5第五章 真空中的静电场

第五章 真空中的静电场

一、基本内容

1.电荷 库仑定律 （1）电荷守恒定律

电荷守恒定律：在一个孤立的系统内，不论发生什么物理过程，正负电荷的代数和总是保持不变的。

电荷守恒定律对宏观和微观物理过程都成立。 （2）电荷的量子化

元电荷e：电子所带电量的绝对值。

e?1.60?10?19C

电荷的量子化：物体所带的电荷是元电荷的整数倍的现象。即

q??NeN?1,2,3,?

在物体所带电荷的数目非常巨大的情况下，可以认为电荷是连续分布的。 （3）库仑定律

点电荷：本身的几何线度与其到考察点的距离相比小得多的带电体。

真空中的库仑定律：真空中两个静止点电荷q1和q2之间的相互作用力的大小与q1与q2

的乘积成正比，与它们之间的距离r 的平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。即

?F??1q1q2?1q1q2??er r234π?r4π?0r0??其中r是由施力电荷向受力电荷所作的矢径， er是r的单位矢量。?0=8.85×10-12C2/(N〃m2)为真空电容率。 （4）电场和电场强度

电荷周围空间存在电场，处在电场中的其它电荷会受到电场力。 静电场：由相对于观测者静止的带电体产生的电场。 电场是一种特殊形态的物质。

试验电荷：为定量描述电场而引入的、具备电量充分小和几何线度充分小两个条件的电荷。

电场强度E：放置在考察点的单位正试验电荷所受的电场力。即

???F E?q0电场强度的单位为N/C或V/m。

点电荷q在电场E中所受的电场力为

???F?qE

匀强电场：空间各点的场强大小和方向都相同的电场。 点电荷q的电场强度为

?E?2.电场强度叠加原理

1q?1q?r?er

4π?0r34π?0r2电场强度叠加原理：多个带电体在某点产生的的电场强度，等于各个带电体单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。即

?n?E??Ei

i?1离散电荷系统的电场强度叠加原理为

?E?1nqi?1nqi?r?e ??3i2ri4π?0i?1ri4π?0i?1ri连续电荷系统的电场强度叠加原理为

?E?14π?0dq???r2er

其中? 泛指带电体所占据的空间。如果电荷连续分布在一个体上，? 用V代替，电荷元dq=?dV，其中的电荷体密度定义为??dq/dV；如果电荷连续分布在一个面上，?用S代替，电荷元dq=?dS，其中的电荷面密度定义为??dq/dS；如果电荷连续分布在一条线上，? 用L代替，电荷元dq=?dL，其中的电荷线密度定义为??dq/dL。 3.高斯定理 （1）电场线

电场线：为了形象地描述电场分布，在电场中作出一系列的曲线，使曲线上每一点的切

线方向都与该点的场强方向一致。

电场线的性质：电场线①起于正电荷（或来自无穷远），止于负电荷（或伸向无穷远）；②不相交；③不形成闭合曲线。

在电场中任一点，通过与场强方向垂直的单位面积的电场线条数（即电场线密度）等于该点电场强度的大小。因此电场线密集处场强大，稀疏处场强小。 （2）电通量

电通量?e：通过电场中给定曲面的电场线条数。 通过曲面S的电通量为

??Φe??Ecos?dS??E?dS

SS（3）高斯定理

高斯定理：在真空中通过闭合曲面S（称为高斯面）的电通量等于该曲面所包围的代数和除以?0。即

??1E??dS?S?0?q

ii?注意：①E是高斯面内、外所有电荷在高斯面上共同激发的总场强；②?qi是对高斯面内

i的电荷求和，即只有高斯面内的电荷才对总穿过高斯面的电通量有贡献。 4.静电场的环路定理

静电场的环路定理：在静电场中电场强度的环流为零。即

???E?dl?0

L该定理表明静电场是保守力场（或有势场）。 5. 电势能和电势 （1）电势能

设P0点为零电势能参考点，即?P?0，则电场中P点的电势能为

0?P?WPP?q?0P0P??E?dl

即电荷q在电场中某点的电势能，等于将该电荷由该点沿任意路径移到零电势能参考点时静电场力所做的功。

如果电荷分布在有限区域时，取无穷远处为零电势能参考点，即???0，这时电场中P点的电势能为

?P?WP??q0?（2）电势

?P??E?dl

设P0点为零电势参考点，即UP?0，则电场中P点的电势为

0UP??Pq?P0???E?dl

P即电场中某点P的电势UP等于①置于P点的单位正电荷所具有的电势能，或②将单位正电荷从 P点沿任意路径移动到零电势参考点时静电场力所做的功。

如果电荷分布在有限区域时，取无穷远处为零电势参考点（在工程应用中取大地的电势为零），即U??0，这时电场中P点的电势为

UP?点电荷的电势为

?Pq???P??E?dl

U?电势的单位是V。

q

4π?0r电场中a、b两点的电势差（或电压）Uab为

Uab?Ua?Ub??（3）电势、电势能、电场力的功之间的关系

电势与电势能的关系为

ba??E?dl

?P?q0UP

电场力的功与电势能、电势的关系为

Wab??a??b?q0(Ua?Ub)

（4）电势叠加原理

电势叠加原理：多个带电体在空间某点产生的电势等于各个带电体单独存在时在该点产生的电势的代数和。即

U??Ui

i?1n离散电荷系统的电势叠加原理为

U??连续电荷系统的电场强度叠加原理为

qi

i?14π?0rinU??6.电场强度与电势的关系 （1）等势面

等势面：电势相等的点构成的曲面。

dq

?4π?r0在绘制等势面时，一般两相邻等势面间的电势差相等。

静电场中等势面的性质：①沿等势面移动电荷时电场力不做功；②电场线与等势面处处正交；③任意两个等势面不相交。 （2）电场强度与电势的关系

电势梯度是指电势在空间的变化率，其定义为

?U??U??U?gradU??U?i?j?k

?x?y?z电场强度与电势的关系：在电场中任一点的电场强度矢量，等于该点的电势梯度矢量的负值。 即

?E??gradU???U

?该式表明①电场强度E的方向是电势变化最快的方向；②等势面越密集的地方电场越?强，等势面越稀疏的地方电场越弱；③电场强度E总是指向电势降低的方向。

7.典型带电体的电场 （1）电偶极子的电场

电偶极子：由两个相距很近、等值异号的点电荷构成的电荷系统。

?电偶极子的轴：由-q到+q的矢径l。

??电偶极子的电偶极矩：p?ql

电偶极子的电势分布为

??p?rpcos?U??

