2017-2018学年北京市朝阳区2018届初三第一学期期末数学试题含答案

2017-2018年度北京市初三上学期期末数学试卷北京市朝阳区2017~2018学年度第一学期期末检测

九年级数学试卷（试用）2018.1

（考试时间120分钟满分100分）

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有

．．一个.

1. 如图，利用刻度尺和三角尺测得圆的直径是

(A) 3cm

(B) 3.5cm

(C) 4cm

(D) 7.5cm

2. 下列事件中，随机事件是

(A)任意画一个圆的内接四边形，其对角互补

(B)现阶段人们乘高铁出行在购买车票时，采用网络购票方式

(C)从分别写有数字1，2，3的三个纸团中随机抽取一个，抽到的数字是0

(D)通常情况下，北京在大寒这一天的最低气温会在0℃以下

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

（A）（B）（C）（D）

4.小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王字铜衡”，

这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的

衡器，体现了杠杆原理. 小楠决定自己也尝试一下，

她找了一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆

的中点O并将其吊起来，在中点的左侧距离

中点25cm处挂了一个重1.6N的物体，在中点的

右侧挂了一个苹果，当苹果距离中点20cm时

木杆平衡了，可以估计这个苹果的重大约是(A) 1.28N (B) 1.6N

(C) 2N

(D) 2.5N

cm

8911

1012131415

7

6

5

4

23

1

O

2017-2018年度北京市初三上学期期末数学试卷

5. 如图，△ABC ∽△A ’B ’C ’，AD 和A ’D ’分别是△ABC 和△A ’B ’C ’的高，若AD ＝2， A ’D ’＝3，则△ABC 与△A ’B ’C ’的面积的比为

(A) 4：9 (B) 9：4

(C) 2：3 (D) 3：2

6. 如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，若AB =14，BC =

7.则∠BDC 的度数是

(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°

第6题图 第7题图 第8题图

7. 如图，在△

ABC 中，∠BAC =90°，

AB =AC =4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转 45°，得到△A’B’C ，则图中阴影部分的面积为

(A) 2 (B) 2π (C) 4 (D) 4π

8. 如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为（﹣2，3）、 （1，3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为

(A) －1 (B) －3 (C) －5 (D) －7

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为3，则正六边形ABCDEF 的边长为 .

第9题图 第10题图

10．如图，把△ABC 绕着点A 顺时针方向旋转，得到△A B 'C '，点C 恰好在B 'C '上，旋转

角为α，则∠C '的度数为 （用含α的式子表示）．

11. 在反比例函数x m y 23-=

的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1< x 2<0，y 1> y 2，则m 的取值范围是 . x

y N M B A O P D'A'D B C A B'C'C A

O B D F E D C B O A C'B'B A C A'B'B C A

2017-2018年度北京市初三上学期期末数学试卷

12. 如图，P A ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，PO 与AB 相交于点C ，P A=6，∠APB =60°，

则OC 的长为 .

第12题图 第13题图

13. 如图，双曲线x

k y =

与抛物线c bx ax y ++=2交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， C （x 3，y 3），由图象可得不等式组c bx ax x k ++<<20的解集为 .

14. 如图，在平面直角坐标系中，△COD 可以看作 是△AOB 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、 旋转、位似）得到的，写出一种由△AOB 得到 △COD 的过程： .

15. “π的估计”有很多方法，下面这个随机模拟实验就是一种，

其过程如下：

如图，随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计

落在圆内的米粒数m 与正方形内的米粒数n ，并计算频率

n m ；在相 同条件下，大量重复以上试验，当

n m 显现出一定稳定性时，就可以 估计出π的值为

n m 4. 请说出其中所蕴含的原理： .

C O B

P A y x D C B A 7654321-7-6-5-3-2-19765432-48O 1

2017-2018年度北京市初三上学期期末数学试卷 B C O A D

16. 下面是“作顶角为120°的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程.

请回答：该尺规作图的依据是 .

三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题

7分，第28题8分）

17．小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了

“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程.

已知：如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.

求证：△ABC ∽△A'B' C'.

证明：在线段A'B'上截取A'D=AB ，过点D 作DE ∥B'C'，交A'C'于点E .

由此得到△A'DE ∽△A'B'C'. ∴∠A' DE=∠B'.

∵∠B=∠B'，

∴∠A' DE =∠B .

