Matlab模拟退火算法

Matlab模拟退火算法——走过数模
模拟退火算法

模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

模拟退火算法的模型

模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

　模拟退火的基本思想

　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L

　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：

　　(3) 产生新解S′

　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数

　　(5) 若Δt′0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′T)接受S′作为新的当前解.

　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

　　(7) T逐渐减少，且T-0，然后转第2步。

算法对应动态演示图：

模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：

　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解
的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则

，最常用的接受准则是Metropo1is准则

若Δt′0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′T)接受S′作为新的当前解S。

　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l

收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

模拟退火算法的简单应用

　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：

设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j)

i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。

　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：

　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数： 　　我们要求此代价函数的最小值。

　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若km，则将

　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

　　变为：

　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).

　　如果是km，则将

　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

　　变为：

　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).

　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。

　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。

　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：

根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP
问题的伪程序：

Procedure TSPSA

　begin

　　init-of-T; { T为初始温度}

　　S={1，……，n}; {S为初始值}

　　termination=false;

　　while termination=false

　begin

　　　　for i=1 to L do

　　　　　　begin

　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}

　　　　　　　　Δt=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}

　　　　　　　　IF(Δt0) OR (EXP(-ΔtT)Random-of-[0,1])

　　　　　　　　S=S′;

　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN

　　　　　　　　termination=true;

　　　　　　End;

　　　　T_lower;

　　　End;

　End

　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One

Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling

Problem)等等。



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模拟退火算法的参数控制问题

　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：

　　(1) 温度T的初始值设置问题。

　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。

(2) 退火速度问题。

模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。

(3) 温度管理问题。

　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：

T(t+1)＝k×T(t)

式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数。








Matlab源代码：
main.m
zuobiao=[0.37 0.75 0.45 0.76 0.71 0.07 0.42 0.59 0.32 0.6 0.3 0.67 0.62 0.67 0.20 ...
0.35 0.27 0.94 0.82 0.37 0.61 0.42 0.6 0.39 0.53 0.4 0.63 0.5 0.98 0.68;
0.91 0.87 0.85 0.75 0.72 0.74 0.71 0.69 0.64 0.64 0.59 0.59 0.55 0.55 0.5...
0.45 0.43 0.42 0.38 0.27 0.26 0.25 0.23 0.19 0.19 0.13 0.08 0.04 0.02 0.85]
plot(zuobiao(1,),zuobiao(2,),'g'),hold on
plot(zuobiao(1,),zuobiao(2,))

length=max(size(zuobiao));
%求初始距离..

zhixu=randperm(length) %随机生成一个路线经过点的顺序
temp=zuobiao(1,);
newzuobiao(1,)=temp(zhixu);
temp=zuob

iao(2,);
newzuobiao(2,)=temp(zhixu);
newzuobiao
f=juli(newzuobiao)


%参数定义区--------------------------------------
%初始温度为10000
tmax=100;
tmin=0.001;
%温度下降速率
down=0.95;


%退火算法的函数..
figure
t=tmax;
while ttmin

for n=1500
newzuobiao=newpath(zuobiao,length);
newf=juli(newzuobiao);
if newff
zuobiao=newzuobiao;
f=newf;
elseif randexp(-(newf-f)t)
zuobiao=newzuobiao;
f=newf;
end
end
huatu=[zuobiao,zuobiao(,1)];
plot(huatu(1,),huatu(2,)),hold on
plot(huatu(1,),huatu(2,),'ro'),hold off
pause(0.00001)
t=tdown
f
end



newpath.m
function zuobiao=newpath(zuobiao,length)
%随机交换两个点的坐标..
a=ceil(rand(1,2)length);
qian=a(1);
hou=a(2);
temp=zuobiao(,qian);
zuobiao(,qian)=zuobiao(,hou);
zuobiao(,hou)=temp;

juli.m
function lucheng=juli(zuobiao)
length=max(size(zuobiao));
s=0;
for i=2length
s=s+sqrt(sum((zuobiao(,i)-zuobiao(,i-1)).^2));
end
if length~=2
s=s+sqrt(sum((zuobiao(,1)-zuobiao(
,length)).^2));
end
lucheng=s;



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