数列求和及其综合应用

数列求和及其综合应用

1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1)

2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．

－

1、 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n1·(3n－2)，则a1＋a2＋?＋a10＝________.

An7n＋5a72.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则＝________

Bnn＋3b7

a2n＋1

3.若数列{an}满足2＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”．则“数列{an}

an是等方比数列”是“数列{an}是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

4.已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x－2y＋1＝0平行，若数列

?1???的前n项和为Sn，则S2 012＝________. ?f?n??

5、已知公差不为零的等差数列{an}中a1＝2，设a1、a3、a7是公比为q的等比数列{bn}的前三项．

(1) 求数列{anbn}的前n项和Tn；

(2) 将数列{an}与{bn}中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{cn}，设其前n项和

－－

为Sn，求S2n－n－1－22n1＋3·2n1的值． 14

6、已知等差数列{an}满足a3＋a6＝－，a1·a8＝－，a1＞a8，

33

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 把数列{an}的第1项、第4项、第7项、?、第3n－2项、?分别作为数列{bn}的第1项、第2项、第3项、?、第n项、?，求数列{2bn}的前n项之和；

(3) 设数列{cn}的通项为cn＝n·2bn，比较(n＋1)(n＋2)cn＋n(n＋1)cn＋2与2n(n＋2)cn＋1的大小．

7、设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn.

－

(1) 证明：当b＝2时，{an－n·2n1}是等比数列； (2) 求{an}的通项公式．

1

8、已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a4＝81， (1) 求数列{an}的前三项a1，a2，a3； (2) 求证：数列?

9、已知数列{an}和{bn}满足：a1＝1，a2＝2，an>0，bn＝anan＋1(n∈N*)，且{bn}是以q为公比的等比数列．

(1) 证明：an＋2＝anq2；

(2) 若cn＝a2n－1＋2a2n，证明：数列{cn}是等比数列； 111111

(3) 求和：＋＋＋＋?＋＋.

a1a2a3a4a2n－1a2n

10、将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a1 a2 a3 a4 a5 a6

a7 a8 a9 a10 ?

记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，?构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1. Sn为数列{bn}的前n项和，且满足

2bn＝1(n≥2)．

bnSn－S2n

?an－1?

n?为等差数列，并求an. ?2?

?1?

(1) 证明数列?S?成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；

?

n?

(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同4

一个正数，当a81＝－时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．

91

12、已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 设bn＝整数m.

13、已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝________.

3m

，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正

20anan＋1

2

x

14、设函数f(x)＝(x>0)，观察：

x＋2

f1(x)＝f(x)＝

xxx，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝， x＋23x＋47x＋8x

，?

15x＋16

f4(x)＝f(f3(x))＝

根据以上事实，由归纳推理可得：

＋

当n∈N且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. 15、函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．

a??2n，当an为偶数时，

16、已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝?若a6＝1，则

??3an＋1，当an为奇数时.m所有可能的取值为________.

17、已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.

(1) 证明：{an－1}是等比数列；

5151

(2) 求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn＋1>Sn成立的最小正整数n.15<，14>

61561518、设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝an＋1Sn(n∈N*)．

(1) 若a1，S2，－2a2成等比数列，求S2和a3；

4

(2) 求证：对k≥3且k∈N*有0≤ak＋1≤ak≤. 3

bn19、数列{an}、{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn＝(n∈N*)．

an(1) 数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论；

Snn

(2) 设数列{lnan}、{lnbn}的前n项和分别为Sn，Tn.若a1＝2，＝，求数列{cn}的前n

Tn2n＋1项和．

5x2y2

20、两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是6，且a＞b，则双曲线2－2＝1的离

2ab心率e等于________．

21、在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，则am，am＋2，am＋1成等差数列．

(1) 写出这个命题的逆命题；

(2) 判断逆命题是否为真？并给出证明．

3

数列求和及其综合应用

1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n－1)

2. 数列是特殊的函数，这部分内容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．

－

1、 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n1·(3n－2)，则a1＋a2＋?＋a10＝________.

－15 解析：a1＋a2＝a3＋a4＝?＝a9＋a10＝－3，a1＋a2＋?＋a10＝5×(－3)＝－15. An7n＋5a72.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则＝________.2.

