数学建模与lingo软件使用

东北大学秦皇岛分校

数学建模课程设计报告

生产、库存与设备维修综合计划

的优化安排

学 院 专 业 学 号 姓 名 指导教师 成 绩

数学与统计学院 数学与应用数学

7110402 崔冰洁

教师评语：

指导教师签字：

2014年7月9日

数学与统计学院课程设计报告 第 1 页

1 绪 论

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源做出的最优决策，提供科学的依据。

在经济生活中，一个公司库存、生产、销售量要受限于与公司设备的生产能力，如何确定最优的生产库存等计划，可以使用线性规划的知识进行数学模型的建立并通过数学软件进行求解。

将库存金额控制在合理水准，是每个公司都期望的，这样的话可以将 运营成本降到最低，让现金流动起来。就是要合理处理好生产、库存 与设备维修综合计划的优化安排。 在保证企业生产、经营需求的前提下，合理处理好生产、设备 维修综合计划的优化安排。使库存量经常保持在合理的水平上；掌握库存量动态，适时，适量提出订货，避免超储或缺货；减少库存空间 占用，降低库存总费用；控制库存资金占用，加速资金周转

2 LINGO软件简介

LINGO是Linear Interactive and General Optimizer的缩写，即“交互式的线性和通用优化求解器”，由美国LINDO系统公司推出的，可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择。其特色在于内置建模语言，提供十几个内部函数，可以允许决策变量是整数（即整数规划，包括 0-1 整数规划），方便灵活，而且执行速度非常快。能方便与EXCEL，数据库等其他软件交换数据。

3 数学模型建立与求解

3.1问题：

某工厂有以下设备：4台磨床、2台立钻、3台水平钻、1台镗床和1台刨床。已知生产单位各种产品所需的有关设备台时以及他们的利润如表所示：

产品 单位产品利磨床 立钻 水平钻 镗床 刨床 1 100 0.5 0.1 0.2 0.05 数学与统计学院课程设计报告 第 2 页 2 60 0.7 0.2 0.03 3 80 0.8 0.01 4 40 0.3 0．07 5 110 0.3 0.1 0.05 6 90 0.2 0.6 7 30 0.5 0.6 0.08 0.05 从1月到6月，维修计划如下：1月1台磨床，2月2台水平钻，3月1台镗床，4月1台立钻，5月1台磨床和1台立钻，6月1台刨床和1台水平钻，被维修的设备当月不能安排生产。又知从 1—6月市场对上述7中产品最大需求量如下表： 产品 一月 二月 三月 四月 五月 六月 1 500 600 300 200 0 500 2 1000 500 600 300 100 500 3 300 200 0 400 500 100 4 300 0 0 500 100 300 5 800 400 500 200 1000 1100 6 200 300 400 0 300 500 7 100 150 100 100 0 60 每种产品当月销售不了的每件每月存储费为5元，但规定任何时候每种产品的存储量均不能超过100件。1月初无库存，要求6月末各种产品各储存50件。若该工厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，要求

（1） 该厂如何安排生产，使总利润最大；

（2） 若对设备维修只规定每台设备在 1—6 月份内均需安排1个月用于维修（其中4 台磨床只需安排2 台在上半年维修），时间可灵活安排。重新为该厂确定一个最优的设备维修计划。 3.2分析问题

对于问题（1），我们所要解决的是在生产设备有限并得知产品最大需求量的情况下，

数学与统计学院课程设计报告 第 3 页

牟求最大的利润。通过分析问题（1），我们从以下两条思 路着手即每件产品需多少台不同设备台时，然后建立线性规划模型，其目标函数是根据总利润=各产品的销售数量?各产品的单件利润—库存费用，最后通过仔细分析题中所含条件，再一一列举出约束条件，据此我们制定出了最优生产方案。此问题得到解决的关键如下：

目标函数的确立：由总利润=各产品的销售数量?各产品的单件利润-库存费用，得到目标函数；

找出约束条件：此线性规划模型，是在考虑到每种产品都需要多种设备加工的基础上，另外由于生产设备有限，所以各生产产品的生产量受设备的可用台时的限制，同时还已知了各产品的最大需求量，据此可得出台时约束方程与需求约束方程；另外，题中还规定了任何时候每种产品的存储量不超过100 件，一月初无库存，6 月末各产品各存储50 件，由此可得出3个约束方程；最后，根据各月各产品生产数量，各月各产品库存量=各月各产品最大需求量，可得另一约束方程；在模型（2）中，是在考虑每种产品都需要各种设备加工的基础 上建立起来的，约束条件为库存量的限制，生产量、销售量及库存量之间的关系，工作时间的限制，同样也是线性规划模型。