4π?0r34π?0r2

其中r是从电偶极子的中心指向场点的矢径。

电偶极子的电场分布为

??E??p(2x2?y2)?3pxyi?j 225/2225/24π?0(x?y)4π?0(x?y)在电偶极子的延长线上（y=0）和中垂线上（x=0）的电场强度分别为

?E?（2）均匀带电细棒的电场

A

p2π?0xy ??i E??3p4π?0y?i 3P a ?1 O l 图5 -1

?2 B x

如图5-1所示，均匀带电细棒外的电场分布为

?E?????(sin?2?sin?1)i?(cos?1?cos?2)j 4π?0a4π?0a无限长（?1=0、?2=?）带电细棒的电场分布为

?E???j

2π?0a半无限长带电细棒一端正上方（?1=0、?2=?/2）的场强为

?E?（3）均匀带电圆环轴线上的电场

????i?j 4π?0a4π?0a均匀带电圆环轴线上的电势分布为

U?qq ?4π?0r4π?R2?x20均匀带电圆环轴线上的电场分布为

?E?

q4π?0r?cos?i?2

?qxi

4π?0(R2?x2)3/2（4）均匀带电圆盘轴线上的电场

均匀带电圆环盘线上的电势分布为

U??(R2?x2?x) 2?0均匀带电圆环盘线上的电场分布为

???xE?(1?)i

222?0R?x无限大带电平面（R→∞）两侧的场强为

E?平行板电容器两极板之间的场强为

? 2?0E?（5）均匀带电球面的电场

均匀带电球面的电势分布为

? ?0?Q?4π?R,r?R?0 U??Q?,r?R??4π?0r均匀带电球面的电场分布为

r?R?0,?? E??Q?e,r?R?4π?r2r0?二、思考与讨论题目详解

1.电场和电场强度

1、如图5-2所示，在坐标(b，0) 、(-b，0)处放置分别放置点电荷+q和-q。M(x, 0)点和N(0, y)点分别为x轴和y轴上的点。当x>>b 、y>>b时，这两点场强的大小分别等于多少？方向如何？ 【答案：EM?qbqb，沿x轴正方向；，沿x轴负方向】 E?Nπ?0x32π?0x3详解：由于x>>b 、y>>b，因此该点电荷系统相当于电偶极子。

M点的场强大小为

y N(0, y) EM?方向沿x轴正方向。

2bqqb ?332π?0xπ?0x-q -b O N点的场强大小为

+q M(x, 0) +b x EN?方向沿x轴负方向。

2bqqb ?334π?0x2π?0x图5-2

2、设有一个无限大的均匀带正电荷的平面。x轴垂直于带电平面，坐标原点在带电平面上，规定电场强度E的方向沿x轴正向为正、反之为负，试画出该无限大均匀带电平面周围空间各点的场强随距离平面的位置坐标x变化的关系曲线。 【答案：见图5-3】

详解：

图5-3 O ??E ?2?0x ?2?03、图5-4（a）所示为一条沿x轴放置的无限长分段均匀的带电直线，电荷线密度分别

?为＋?(x＜0)和－? (x＞0)，xOy坐标平面上点P(0，r)处的场强E等于多少？

【答案：

+? O ??i】 2π?0ay P(0, r) y P(0, r) ?E?45° 45° -? x +? O -? ?E?x （a） （b）

图5-4

详解：由教材【例5-2】可知，在均匀带电细棒的一端，与棒垂直的平面上一点的电场

强度为

?E?????i?j 4π?0a4π?0a??因此得两段均匀带电细棒在P点产生的电场强度方向如图5-4（b）所示。由于E?和E?的y分量大小相等，方向相反，相互抵消。而x分量大小相等，方向相同，因此xOy坐标平

?面上点P(0，r)处的场强E为

?E?2?????i?i

2π?0a4π?0a134、如图5-5（a）所示，A、B为真空中两个平行的无限大均匀带电平面，已知两平面之间的电场强度大小为E0，两平面外侧的电场强度大小均为E0，方向如图所示。A、B两个无限大带电平面上的电荷面密度分别等于多少？ 【答案：?0E0；?

图5-5 详解：A、B两个无限大均匀带电平面在左、中、右三个区域产生的电场强度如图5-5（b）所示，可见左、右两个区域内两个分场强的方向相同，因此这两个区域内的电场强度大小相等，均为

（a）

（b）

A 432?0E0】 3B ?A A B ?B ?A 1E03?B 1E03EAEBEAEBE0?A?B1??E0 2?02?03中间区域内两个分场强的方向相反，由题意可知A带电平面产生的分场强大，因此该区域的电场强度大小为

?A?B??E0 2?02?0以上两式联立解得A、B两个无限大带电平面上的电荷面密度分别为

?A??0E0 ?B???0E0

5、图5-6所示为一个半径为R的带有缺口的细圆环，缺口的长度为? (? <

4323Q?，从O点指向缺口中心】

8???0R3? Q O 详解：如果细圆环均匀带电，则由于各个等长的微元在O点产生的场强大小相等、方向相反，它们一一抵消，使得O点场强为零。

在电荷线密度不变的情况下，缺口处的电荷微元被挖掉了，其对称处的微元在O点产生的场强不能被抵消，它形成了有缺口细圆环圆心O处的场强。其场强大小为

R图5-6

E?由于? <

??

4??0R2??圆心O处的场强大小

QQ?

2?R??2?RE?方向从O点指向缺口的中心。

?QQ? ?4??0R22πR8???0R36、如图5-7（a）所示，一根电荷线密度为?的无限长带电直线垂直通过图面上的A点。一个带有电荷q的均匀带电球体的球心处于B点。△ABC是边长为r的等边三角形，为了使C点处的场强方向垂直于BC，带电直线和带电球体带同号电荷还是异号电荷？?和q的数量关系怎样？ 【答案：异号；q??r】

?E1C C ?E2?

A

（a）

B

q ?

A

图5-7

q

（b）

B

详解：无限长带电直线和均匀带电球体在C点产生的场强大小分别为

E1??q E2? 2??0r4??0r2?? E2的方向平行于BC边，如果带电直线和带电球体带有同号电荷，E1的方向平行于AC边，

??E1平行于BC边的分量与E2的方向相同，它们的合场强方向就不会垂直于BC，因此这两

个带电体必须带有异号电荷，才能使E1平行于BC边的分量与E2的方向相反，如果这个分

???量的大小与E2的大小相等，合场强的方向就垂直于BC边了，如图5-7（b）所示。这时

E1cos60??E2

将E1和E2的表达式代入上式，有

?q cos60??22??0r4??0r解之得

q??r

2.高斯定理

?1、如图5-8所示，半径为R的半球面置于场强为E的均匀电场中，如果场强方向沿x

轴正方向，通过半球面的电通量等于多少？如果场强方向沿y轴正方向，通过半球面的电通量又等于多少？ 【答案：0；?R2E】

详解：如果场强方向沿x轴正方向，则从半球面的左面穿入的电通量等于从半球面右面穿出的电通量，通过半球面电通量的代数和等于0。

如果场强方向沿y轴正方向，我们可以认为半球面与其底面构成一个高斯面，由于高斯面内部没有包围电荷，由高斯定理得

O x y ???????E?dS??E?dS??E?dS?0

SS1S2图5-8

????其中?E?dS、?E?dS分别为通过底面和半球面的电通量。

S1S2由于底面为平面，场强方向与底面垂直，电场线穿入该底面，因此通过底面的电通量为

??2?E?dS???EdS??E?dS??πRE

S1S1S1由高斯定理得过半球面的电通量为

????2?πRE E?dS??E?dS??S2S12、如图5-9（a）所示，一条均匀带电直线长度为r，电荷线密度为＋?，以导线中点O为球心，R为半径(R＞r)作一个球面，则通过该球面的电通量等于多少？带电直线的延长线与球面交点P处的电场强度的大小等于多少？方向如何？ 【答案：

（a）

图5-9

?r?r；；沿矢径OP方向】 22?0??0(4R?r)R R? r O r P

dx O x （b）

?dEP x 详解：由于球面内包围的电量为?r，因此通过该球面的电通量为

???r?E?dS?