Bnn＋3b7

a7a1＋a13A137×13＋5

6 解析：＝＝＝＝6.

b7b1＋b13B1313＋3

a2n＋1

3.若数列{an}满足2＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”．则“数列{an}

an是等方比数列”是“数列{an}是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 3. 必要不充分

4.已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x－2y＋1＝0平行，若数列

?1???的前n项和为Sn，则S2 012＝________. ?f?n??

4.

12 012

1－?＋ 解析：f′(x)＝2x＋b,2＋b＝3，b＝1，f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，Sn＝??2?2 013

?1－1?＋?＋?1－1?＝n. ?23??nn＋1?n＋1

5、已知公差不为零的等差数列{an}中a1＝2，设a1、a3、a7是公比为q的等比数列{bn}的前三项．

(1) 求数列{anbn}的前n项和Tn；

(2) 将数列{an}与{bn}中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{cn}，设其前n项和

－－

为Sn，求S2n－n－1－22n1＋3·2n1的值．

解：(1) 设等差数列{an}的公差为d，则(2＋2d)2＝2×(2＋6d)，又d≠0，∴ d＝1，an

＋

＝n＋1，bn＝2n，anbn＝(n＋1)·2n，用错位相减法可求得Tn＝n·2n1.

(2) ∵ 新的数列{cn}的前2n－n－1项和为数列{an}的前2n－1项的和减去数列{bn}前n项的和，

?2n－1??2＋2n?2?2n－1?－

∴ S2n－n－1＝－＝(2n－1)(2n1－1)．

22－1∴ S2n－n－1－22n1＋3·2n1＝1.

－

－

14

6、已知等差数列{an}满足a3＋a6＝－，a1·a8＝－，a1＞a8，

33

(1) 求数列{an}的通项公式；

4

(2) 把数列{an}的第1项、第4项、第7项、?、第3n－2项、?分别作为数列{bn}的第1项、第2项、第3项、?、第n项、?，求数列{2bn}的前n项之和；

(3) 设数列{cn}的通项为cn＝n·2bn，试比较(n＋1)(n＋2)cn＋n(n＋1)cn＋2与2n(n＋2)cn＋1

的大小．

14

解： (1) {an}为等差数列，a3＋a6＝a1＋a8＝－，又a1·a8＝－，且a1＞a8，求得a1＝1，

33a8－a141

a8＝－，公差d＝＝－，

338－1

114

∴ an＝1－(n－1)＝－n＋(n∈N*)．

333

14

(2) b1＝a1＝1，b2＝a4＝0, ∴ bn＝a3n－2＝－(3n－2)＋＝－n＋2，

332bn＋12?n1?211

∴ ＝－n＋2＝， ∴ {2bn}是首项为2，公比为的等比数列，

2bn222

－

＋

＋

?1?n?2?1－??2??1?n－2∴ {2bn}的前n项之和为＝4－??2?. 1

1－2

(3) cn＝n·2bn，

∴ (n＋1)(n＋2)cn＋n(n＋1)cn＋2－2n(n＋2)cn＋1 ＝n(n＋1)(n＋2)2bn＋n(n＋1)(n＋2)·2bn＋2－2n(n＋1)(n＋2)·2bn＋1 ＝n(n＋1)(n＋2)(2bn＋2bn＋2－2×2bn＋1)

＝n(n＋1)(n＋2)2bn(1＋2bn＋2－bn－2×2bn＋1－bn)

－－

＝n(n＋1)(n＋2)·2bn(1＋22－2×21) 1

＝n(n＋1)(n＋2)2bn(1＋－1)＞0，

4

其中bn＋2－bn＝－(n＋2)＋2－(－n＋2)＝－2，bn＋1－bn＝－(n＋1)＋2－(－n＋2)＝－1，∴ (n＋1)(n＋2)cn＋n(n＋1)cn＋2＞2n(n＋2)cn＋1.

7、设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn.

－

(1) 证明：当b＝2时，{an－n·2n1}是等比数列； (2) 求{an}的通项公式．

＋

解：由题意知a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，ban＋1－2n1＝(b－1)Sn＋1， 两式相减得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，即an＋1＝ban＋2n.① (1) 当b＝2时，由①知an＋1＝2an＋2n

－

于是an＋1－(n＋1)·2n＝2an＋2n－(n＋1)·2n＝2(an－n·2n1)，

又a1－1·2

1－1

＝1≠0, ∴ an－n·2

n－1

an＋1－?n＋1?·2n

≠0, ∴ ＝2， －

an－n·2n1∴ {an－n·2n1}是首项为1，公比为2的等比数列．

－－－

(2) 当b＝2时，由(1)知an－n·2n1＝2n1，即an＝(n＋1)2n1，

－

11n＋11bn?＋

2n?. 当b≠2时，由①得an＋1－·2＝ban＋2n－·2n1＝ban－·2＝ban－2－b·

??2－b2－b2－b12?1－b?11＋

2n?，又a1－因此an＋1－·2n1＝b?an－2－b·×2＝，

??2－b2－b2－b

5

2，n＝1，??

