O O b O a (4）D 5） （1）OA?_____,（2）AB?______,(3）BC?______,CD?______,（CE?______。则OA，AB，BC，CD，CE在基a,b下的坐标_____，______，______，______，________。

（五）小结：主要内容有：平面向量分解定理，向量在基下的坐标。 （六）作业 ：P17 A组 1.2.3.4 B组 1.2

. O A7.5 平面向量的直角坐标·用坐标作向量的运算

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2、 向量的坐标与点的坐标之间的关系。 作业：

课本P23 A组 2、3、4、5

7.7 线段的中点坐标公式和定比分点坐标公式

教学目标： （一） 知识目标

1、 线段的中点坐标公式； 2、 线段的定比分点坐标公式。 （二） 能力目标

1、 掌握线段的中点坐标公式； 2、 了解线段的定比分点坐标公式。

教学重点：线段的中点坐标和定比分点公式的应用 教学方法： 启发式 教学过程： 一、复习引入

1．向量的加减，实数与向量积的运算法则；2．向量的坐标运算 二、新课讲解： 思考

已知线段AB的的两个端点A，B的坐标分别为 （x1,y1）,（x2,v2）,

线段AB的中点M的坐标是多少？ 分析

由于点M是线段AB的中点，因此

1AB 2111 =OA?(OB?OA) =OA?OB

2221 =(OA?OB) （1）

2 OM?OA?AM?OA?从而OM的坐标为

x?x2y1?y2?1??x1,y1???x2,y2??=?,?1? 222??因此点M的坐标为

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??x1?x2y1?y2?,? （2）

2??2即线段的中点坐标等于它的两个端点坐标之和的一半。

如果中点M的坐标记作（x,y），则

x?xy?y22 （3） x?1,y?122上式称为线段的中点坐标公式。 示范

例1

已知三角形ABC的顶点的A，B，C坐标分别为

（2，-1），（4，1），（6，-3）

设D、E分别是边BC、AC的中点，求点D、E的坐标。 解 点D的坐标为

?4?61?(?3)?,??=（5，-1），

2??2点E的坐标为

?2?6?1?(?3)?,??=（4，-2）. 22??例2

已知线段AB的中点M的坐标为?3,?，端点A的坐标为（4，2），求端点B的坐标。

解 设点B的坐标为（x2,v2），则由中点坐标公式得 3??1??2?4?x212?y2,?. 222解得 x2=2, y2=-1 因此点B的坐标是（2，-1）。 思考

如图，已知线段AB的端点A、B的坐标分别为 （x1,y1）,（x2,v2）,

设C是线段AB上的一点,使得 AC?y C · A B 1CB. 2e2 O e1 x 试问:点C的坐标是多少? 分析

我们考虑一般情形,在直线AB上任取一点C,使得

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AC??CB, （4）

我们称点C分线段AB成定比λ,此时称点C是线段AB的定比分点. 设定比分点C的坐标为（x,y）,则从（4）式得 （x-x1,y-y1）=λ（x2-x,y2-y）. 由此得

??x?x1??(x2?x),

?y?y1??(y2?y)?(1??)x?x1??x2,即 ? （5）

(1??)y?y??y12?假如1+λ=0，则λ=-1，于是AC??CB，从而AC?CB=0，即AB=0，这与A，B是不同的两个点矛盾，因此1+λ≠0.从（5）式得

（6） 公式（6）称为线段的定比分点坐标公式.