S?0为求P点的场强，以导线中点O为原点，沿矢径OP方向为x轴正方向建立如图5-9（b）所示的坐标系，则微元dx在P点产生的场强大小为

dE?方向沿x轴正方向。

对上式积分得P处的电场强度大小为

r2r?2?dx4??0(R?x)2

E???dx4??0(R?x)2???1?r?d(R?x)??

4??0?(R?x)24??0R?x?r??0(4R2?r2)2r2r?2r2该处的电场强度方向沿矢径OP方向。

M 3、图5-10是一个边长为a的正方体，如果将电荷为q的正点电荷放在正方体中心N点，则通过正方体的一个侧面? 的电通量等于多少？如果将q放在正方体一个顶点M处，通过该侧面的

N ?

图5-10

电通量又等于多少？ 【答案：

qq；】 6?024?0详解：当电荷为q的正点电荷放在正方体中心N点时，根据高斯定理可知，通过整个正方体表面的电通量为侧面? 的电通量为

q?0，由对称性可知，通过正方体每一个面的电通量相等，因此通过

ΦeΣ?q 6?0如果将q放在正方体一个顶点M处，这时可以以M点为原点建立三维直角坐标系，根据高斯定理可知，通过八个卦限的电通量为

q?0，本题的正方体占据其中一个卦限，因此通

过整个正方体的电通量为

q。由于电场线与上、左、后表面平行，因此通过这三个面的电8?0通量为0。考虑到对称性，通过下、右（即侧面?）、前表面的电通量，因此这种情况下通过侧面? 的电通量为

1qq ΦeΣ???38?024?04、如图5-11示，两个“无限长”的、半径分别为R1和R2的共轴圆柱面均匀带电，沿轴线方向单位长度上所带电荷分别为?1和?2，则在内圆柱面内部、两圆柱面之间和外圆柱面外部的电场强度大小分别等于多少？ 【答案：0；

?1 R1 R2

?2

?1???2；1】 2π?0r2π?0r详解：以共轴无限长圆柱面的轴为轴、作半径为r、长为l的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量为

??E??dS?2πrlE

S图5-11

由高斯定理得

2πrlE?1?0?q

ii

由此解得

E?在内圆柱面内部，即r

?qii2π?0rl

?qii?0，由上式即得

E?0

在两圆柱面之间，即R1

?qii??1l，因此

E?在外圆柱面外部，即r>R2，由于

?1l?1 ?2π?0rl2π?0ri?qi??1l??2l，因此

E?(?1??2)l?1??2 ?2π?0r2π?0rl?E5、在场强为的均匀电场中，有一半径为R、长为l的半圆??柱面，其轴线与E的方向垂直。在通过轴线并垂直E的方向将此

柱面切去一半，如图5-12所示。则穿过剩下的半圆柱面的电通量等于多少？ 【答案：2RlE】

图5-12 ?El 详解：认为半圆柱面、长方形截面、上下底面构成一个高斯面，由于高斯面内部没有包围电荷，由高斯定理得

???????????E?dS??E?dS??E?dS??E?dS??E?dS?0

SS1S2S3S4????????其中?E?dS、?E?dS、?E?dS、?E?dS分别为通过半圆柱面、长方形截面、上底面、

S1S2S3S4下底面的电通量。

由于电场线与上底面、下底面表面平行，因此

?????E?dS??E?dS?0

S3S4由于长方形截面为平面，场强方向与其垂直，电场线穿入该底面，因此

??E??dS???EdS??E?dS??2RlE

S2S2S2由高斯定理得通过半圆柱面的电通量为

?????E?dS???E?dS?2RlE

S1S26、图5-13中的（a）、（b）两条曲线表示球对称性静电场的场强大小E的分布，r表示离对称中心的距离。它们分别是由什么带电体产生的电场？

O R (a)

E E E?1r2r O E?rR E?1r2r 图5-13

【答案：半径为R的均匀带电球面；半径为R的均匀带电球体】

详解：半径为R、带电量为q的均匀带电球面的电场分布为

(b)

?0,?E??q?4π?r2,0?r?Rr?R

半径为R、带电量为q的均匀带电球体的电场分布为

?qr?4π?R3,?0E???q,2??4π?0rr?R

r?R7、图5-14中的两条曲线（a）、（b）表示轴对称性静电场的场强大小E的分布，r表示离对称轴的距离，它们分别是由什么带电体产生的电场？

E

E E?O R 1rr

E?rO R E?1rr

图5-14

【答案：半径为R的无限长均匀带电圆柱面；半径为R的无限长均匀带电圆柱体】

详解：半径为R、电荷线密度为?的无限长均匀带电圆柱面的电场分布为

(a)

(b)

?0,?E????2π?r,0?r?Rr?R

半径为R、电荷线密度为?的无限长均匀带电圆柱体的电场分布为

??r?2π?R2,?0E????,??2π?0r3.电势、电势能和电场力做功

r?R

r?R1、图5-15所示是点电荷+q形成的电场，取图中P点处为电势零点，则M点的电势等于多少？ 【答案：

q11(?)】 4π?0ra+q P a r 图5-15

M

详解：根据电势定义式得

UM??PM??aE?dr??rq4π?0rdr?2q11(?) 4π?0ra2、如图5-16所示，有N个电量均为q的点电荷以两种方式分布在圆周L上，一种方式是无规则分布，另一种方式是均匀分布。在这两种情况下，在过圆心O并垂直于圆平面的轴上任一点P处的场强是否相等？电势是否相等？ 【答案：场强不相等；电势相等】

详解： N个电量均为q的点电荷分布圆周L上，各个点电荷在P处产生的场强大小相等，将各个场强沿平行于OP和垂直于OP方向进行分解，在电荷均匀分布的情况下，其垂直于OP方向的场强分量一一抵消，总场强的大小等于所有平行分量的和，方向平行于OP；在电荷无规则分布的情况下，总场强的平行分量大小仍然等于所有平行分量的和，而垂直于OP方向的场强分量不能完全抵消，它与总场强的平行分量叠加的结果使得总场强的大小大于电荷均匀分布时的总场强，方向也不再与OP平行。因此，在这两种情况下，P处的场强不相等。

不论电荷在圆周L上是否均匀分布，各个电荷在P处产生的电势都相等，它们的代数和也相等，即两种情况下P处的电势相等。

图5-16

L O P

3、如图5-17所示，一个半径为R1的无限长圆柱面上均匀带电，其电荷线密度为?。在它外面同轴地套有一个半径为R2的接地薄金属圆筒，圆筒原来不带电。设地的电势为零，则在内圆柱面内部、距离轴线为r处的P点的场强大小和电势分别等于多少？如果P点在

两个金属圆筒之间或外圆柱面的外部，上述结果有什么变化？ 【答案：0，

?R??R，ln2；ln2；0，0】

2π?0R12π?0r2π?0r? R1 R2 P r 详解：该带电系统的场强分布为

?0,???E??，?2π?0r??0,r?R1R2?r?R1 r?R2由电势定义式得r≤R1时的电势分布为

图5-17

U??P0P??R1R2E?dl??0dr??rR1??Rdr?ln2 2π?0r2π?0R1R1

U??r>R2时的电势分布为

P0P??R2E?dl??r??Rdr?ln2 2π?0r2π?0rU??P0P??R2E?dl??0dr?0

r4、如图5-18所示，两个同心均匀带电球面，内球面半径为a、带电荷Q1，外球面半径为b、带电荷Q2 。设无穷远处为电势零点，则在两个球面之间、距离球心为r处的P点处的电势U等于多少？如果P点在内球面的内部或在外球面的外部，P点处的电势U分别等于多少？ 【答案：

