数学竞赛讲义之行程问题()

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数学竞赛讲义之行程问题(Ⅲ)

§5、多车相遇

例72、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？

例题求解：我们知道，一辆车走完全程需要15分钟，所以一辆车刚发出时，

途中有15÷5－1＝2辆车

所以当某人骑车出发，而甲站恰发车时，在途中有两辆车子，可以相遇， 所以共相遇10辆车，于是又发车8辆相遇， 恰到达时，又发车，于是发车9辆时，甲到达， 即有8个时间间隔，时间为5×8＝40分钟。 所以某人骑完全程时间为40分钟。

例73、某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔。 例题求解：

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我们知道两辆电车的间隔相等，两次相遇期间，共行走了[(行人+电车)×4]，所以两辆电车

(行人＋电车)的间隔为[(行人+电车)×4]，于是两辆车间隔时间为?4；

电车两次追击期间，共行走[电车×12]，行人走了[行人×12]，所以电车行走了(电车－行人)

×12，两辆电车的间隔为(电车－行人)×12，于是两辆车的间隔时间为(电车－行人)?12。

电车于是，有

(行人＋电车)(电车－行人)?4＝?12，所以(行人＋电车)＝3(电车－行人)

电车电车(行人＋电车)(电车－行人)?4＝?12＝6分钟。

电车电车有电车＝2行人，带入，有间隔＝

例题评析：此题关键是注意还原求出两车情况。

例74、从电车总站每隔一定时间开出一辆电车，甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车，那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ 例题求解：我们画出示意图；

我们假设甲、乙、电车共同相遇在A点，甲、电车下一次相遇在C点，

乙、电车相遇在B点。 1则B距A点距离为BA＝60×10＝615米；

4 C距A点距离为CA＝82×10＝820米。

所以BC两点相距的路程需电车10分钟15秒－10分钟＝15秒＝路程为820－615＝205。 于是，电车的速度和为205÷

1＝820米/分。 41分， 4于是，当10分钟前与甲、乙相遇的电车离甲(820＋82)×10＝9020米远 两电车间隔为9020。所以发车间隔为9020÷820=11分。

柳卡问题：这是一个著名的数学问题，由法国数学家柳卡在19世纪一次数学大会上提出：

每天中午由一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔开往美国纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔。轮船在途中都需要七天七夜。假定所有轮船都以同一速度、同一航线行驶。问某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？

后来，一位数学家画出了“路程图”(运程图)，才得以解决。

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中途13艘，首尾2艘，共15艘。

Excel的解法：

这个题目用不着计算，只需在Excel上作图，将相关信息表示出来，结果自然就明白了。作图过程可以充分利用Excel的“粘贴”、“复制”功能，数列“0、1、2、3、4、5、6、7”和数列“7、6、5、4、3、2、1、0”的设置只是举手之劳。从图上可以看出，在某轮船开出的前7天，纽约港已有7艘轮船驶入航程，加上当天的一艘，共计8艘。之后，纽约港每天还有1艘轮船驶入航程，共计7艘。这样，从勒阿佛尔港驶出的轮船，在整个运行过程中，将要和本公司的15艘轮船相遇。从图上看，当中一列（蓝色）共有16行相交，除去哈佛港当天自己开出的一列（红色），相交数也是15。

例75、一条双向铁路上有11个车站。相邻两站都相距7千米，从早晨7时开始，有18列货车由第11站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第1站，速度都是每小时60千米。早晨8时，由第1站发出一列客车，向第11站驶去时速是100千米，在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站。问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇？ 例题求解：

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图象法：我们画出示意图，利用示意图来求解，但是要求图象一定的精确度，所以，我们一

般使用图象法与分析法结合使用，对有可能的情况分析。

通过上图(我们最好画出清晰图)，我们知客车在第5、6两站遇见三辆货车。

分析法：客车从一个车站走到下个车站所需时间为： 1 7÷100×60＝4分钟。

5所以客车到第一站的时间为;

123第一站：8时0分；第二站：8时4分；第三站;8时8分；第四站：8时12分；

555412第五站：8时16分；第六站：8时21分；第七站:8时25分；第八站：8时29分；

55534第九站：8时33分；第十站：8时37分；第十一站：8时42分。

55而客车出发时，第一辆货车距它：

10×7－60×1＝10千米。 所以，客车与第一辆相遇为8时

210÷(100＋60)×60＝3分。

4相邻两货车间距为：60×5÷60＝5千米。 所以，客车经过两辆货车的时间间隔为：

75÷(100＋6)×60＝1分。

8则客车与18辆货车相遇时间顺次为：

3543218时3分；8时5分；8时7分；8时9分；8时11分；8时13分；

488888765438时15分；8时16分；8时18分；8时20分；8时22分；8时24分；

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217658时26分；8时28分；8时30分；8时37分；8时33分；8时35分。

8888877所以，客车在8时16分到达第五站，8时21分到达第六站。在此期间，它于8时16分；

88658时18分；8时20分三次与货车相遇。

88所以，是在第5、6两站间，客车三次与货车相遇。

例76、长途汽车有甲、乙两个终点站，汽车要用4时才能驶完全程。从上午6点开始，每隔1时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车，最后一班车在下午4点发出。问：从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车？最少能看到几辆？ 例题求解：如下图所示，实线段表示从甲站开往乙站的车，虚线段表示从乙站开往甲站的车，

交点表示相遇。

最多9辆，最少5辆。

例77、由A、B、C、D、E五名小学生进行马拉松比赛。不管前半程怎样，当他们从折返点返回跑后前半程时，每人的速度都是固定不变的。他们三位朋友X、Y、Z分别在不同时间给五个人拍了一张纪念照。

最先拍的是X，然后是Y，最后按快门的是Z。照片洗出后他们分别这样说： X：“我是在他们返回跑了10分钟后照的，当时五人的顺序是A、B、C、D、E，而且他们的间隔相等，都是20m。”

Z：“我是在他们返回跑了30分钟后照的，当时五人的顺序是B、E、C、A、D，而且他们的间隔相等，都是30m。“

Y：“我是什么时候照的，自己也每记住，不过我照的时候他们的间隔也相等。“ 问：“Y是在他们返回跑了几分钟时照的？

例题求解：我们先用下图表示一下5个人顺序的变化。

从左图中可以看出，A、C、E经常处于间隔相同的状态，当A正好在B和C正中间时，E也正好在C和D的正中间，因此5人中的间隔是

相同的。为了分析这个时间，我们在两侧B和C

的正中间画上一条线来表示，如右图当此线和A

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