模型求解:编写程序，尽量简洁有效，用 Lingo 软件进行求解；

结果分析:讨论分析模型的优缺点，找出模型可改进的方向。对于问题（2），要求重新为该厂确定一个最优的设备维修计划，规定每台设备在1—6 月份内均需安排1个月用于维修（其中4台磨床只需安排2台在上半年维修），这是一个最优排序问题，现在我们考虑的问题化为如何维修9 台设备，确定出最优维修次序，使得在六个月里得到的总利润最大，这一问题的解决只需在问题（1）的解决方案上稍加分析，创新便可得到。 3.2建立模型

由题意可以知道：机器的维修台数和月份的关系，如图所示：

月份 计划检修设备及台数 月份 计划检修设备及台数 一月 一台磨床 四月 一台立式钻床 二月 两台水平钻床 五月 一台磨床与一台立式钻床 三月 一台镗床 六月 一台刨床与一台水平钻床

数学与统计学院课程设计报告 第 4 页

设i品j月产量，销售量，库存量分别是，Xij，Yij，Kij

由上述题目可以知道，每台机器的最大生产与月份的关系： 最大生产时间=天数*每天工作时间*机器台数如表所示： 设备 磨床 立钻 水平镗床 刨床 由题意和所设变量可知： 约束条件一：

对任意的j，有Xij-Yij=Kij，i=1,2,3,4,5,6,7

约束条件二：

24?8?2 24?8?2 24?8?2 24?8?2 24?8?2 24?8?2?3 24?8?2 24?8?3?2 24?8?3?2 24?8?3?2 24?8?2?2 24?8?3?2 24?8?3?2 24?8?3?2 24?8?3?2 24?8?3?2 24?8?3?2 一月 二月 三月 四月 五月 六月 24?8?2?2 24?8?2?2 24?8?2?2 24?8?2 24?8?2 24?8?2?2 24?8?2 24?8?2 0 24?8?2 24?8?2 24?8?2 0 0?Kij?100

约束条件三：

Y11?500，Y12?600，Y13?300，Y14?200，Y15?0，Y16?50 Y21?1000，Y22?500，Y23?600，Y24?300，Y25?100，Y26?500 Y31?300，Y32?200，Y33?0，Y34?400，Y35?500，Y36?100

数学与统计学院课程设计报告 第 5 页

Y41?300，Y42?0 ，Y43?0，Y44?500 ，Y45?100，Y46?300

Y51?800，Y52?400，Y53?500，Y54?200，Y55?1000，Y56?1100

Y61?200，Y62?300，Y63?400，Y64?0，Y65?300，Y66?500 Y71?100，Y72?150，Y73?100，Y74?100，Y75?0，Y76?60

,其中Yij?0且Yij是整数。

约束条件四: 磨床与时间的关系：

0.5X11+0.7X21+0.3X51+0.2X61+0.5X71?24?8?3?2 0.5X12+0.7X22+0.3X52+0.2X62+0.5X72?24?8?3?2 0.5X13+0.7X23+0.3X53+0.2X63+0.5X73?24?8?4?2 0.5X14+0.7X24+0.3X54+0.2X64+0.5X74?24?8?4?20.5X15+0.7X25+0.3X55+0.2X65+0.5X75?24?8?3?2 0.5X16+0.7X26+0.3X56+0.2X66+0.5X76?24?8?4?2 立钻与时间关系

0.1X11+0.2X21+0.3X41+0.6X61?24?8?2?2 0.1X12+0.2X22+0.3X42+0.6X62?24?8?2?2 0.1X13+0.2X23+0.3X43+0.6X63?24?8?2?2 0.1X14+0.2X24+0.3X44+0.6X64?24?8?20.1X15+0.2X25+0.3X45+0.6X65?24?8?2 0.1X16+0.2X26+0.3X46+0.6X66?24?8?2?2 水平钻与时间关系：

0.2X11+0.8X31+0.6X71?24?8?2?3 0.2X12+0.8X32+0.6X72?24?8?20.2X13+0.8X33+0.6X73?24?8?2?3 0.2X14+0.8X34+0.6X74?24?8?2?3 0.2X15+0.8X35+0.6X75?24?8?2?3 0.2X16+0.8X36+0.6X76?24?8?2?2镗床与时间关系：

数学与统计学院课程设计报告 第 6 页 0.05X11+0.03X21+0.07X41+0.1X51+0.08X71?24?8?2 0.05X12+0.03X22+0.07X42+0.1X52+0.08X72?24?8?2 0.05X13+0.03X23+0.07X43+0.1X53+0.08X73?0 0.05X14+0.03X24+0.07X44+0.1X54+0.08X74?24?8?2 0.05X15+0.03X25+0.07X45+0.1X55+0.08X75?24?8?2 0.05X16+0.03X26+0.07X46+0.1X56+0.08X76?24?8?2 刨床与时间关系：

