高考数学(理)总复习讲义：空间点、线、面之间的位置关系

第三节空间点、线、面之间的位置关系

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．

推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

2．空间中两直线的位置关系

(1)空间中两直线的位置关系

??? 共面直线????? 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内

(1)两条异面直线不能确定一个平面．

(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.

(2)异面直线所成的角

①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．

②范围：???

?0，π2. (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补．

(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．

(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．

(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．

3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．

(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

[熟记常用结论]

1．唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

2．异面直线的2个结论

(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()

(2)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()

(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．()

(4)没有公共点的两条直线是异面直线．()

答案：(1)√(2)×(3)√(4)×

二、选填题

1．下列说法正确的是()

A．若a?α，b?β，则a与b是异面直线

B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面

C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面

D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面

答案：D

2．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β内的射影分别为直线b 和c，则直线b和c的位置关系是()

A．相交或平行B．相交或异面

C．平行或异面D．相交、平行或异面

解析：选D依题意，直线b和c的位置关系可能相交、平行或异面．

3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()

A．b?α B.b∥α

C．b?α或b∥αD．b与α相交或b?α或b∥α

解析：选D b与α相交或b?α或b∥α都可能．

4．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________(填序号)．

①P∈a，P∈α?a?α；

②a∩b＝P，b?β?a?β；

③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α；

④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b.

答案：③④

5．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．

解析：通过举例说明，如三棱柱三个侧面所在平面满足两两相交，且三条交线互相平行，这三个平面将空间分成7部分．

答案：7

考点一平面的基本性质及应用[师生共研过关]

[典例精析]

如图所示，在正方体ABCD-A

B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1

的中点．求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点．

[证明](1)如图，连接EF，CD

，A1B.

1

∵E，F分别是AB，AA1的中点，

∴EF∥BA1.

又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面．

(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，

∴CE与D1F必相交，

设交点为P，如图所示．

则由P∈CE，CE?平面ABCD，

得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA，

∴CE，D1F，DA三线共点．

[解题技法]

1．证明点或线共面问题的2种方法

(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；

(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．

2．证明点共线问题的2种方法

(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．

3．证明线共点问题的常用方法

先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

[过关训练]

如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD

都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12

AD ，BE ∥AF 且BE ＝12

AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 为平行四边形；

(2)判断C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？

解：(1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，

可得GH 綊12AD .又BC 綊12

AD ，所以GH 綊BC . 所以四边形BCHG 为平行四边形．

(2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：

因为BE 綊12

AF ，G 为FA 的中点，所以BE 綊FG . 所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG .

由(1)知BG 綊CH ，所以EF ∥CH ，所以EF 与CH 共面．

又D ∈FH ，所以C ，D ，F ，E 四点共面．

考点二 空间两直线位置关系的判定 [师生共研过关]

[典例精析]

(1)在图中，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形的序号是__________．

(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH所在直线在原正方体中互为异面的对数为________对．

[解析](1)图①中，直线GH∥MN；

图②中，G，H，N三点共面，

但M?平面GHN，因此直线GH与MN异面；

图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；

图④中，G，M，N共面，

但H?平面GMN，因此GH与MN异面．

所以在图②④中，GH与MN异面．

(2)平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，

显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，

而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．

故互为异面直线的有3对．

[答案](1)②④(2)3

[解题技法]

异面直线的判定方法

[过关训练]

1．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

解析：选D由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l

相交．

2.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C

的中点，有以下四个结论：

①直线AM 与CC 1是相交直线；

②直线AM 与BN 是平行直线；

③直线BN 与MB 1是异面直线；

④直线AM 与DD 1是异面直线．

其中正确的结论为________(填序号)．

解析：直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误． 答案：③④

考点三 求异面直线所成的角 [师生共研过关]

[典例精析]

如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )

A.15

B.25

C.35

D.45

[解析] 连接BC

1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1或其补角为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝

5＋5－22×5×5＝45，即异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45

. [答案] D

[变式发散]

1．(变条件)将本例条件“AA 1＝2AB ＝2”变为“AB ＝1，若平面ABCD 内有且仅有一点到顶点A 1的距离为1”，其他条件不变，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为________．

解析：由平面ABCD 内有且仅有一点到A

1的距离为1，得AA 1＝1.

此时正四棱柱变为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.