当λ=1时，公式（6）便成为线段的中点坐标公式。 示范

例3 例4 评注：

定比λ＞0时，分点C在线段AB上，此时称分点C为内分点；

定比λ＜0时，分点C在线段AB（或BA）的延长线上，此时称分点C为外分点。 三、小结：

1、 掌握线段的中点坐标公式； 2、 了解线段的定比分点坐标公式。

四、作业：

必做P27 A组 1—4 选做P27 B组 1、2

x?x1??x2y??y2,y?1 1??1??1的分点C的坐标。 21已知两点A（1，2），B（-1，3），求分线段AB成定比-的分点C的坐标。

2已知两点A（2，-3），B（-5，4），求分线段AB成定比

7.8 平移公式

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【教学目的】

1． 理解“平移”的概念和平移的几何意义. 2． 掌握平移公式，能运用公式解决有关具体问题. 【教学重点】

点的平移公式及变形公式的使用. 【教学难点】

求图像平移后的函数表达式. 【教学方法】

观察、分析、小组讨论、总结. 【课时安排】 1课时 【教学过程】： 一、复习引入

观察事例：用点和一小车演示平移现象，也可利用课本或教室内的其他物品来说明平移现象。（见课件）

二、新课讲解：

1．平移的概念：把平面（或空间）上的每一个点按照同一个方向移动相同的距离，叫做平面（或空间）的一个平移。

说明：平移只改变点或图形的位置，而形状、大小没有改变，所以点的坐标或函数的解析式也随着改变。

平移由移动的方向和距离决定，因此平移可以由一个向量a决定：a的方向表示移动的方向，a的大小表示移动的距离。

思考：在直角坐标系里，点平移前后的点的坐标有何关系呢？如何求图形平移后的解析式？

2、平移公式的推导：

在平面上取一个直角坐标系[O;e1,e2]

设P(x, y)是平面上的任意一点，向量a的坐标为?a1,a2?，它在平移后的像P’的坐标为(x’, y’)。

由于PP'=a ，因此

(x’, y’) -(x, y)= (a1,a2) 即?y ?x'?x?a1 y'?y?a?2P' a ∴??x'?x?a1 —— 平移公式

?y'?y?a2第 19 页 共 159 页 e2O P e1 x

变形公式有 ?说明：

?x?x??a1?x'?x?a1或?

?y?y??a2?y'?y?a2（1） 它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系； （2） 平移公式只适用于坐标系不变，点（或图形）的平移。 三、应用：

例1 （1）把点 A(-2 , 1)平移向量a (3,2)，求对应的点A′的坐标。

（2）点B(8,-10)平移向量a后的对应点B′的坐标为(-7,4)，求平移向量a 。 分析：（1）直接用公式求坐标。 （2）用平移公式的变形公式。 解：（1）由平移公式，得

?x'??2?3?x'?1 解之，得? ?y'?1?2y'?3??所以，A′的坐标为（1，3）。 （2） a?a1,a2?，由??x'?x?a1??7?8?a1?a1??15 得 ? 即?

4?(?10)?ay'?y?aa?14?2?2?2所以，a的坐标为（-15，14）。

练习1 将点A (3 , -5), B (7 , 0), C (-4 ,5), D(0 , -4) 平移向量a (3 , 2)，求对应点的坐标。

(由学生独立完成，标准答案见课件)

例2 已知函数y?x图像F按向量a（-2.3）平移后得到F′，求图像F′的解析式？ 解：在图像上任取一点P(x, y)，设它在F′上的对应点为P′(x′, y′)，则由平移公式

'??x??x?2?x?x?2得 ?y??y?3??y?y'?3

???2代入到函数y?x中，得y′-3=(x′+2)整理，得 y′= (x′+2)+3习惯写成 y= (x+2)+3

所以，F′的解析式为y= (x+2)+3。

2

2

2

22

练习2 把函数y=2的图像F平移向量a=(3,2)到F?，求F?对应的函数解析式. 解：在图像上任取一点P(x, y)，设它在F′上的对应点为P′(x′, y′)，则由平移公式

'??x??x?3?x?x?3得 ?y??y?2??y?y'?2

???x

代入到函数y=2中，得y′－2=2

xx′－3

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三、小结：

掌握向量内积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。 四、作业： P36 A组3——7

8．1 直线的点向式方程

教学目标：了解点向式方程的推导过程，会求点向式方程，通过点向式方程看出直线经过的

定点和直线的一个方向向量。

教学重点：会求点向式方程

教学难点：点向式方程的推导及分母为零时的特殊情况 教学方法：游戏，讨论，分层，启发，练习 教学过程：

一．复习旧知：

1．简单介绍平面解析几何的研究方法及意义：

“只要代数和几何分道扬镳，他们的进展就缓慢，他们的应用就狭窄，但当这两门科学结成伴侣时，他们就互相吸取新鲜的活力，就快速走向完善。” 解析几何把代数和几何结合起来，把数学造成一个双面的工具。的确，十七世纪以来数学的巨大发展，在很大程度上应归功于解析几何，可以说微分学和积分学如果没有解析几何的预先发展是难以想象的。

解析几何的重要性在于他的方法——建立坐标系，用方程来表示曲线，通过研究方程来研究曲线。因此我们学习解析几何，主要是掌握它的基本思想、基本方法，而不是仅仅在于记住它的某些具体结论。