Q1Q2Q1Q2Q?Q2；；1】 ??4π?0R14π?0R24π?0r4π?0R24π?0r详解：由高斯定理容易得到该带电系统的场强分布为

???0,?Q1E??，24π?r0??Q2,?24π?r0?

r?R1R2?r?R1 r?R2

P a r O b 图5-18

Q1 Q2

由电势定义式得r≤R1时的电势分布为

U??P0P??R1R2E?dl??0dr??rR1?Q?QQ12dr??1dr 22R24π?r4π?0r0?R1

Q111Q?Q2Q1Q2 (?)?1??4π?0R1R24π?0R24π?0R14π?0R2U??P0P??R2E?dl??r?Q?QQ12dr??1dr22R24π?r4π?0r0

?r>R2时的电势分布为

Q111Q?Q2Q1Q2 (?)?1??4π?0rR24π?0R24π?0r4π?0R2U??P0P???Q?QQ1?Q22 E?dl??1dr?r4π?r24π?r005、真空中有一个半径为R的均匀带电球面，总电荷为Q。如果选取无穷远处电势为零，则球心处电势等于多少？如果在球面上挖去一块很小的面积? (连同其上电荷)，若其它电荷分布不发生改变，则挖去小块后球心处电势又等于多少？ 【答案：

Q?Q(1?)】 ；24?R4π?0R4??0R详解：半径为R、总电荷为Q的均匀带电球面，在选取无穷远处的电势为零时，球心处的电势为

U??dQQ ?S4π?R4π?0R0在球面上挖去的小面积?上的电荷为??，这相当于在完整的球面上补上一块电荷-??。因此挖去小块后球心处的电势为

U?其中电荷面密度为??Q???Q?????

4π?0R4π?0R4π?0RQ，因此 4πR2U?Q?(1?)

4??0R4?R2

6、一个半径为R的绝缘实心非均匀带电球体，电荷体密度为??=??r (其中r为离球心的距离，??0为常量)。如果选取无穷远处电势为零，讨论球内(r

?0(4R3?r3)?0R4【答案：；】

12?04?0r详解：以r（r ≤R）为半径，作与绝缘实心球同心的高斯面。由于电荷分布具有球对称性，因此高斯面上各个点的场强大小相等，方向沿半径方向向外。则通过该高斯面的电通量为

??2E?dS?EdS?EdS?4πrE ???SSS在高斯面内，作半径为a（a≤r）与高斯面同心的微分球壳，其中的电荷为

dq??4πa2da?4π?0a3da

积分得高斯面内包围的总电荷为

q??dq?4π?0?a3da?π?0r4

V0r由高斯定理得

4πrE?2π?0r4?0

由此解得绝缘实心带电球体内部（r ≤R）的场强为

?0r2 E?4?0如果高斯面作在绝缘实心带电球体的外部（r>R），则由高斯定理得

4πrE?2π?0R4?0

由此解得绝缘实心带电球体外部（r>R）的场强为

?0R4 E?4?0r2由电势定义式得绝缘实心带电球体内部（r≤R）的电势分布为

U???P24??R?r??R00E?dl??dr??dr

r4?R4?r200?0(R3?r3)?0R3?0(4R3?r3) ???12?04?012?0

绝缘实心带电球体外部（r>R）的电势分布为

U???P44????R?RE?dl??02dr?0

r4?r4?0r07、如图5-19所示，点电荷+Q位于圆心O点处，P、A、B、C为同一圆周上的四个点。如果将试验电荷q0从P点分别移动到A、B、C各点，则电场力所做的功分别等于多少？ 【答案：都等于0】

详解：电场力是保守力，因此电场力所做的功等于电势能的减少量，即

P Wab?q(Ua?Ub)

由于P、A、B、C各点的电势相等，因此将试验电荷q0

从P点分别移动到A、B、C各点，电场力所做的功相等，均等于0。

A O +Q C

B 图5-19

8、如图5-20所示，在电荷为q的点电荷静电场中，将另一个电荷为q0的点电荷从A点移到B点。A、B两点距离点电荷q的距离分别为r1和r2。则移动q0的过程中电场力做的功等于多少？ 【答案：

qq011(?)】 4π?0r1r2详解：A、B两点的电势分别为

UA?qq UB?

4π?0r14π?0r2B

A r1 q

r2 移动q0的过程中电场力做的功为

qq011图5-20 (?)

4π?0r1r2???9、已知均匀静电场的电场强度E?(300i?800j)V/m，则点A(5,1)和点B(4,2)之间的

WAB?q0(UA?UB)?电势差UAB＝? (点的坐标x、y的单位为m) 【答案：500V】

详解：由电势差定义式得A、B两点的电势差为

UAB??BA?????B42?(300i?800j)?dr?300dx?E?dl???800dy?500V

A5110、如图5-21所示，A点与B点间距离为2R，OCD是以B点为中心、R为半径的半圆形路径。 A、B两处各放有一个点电荷，电荷分别为＋q和－q。将另一个电荷为Q的点

电荷从O点沿路径OCD移到D点，电场力做了多少功？如果将电荷Q从O点沿路径OCD移到D点后，再沿着x轴正方向移动到无穷远处，电场力做的功又等于多少？ 【答案：

+q A(-R,0)

O

-q R C B(+R,0) D(+2R,0) x 图5-21

qQ；0】

6π?0R详解：O、D两点和无限远处的电势分别为

UO?q?q??0

4π?0R4π?0R??qq ??4π?0R6π?0RUD?q4π?0?3RU??0

将点电荷Q从O点沿路径OCD移到D点的过程中，电场力做的功为

WOD?Q(UO?UD)?qQ

6π?0R将电荷Q从O点沿路径OCD移到D点后，再沿着x轴正方向移动到无穷远处，电场力做的功为

WO??Q(UO?U?)?0

4.电场强度与电势的关系

1、在图5-22中，实线表示电场线，虚线表示该电场的等势面，a、b、c三点是三个等势面上的点，请你将由三点的电场强度大小Ea、Eb和Ec按从小到大的顺序排列起来；电势Ua、Ub和Uc按从低到高的顺序排列起来。 【答案：Ec、Eb、Ea；Ua、Ub、Uc】

详解：因为电场线越密集的地方场强越大，所以Ea、Eb和c

的关系为

a Ea?Eb?Ec

因为沿着电场线的方向电势逐渐降低，所以Ua、Ub和Uc

b c 图5-22

的关系为

Uc?Ub?Ua

2、已知某区域的电势为U?kln(y2?x3?2)，式中k为常量。则该区域的场强的各个分量分别等于多少？

2ky3kx2【答案：Ex??23；Ey??23；Ez?0】

y?x?2y?x?2详解：根据场强与电势的微分关系，得

?U3kx2Ex?? ??23?xy?x?2Ey???U2ky??23 ?yy?x?2?U?0 ?zEz??3、已知某静电场的电势为U?x3?6xy?4y2，公式中的各个物理量均采用国际单位。点(1, 2, 3)处的电场强度等于多少？

???【答案：E?(9i?22j)V/m】

详解：根据场强与电势的微分关系，得

Ex???U??3x2?6y ?xEy???U?6x?8y ?y?U?0 ?zEz??在点(1, 2, 3)处的电场强度的三个分量大小分别为

Ez?0 Ex?9V/m Ey?22V/m因此点(1, 2, 3)处的电场强度为

???E?(9i?22j)V/m

三、课后习题解答

1、如图5-23（a）所示，一根细橡胶棒被弯成半径为R的半圆形，沿其左半部分均匀分布有电荷+Q，沿其右半部分均匀分布有电荷－Q。试求圆心O处的电场强度。

y y ?dE??dE???dlx O x R O ? ?dl（a）

R （b）

图5-23

解：如图5-23（b）所示，在半圆环的左半部分取元电荷?dl，在右半部分对称位置处也

取一个元电荷-?dl，它们在O点产生的电场强度大小相等，均为

dE??dl 24π?0R这两个电场强度的方向不同，将它们都沿着坐标轴方向进行分解，它们的y分量互相抵消，x分量互相加强。其x分量为

dEx?dEcos??其中???dlcos? 24π?0RQ2Q?，dl?Rd?，因此 πR/2πRdEx?Q2π2?0R2cos?d?

