10年高考题之直线与圆的方程锦集

总题数：22 题

第1题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(北京卷))

题目

设不等式组

的取值范围是( )

表示的平面区域为D.若指数函数y＝a的图象上存在区域D上的点，则axA．(1,3] B．[2,3]

C．(1,2] D．[3，＋∞)

答案

A 平面区域D如图所示．

要使指数函数y＝a的图象上存在区域D上的点，

x∴1＜a≤3.

第2题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(浙江卷))

题目

若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m＝( )

A．－2 B．－1 C．1 D．2

答案

C 由x＋y有最大值可知m＞0，画出可行域如图．

目标函数z＝x＋y，

即y＝－x＋z.

作出直线y＝－x，平移得A(，)为最优解，所以当x＝，y＝时，x＋y取

最大值9，即＋＝9，解得m＝1.

第3题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(安徽卷))

题目

动点A(x，y)在圆x＋y＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点

22

A的坐标是(

( )

，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是

A．[0,1] B．[1,7]

C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]

答案

D 由已知可得该函数的周期为T＝12，ω＝，

又当t＝0时，A(，)，

∴y＝sin(t＋)，t∈[0,12]，t＋∈[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z得t∈[12k－5,12k＋1]，

k∈Z，可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．

第4题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(山东卷))

题目

设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为( )

A．3，－11 B．－3，－11 C．11，－3 D．11,3

答案

A 作出可行域如图．

由解得M(3,5)，

由解得N(5,3)，

而z＝3x－4y的几何意义为直线在x轴上截距的3倍，作直线3x－4y＝0，平移可知：当直线过M点时，目标函数取得最小值，当直线过N点时，目标函数取得最大值．

∴zmin＝333－435＝－11，zmax＝335－433＝3.

第5题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(江西卷))

题目

直线y＝kx＋3与圆(x－3)＋(y－2)＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2

22

，则k的取值范围是( )

A．[－，0] B．(－∞，－]∪[0，＋∞)

C．[－，] D．[－，0]

答案

A ∵圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离d＝≤0，

，∴|MN|＝2≥2，得4k＋3k2

解得－≤k≤0.

第6题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(福建卷))

题目

以抛物线y＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )

2

A．x＋y＋2x＝0 B．x＋y＋x＝0

2222

C．x＋y－x＝0 D．x＋y－2x＝0

2222

答案

D 抛物线的焦点坐标是(1,0)，该点到原点的距离是1，故所求圆的方程为(x－1)＋y＝1，化为一般方程为x＋y－2x＝0，故选D项．

2

2

22

第7题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(福建卷))

题目

设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对

于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，|AB|的最小值等于( )

A. B．4 C. D．2

答案

B 画出不等式组所表示的平面区域如图所示，观察图形可知，D(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离最小，故D关于直线3x－4y－9＝0对称的点D′(D′在Ω2内)的距离|DD′|最小，D到直线3x－4y－9＝0的距离

为＝2，故|AB|min＝|DD′|＝4.

第8题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（天津卷）)

题目

设变量x,y满足约束条件,则目标函数z＝2x+3y的最小值为（ ）

A.6 B.7 C.8 D.23

答案

B

解析:本题考查在线性规划可行域约束条件下求目标函数的最值问题.先画出可行域如图所示的三角形ABC,作出直线z＝2x+3y＝0,向可行域方向平移,先交到可行域点A处,点A就是目标函数z＝2x+3y获得最小值的点.求得点A(2,1),于是,z最小值＝232+331＝7.

第9题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（辽宁卷）)

题目

已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切,圆心在直线x+y＝0上,则圆C的方程为( )

A.(x+1)+(y－1)＝2 B.(x－1)+(y+1)＝2

2222

C.(x－1)+(y－1)＝2 D.(x+1)+(y+1)＝2

2222

答案

B

解析:∵直线x－y＝0与x－y－4＝0平行,∴它们之间的距离即为圆的直径.∴圆心坐标为C(a,－a),则满足点C到两条切线的距离都等于半径,

.∴R＝.设

∴,,解得a＝1,故圆心为(1,－1),∴圆C的方程为(x－1)+(y+1)＝2.

22

第10题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（湖北卷）)

题目

在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )

A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 800元

答案

B

解析:设甲型货车x辆,乙型货车y辆,所需费用z元,

则目标函数z=400x+300y,

如图可知,过点A(4,2)时,zmax=1 600+600=2 200(元),故选B.

第11题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（安徽卷）)

题目

若不等式组（ ）

所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分,则k的值是

A. B. C. D.

答案

A

解析:如图所示:

由题意知,直线过线段BC的中点M(,),又过(0,),∴.

第12题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（山东卷）)

题目

设x,y满足约束条件值为( )

若目标函数z＝ax+by(a＞0,b＞0)的最大值为12,则的最小

A. B. C. D.4

答案

A

解析:线性约束条件所表示的可行域如图所示.

由得M(4,6).

将z＝ax+by化为.

由图知当直线过M(4,6)时,最大,即z最大,此时zmax＝12＝4a+6b.

∴.

.

当且仅当时取“＝”.