解析几何的基本方法，包括两个方面：一是由图形到方程，二是从方程到图形，也就是选择坐标系，建立图形方程，通过对方程的研究得到图形的性质，了解图形的形状。解析几何离不开代数，但又要随时把各种代数表示的几何涵义放在

心中，学习中要特别注意，培养自己的几何直观能力。这种能力对于数学的学习是极为重要的。

2． 最简单的几何图形是什么？（直线）学习平面解析几何就从学习直线开始。 （板书大标题：直线的方程）

二．创设问题情境：

教师：在空旷的平地上，怎样才能走出一条笔直的线？（学生讨论）

教师：只要选准一个方向，一直沿这个方向走，就能走出一条笔直的线，人最初站的位置是一个点，再加上一个方向，就确定了一条直线。方向可以用非零向量来表示，因此，一个点和一个非零向量决定一条直线。

大家试一试：画出由点A和向量a决定的直线。

?第 26 页 共 159 页

教师：一条直线可以看作有互为相反的两个方向，如果一个非零向量v ，方向与直线l的一个方向相同，则称v是l的一个方向向量，如果v是l的一个方向向量，那么2v，3v，?2v，

????v是直线的方向向量吗？（是）大家发现：直线的方向向量之间有和关系？（共线）

三、引入新课：

已知直线过点M0?x0,y0?，且直线的一个方向向量为v?v1,v2?，我们来推导直线的方程（找直线上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系） 只有把曲线放到坐标系中，点才有坐标，曲线才有方程。 首先建立坐标系如图：

点M(x,y)在直线l上?M0M与v共线

M l v M0 ?M0M?tv,t?R

?x?x0?tv1①

t?R (一) ??y?y?tv02?②

方程（一）称为直线的参数方程。曲线方程一般都是使自变量x和y直接发生联系。如：y?2x?3x，而参数方程中x,y分别与一个参数t发生联系。参数是一个待定系数，可以任意取值，一旦取了，则成定值，取不同的值，便得到直线上不同的点。

问题：1、能不能让t消失，使得横坐标x与纵坐标y之间直接发生联系？ 2、大家试一试，将①式变形，变成t=…….的形式 3、大家试一试，将②式变形，变成t=…….的形式

4、大家能把变形以后的两个式子联系起来吗？得到一个什么等式？ 方程二：

2y?y0x?x0?v2v1x?x0y?y0?v1v2

学生在自己推导的过程中，可能考虑不到v1与v2的取值情况，教师随后补充：

?x?x0?0当

x?x0y?y0??y?y0?0v1v2方程（二）由一个点M0?x0,y0?和一个方向向量v?v1,v2?确定，所以称之为点向式方

v2?0程。

四．精彩集训：

总结点向式方程的特点及应用：

应用一：已知直线的点向式方程，说出直线经过的一个点和它的一个方向向量。

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例1． 分别说出下列直线经过的一个点和它的一个方向向量的坐标。

(1)x?2y?1xy?1 ?2? ???13?20应用二：已知直线上一点的坐标及直线的一个方向向量，写直线的点向式方程。 例2．直线l经过点M0??1,2?，一个方向向量为v?1,?3?写出l的点向式方程。 例3．直线l经过点M0?3,?2?，一个方向向量为v??2,0?写出l的点向式方程，并且画出直线l.

五．分层巩固与提高

如果你认为前面的内容已掌握，请做下列练习：

练习A：已知直线 l 经过两点M1(-1,2) , M2(3,-4),求l的方程。 如果你认为前面的内容仍需巩固，请看例4：

直线l经过点M0(-1,1)，一个方向向量v(0,2)，写出l的点向式方程，并且画出直线l. （给学生自由活动的空间，教师在教室中巡视。） 分层讲解：

层次一：小结例3、例4，注意分母为零时点向式方程的含义及此时直线方程的特点为后面的学习作下铺垫。

层次二：刚才做练习A的同学,请看答案;其余同学也一起来思考!