对上式积分，即得圆心O处的电场强度大小为

E?2?π/2Q2π2?0R?E?0cos?d??2Q 22π?0R考虑到方向性，O处的电场强度可以写为

Q?i

π2?0R22、如图5-24所示，半径为R的带电细圆环的电荷线密度?=?0cos?，其中?0为常数，?是半径R与x轴之间的夹角。试求圆环中心O点处的电场强度。

解：在任意角?处取微分电量dq=?dl，它在O点产生的场强大小为

R y ?dl?0cos?d?dE?? 24??0R4??0R将该场强沿x、y轴取分量，得

O ? x 图5-24

?0cos2?d? dEx??dEcos???4??0RdEy??dEsin????0sin?cos?d?

4??0R对以上两式求积分，得O点场强的x、y分量，分别为

Ex??2??0?02 cos?d???4??0R?04?0R2π?0sin?cos?d??0 ?04??0REy??因此，圆环中心O点处的电场强度为

????0?E?Exi?Eyj??i

4?0R3、如图5-25所示，一个无限长的带电圆柱面上的电荷面密度??= ?0cos?，式中?为半径R与x轴之间的夹角，试求圆柱轴线上一点的场强。

解：将圆柱面分成许多与轴线平行的细长微分条，每根微分条可视为无限长均匀带电直线，其电荷线密度为

z d???Rd???0cos?Rd?

微分条在圆柱轴线上一点产生的场强大小为

O x 图5-25

? y ??dE??0cos?d?

2??0R2??0该场强沿x、y轴上的两个分量分别为

dEx??dEcos????0cos2?d? 2??0dEy??dEsin????0sin?cos?d? 2??0对以上两式求积分，得圆柱轴线上场强的x、y分量，分别为

?02π2?0Ex??cos?d???

2??0?02?0Ey??

?02πsin?cos?d??0 ?02??0

因此，圆柱轴线上的电场强度为

????0?E?Exi?Eyj??i

2?04、如图5-26（a）所示，一个无限长均匀带电的半圆柱面，半径为R，设半圆柱面沿轴线AB单位长度上的电荷为?，试求轴线上任一点的电场强度。

B （a）

图5-26

解：图5-26（b）是半圆柱面的俯视图，建立如图所示的坐标系。将半圆柱面划分成许多微分条。dl宽的微分条的电荷线密度为

（b）

A R ?dEy O R ? x d?d???πd?

在?位置处取任一微分条，它在轴线上一点产生的场强大小为

dE?d???2d?

2??0R2??0R将这个微分电场强度沿着坐标轴方向进行分解，考虑到对称性。其x分量一一抵消，y分量互相加强。其y分量为

dEy?dEsin???sin?d? 22??0R对上式积分，得轴线上任一点电场强度的大小为

E??π0?? sin?d??2?2?0Rπ2?0R?E?考虑到方向性，轴线上任一点的电场强度可以写为

??j

π2?0R5、如图5-27所示，一个电荷面密度为?的无限大平面，在距离平面r处的P点的场强大小的四分之一是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的。试求该圆半径的大小。

解：电荷面密度为?的无限大均匀带电平面在任意点产生的场强大小为

E?? 2?0R O r P ?E半径为R的圆平面在其轴线上距圆心为r处的P点产生的场强大小为

? 图5-27

E???r(1?)

222?0r?R?r1? (1?)??222?042?0r?R由题意可得，E??E/4，即

由上式解得该圆半径为

R?7r 36、图5-28中的虚线表示一个边长r=5cm的立方形的高斯面。已知空间的场强分布为

??E?kyj

其中常量k＝500N/(C·m)。试求该立方形高斯面中包含的净电荷。

解：通过立方形高斯面的电通量为

z 23Φe??kr?r?2kr?r?kr

由高斯定理

O 2r r Φe?Qr ?0

x 图5-28

r y 得该立方形高斯面中包含的净电荷Q为

Q??0Φe?k?0r3?5.53?10?13C

7、如图5-29（a）所示，真空中有一个半径为R的圆平面，在通过圆心O点与圆平面垂直的轴线上有一点P，它到O点的距离为l。在P处放置一个点电荷Q，试求通过该圆平面的电通量。

P l O R

P r R l O （b）

图5-29

（a）

解：如图5-29（b）所示，以P点为球心，以r?R2?l2为半径作一个球形高斯面。

显然，通过半径为R的圆平面的电通量与通过以它为周界的球冠面的电通量相等。

整个球面面积和球冠面的面积分别为

S0?4πr2 S?2r(r?l)

通过整个球面的电通量为

Φ0?通过圆平面即球冠面的电通量为

Q?0

Φ?Φ0q2?r(r?l)qlSql??(1?)?(1?) 2222?0S0?04?r2?0rR?l8、图5-30（a）所示的是一个厚度为a的无限大均匀带电平板，其电荷体密度为?。设坐标原点O在带电平板的中央平面上，坐标轴垂直于平板。试求板内、板外的场强分布，并画出场强随r的变化图线。

a （a）

图5-30

解：由电荷分布的对称性可知，在中心平面两侧离中心平面距离相等处场强均沿x轴，大小相等而方向相反。

如图5-30（b）所示，在板内作底面为S的高斯柱面（右图中板的厚度被放大了）, 两底面距离中心平面均为x, 通过该高斯面的电通量为

EO r Erra（b）

??E??dS?2ES

S由高斯定理得

q? 2ES?i?0解之得

qE??i

2?0S当r?a时，?qi?2?rS，该区域的场强大小为 2E?考虑到方向性，上式可以写为

2?rS?r ?2?0S?0??r?E?i

?0当r?a时，?qi??aS，该区域的场强大小为 2E??aS?a ?2?0S2?0E 考虑到方向性，上式可以写为

?a2?0-a/2 O a/2 r a??a，r???2?2?0 E???aa??，r???2?2?0场强随r的变化图线如图5-31所示。

??a2?0图5-31

9、一个半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为

??=kr2 (r≤R) ， ??=0 (r＞R)