由图知A 1B 与AD 1所成角为∠A 1BC 1或其补角，连接A 1C 1， 则△A 1BC 1为等边三角形，

∴∠A 1BC 1＝60°，∴cos ∠A 1BC 1＝12，

故异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为12

. 答案：12

2．(变条件、变结论)将本例条件“AA 1＝2AB ＝2”变为“AB ＝1，若异面直线A 1B 与

AD 1所成角的余弦值为910

”，其他条件不变，则AA 1AB 的值为________． 解析：设AA 1AB ＝t ，则AA 1＝tAB .

∵AB ＝1，∴AA 1＝t .

∵A 1C 1＝2，A 1B ＝t 2＋1＝BC 1，

∴cos ∠A 1BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－2

2×t 2＋1×t 2＋1＝910. ∴t ＝3，即AA 1AB

＝3. 答案：3

[解题技法]

用平移法求异面直线所成的角的三步骤

(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；

(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

[过关训练] 1．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )

A.15

B.56

C.55

D.22

解析：选C 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的一侧补上一个相

同的长方体EFBA -E 1F 1B 1A 1.连接B 1F ，由长方体性质可知，B 1F ∥AD 1，

所以∠DB 1F 为异面直线AD 1与DB 1所成的角或其补角．连接DF ，由

题意，得DF ＝12＋(1＋1)2＝5，FB 1＝

12＋(3)2＝2，DB 1＝

12＋12＋(3)2＝ 5.

在△DFB 1中，由余弦定理，得

DF 2＝FB 21＋DB 21－2FB 1·DB 1·cos ∠DB 1F ， 即5＝4＋5－2×2×5×cos ∠DB 1F ，

所以cos ∠DB 1F ＝55

. 2．(2019·西安质检)已知△ABC 与△BCD 均为正三角形，且AB ＝4.若平面ABC ⊥平面BCD ，且异面直线AB 和CD 所成的角为θ，则cos θ＝( )

A ．－154 B.154

C ．－14 D.14

解析：选D 如图，取BC 的中点O ，取BD 的中点E ，取AC 的中点

F ，连接OA ，OE ，OF ，EF ，则OE ∥CD ，OF ∥AB ，则∠EOF 或其补角

为异面直线AB 与CD 所成的角．依题意得OE ＝12CD ＝2，OF ＝12

AB ＝2，过点F 作FG ⊥BC 于点G ，易得FG ⊥平面BCD ，且FG ＝12OA ＝3，G 为OC 的中点，则OG ＝1，又OE ＝2，∠EOG ＝120°，所以由余弦定理得EG ＝OG 2＋OE 2－2OG ·OE cos ∠EOG ＝12＋22－2×1×2×cos 120°＝7，由勾股定理得EF 2

＝FG 2＋EG 2＝(3)2＋(7)2

＝10，在△OEF 中，由余弦定理得cos ∠EOF ＝OE 2＋OF 2－EF 2

2OE ·OF ＝22＋22－102×2×2＝－14，所以cos θ＝14. [课时跟踪检测]

一、题点全面练

1．下列四个命题：

①存在与两条异面直线都平行的平面；②过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；③过平面外一点可作无数条直线与该平面平行；④过直线外一点可作无数个平面与该直线平行．其中正确命题的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选C ①将一个平面内的两条相交直线平移到平面外，且平移后不相交，则这两条直线异面且与该平面平行，故正确；②当点在两条异面直线中的一条上时，这个平面不存在，故不正确；③正确；④正确．故选C.

2．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )

A ．必要不充分条件

B.充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

解析：选B 直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a 和直线b 相交”

可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选B.

3．已知l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是()

A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面

解析：选B在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．

4．(2019·广东茂名联考)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：

①AF⊥GC；②BD与GC是异面直线且夹角为60°；

③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°.

其中正确的个数是()

A．1 B.2

C．3 D．4

解析：选B将平面展开图还原成正方体(如图所示)．

对于①，由图形知AF与GC异面垂直，故①正确；

对于②，BD与GC显然是异面直线．如图，连接EB，ED，则EB

∥GC，所以∠EBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDE中，∠EBD ＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故②正确；

对于③，BD与MN为异面垂直，故③错误；

对于④，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故④错误．综上可得①②正确．

5．如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()

A ．A ，M ，O 三点共线

B.A ，M ，O ，A 1不共面 C ．A ，M ，C ，O 不共面 D ．B ，B 1，O ，M 共面

解析：选A 连接A 1C 1，AC ，因为A 1C 1∥AC ，所以A 1，C 1，C ，

A 四点共面，所以A 1C ?平面ACC 1A 1，因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面

ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1

的交线上．同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，所以A ，

M ，O 三点共线．

6．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．

解析：如果这四点在同一平面内，那么确定1个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定1个平面，所以可确定4个．

答案：1或4

7．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于________．

解析：如图，延长CA 到点D ，使得AD ＝AC ，连接DA 1，BD ，则

四边形ADA 1C 1为平行四边形，所以∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所

成的角．又A 1D ＝A 1B ＝DB ，所以△A 1DB 为等边三角形，所以∠DA 1B

＝60°.