0.01X31+0.05X51+0.05X71?28?2?8?2 0.01X32+0.05X52+0.05X72?28?2?8?2 0.01X33+0.05X53+0.05X73?28?2?8?2 0.01X34+0.05X54+0.05X74?28?2?8?2 0.01X35+0.05X55+0.05X75?28?2?8?2 0.01X36+0.05X56+0.05X76?03.3模型求解

由上述所设的变量可知：目标函数是：maxZ

Z=100?Y1j?60?Y2j?80?Y3j?40?Y4j?110?Y5j?90?Y6j?30?Y7j?5??Kij

1111111j?1i?1666666676由题中从1月到6月的维修计划可知工作矩阵：

?3?2??dit??3?1???144434?22112???13332? 10111??11110??由已知数据可知第i种设备生产第j种产品消耗的台时矩阵：

?0.5?0.7??0?cij??0?0.3??0.2??0.5

0?0.200.030??00.800.01??0.300.070? 000.10.05??0.6000??00.60.080.05?0.10.20.05数学与统计学院课程设计报告 第 7 页

第t个月对第j种产品的最大需求量矩阵：

?500?1000??300?ajt??300?800??200??100600300200500600200000400500300400150100500?300100500??400500100??500100300? 20010001100??0300500??100060?0 由七种产品的单件利润可得：bj??1006080401109030?

软件求解：根据已得出的目标函数，以及各约束条件，用lingo软件求解该线性规划模型，具体公式如下：

Z=100?Y1j?60?Y2j?80?Y3j?40?Y4j?110?Y5j?90?Y6j?30?Y7j?5??Kij

1111111j?1i?17?xjt?cjt?dit?24?16??j?1??hj1?xj1?sj1(j?1,2,3...7,t?1)?s.t?hjt?hj,t?1?xjt?sjt(t?2) ?sjt?ajt?hjt?100??hj6?50?666666676用lingo 软件编程: model: sets:

product/1..7/:b,m; month/1..6/; machine/1..5/;

link1(product,month):a,h,x,s; link2(machine,month):d; link3(product,machine):c; endsets

data:

数学与统计学院课程设计报告 第 8 页

b=100 60 80 40 110 90 30; m=5;

a=500 600 300 200 0 500

1000 500 600 300 100 500 300 200 0 400 500 100 300 0 0 500 100 300 800 400 500 200 1000 1100 200 300 400 0 300 500 100 150 100 100 0 60; d=1152 1536 1536 1536 1152 1536

768 768 768 384 384 768 1152 384 1152 1152 1152 768 384 384 0 384 384 384 384 384 384 384 384 0; c=0.5 0.1 0.2 0.05 0

0.7 0.2 0 0.03 0 0 0 0.8 0 0.01 0

0.3 0 0.07 0 0.3 0 0 0.1 0.05 0.2 0.6 0 0 0 0.5 0 0.6 0.08 0.05; enddata

max=@sum(product(j):b(j)*@sum(month(t):s(j,t)))-@sum(link1( j,t):h(j,t)*m(j)); @for(product(j):h(j,1)=x(j,1)-s(j,1));

@for(link1(j,t)|t#gt#1:h(j,t)=h(j,t-1)+x(j,t)-s(j,t)); @for(link1(j,t):h(j,t)<=100); @for(link1(j,t)|t #eq# 6:h(j,t)=50);

@for(link2(i,t):@sum(product(j):x(j,t)*c(j,i))<=d); @for(link1(j,t):s(j,t)<=a(j,t)); @for(link1:@gin(x)); end

数学与统计学院课程设计报告 第 9 页

求得最大利润为 937115 元，其各产品的生产计划表，库存量表，销售量表如下：

六个月的各产品生产计划

产品 月份 一 二 三 四 五 六 500 700 0 200 0 550 888 600 0 300 100 550 383 117 0 400 600 0 300 0 0 500 100 350 800 500 0 200 1100 0 200 300 400 0 300 550 0 250 0 100 100 0 1 2 3 4 5 6 7 六个月的各产品库存量 产品 月份 一 二 三 四 五 六 0 100 0 0 0 50 0 100 0 0 0 50 83 0 0 0 100 50 0 0 0 0 0 50 0 100 0 0 100 50 0 0 0 0 0 50 0 100 0 0 100 50 1 2 3 4 5 6 7 六个月的各产品销售量 产品 月份 一 二 三 四 五 六 500 600 100 200 0 500 1000 500 100 300 100 500 300 200 0 400 500 50 300 0 0 500 100 300 800 400 100 200 1000 50 200 300 400 0 300 500 100 150 100 100 0 50 1 2 3 4 5 6 7 由分析可知，问题（2）只是将问题（1）中的维修矩阵由已知变成未知，不过有一点没变的是维修台数不变，要求我们安排最优 的维修计划，这里我们先不考虑维修，将设

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jusd.html