∵∠A'=∠A ， ∴△A' DE ≌△ABC.

∴△ABC ∽△A'B'C'.

小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：

（1）首先，通过作平行线，依据 ，可以判定所作△A' DE 与 ；

（2） 然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A' DE 与 ；

（3）最后，可证得△ABC ∽△A'B' C'.

18. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，对角线AC 是⊙O 的直径，AB=2，

∠ADB ＝45°. 求⊙O 半径的长.

已知：△ABC ，AB ＝AC ，∠A ＝120°. 求作：△ABC 的外接圆.

作法：

（1）分别以点B 和点C 为圆心，AB 的长为半径 作弧，两弧的一个交点为O ； （2）连接BO ； （3）以O 为圆心，BO 为半径作⊙O . ⊙O 即为所求作的圆.

A C

B O A

C B C A B E B'C'A'D

2017-2018年度北京市初三上学期期末数学试卷 19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，3），点B （4，0），点C （0，﹣1）． （1）以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转90°，画出旋转

后的图形△A′B′C ；

（2）在（1）中的条件下，

① 点A 经过的路径AA'的长为 （结果保留π）；

② 写出点B ′的坐标为 .

20. 图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m 时，

水面宽8m. 水面上升3米，水面宽度减少多少？

下面给出了解决这个问题的两种方法.

方法一 如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线

左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为x 轴，建立

平面直角坐标系xOy ，这时这条抛物线所表示的二次函数

的表达式为 ；当y ＝3时，求出此时自变量x 的取值，

即可解决这个问题. 图1

方法二 如图2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的

对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，这时这条

抛物线所表示的二次函数的表达式为 ；当y ＝ 时，

求出此时自变量x 的取值，即可解决这个问题.

图2

21. 有两盏节能灯，每一盏能通电发亮的概率都是50%，按照图中

所示的并联方式连接电路，观察这两盏灯发亮的情况.

（1）列举出所有可能的情况；

（2）求出至少有一盏灯可以发亮的概率.

x y -1-11B C

A

O 1

2017-2018年度北京市初三上学期期末数学试卷 22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线32--=x y 与双曲线

x

k y =交于M （a ，2），N （1，b ）两点． （1）求k ，a ，b 的值；

（2）若P 是y 轴上一点，且△MPN 的面积是7，直接写出 点P 的坐标 ．

23. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 中点，点P 在射线AB

上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F .

（1）求证：△P AF ∽△AED ； （2）连接PE ，若存在点P 使△PEF 与△AED 相似，直接写出

P A 的长

24. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，

⊙O 的切线DE 交AC 于点E .

（1）求证：E 是AC 中点； （2）若AB =10，BC =6，连接CD ，OE ，交点为F ，求OF 的长.

25. △ACB 中，∠C =90°，以点A 为中心，分别将线段AB ，AC 逆时针旋转60°得到线段AD ，

AE ，连接DE ，延长DE 交CB 于点F .

（1）如图1，若∠B =30°，∠CFE 的度数为 ；

（2）如图2，当30°<∠B <60°时，

①依题意补全图2；

②猜想CF 与AC 的数量关系，并加以证明.

图1 图2

F

E D C B

A P C

B A D E O A B

C C B A

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26．如图，直线AM 和AN 相交于点A ，∠MAN ＝30°，在射线AN 上取一点B ，使AB ＝6cm ，过点B 作BC ⊥AM 于点C ，D 是线段AB 上的一个动点（不与点B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．

（1）确定点B 的位置，在线段AB 上任取一点D ，根据题意，补全图形；

（2）设AD=x cm ，CE=y cm ，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律.

① 通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表： x /cm

0 1 2 3 4 5 y /cm 5.2 4.4 3.8 3.5 8.1 （要求：补全表格，相关数值保留一位小数）

② 建立平面直角坐标系xOy ，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出

该函数的图象；

③ 结合画出的函数图象，解决问题：当AD 为Rt △CDE 斜边CE 上的中线时，

AD 的长度约为 cm （结果保留一位小数）．

N M

A

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27. 已知抛物线l 1与l 2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l 1：2

782--=ax ax y 交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB ＝6；抛物线l 2与l 1交于点A 和点C （5，n ）.