解：直线的一个方向向量是M1M2 (x2?x1,y2?y1)直线过点：M1(-1,2)或直线过点M2(3, - 4)

直线的点向式方程： 即：

?x?1y?2x?3y?4 或 ??4?64?6分层提高：

方程（三）中出现了直线上两个点的坐标，我们把此方程称为直线的两点式方程我们下节课再来仔细研究。

六、小结：学生小结分析本节课学了几种求直线方程的方法，各注意什么。 七、作业：

8.2 直线的斜率

一、设计依据

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1、教材分析

《直线的斜率》是中等职业教育国家规划教材(高教社)二册第八章(平面解析几何)第二节的内容。本章以三角函数和平面向量为基础，对传统教材进行了改革，以方向向量为中心来处理直线问题。本课是在上一节已学习了直线的点向式方程和两点式方程的基础上先介绍直线的倾角的概念，后引出直线的斜率的概念，这将为下一节建立直线的点斜式和斜截式方程做准备，也为后面学习平面上直线的位置关系和度量关系的内容打下基础。

2、学生情况分析

我所教授的是职中二年级网络和软件专业的学生，他们思维水平的差距较大，数学基础欠扎实，但是思维活跃，反应速度较快。因此，在教学过程中，我尝试运用小组学习和任务驱动教学模式来授课，通过讨论，不仅能够提高他们的认知水平，也锻炼了他们的合作意识。 二、教学目标 1、知识目标 (1) (2)

理解直线的倾角和斜率的概念。 掌握根据不同条件求直线斜率的方法。

2、能力目标

(1) 培养数学概念的理解能力、辨别能力，训练公式的应用能力。 (2) 培养学生分析和处理信息的能力，渗透数形结合、化归的思想。 3、情感目标

通过数学活动，使学生体验数学学习的成功与快乐，培养学生及时协作解决数学问题的责任心，激发学生的学习热情。

三、教学重点和难点:

1、教学重点 直线的倾角与斜率的概念。 2、教学难点 斜率概念的理解与斜率公式。 四、教法及学法：

1、教法 小组学习和任务驱动教学模式：我根据学生的年龄和心理特征，给他们设计学习任务，组织他们通过小组讨论来学习解决。

2、学法 在教师的引导下，通过小组合作与探究获得知识。 五、教具准备：多媒体课件 六、教学过程：

（一）导入新课 (2分钟)

先给学生提出问题：给出一大一小两个正方形，在工具只有一个等腰直角三角板的情况下，如何画出它们的对角线？你有好办法吗？（注：大正方形的对角线长大于等腰直角三角板的斜边长）

在学生讨论的基础上，请代表发言。重点让学生说出三角板的放置方法、位置以及依据。

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这个实际问题在知识上起到了承前启后的作用。利用此问题，不仅可以使学生回忆上一节“两点确定一条直线”的知识，同时使学生认识到“由一个点和一个角也可以确定一条直线”，引出研究这个角的必要性。

（二）讲授新课

1、直线的倾角概念 (2分钟)

这是本节课的教学重点之一，通过学生讨论的生生互动以及学生和课件间的互动，请学生理解并掌握倾角概念的三个要点，同时教师板书要点。

在此特别设计“想一想：直线倾角的取值范围是什么？” 这个环节，目的是强调此取值范围，为接下来的斜率运算做准备。

接下来是第二个知识点：对直线的斜率的研究。 2、直线的斜率概念 (3分钟)

“下图是防洪堤的剖面图，为了测量外斜坡AB的倾斜程度，工程师除了可以测量坡角α外，还可以通过测量坡高y和坡宽x来解决问题。”

这是本节课的教学重点之二，由此实际问题引导学生回顾初中知识：坡比

y等于坡角x?的正切，并且坡比的值与坡角的值是一一对应关系。（?? 说明：tan?能唯一地反映出斜坡的倾斜程度。 板书斜率的概念。 3、斜率的运算

分为：①公式的推导 ②公式的运用

?2）

这是本节课的难点。为此，我设计了以下五个研究步骤，以突破教学难点，同时想达到激发学生学习兴趣的目的。 研究步骤一：提出问题 (1分钟)

依据任务驱动教学模式，先由教师提出“研究任务”：“直线l的斜率（如果有）与l的方向向量v有什么关系？”。这里学生可能不容易联想到斜率与方向向量的关系，可以提醒学生先设出方向向量的坐标v（?1，?2）来。

研究步骤二：引导探索 (3分钟)

在教师的指导下，由学生讨论得到结论：tan??摘到了果子”。

这里学生可能会漏掉“v的方向为直线的向下的方向”的情形，此时可以先请一名小组代表结合图像发言，再由其他同学补充。讲授过程中，渗透数形结合的思想，引导学生培养观察图像的能力。

研究步骤三：协作学习 (3分钟)