其中k为常量。试求球内、球外的场强分布。

解：作半径为r，与带电球体同心的球形高斯面，通过该高斯面的电通量为

??2?E?dS?4πrE

S由高斯定理得

q?4πrE?2i?0

解之得

E?4πr?0?q2i

为求高斯面包围的电量，在高斯面内作与高斯面同心的半径为a、厚度为da微分球壳，其内包含的电量为

dq??dV??4?a2da

当r≤R 时，高斯面内包围的电量为

?qi???4?a2da??ka2?4?a2da?4πk?a4da?000rrr4πkr5 5该区域的场强分布为

4πkr5/5kr3 E??24πr?05?0当r>R 时，高斯面内包围的电量为

?qi???4?a2da???4?a2da

0RRr??ka2?4?a2da??0?4?a2da

0RRr?4πk?a4da?0R4πkR5 5该区域的场强分布为

kR54πkR5/5 ?E?5?0r24πr2?0球内、球外的场强方向均沿径向，当k>0时向外，k<0时向内。

10、如图5-32（a）所示，一块厚度为h的无限大带电平板 ，其电荷体密度为?＝ax (0≤x≤h )，式中a是大于零的常量。试求 (1) 平板外两侧任一点处的电场强度； (2) 平板内任一点处的电场强度；(3) 何处的电场强度为零？

EO SdxSE??kx??0x xESSPE?xh （a）

图5-32

h（b）

解：(1)如果认为该无限大带电厚平板由许多无限大带电薄平板构成，由于每一片薄平板在两侧产生的电场都是场强大小相等的均强电场，它们叠加的结果必然也是场强大小相等的均强电场。

作如图5-32（b）所示的垂直于带电平板的柱形高斯面，其两底面积大小均为S，通过该高斯面的电通量为

???E?dS?2ES

S为求高斯面包围的电量，在高斯面内作底面积大小为S、厚度为dx的微分柱体，其电荷为

dq??Sdx?axSdx

对上式积分得高斯面包围的电量为

?qi??aSxdx?0h12ahS 2由高斯定理得

ah2S 2ES?2?0解之得平板外两侧任一点处的电场强度大小为

ah2 E?4?0当x>h时，电场强度的方向沿x轴正方向，当x<0时，电场强度的方向沿x轴负方向。

(2)设平板内任一点P到O点的距离为x，该点的场强大小为E′。作如图5-32（b）所示的高斯面，通过该高斯面的电通量为

???E?dS?ES?E?S

S高斯面包围的电量为

?qi???Sdx??aSxdx?00xx1aSx2 2由高斯定理得

aSx2 (E?E?)S?2?0ah2将E?代入上式，解之得平板内任一点处的电场强度大小为

4?0

a(2x2?h2) E??4?0当x?h/2时，电场强度的方向沿x轴正方向，当x?h/2时，电场强度的方向沿x轴负方向。

(3)令E′=0，即

a(2x2?h2)?0

4?0解之得

x?即当x?h/2时，电场强度的等于零。

h 211、如图5-33所示，一个无限大平面的中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为?。试求通过圆孔中心O并与平面垂直的直线上各点的电场强度和电势(选圆孔中心O点的电势为零)。

解：将题中的电荷分布看作为面密度为?的大平面和面密度为－?的圆盘叠加的结果。选x轴垂直于平面，坐标原点Ｏ在圆盘中心，则大平面和圆盘在x处产生的场强分别为

R O x ??x?E1?i

2?0x????x11E2?(?)i

2?0xR2?x2因此通过圆孔中心O并与平面垂直的直线上各点的电场强度为

? 图5-33

???E?E1?E2??x2?0R2?x2?i

由于选取了圆孔中心O点的电势为零，因此电势分布为

U???0x22?(R?R?x) dx?22x2?02?0R?x12、一个半径为R的无限长圆柱形带电体，其电荷体密度为??=br (r≤R)，式中b为常量。试求 (1) 圆柱体内、外各点场强大小分布；(2) 选取与圆柱体轴线距离为h (h＞R) 处

的电势为零，计算圆柱体内、外各点的电势分布。

解：(1)作半径为r、长度为l、与无限长圆柱形带电体同心的柱形高斯面，通过该高斯面的电通量为

???E?dS?2πrlE

S由高斯定理得

q?2πrlE?i?0

解之得

E??qi2π?0rl

为求高斯面包围的电量，在高斯面内作与高斯面同轴的长度为l、半径为a、厚度为da微分柱面。

当r≤R 时，高斯面内包围的电量为

?qi????2?alda??ba?2?alda?2πbl?a2da?000rrr2πblr3 3该区域的场强分布为

2πblr3/3br2 E??2π?0rl3?0当r>R 时，高斯面内包围的电量为

?qi??ba?2?alda?2πbl?a2da?00RR2πblR3 3该区域的场强分布为

2πblR3/3bR3

E??

2π?0rl3?0r

(2)利用电势定义式，由题意得圆柱体内的各点（r≤R）的电势分布为

U??P0P23??RbrhbRbbR3h33E?dl??dr??dr?(R?r)?ln

r3?R3?r9?03?0R00圆柱体外的各点（r>R）的电势分布为

U??P0P3??hbRbR3hE?dl??dr?ln

r3?r3?0r013、有8个完全相同的球状小水滴，它们表面都均匀地分布着等量、同号的电荷。如果

将它们聚集成一个球状的大水滴，设在水滴聚集的过程中总电荷没有损失，电荷也是均匀分布在大水滴的表面。则大水滴的电势是小水滴电势的多少倍？

解：设小水滴的半径为r、电荷q；大水滴的半径为R、电荷为Q＝8q。8个小水滴聚成大水滴时体积保持不变，因此

448?πr3?πR3

33解之得

R?2r

小水滴的电势为

U0?大水滴的电势为

q 4??0rU?Q8qq??4??4U0

4??0R4??0?(2r)4??0r即大水滴的电势是小水滴电势的4倍。

14、电荷以相同的面密度??分布在半径为0.2m和0.4m的两个同心球面上。设无限远处电势为零，球心处的电势为U0＝600V。(1) 求电荷面密度?； (2) 如果要使球心处的电势为零，外球面上应放掉多少电荷？

解： (1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即

1U0?4??0由此解得电荷面密度?为

?q1q2?1?4?r12?4?r22???r?r???4????r?r0?122??1???????r1?r2?

0?

??U0?0?8.85?10-9C/m2

r1?r2 (2) 为使球心处的电势为零，设外球面上放电后电荷面密度为??，则应有

?? U0解之得

1?0(?r1???r2)?0

????因此，外球面上应放掉的电荷为

r1? r2

?r1?q??4?r22??4?r22???4?r22???1?r???4??r2(r1?r2)

2??将??U0?0代入上式得 r1?r2q??4??0U0r2?2.67?10-8C

15、一个内半径为R1、外半径为R2的均匀带电球层，其电荷体密度为?。无穷远处为电势零点，求该球层的电势分布。

解: 以球层的球心为圆心，以r为半径作球形高斯面，设场强方向沿半径方向向外，则由高斯定理得

??2?E?dS?4πrE?S?qii?0

由此解得场强大小为

E?如果r

?qii4π?0r2

?qii?0，该区域的场强大小为

E?0

如果R1

?qi?i4?π(r3?R13) 3该区域的场强大小为

4?π(r3?R13)?(r3?R13)3E? ?4π?0r23?0r2如果r>R2

?qi?i43?π(R2?R13) 3该区域的场强大小为

43?π(R2?R13)33?(R?R21)E?3 ?224π?0r3?0r

因此在r

U??R2R133??(R?R)?(r3?R13)21dr??dr 22R3?0r3?0r23?12R13?R2?R13?(r?)?3?02rR3?0r1R2?

R2??2(R2?R12) 2?0在R1

U??R2r33??(R?R)?(r3?R13)21dr??dr

R3?0r23?0r223?12R13?R2?R13?(r?)?3?02rr3?0rR2?

