五年级全套（上下册）名校奥数教程教案及试题（含答案）

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第一讲 数的整除问题

数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识

1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5，63÷7=9

一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。 2.数的整除性质

性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6）， 并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（237）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

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例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除？

解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。 再例如：判断13574是否是11的倍数？

解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例如：判断1059282是否是7的倍数？

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解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。 再例如：判断3546725能否被13整除？

解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.

二、例题

解：∵45=539，

∴根据整除“性质2”可知

∴y可取0或5。

∴满足条件的六位数是519930或919935。

例2 李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 解：∵9□.2□元=9□2□分 28＝437，

∴根据整除“性质2”可知 4和7均能整除9□2□。 4｜2□可知□处能填0或4或8。

因为79020，79424，所以□处不能填0和4；

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因为7｜9828，所叫□处应该填8。 又∵9828分=98.28元 98.28÷28＝3.51（元） 答：每支钢笔3.51元。

个条件的整数。

∴根据能被11整除的数的特征可知： 1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数， 即11｜（15—5a）.或11｜（5a—15）。

但是15—5a=5（3—a），5a—15=5（a—3），又（5，11）=1，因此111（3—a）或11｜（a—3）。 又∵a是数位上的数字。 ∴a只能取0～9。

所以只有a=3才能满足11｜（3—a）或11｜（a—3）， 即当a=3时，11｜15—5a。 符合题意的整数只有1323334353。

互不相同），且它能被11整除，你能找到一个符合条件的整数吗？

解：∵91=7313，且（7，13）＝1。

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根据一个数能被7或13整除的特征可知：

因为（7，10）=1，（13，10）＝1，所以7，13

也就是7，13，因此，用一次性质（特征），就去掉了两组

；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除，当且仅当能被7以及13整除

又∵91的倍数中小于1000的只有9134=364的百位数字是3，∴

=364

例5 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

5整除，所以它应满足以下三个条件：

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第一，数字和（8+6＋5+a+b+c）是3的倍数。

第三，末位数字c是0或5。

又∵能被4整除的数的个位数不可能是5。

∴c只能取O.因而b只能取自O，2，4，6，8中之一。

∴a＋b除以3余2。

为满足题意“数值尽可能小”，只需取a=0，b=2。 ∴要求的六位数是865020。

分析 ∵26=2313，

∴y可能取0、2、4、5、6、8。

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当y＝0时，

＝7313x+9x+13＋6

∴根据整除“性质1”，有13｜9x+6，

经试验可知只有当x＝8时，13｜9x＋6， ∴当y=0时，符合题意的六位数是819910。

所以13整除9x＋6—2， 即13｜9x+4。

经试验可知只有当x＝1时，13｜9x+4。 ∴当y＝2时，符合题意的六位数是119912。 同理，当y＝4时，13｜9x＋6-4， 即13｜9x+2，

经试验可知当x＝7时，13｜9x+2。 ∴当y=4时，符合题意的六位数是719914。 同理，当y＝6时，13｜9x＋6—6。 即13｜9x.

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∴当y=6时，找不到符合题意的六位数。 同理，当y＝8时，13｜9x+6-8， 即13｜9x-2。

经试验只有当x＝6时，13｜9x-2。 ∴当y=8时，符合题意的六位数是619918。

答：满足本题条件的六位数共有819910、119912、719914和619918四个。

习题一

样的五位数。

4.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问：这个数能否被3整除？

5.一本陈年老账上记着：72只桶，共□67.9□元.这里□处字迹已不清.请把□处数字补上，并求桶的单价。

6.证明：任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定能同时被7、11、13整除.

习题一解答

1.39312。 2.8。

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3.32250、32550、32850。

4.解：∵1＋2＋3＋?＋9=45，3｜45， 又∴1993除以9余4，

∴这个1993位数的最末4位数字是1234。 ∵1+2+3+4=10，310，

∴这个1993位数不能被3整除。

5.□为3、2共367.92元，每只桶5.11元。

所以，这个六位数一定能同时被7、11、13整除.

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第2讲 质数、合数和分解质因数

一、基本概念和知识

1.质数与合数

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数

如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 解：30＝23335。

其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12＝23233＝2233，2、3都叫做12的质因数。

二、例题

例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：∵210=2333537 ∴可知这三个数是5、6和7。

例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。

∵17323＝391＞11329＝319＞3337＝111。 ∴所求的最大值是391。

答：这两个质数的最大乘积是391。

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例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。

因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？

解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。

如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。

例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=233，14＝237，15=335， 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14

（=237）放在第一组，那么7和6（=233）只能放在第二组，继而15（＝335）只能放在第一组，则5必须放在第二组。 这样14315=210=53637。

这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。

例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。

分析 先大概估计一下，30330330=27000，远小于42560.40340340＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。 解：42560=263537319 ＝253（537）3（1932） ＝32335338（合题意）

要求的三个自然数分别是32、35和38。 例7 有3个自然数a、b、c.已知a3b=6，b3c=15，

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例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。

因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？

解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。

如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。

例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=233，14＝237，15=335， 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14

（=237）放在第一组，那么7和6（=233）只能放在第二组，继而15（＝335）只能放在第一组，则5必须放在第二组。 这样14315=210=53637。

这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。

例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。

分析 先大概估计一下，30330330=27000，远小于42560.40340340＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。 解：42560=263537319 ＝253（537）3（1932） ＝32335338（合题意）

要求的三个自然数分别是32、35和38。 例7 有3个自然数a、b、c.已知a3b=6，b3c=15，

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