这一个环节的学习，是以学习者为中心的学习。教师鼓励学生在讨论中解决问题：“已知两点，如何求斜率？”教师作为帮助者，巡回指导。引导学生利用化归思想可以将此问题

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?2，这样，教师帮助学生“跳一跳，?1

8．4 直线方程的一般式

教学目标: (一) 知识目标

⑴ 明确直线方程的一般式的形式特征。 ⑵ 会根据直线方程的一般式求直线的方向向量。 ⑶ 会根据直线方程的一般式求直线的斜率和截距。 （二）能力目标

使学生认识到考虑数学问题时一定要全面、周密、仔细， 分类讨论、转化的数学思想是重要的数学思想方法。 （三）德育目标

认识事物之间的普遍联系与相互转化,用联系的观点看问题。 教学重点:

能从直线方程的一般式方程写出直线的一个方向向量.会把直线方程的一般式方程化成斜截式,并求出它的斜率和它在y轴上的截距. 教学难点: 直线方程的一般式的推导过程 教学方法: 启发式，讲练结合 授课类型: 新授课 课时安排: 1课时 教具:多媒体 教学过程: 一、复习提问：

前面我们学习了直线方程的五种特殊形式，请同学们回忆一下，它们的名称各是什么？方程形式如何？确定的条件是什么？有什么限制条件？ （请同学回答，内容如下） 序号 1 方程名称 点向式 确定条件 已知直线的一个方向向量?方程形式 限制条件 任意直线 x?x0y?y0? v1v2v?v1,v2?和一点y—y0 =k（x—x0） k存在 k存在 y1≠y2且x1≠x2 （x0，y0） 2 3 4 点斜式 斜截式 两点式 已知斜率k和点（x0，y0） 已知斜率k和它在y=kx+b y轴上的截距 已知两点（x1，y1），（x2，y2） y?y1x?x1? y2?y1x2?x1第 36 页 共 159 页

5 截距式 xy??1 aby轴上的截距a、b 已知直线在x轴、a?b?0

由上表可知，直线方程有五种不同的形式，但是2—5都有限制条件，只有直线方程的点向式适用于任意一条直线，并且上述方程均为二元一次方程。那么，平面直角坐标系内任何一条直线与二元一次方程之间关系如何呢？ 二、讲解新课：

1. 法向量：

在平面上取一个直角坐标系xoy，设直线L的一个方向向量为v?v1,v2?,考虑向量

??n?v2,?v1?，如图（一）所示,v1v2+v2（—v1）=0，因此v?n，我们把平面上与直线L

???的方向向量垂直的非零向量称为直线L的一个法向量，因此向量n是L的一个法向量。

yvon

LyMM0Lvnxxo（二）(一）2 直线方程一般式

如图（二）所示，设直线L经过一点M0 （x0，y0），一个方向向量为v?v1,v2?,则n?v2,?v1?是L的 一个法向量，我们有：

点M（x，y）在直线L上

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??

?

M0M?n

??? v2（x—x0）+（—v1）（y—y0）=0 ? v2x—v1y+（v1y0—v2x0）=0 ? Ax+By+C=0，

其中

A =v2，B=—v1，C=v1y0—v2x0

上述表明，平面上每一条直线L的方程是二元一次方程

Ax+By+C=0 （其中A、B不全为零）

反之，任意一个二元一次方程

Ax+By+C=0 （其中A、B不全为零）

都表示一条直线，我们把上式称为直线L的一般式方程.

师生共同探讨:

① 任何一条直线的方程均为二元一次方程，那么方程x=1如何解释呢？

（x=1看起来是一元一次方程，但是在平面直角坐标系上讨论问题，应认为是关于x、y的二元一次方程，只是y的系数为零）

② 方程 Ax+By+C=0表示的图形，由A、B、C的值决定，只有A、B至少有一个不为

零时，方程Ax+By+C=0才表示一条 直线。

③ 由上面的推导过程可知，任何一条直线的方程均可化为一般式。 3 应用

由直线方程的一般式可以得到直线的一个方向向量为v??B,A?。 例1 写出下列直线的一个方向向量 ⑴ 3x—4y+1=0 ⑵ 2x+9=10 ⑶ 3y—7=0 ⑷ y=5x—3