（1）求抛物线l 1，l 2的表达式；

（2）当x 的取值范围是 时，抛物线l 1与l 2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大

而增大；

（3）直线MN ∥y 轴，交x 轴，l 1，l 2分别相交于点P （m ，0），M ，N ，当1≤m ≤7时，

求线段MN 的最大值.

28. 在平面直角坐标系xOy 中，点A （0, 6），点B 在x 轴的正半轴上. 若点P ,Q 在线段AB

上，且PQ 为某个一边与x 轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P ,Q 的“X 矩形”. 下图为点P ,Q 的“X 矩形”的示意图.

（1）若点B （4,0），点C 的横坐标为2，则点B ,C 的“X 矩形”的面积为 .

（2）点M ，N 的“X 矩形”是正方形，

① 当此正方形面积为4，且点M 到y 轴的距离为3时，写出点B 的坐标，点N

的坐标及经过点N 的反比例函数的表达式；

② 当此正方形的对角线长度为3，且半径为r 的⊙O 与它没有交点，直接写出

r 的取值范围 .

备用图

y x 671532

5432-1-16O 14x y B A 715325432-1-16O 14P Q

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九年级数学试卷参考答案及评分标准 2018.1

一、选择题（本题共16分，每小题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

C

B

D

C

A

B

B

C

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．3 10．290α

-

? 11．m <

2

3

12.3 13． x 2<x < x 3

14．答案不唯一，如：以原点O 为位似中心，位似比为2

1

，在原点O 同侧将△AOB 缩小，

再将得到的三角形沿y 轴翻折得到△COD . 15．用频率估计概率.

16．到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中

线、底边上的高相互重合；等边三角形的判定；圆的定义.

三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小

题7分，第28题8分） 17．解：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； …………………………………………………………………2分 △A'B'C' 相似；…………………………………………………………………4分

（2）△ABC 全等. ……………………………………………………………………5分

18．解：∵AC 是⊙O 的直径，

∴∠ABC =90°. ………………………………………………………………1分 ∵∠ADB ＝45°，

∴∠ACB =∠ADB ＝45°. …………………………………………………………2分 ∵AB=2，

∴BC=AB=2. ……………………………………………………………………3分

∴2222=+=BC AB AC .…………………………………………………………4分

∴⊙O 半径的长为2. ………………………………………………………………5分

19. 解：（1）如图.

……………………………2分 （2）①

2

5π

； ……………………………………………………………………4分 ②（－1，3）. ……………………………………………………………………5分

x

y -1-11

A'B'B C

A

O 1

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20. 解：方法一 x x y 24

12+-=； ……………………………………………………2分 方法二 24

1x y -=； ……………………………………………………4分 －1. ……………………………………………………5分

21. 解：（1）设两盏节能灯分别记为灯1，灯2，

……………………………………………4分

（2）由（1）可知，所有可能出现的情况共有4种，它们出现的可能性相等，至少有一盏灯

可以发亮的情况有3种. 所以，P （至少有一盏灯可以发亮）＝

43.…………………5分 22. 解：（1）把M （a ，2）代入32--=x y ，得322--=a ，

∴ a ＝－2.5. ……………………………………………………………………1分

把N （1，b ）代入32--=x y ，

∴ b ＝－5. ……………………………………………………………………2分

把M （－2.5，2） 代入x k y =，得 5

.22-=k ， ∴k ＝－5. ……………………………………………………………………3分

（2）P （0，1）或P （0，－7）. …………………………………………………………5分

23. （1）证明：在正方形ABCD 中，∠D= 90°，CD ∥AB ，

∴∠DEA=∠PAE .. …………………………………………………………1分

∵PF ⊥AE ，

∴∠D=∠AFP . …………………………………………………………2分

∴△PAF ∽△AED . …………………………………………………………3分

（2）1或25.

………………………………………………………………………5分 24.（1）证明：连接OD ，

∵∠C =90°，BC 为⊙O 的直径， ∴EC 为⊙O 的切线，∠A+∠B=90°.

∵DE 为⊙O 的切线，

∴EC=DE ， DE ⊥OD . ∴∠EDA+∠ODB=90°.

∵OD ＝OB ,

∴∠ODB=∠B . ∴∠EDA=∠A .

∴EA=DE .

∴EA=EC .

即E 是AC 中点. …………………………………………………………3分 灯2

不亮亮不亮亮不亮亮灯1D E O

A

B C

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