R2??R13222?(R2?r)?(R2?) 6?03?0r在r>R2区域内的电势分布为

U???r33?(R2?R13)?(R2?R13) dr?23?0r3?0r本题也可以用电势叠加原理进行求解，读者不妨动手试一试。

16、如图5-34所示，一个半径为R、质量为M的半球形光滑绝缘槽放在光滑水平面

?上，匀强电场E的方向竖直向上。一个质量为m、带电量为＋q的小球从槽的顶点a处由静

止释放。已知质点受到的重力大于其所受电场力，如果忽略空气阻力，求 (1) 小球由顶点a滑到槽最低点b时相对地面的速度； (2) 小球通过b点时，槽相对地面的速度； (3) 小球通过b点后，能不能再上升到右端最高点c处？

解： 设小球滑到b点时相对地的速度为?，槽相对地的速度为V。

小球从a→b的过程中，球、槽组成的系统在水平方向上动量守恒， 即

b c ?Em a M m??MV?0

由动能定理得

图5-34

mgR?qER?

11m?2?MV2 22

以上两式联立解得

???方向水平向左。

2MR(mg?qE)

m(M?m)V?方向水平向右。

2mR(mg?qE)

M(M?m)由于系统运动过程中没有非保守力做功，因此小球通过b点后，可以再上升到右端最高点c处。

17、如图5-35所示，一个空气平板电容器的下极板固定，上极板是静电天平右端的秤盘。已知极板面积为S，两极板相距d。电容器不带电时，天平恰好平衡；当电容器两极板间加上电势差U时，天平左端要加质量为m的砝码才能平衡。求所加电势差U有多大？

解：当加电势差U天平达到新的平衡时，电容器上极板所受电场力与右端秤盘中砝码所受的重力相等，即

Fe?mg

电容器上极板所受电场力为

m d 图5-35

S U

???2S Fe?q??S?2?02?02?0由U?Ed??d解得 ?0???0Ud

因此

S?0U2?0SU2 Fe?()?22?0d2d平衡方程可以写为

?0SU22d由此解得所加电势差为

2?mg

U?d2mg ?0S18、在盖革计数器中有一个直径为2.00 cm的金属圆筒，在圆筒轴线上有一条直径为0.150mm的导线。如果在导线与圆筒之间加上1000 V的电压，则导线表面和金属圆筒内表面的电场强度大小分别为多少？

解：设导线上的电荷线密度为?，由高斯定理容易解得导线与圆筒之间的场强分布为

E?其方向沿半径指向圆筒。

由于导线与圆筒之间的电势差为

? 2π?0rU??因此场强分布也可以表示为

R2R1??R2??R2dr E?dr??ln2??0?R1r2??0R1E?在导线表面处的电场强度大小为

U

rln(R2/R1)E?U?2.73?106V/m

R1ln(R2/R1)在金属圆筒内表面处的电场强度大小为

E?U?1.02?104V/m

R2ln(R2/R1)19、某真空二极管的主要构件是一个半径R1＝0.5mm的圆柱形阴极M和一个套在阴极外的半径R2＝4.5m m的同轴圆筒形阳极N，如图5-36所示。测得阳极电势比阴极高300V，在忽略边缘效应的情况下， 求电子刚从阴极M射出时所受到的电场力。

解：与阴极同轴作半径为r (R1＜r＜R2 )的单位长度圆柱形高斯面，设阴极上的电荷线密度为?。按高斯定理有

M R1 R2 N

2πrE?因此

? ?0

图5-36

E?电场强度的方向沿半径指向轴线。

两极之间的电势差为

?2π?0r(R1?r?R2)

UM?UN??由此解得

NM???E?dr??2??0?R2R1drR???ln2r2??0R1

?U?UM ?N2??0ln(R2/R1)因此两极之间的电场强度大小为

E?UN?UM1

ln(R2/R1)r在阴极表面处的电子受到的电场力大小为

F?eER1?e电场力的方向沿半径指向阳极N。

UN?UN1?4.37?10?14N ?ln(R2/R1)R120、如图5-37所示，一个半径为R的均匀带电细圆环的总电荷为Q。设无限远处为电势零点，试求圆环轴线上距离圆心O为x处P点的电势，并利用电势梯度求该点场强。

解：在圆环上取电荷元dq，该电荷元在P点产生的电势为

Q R O P x x dU?dq4??0R?x22

带电圆环在P点产生的电势为

U??dU?L14??0R?x22?Ldq?q4??0R?x22

图5-37

P点的电场强度为

??dU?qxE??i?i 223/2dx4??0(R?x)21、如图5-38（a）所示，一根均匀带电的细直杆沿x轴放置，其电荷线密度为?。试求y轴上距O点为y处P点的电势，并利用电势梯度求该点场强。

y

-l O （a）

图5-38 +l x -l P y y P y r O （b）

dq +l x 解：如图5-38（b）所示，在x轴上取微元电荷dq=?dx，它在y轴P点处产生的电势为

dU?dq?dx ?4??0r4??0x2?y2因此y轴上距O点为y处P点的电势为

U??l?dx4??0?ly2?l2?l??ln

22224??y?l?lx?y0P点场强的三个分量分别为

Ex???U?0 ?xEy???U?yy??[?]

22222222?y4??0(y?l?l)y?l(y?l?l)y?l??l2??0yy?l22

Ez??因此，P点的场强为

?U?0 ?z??E?Eyj??l2??0yy2?l2?j

22、如图5-39（a）所示，一个半径为R的球冠对球心的张角为2?，该球冠面上均匀带电，其电荷面密度为?。设无限远处为电势零点，试求其轴线上与球心O相距为h(h＞R)处P点的电势，并利用电势梯度求该点的场强。

R O

（a）

图5-39

2? h P d? O R h （b）

? ? P x 解：建立如图（b）所示的坐标系，在球冠上任取微分环带，其上所带的电荷为

dq??dS???2πRsin??Rd??2π?R2sin?d?

微分环带与P点的距离为

r?(h?Rcos?)2?R2sin2??h2?R2?2Rhcos?

微分环带在P点产生的电势为

2π?R2sin?d?dq?R2?dU??4π?0r4π?0h2?R2?2Rhcos?2?0由于

sin?d?h?R?2Rhcos?22

d(h2?R2?2Rhcos?)?2Rhsin?d?

因此

?Rd(h2?R2?2Rhcos?) dU?224?0hh?R?2Rhcos?对上式积分得P点的电势为

?R?d(h2?R2?2Rhcos?) U??2204?0hh?R?2Rhcos? ??Rh2?R2?2Rhcos??(h?R)

2?0h??认为P点是我们建立的坐标系x轴上的任一点，则上式可以改写为

U?其中x>R。

?R2?0x?x?R?2Rxcos??(x?R)?

22由电场强度与电势的微分关系得电场强度分布为

?dU?R2?E??i?dx2?0x2???R?xcos?1???i 22x?R?2Rxcos???

因此，P点的电场强度为

?R2????R?hcos?E?1??i 2?222?0h?h?R?2Rhcos??23、设某电场中电势沿x轴的变化曲线如图5-40所示。试求各区间(忽略各区间端点的情况)电场强度的x分量，并作出Ex与x的关系曲线。

解：由场强与电势梯度的关系式

Ⅱ U(V) 16 8 Ⅴ 5 8 ?UEx??