答案：60°

8．如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，

且CF CB ＝CG CD ＝23

，有以下四个结论． ①EF 与GH 平行；

②EF 与GH 异面；

③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上；

④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．

其中正确结论的序号为________．

解析：如图所示．连接EH ，FG ，

依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，

故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．

因为EH ＝12BD ，FG ＝23

BD ，故EH ≠FG ， 所以四边形EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上， 故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，

所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，

又AC 是这两个平面的交线，

所以点M 一定在直线AC 上．

答案：④

9.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1

的中点．问：

(1)AM 与CN 是否是异面直线？说明理由；

(2)D 1B 与CC 1是否是异面直线？说明理由．

解：(1)AM 与CN 不是异面直线．理由如下：

如图，连接MN ，A 1C 1，AC .

因为M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1.

又因为A 1A 綊C 1C ，

所以四边形A 1ACC 1为平行四边形，

所以A 1C 1∥AC ，

所以MN ∥AC ，

所以A ，M ，N ，C 在同一平面内，

故AM 和CN 不是异面直线．

(2)D 1B 与CC 1是异面直线．理由如下：

因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，

所以B ，C ，C 1，D 1不共面．

假设D 1B 与CC 1不是异面直线，

则存在平面α，使D 1B ?平面α，CC 1?平面α，

所以D 1，B ，C ，C 1∈α，这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾．

所以假设不成立，即D 1B 与CC 1是异面直线．

10.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，A 1在底面

ABC 内的射影O 为底面三角形ABC 的中心，如图所示．

(1)连接BC 1，求异面直线AA 1与BC 1所成角的大小；

(2)连接A 1C ，A 1B ，求三棱锥C 1-BCA 1的体积．

解：(1)因为AA 1∥CC 1，

所以异面直线AA 1与BC 1所成的角为∠BC 1C 或其补角．

连接AO ，并延长与BC 交于点D ，则D 是BC 边上的中点． 因为点O 是正三角形ABC 的中心，

且A 1O ⊥平面ABC ，

所以BC ⊥AD ，BC ⊥A 1O ，

因为AD ∩A 1O ＝O ，

所以BC ⊥平面ADA 1.

所以BC ⊥AA 1，又因为AA 1∥CC 1，

所以CC 1⊥BC ，BC ＝CC 1＝B 1C 1＝BB 1＝2，

即四边形BCC 1B 1为正方形，

所以异面直线AA 1与BC 1所成角的大小为π4

. (2)因为三棱柱的所有棱长都为2，

所以可求得AD ＝3，AO ＝23AD ＝233

， A 1O ＝AA 21－AO 2＝263

. 所以VABC -A 1B 1C 1＝S △ABC ·A 1O ＝22，

VA 1-BCC 1B 1＝VABC -A 1B 1C 1－VA 1-ABC ＝423

， 所以VC 1-BCA 1＝VA 1-BCC 1＝12VA 1-BCC 1B 1＝223

. 二、专项培优练

(一)易错专练——不丢怨枉分

1．已知平面α及直线a ，b ，则下列说法正确的是( )

A ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行

B ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直

C ．若直线a ，b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行

D ．若直线a ，b 垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直

解析：选D 对于A ，若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行、相交或异面，故A 错误；对于B ，若直线a ，b

与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直，如图，直角三角形ACB 的直角顶点C

在平面α内，边AC ，BC 可以与平面α都成30°角，故B 错误；C 显然错误；对于D ，假设直线a ，b 与平面α都垂直，则直线a ，b 平行，与已知矛盾，则假设不成立，故D 正确．故选D.

2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与直线A 1B 1，EF ，BC 都相交的直线( )

A ．不存在

B.有且只有两条 C ．有且只有三条 D ．有无数条

解析：选D 如图，在EF 上任意取一点M ，直线A

1B 1与M 确

定一个平面，这个平面与BC 有且仅有1个交点N ，当M 的位置不同

时，确定不同的平面，从而与BC 有不同的交点N ，而直线MN 与A 1B 1，

EF ，BC 分别有交点P ，M ，N ，故有无数条直线与直线A 1B 1，EF ，

BC 都相交．

3.如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，已

知PA ＝BC ＝2，AB ＝4，BC ⊥AB ，则异面直线PC ，AD 所成角的余弦值

为________．

解析：如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE .则在△PBC 中，PD

＝DB ，BE ＝EC ，所以DE ∥PC ，且DE ＝12

PC .故∠ADE 为异面直线PC ，AD 所成的角或其补角．因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AC ，PA