第13题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（四川卷）)

题目

某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是( )

A.12万元 B.20万元 C.25万元 D.27万元

答案

D

解析:设在这个生产周期内生产甲产品x吨,乙产品y吨,可获得利润z万元,根据题目提供信息,可得

其中z=5x+3y，画出可行域（如图）,可得在点(3,4)处得到最大值zmax=27.

第14题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（重庆卷）)

题目

直线y=x+1与圆x+y=1的位置关系是（ ）

22

A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离

答案

B

解析：圆心（0，0）到直线y=x+1的距离为，圆的半径r=1,

∴0＜d＜r.

∴直线与圆相交但不过圆心.

第15题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（陕西卷）)

题目

过原点且倾斜角为60°的直线被圆x+y-4y=0所截得的弦长为( )

22

A. B.2 C. D.

答案

D

解析:利用,易知选D.

第16题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（陕西卷）)

题目

若x,y满足约束条件( )

目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是

A.(-1,2) B.(-4,2) C.(-4,0］ D.(-2,4)

答案

B

解析:当a=0时,显然符合题意.

当a＜0时,,

则由图中线①知;

当a＞0时,,

则由图中线②知.

故a∈(-4,2),即选B.

第17题(2009年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（海南、宁夏卷）)

题目

设x,y满足则z＝x+y( )

A.有最小值2,最大值3

B.有最小值2,无最大值

C.有最大值3,无最小值

D.既无最小值,也无最大值

答案

B

解析:由图象可知z＝x+y在点A处取最小值zmin＝2,无最大值.

第18题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅰ）)

题目

设曲线在点处的切线与直线垂直，则（A．2 B． C． D．

答案

D 解析:y′=,

∴曲线在(3,2)处的切线斜率为y′|x=3=-.

∵-2(-a)=-1,∴a=-2.

）

第19题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅰ）)

题目

若直线通过点，则（ ）

A． B． C． D．

答案

D 解析:动点M在以原点为圆心的单位圆上,

所以直线+=1过点M,只需保证原点到直线的距离≤1,即+≥1.

第20题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅱ）)

题目

设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）

A． B． C． D．

答案

D 解析:作出可行域.

令z=0,则l0:x-3y=0,平移l0在点M(-2,2)处z取到最小,最小值为-8.

第21题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅱ）)

题目

等腰三角形两腰所在直线的方程分别为则底边所在直线的斜率为（ ）

与，原点在等腰三角形的底边上，

A．3 B．2 C． D．

答案

A 解析:依题设底边所在直线斜率为k,则底边方程为l:y=kx,

l1:x+y-2=0,k1=-1,

l2:x-7y-4=0,k2=.

由等腰三角形特征有:直线l到l1所成角的正切与直线l2到l所成角的正切相等,

从而,

得k=3,故选A.

第22题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（北京卷）)

题目

若实数x,y满足 则z=3

x+2y的最小值是

(A)0 (B)1 (C) (D)9

答案

B 解析:上述不等式组所表示的可行域如右图阴影部分所示.

令t=x+2y,则当直线y=-有最小值为3=1.

0

x+t经过原点O(0,0)时, t取最小值,也即t有最小值为0,则z=3

x+2y

总题数：22 题

第23题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（北京卷）)

题目

过直线y=x上的一点作圆（x-5）+(y-1)=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为

22

（A）30° （B）45° (C)60° (D)90°

答案

C解析:过圆心O′作O′A垂直于直线y=x,垂足为A(3,3).易知过点A向圆所引两条切线是关于直线y=x对称的.

又|O′A|=2,|O′C|=,∠O′AC=30°,即两切线l1与l2间夹角为60°.

第24题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（天津卷）)

题目

设变量x,y满足约束条件则目标函数z=5x+y的最大值为( )

A.2 B.3 C.4 D.5

答案

答案:D

解析:如图,

由z=5x+y得y=-5x+z,目标函数在点(1,0)处取最大值,即zmax=531+0=5.

第25题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（辽宁卷）)

题目

圆x+y=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是?( )

22

A.k∈(,) B.k∈(-∞,)∪(,+∞)

C.k∈(,) D.k∈(-∞,)∪(,+∞)

答案

答案：C

解析：充要条件是圆心到直线距离d＞r,d=＞1,

∴k＜3.∴-

2

＜k＜.

第26题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（福建卷）)

题目

若实数x、y满足 则的取值范围是

A.(0,1) B. D.

C.(1,+)

答案

C 解析：所表示的可行域如右图:

而表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,过点O与直线AB平行的直线l的斜率为1,

l绕点O逆时针转动必与AB相交,

直线OB的倾角为90°,

因此的范围为(1,+∞).

第27题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（湖北卷）)

题目

过点A（11，2）作圆的弦，其中弦长为整数的共有

A.16条 B.17条 C.32条 D.34条

答案

C 解析：∵(x+1)2+(y-2)2

=169,

∴A(11,2)在圆内.∴过A的最长弦长为直径l1,最短弦长为与l1垂直的弦l2.

又|l1|=26,|l2|=10,

∴弦长为整数的弦共有2(26-10+1)-2=32条.

第28题(2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（湖南卷）)

题目

已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是

A.2 B.5 C.6 D.8

答案

C解析：由题可知可行域如下:

显然,B(3,3)有(x+y)最大值6.

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