故an＝?1 nn－1*

[2＋2?1－b?b]，n≥2，n∈N.??2－b?n＋1?2，b＝2，??

∴ an＝?1 nn－1

[2＋2?1－b?b]，b≠2.??2－b

8、已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a4＝81，

(1) 求数列{an}的前三项a1，a2，a3；

?an－1?

(2) 求证：数列?n?为等差数列，并求an.

?2?

n－1

解： (1) 由an＝2an－1＋2n－1(n≥2)， 得a4＝2a3＋24－1＝81， ∴ a3＝33.

同理a2＝13，a1＝5.

(2) 由an＝2an－1＋2n－1(n≥2)， an－12an－1＋2n－2an－1－1得n＝＝n－1＋1，

22n2∴

an－1an－1－1

－n－1＝1， 2n2

?an－1?

∴ ?n?是等差数列. ?2??an－1?

∵ ?n?的公差d＝1， ?2?

∴

an－1a1－1

＝1＋(n－1)×1＝n＋1， 2n2

∴ an＝(n＋1)×2n＋1.

9、已知数列{an}和{bn}满足：a1＝1，a2＝2，an>0，bn＝anan＋1(n∈N*)，且{bn}是以q为公

比的等比数列．

(1) 证明：an＋2＝anq2；

(2) 若cn＝a2n－1＋2a2n，证明：数列{cn}是等比数列；

111111

(3) 求和：＋＋＋＋?＋＋. a1a2a3a4a2n－1a2nbn＋1an＋1an＋2

(解法1)(1) 证明：由＝q，有＝bnanan＋1

an＋2

＝q, ∴ an＋2＝anq2(n∈N*) . an

－

－

(2) 证明：∵ an＝an－2q2，∴ a2n－1＝a2n－3q2＝?＝a1q2n2，a2n＝a2n－2q2＝?＝a2q2n2，

－－－－

∴ cn＝a2n－1＋2a2n＝a1q2n2＋2a2q2n2＝(a1＋2a2)q2n2＝5q2n2. ∴ {cn}是首项为5，以q2为公比的等比数列． 11－11－

(3) 解：由(2)得＝q22n，＝q22n，于是

a2na2a2n－1a1

111111111

＋＋?＋? ＋＋?＋＝?a＋a＋?＋a?＋?a2n??a2a4a1a2a2n?132n－1?

6

11111111

＝?1＋q2＋q4＋?＋q2n－2?＋?1＋q2＋q4＋?＋q2n－2? a1??a2??1113

＝?1＋q2＋q4＋?＋q2n－2?. 2??由题知q>0，

11111133当q＝1时，＋＋?＋＝?1＋q2＋q4＋?＋q2n－2?＝n.

a1a2a2n2??21111113

当q≠1时，＋＋?＋＝?1＋q2＋q4＋?＋q2n－2?

a1a2a2n2??

2n2n

3?1－q?3?q－1?＝?＝?－－?. 2?1－q2??2?q2n2?q2－1??

－

111故＋＋?＋＝2n

a1a2a2n3?q－1?－?，q≠1.2??q2n2?q2－1??(解法2) (1) 同解法1(1)．

???

3

n，q＝1，2

cn＋1a2n＋1＋2a2n＋2q2a2n－1＋2q2a2n2

(2) 证明：＝＝＝q(n∈N*)，又c1＝a1＋2a2＝5，∴ {cn}

cna2n－1＋2a2na2n－1＋2a2n

是首项为5，以q2为公比的等比数列．

－－

(3) 解：由(2)的类似方法得a2n－1＋a2n＝(a1＋a2)q2n2＝3q2n2，

a2n－1＋a2na2k－1＋a2k3q2k23－2k＋2111a1＋a2a3＋a4

＋＋?＋＝＋＋?＋，∵ ＝4k－4＝q，k＝a1a2a2na1a2a3a42a2n－1a2na2k－1a2k2q

－

1,2，?，n. ∴

1113－－－＋

＋＋?＋＝(1＋q2＋q4?＋q2n2)(下面同上)． a1a2a2k2

10、将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a1 a2 a3 a4 a5 a6

a7 a8 a9 a10 ?