?x可得各区间电场强度的x分量为 ⅠⅡ段：?Ⅰ -8 -3 0 -8 -16 1 16?0??3.2(V/m)

?3?(?8)x(m)

ⅡⅢ段：??16?16?8(V/m)

1?(?3)Ⅲ Ⅳ （a） Ex(V/m) 8 4 1 -8 -3 0 -4 -8 5 8 ?16?(?16)?0 ⅢⅣ段：?5?18?(?16)??8(V/m) ⅣⅤ段：?8?5Ex与x的关系曲线如图所示。

x(m)

（b） 图5-40

四、自我检测题

1.单项选择题（每题3分，共30分） （1）下列几个说法中正确的是［ ］

(A) 电场中某点的场强方向就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；

(B) 在以点电荷为中心的球面上， 由该点电荷所产生的场强处处相同； (C) 场强可由E?F/q给出，其中q为试验电荷，q可以为正也可以为负，F为试验电荷所受的电场力；

(D) 以上说法都不正确。 （2）以下列出的真空中静电场的场强公式中，正确的是［ ］

???? (A) 点电荷q的电场为E?

q4??0r2，其中r为点电荷到场点的距离；

?(B) 电荷线密度为?的无限长均匀带电直线的电场为E?直线到场点的垂直于直线的矢量；

??? ，其中为从带电rr2??0r3??(C) 电荷面密度为?的无限大均匀带电平面的电场为E?；

2?0??R2??(D) 电荷面密度为?、半径为R的均匀带电球面外的电场为E?，其中为从rr?0r3球心到场点的矢量。 （3）已知某高斯面所包围的电荷代数和等于零，则［ ］

(A) 高斯面上各点场强均为零； (B) 穿过整个高斯面的电通量为零；

(C) 穿过高斯面上各个面元的电通量均为零； (D) 以上说法都不对． （4）静电场中某点电势的数值等于［ ］

(A) 单位试验电荷置于该点时具有的电势能；

(D) 将单位正电荷从该点移到电势零点时外力所做的功； (C) 单位正试验电荷置于该点时具有的电势能；

(B) 试验电荷置于该点时具有的电势能。

（5）下列关于静电场中某点电势值的正负的说法中，正确的是［ ］ (A) 电势值的正负取决于置于该点的试验电荷的正负； (B) 电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负； (C) 电势值的正负取决于电势零点的选取； (D) 电势值的正负取决于电场力对试验电荷做功的正负。 （6）在已知静电场分布的情况下，任意两点之间的电势差取决于［ ］

(A) 这两点处的电场强度的大小和方向； (B) 这两点的位置；

(C) 试验电荷的正负； (D) 试验电荷的电量大小。 （7）在一个均匀带负电的球外，放置一个电偶极子，其电矩p的方向如5-41图所示。当电偶极子被释放后，该电偶极子将［ ］

(A) 沿逆时针方向旋转直到电矩p沿径向指向球面为止； 5-41 图

(B) 沿逆时针方向旋转至p沿径向指向球面，同时沿电场线方向向着球面移动；

(C) 沿顺时针方向旋转至p沿径向朝外，同时沿电场线方向向着球面移动； (D) 沿逆时针方向旋转至p沿径向指向球面，同时逆电场线方向远离球面移动。

?O ?p????（8）电子绕静止的氢原子核（即质子）作半径为r的匀速率圆周运动，已知电子的质量为me，电荷为-e，则电子绕核运动的速率为［ ］ (A) 2eπ?0mer； (B)

e2π?0mer； (C)

e2π?0mer； (D)

e。

22π?0mer（9）密立根油滴实验是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡的原理测量电荷的。该实验的电场由两块带电平行板产生。在实验中，当半径为r、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板间的电势差为U；当电势差增加到4U时，半径为2r的油滴保持静止，这个油滴所带的电荷为［ ］

(A) 2e； (B) 4e； (C) 8e； (D) 16e。 （10）一个带正电荷的质点在电场力作用下从a点出发经c点运动到b点，其运动轨迹如图5-42所示。已知质点运动的速率是递减的，下面关于c点场强方向的四个图示中正确的是［ ］ b

2.填空题（每空2分，共30分）

（1）真空中半径为a的均匀带电球面带有正电荷Q。如图5-43所示，在球面上挖去一个面积为?S的小块 (连同上面的电荷)，设这样不影响其它位置处的电荷分布，则挖去?S以后球心处电场强度的大小为（ ），方向为（ ）。

?S Q O 图5-43

a (A)

?Ec b c ?Ea b ?Ec b c a (B)

a (C)

?E(D)

a 图5-42

??（2）某闭合曲面包围一个电矩为p?ql的电偶极子，则通过该闭合曲面的电通量为

（ ）。

??（3）一块面积为S的平面，放在场强为E的均匀电场中，已知E与该平面间的夹角为??(?＜?/2)，则通过该平面的电通量为（ ）。

（4）一根电荷线密度为?的均匀带正电导线，其单位长度上发出的电场线条数(即电通量)为（ ）。

（5）已知空气的击穿场强为35kV/cm，空气中一带电球壳的直径为2.0m，以无限远处为电势零点，则该球壳能达到的最高电势为（ ）。

（6）半径为b的均匀带电球面带有电荷Q。如果规定该球面上的电势值为零，则无限远处

的电势为（ ）。

（7）静电力做功的特点是（ ），因此静电力属于（ ）力。 （8）如图5-44所示，在电荷为Q的点电荷的静电场中，将一个电荷为q0的试验电荷从A点经任意路径移动到B点，电场力所做的功为（ ）。

A rA Q q0 rB B 图5-44 （9）在无限大均匀带电平板附近有一个点电荷q，将该点电荷沿电场线方向移动距离l时电场力做的功为W，由此可知平板上的电荷面密度为（ ）。 （10）已知某静电场的电势分布为

U＝2x＋3x2y－5y2

则场强分布E＝（ ）。

（11）如图5-45所示，水平放置的半径为r的均匀带电细圆环带有电荷q，在圆环轴线的上方离圆心r处有一个质量为m、带电荷为Q的小球。当小球从静止下落到圆心位置时，它的速率为（ ）。

r O ?m、Q r q ????（12）一个电矩为p的电偶极子处在场强为E的均匀电场中，p与E间的夹角为?，则它

所受的电场力为（ ），力矩的大小为（ ）。 3.计算题（共40分）

（1）用绝缘细线弯成的半圆环的半径为R，其上均匀带有正电荷Q，试求圆心O点的电场强度。（本题5分）

（2）一个半径为R的带电球体，其电荷体密度为

图5-45

??kr (r≤R)

??0 (r>R)

其中q为正的常量。试求①该带电球体的总电荷；②球内、外各点的电场强度；③球内、外各点的电势。（本题10分）

（3）图5-46所示为两个同轴带电长直金属圆筒，其内、外筒半径分别为R1和R2，两筒之间为空气，内、外筒的电势分别为2U0和U0，U0为已知常量。求两金属圆筒之间的电势分布。（本题10分）

图5-46

R1 R2

（4）两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为3cm和10cm。已知两者的电势差为900V，求内球面上所带的电荷。（本题5分）

（5）如图5-47所示，一个半径为R、电荷面密度为?的均匀带正电的圆板，有一个质量为m，电荷为－q(q＞0)的粒子沿圆板轴线方向向着圆板运动，已知在距圆心O为a的位置上时速率为?0，求粒子击中圆板时的速率。 （本题10分）

?-q ?0? O R a x

图5-47

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