已知直线的一般式方程如何化为直线方程的斜截式，并求出直线的斜率和在y轴上的截距。 例2

已知直线L的方程为3x—4y+5=0，求L的斜率和在坐标轴上的截距

三、课堂练习

由下列条件，写出直线方程，并化成一般式： 1、经过一点A（6，—4），斜率为?2、经过B（4，2），平行于x轴 3、斜率是－

?4 31，经过点C（8，—2） 23、—3 24、经过点A（—2，3），平行于y轴 5、在x轴和y轴上的截距分别是

6、经过两点P1（3，—2）、P2（5，—4）

（ 学生分组练习，第1小组做1、2题，第2小组做3、4题，第3小组做5、6题。）

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四、本节小结

1、 2、

问题简化． 五、布置作业

课本第59页 A组1、2 B组1、2、3

本节课我们学习了直线方程的一般式，并能运用直线 直线方程的一般式与其他五种特殊形式在一定条件下

方程的一般式求出直线的一个方向向量，斜率和它在y轴上的截距．

可以相互转化，在处理直线问题的过程中，我们要灵活的选择直线方程的各种形式，以便使

8.5平面上两条直线的位置关系

一、教学目标 (一)知识教学点

知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，会通过方程中的系数判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件． (二)能力训练点

通过研究两直线的位置关系与它们对应方程中的系数，培养学生的数形结合能力。 (三)学科渗透点

通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程中的系数关系，培养学生的转化思想． 二、教材分析

1．重点：两条直线的位置关系可以从方程中对应的系数关系进行判断。 2．难点：对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论．

3．疑点：当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明． 三、活动设计

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分析、启发、诱导、讲练结合． 四、教学过程

1．解下列方程组，你能发现什么问题吗？

?2x?3y?7?01.??3x?4y?1?0?x?3y?2?03.??2x?6y?4?0

?3x?5y?1?02.??6x?10y?5?02．思考平面上两条直线的位置关系有几种？

3．如何根据直线方程的一般式判断两直线的位置关系？ l1:A1x?B1y?C1?0 （A1，B1不全为零）

l2:A2x?B2y?C2?0 （A2，B2不全为零）

直线l1 的一个方向向量为 v1( -B1,A1) ，直线l2 的一个方向向量为 v2( -B2,A2) 。

直线l1 与直线l2平行或重合的充要条件是：它们的方程中一次项系数对应成比例。思考题

1．如何根据直线方程中的系数判断两直线相交？2．如何根据直线方程中的系数判断两

A1B1?A2B2直线重合？3．如何根据直线方程中的系数判断两直线平行？分析：1.方程组有唯一解直线

l1 与直线l2 相交的充要条件是：它们的方程中一次项系数对应不成比例。

2.有无穷多解

直线l1 与直线l2 重合的充要条件是：它们的方程中所有系数对应成比例。3.无解

A1B1C1??直线l1 与直线l2 平行的充要条件是：它们的方程中一次项系数成比例，但是常数项A2B2C2A1B1C1??A2B2C2不与一次项系数成比例。 例1 判断平面上下列各对直线的位置关系：(1）3x-5y+1=0与 6x-10y+5=0；

（2）x+3y+2=0与 2x+6y+4=0； （3）2x-3y+7=0与 3x-4y+1=0。

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于是

???v1,v2?，即这对直线的夹角为?

44A1A2?B1B2A12?B12A22?B22?3?3?(?3)?3(3)2?(?3)21??

2(3)2?32（2）计算

??cosv 1,v2?于是v???2?2??1,v23，即这对直线的夹角为??3?3 3、

用直线的斜率求解两条直线的夹角;

如果两条直线l1与l2都有斜率，则它们有斜截式方程：

y?k1x?b1，y?k2x?b2

写成一般式为：k1x?y?b1?0，k2x?y?b2?0

则根据公式（1）得：cosv??1,v2?k1k2?1k2?1k2 12?1我们用?表示直线l1与l2的夹角，则

cos??cosv??k1k2?11,v2?k2?1k2?1 (3)