记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，?构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1. Sn为数列{bn}的前n项和，且满足

2bn＝1(n≥2)．

bnSn－S2n

?

n?

?1?

(1) 证明数列?S?成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；

(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比4

为同一个正数，当a81＝－时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．

91

(1) 证明：由已知，

2bn2＝1， bnSn－Sn

又Sn＝b1＋b2＋b3＋?＋bn，n≥2，bn＝Sn－Sn－1，

7

∴

2bn2

2＝1即2(Sn－Sn－1)＝Sn(Sn－Sn－1)－Sn，2Sn－1－2Sn＝SnSn－1， bnSn－Sn

111

－＝， SnSn－12

又S1＝1≠0，∴ SnSn－1≠0，∴

?1?112

∴ 数列?S?成等差数列，且＝1＋(n－1)·，Sn＝，

Sn2?n?n＋1

1，n＝1，??

∴ bn＝? 2*

－，n≥2，n∈N.??n?n＋1?

(2) 解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0. 12×13

因为1＋2＋?＋12＝＝78，

2

所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项，故a81在表中第13行第三列，因42

此a81＝b13·q2＝－.又b13＝－，所以q＝2.记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，

9113×14

bk?1－qk?－2?1－2k?2

则S＝＝·＝(1－2k)(k≥3)．

1－qk?k＋1?1－2k?k＋1?

12、已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n

项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 设bn＝

3m

，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最

20anan＋1

小正整数m.

解： (1) 设这二次函数f(x)＝ax2＋bx (a≠0) ，则f′(x)＝2ax＋b ，由于f′(x)＝6x－2，得a＝3 , b＝－2, 所以f(x)＝3x2－2x.

又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以Sn＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 (n∈N*)．

(2) 由(1)得知bn＝

33＝ anan＋1?6n－5?[6?n＋1?－5]

111

＝?6n－5－6n＋1?， 2??

n

故Tn＝∑bi ＝

i1

11??1111

－1－?＋?－?＋?＋?＝??7??713?2???6n－56n＋1?? 1?1?

1－＝6n＋1?. 2?

11m1m因此，要使(1－)＜(n∈N*)成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所以

22206n＋120满足要求的最小正整数m为10.

13、已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝________.

8

1 解析：Sn＋S1＝Sn＋1，an＋1＝a1.

x

14、设函数f(x)＝(x>0)，观察：

x＋2

f1(x)＝f(x)＝

xxx，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝， x＋23x＋47x＋8x

，?

15x＋16

f4(x)＝f(f3(x))＝

根据以上事实，由归纳推理可得：

＋

当n∈N且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.

x

?2－1?x＋2nn 15、函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．

3．21 a??2n，当an为偶数时，

16、已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝?若a6＝1，则

??3an＋1，当an为奇数时.m所有可能的取值为________.

4,5,32 解析：显然，an为正整数，a6＝1，故a5＝2，a4＝4，若a3为奇数，则4＝3a3

＋1，a3＝1，若a3为偶数，则a3＝8，若a3＝1，则a2＝2，a1＝4，若a3＝8，则a2＝16，a1＝5或32.

17、已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.

(1) 证明：{an－1}是等比数列；

5151

(2) 求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn＋1>Sn成立的最小正整数n.15<，14>

615615(1) 证明：当n＝1时，a1＝－14；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－5an＋5an－1＋1，所以an

an－155

－1＝(an－1－1)，又a1－1＝－15≠0，＝，

6an－1－16

所以数列{an－1}是等比数列；

?5?n－1，得an＝1－15·?5?n－1，从而Sn＝n－90＋90×?5?n (2) 解：由(1)知：an－1＝－15·?6??6??6?

(n∈N*)；

5?n1?5?15<1，?5?14>1，∴ 使sn＋1>sn成立的最小正整数n＝由Sn＋1>Sn，得?＜，∵ ?6?15?6?15?6?1515.

