分式方程及其增根问题
更新时间:2023-08-31 20:44:01 阅读量: 教育文库 文档下载
分式方程及其增根
文章来源:现代教育报·思维训练 作者:都卫华 点击数:2101 更新时间:2007-3-14 8:32:53
解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程,解分式方程时,有可能产生增根(使方程中有的分母为零的根),因此解分式方程要验根(其方法是把求得的根代入最简公分母中,使分母为零的是增根,否则不是).
【例1】解方程 .
解:方程两边同乘x(x+1),得 5x-4(x+1)=0.
化简,得x-4=0. 解得x=4.
检验:当x=4时,x(x+1)=4×(4+1)=20≠0,
∴ x=4是原方程的解.
【例2】解方程
解:原方程可化为,
方程两边同乘(x+1)(x-1),得(x+1)2-4=(x+1)(x-1).
化简,得2x-3=-1.解得 x=1.
检验:x=1时(x+1)(x-1)=0,x=1不是原分式方程的解,所以原分式方程无解.
【小结】 去分母时,方程两边同乘以最简公分母,不能漏乘常数项.
【例3】 解方程 .
解:原方程可变形为 .
解得x=.
检验:当x=
所以x=时,(x-7)(x-5)(x-6)(x-4)≠0, 是原方程的解.
【小结】此题若直接去分母,就会出现三次式,且计算较为复杂,该类型题的简单解法为:只把方程等号两边转化为两个分式之差,且等号两边分母的差相等;再把方程等号两边的分式分别通分,会得到两个同分子的分式相等,从而得分母相等,此解法叫做“分组通分法”.
【例4】 若关于x的方程有增根x=-1,求k的值.
解:原方程可化为
方程两边同乘x(x+1)(x-1)得
x(k-1)-(x+1)=(k-5)(x-1).
化简,得3x=6-k.
当x=-1时有3×(-1)=6-k, ∴ k=9. .
【小结】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的,分式方程的增根,不是分式方程的根,而是该分式方程化成的整式方程的根,所以涉及分式 方程的增根问题的解题步骤通常为:①去分母,化分式方程为整式方程;②将增根代入整式方程中,求出方程中字母系数的值.
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