⊥AB .在Rt △ABC 中，AC ＝BC 2＋AB 2＝22＋42＝2 5.在Rt △PAC

中，PC ＝PA 2＋AC 2＝22＋(25)2＝2 6.故DE ＝12

PC ＝ 6.在Rt △PAB 中，PB ＝AB 2＋PA 2＝42＋22＝2 5.又PD ＝DB ，所以AD ＝12

PB ＝ 5.在Rt △EAB 中，AE ＝AB 2＋BE 2＝42＋12＝17.在△DAE 中，cos ∠ADE ＝AD 2＋DE 2－AE 2

2AD ·DE

＝(5)2＋(6)2－(17)22×5×6

＝－3010.故异面直线PC ，AD 所成角的余弦值为3010. 答案：3010

4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；

②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；

③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；

④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n .

其中所有正确的命题是________(填序号)．

解析：借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α，β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m ⊥α，α∥β可得m ⊥β，因为n ∥β，所以过n 作平面γ，且γ∩β＝g ，如图(4)所示，所以n 与交线g 平行，因为m ⊥g ，所以m ⊥n ，故④正确．

答案：①④

(二)素养专练——学会更学通

5．[直观想象]如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，

长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，点N 在正方体

的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是( )

A ．4π

B.π C ．2π D.π2

解析：选D 连接DN ，则△MDN 为直角三角形，在Rt △MDN

中，MN ＝2，P 为MN 的中点，连接DP ，则DP ＝1，所以点P 在以

D 为球心，半径R ＝1的球面上，又因为点P 只能落在正方体上或其

内部，所以点P 的轨迹的面积等于该球面面积的18，故所求面积S ＝18

×4πR 2＝π2

. 6．[直观想象、逻辑推理](2017·全国卷Ⅲ)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；

②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；

③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；

④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.

其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)

解析：由题意，AB 是以AC 为轴，BC 为底面半径的圆锥的母线，

又AC ⊥a ，AC ⊥b ，AC ⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B ，作BD

∥a ，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，∴DE

∥b ，连接AD ，设BC ＝1，在等腰△ABD 中，AB ＝AD ＝2，当直线AB 与a 成60°角时，

∠ABD ＝60°，故BD ＝2，又在Rt △BDE 中，BE ＝2，∴DE ＝2，

过点B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连接AF ，EF ，

∴BF ＝DE ＝2，

∴△ABF 为等边三角形，

∴∠ABF ＝60°，即AB 与b 成60°角，故②正确，①错误．

由最小角定理可知③正确；

很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，

∴直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误．

∴正确的说法为②③.

答案：②③

7.[直观想象、逻辑推理、数学运算]如图所示，AC 是圆O 的直径，

B ，D 是圆O 上两点，A

C ＝2BC ＝2C

D ＝2，PA ⊥圆O 所在的平面，

PA ＝3，点M 在线段BP 上，且BM ＝13

BP . (1)求证：CM ∥平面PAD ；

(2)求异面直线BP 与CD 所成角的余弦值．

解：(1)证明：作ME ⊥AB 于点E ，连接CE ，则ME ∥AP .因为

AC 是圆O 的直径，AC ＝2BC ＝2CD ＝2，

所以AD ⊥DC ，AB ⊥BC ，

所以∠BAC ＝∠CAD ＝30°，

∠BCA ＝∠DCA ＝60°，

AB ＝AD ＝3，

因为BM ＝13BP ，所以BE ＝13BA ＝33

， tan ∠BCE ＝BE BC ＝33

， 所以∠BCE ＝∠ECA ＝30°＝∠CAD ，

所以EC ∥AD .

又ME ∩CE ＝E ，PA ∩DA ＝A ，

所以平面MEC ∥平面PAD ，

又CM ?平面MEC ，CM ?平面PAD ，

所以CM ∥平面PAD .

(2)过点A 作平行于BC 的直线交CD 的延长线于点G ，作BF ∥CG 交AG 于点F ，连接PF ，

则∠PBF 或其补角为异面直线BP 与CD 所成的角，设∠PBF ＝θ.

易知AF＝1，BP＝6，BF＝2，PF＝2，

故cos θ＝BP2＋BF2－PF2

2BP·BF＝

6＋4－4

26×2

＝

6

4.

即异面直线BP与CD所成角的余弦值为

6 4.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jurl.html