9

18、设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝an＋1Sn(n∈N*)．

(1) 若a1，S2，－2a2成等比数列，求S2和a3；

4

(2) 求证：对k≥3且k∈N*有0≤ak＋1≤ak≤. 3

2??S2＝－2a1a2，

(1) 解：由题意?得S22＝－2S2，

?S2＝a2S1＝a1a2，?

由S2是等比中项知S2≠0，因此S2＝－2， S22

由S2＋a3＝S3＝a3S2，解得a3＝＝.

S2－13(2) 证明：由题设条件有an＋1Sn＝an＋1＋Sn， 故Sn≠1，an＋1≠1，且an＋1＝

an＋1Sn，Sn＝， Sn－1an＋1－1

ak－1

ak－1＋

ak－1－1Sk－1ak－1＋Sk－2

从而对k≥3有ak＝＝＝，①

Sk－1－1ak－1＋Sk－2－1ak－1

ak－1＋－1

ak－1－11?232?a－因a2－a＋1＝－＋＞0，且a－－k1k1k1k－1≥0， 2?4?

2

ak4－14

要证ak≤，由①知只要证2≤，

3ak－1－ak－1＋13

222

即证3ak－1≤4(ak－1－ak－1＋1)，即(ak－1－2)≥0，此式明显成立，

4

因此ak≤(k≥3)．

3

a2akk最后证ak＋1≤ak，若不然，ak＋1＝2＞ak，又ak≥0，故2＞1，

ak－ak＋1ak－ak＋1即(ak－1)2＜0，矛盾，所以ak＋1≤ak(k≥3，k∈N)．

bn19、数列{an}、{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn＝(n∈N*)．

an

(1) 数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论；

Snn

(2) 设数列{lnan}、{lnbn}的前n项和分别为Sn，Tn.若a1＝2，＝，求数列{cn}

Tn2n＋1的前n项和．

解：(1) {cn}是等比数列．(2分)

证明：设{an}的公比为q1(q1>0)，{bn}的公比为q2(q2>0)，则

cn＋1bn＋1anbn＋1anq2＝·＝·＝≠0，故{cn}为等比数列．(5分) cnan＋1bnbnan＋1q1

(2) 数列{lnan}和{lnbn}分别是公差为lnq1和lnq2的等差数列．

10

n?n－1?

nlna1＋lnq1

22lna1＋?n－1?lnq1nn

由条件得＝，即＝. n?n－1?2n＋12lnb1＋?n－1?lnq22n＋1

nlnb1＋lnq2

2即(2lnq1－lnq2)n2＋(4lna1－lnq1－2lnb1＋lnq2)n＋(2lna1－lnq1)＝0. 2lnq1－lnq2＝0，??

上式对n∈N*恒成立．于是?4lna1－lnq1－2lnb1＋lnq2＝0，

??2lna1－lnq1＝0.将a1＝2代入得q1＝4，q2＝16，b1＝8.(10分) 8·16n1n

从而有cn＝n－1＝4. 2·4

－

(7分)

4

所以数列|cn|的前n项和为4＋42＋?＋4n＝(4n－1)．(12分)

3

5x2y2

20、两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是6，且a＞b，则双曲线2－2＝1的离

2ab心率e等于________．

【答案】 13

. 3

????a＋b＝5，?a＝3，?a＝2，32＋2213c

? 解析：由题有? 或?(舍)，e＝＝3a3???ab＝6b＝2b＝3???

＝

21、在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，则am，am＋2，am＋

1成等差数列．

(1) 写出这个命题的逆命题；

(2) 判断逆命题是否为真？并给出证明．

解： (1)在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm

＋2，Sm＋1成等差数列．

(2) 数列{an}的首项为a1，公比为q.由题意知：2am＋2＝am＋am＋1，

＋－

即2a1qm1＝a1qm1＋a1qm，

1

∵ a1≠0，q≠0, ∴ 2q2－q－1＝0, ∴ q＝1或q＝－，

2当q＝1时，有Sm＝ma1，Sm＋2＝(m＋2)a1，Sm＋1＝(m＋1)a1， 显然：2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1.此时逆命题为假．

?－1?m＋2?2a1?1－??2??4??1?m＋2?1

当q＝－时，有2Sm＋2＝＝a1?1－?－2??，

213

1＋2?－1?m?2a1?1－?－1?m＋1?a1?1－??2????2??4??1?m＋2?

Sm＋Sm＋1＝＋＝a1?1－?－2??，

1131＋1＋22

∴ 2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，此时逆命题为真．

11

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