12又可得：tan??k1?k21?k(k1k2??1) （4）

1k2例2、求直线y?3x?5与y?33x?7的夹角。 解;这对直线的斜率分别是3，

33 ，于是 3?3tan??31?33?33 3因此：????6，即这对直线的夹角为6

四、巩固练习：

1、求平面上下列各对直线的夹角

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2）

（

（1）4x?2y?3?0与6x?2y?1?0 （2）2、求平面上两条直线y?五、小结：

（一） 平面上两条直线夹角的定义 （二） 两条直线夹角的求法

1、 2、

3x3y?5?0与x?3y?9?0

11x?5与y??x?13的夹角 23用“直线的方向向量”求解平面上两条直线的夹角。 用“直线的斜率”求解平面上两条直线的夹角

六、作业：

?1、思考题：已知直线l经过点P（2，1）且和直线5x+2y+3=0的夹角等于

4，求直线

l的方程。

2、

P120 复习题八 4、（1）（2）（3）。

8.7 平面上两条直线的夹角 三、例题分析 七、板书设计：

一、定义 二、两条直线夹角的求法 1、 2、 8．8 点到直线的距离

教学目的：

1、通过点到直线的距离的学习，使学生进一步了解和掌握两直线的位置关系——平行和垂直；

2、培养学生数形结合能力. 教学重点：点到直线的距离公式 教学难点：公式的推导 教学过程： 一、设置情境

我们在上体育课练习跳远时，体育老师测量的是从起跳线到落脚点之间的距离，实际上 就是点到直线的距离.

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下面给出“点到直线的距离”的定义：

点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 知道了什么是“点到直线的距离”，如何求一点到一条直线的距离呢？ 二、讲授新课

我们首先介绍一个结论：

如果两个非零向量a与b共线，则a,b?0或?，从而由内积的定义可得出：

a?abb

现在我们用这个结论来求点到直线的距离： 在平面上取一个直角坐标系Oxy,

设直线 l 的方程为Ax+By+ C = 0（A，B不全为0）从点P作直线 l 的垂线，垂足为

Q(x1,y1)，

直线 l 的一个方向向量是v(?B,A)，

由于A·(-B) + B·A = 0，因此向量u(A,B)与v垂直，于是QP与u共线 由于QP(x0?x1,y0?y1)，

因此QPu?A(x0?x1)?B(y0?y1)?Ax0?By0?(Ax1?By1) （※） 由于点Q(x1,y1)在直线上，因此Ax1?By1?C1?0

从而Ax1?By1??C，代入（※）式，得QPu?Ax0?By0?C 根据上述结论得 QP?QPuu?Ax0?By0?C

A2?B2因此点P(x0,y0)到直线l的距离d为 d?Ax0?By0?C

A2?B2Ax0?By0?C的结构特点： d?A2?B2（1）分子是P点坐标代入直线方程；（2）分母是直线未知数x、y系数平方和的算术平方根（类似于勾股定理求斜边的长） 三、例题讲解

例1 求下列点到直线的距离

（1）P（4，-3），x-2y+5=0 （2）M（-2，5），3x-7=0

1.求坐标原点到下列直线的距离：(1) 3x+2y-26=0; (2) x=y 2.求下列点到直线的距离： (1) A(-2,3)， 3x+4y+3=0 (2) A(1,-2)，

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4x+3y=0例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。练习：3.求下列两条平行线的距离： (1) 2x+3y-8=0 ， 2x+3y+18=0 (2) 3x+4y=10 ， 3x+4y-5=0四、课时小结

1.了解点到直线的距离公式的推导过程；2.能用点到直线的距离公式进行计算；3.能求有关平行线间的距离. 五、布置作业

8．10圆的标准方程

一、教学目标

(一)知识教学点

使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径；解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．

(二)能力训练点

通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．

(三)学科渗透点

圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时地进行爱国主义教育和辩证唯物主义思想教育． 二、教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；

(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．

三、教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题． 四、教学方法

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（1）通过观察赵州桥的图片了解它的历史及圆拱石桥的特点，构造数学模型引入

课题.

（2）复习初中学过的圆的概念，并用动画演示圆的形成过程.掌握圆的一些特点及

相关概念.

（3）分组讨论推导圆的标准方程. （4）分组练习圆的标准方程的简单应用. （5）作为提高部分练习圆的标准方程的灵活应用. 五、教学过程 (一)引入

观察图片叫同学们猜一猜并介绍赵州桥的历史及相关的知识，使同学了解它的历史，是现存最好的圆拱石桥，构造数学模型引入课题.

(二)复习提问引出圆的定义

前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答 问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(动画演示它的形成过程)． 问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？（详见课件）

圆心D是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MD|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．

问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 求曲线方程的一般步骤为：（这一部分作为了解所以打出提示即可） (1) 建立适当的直角坐标系，

用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标. (2)写出动点M适合的条件.

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