算法设计与分析课后习题解答

算法设计与分析基础课后练习答案

习题1.1

4.设计一个计算错误！未找到引用源。的算法，n是任意正整数。除了赋值和比较运算，该算法只能用到基本的四则运算操作。 算法求错误！未找到引用源。

//输入：一个正整数n错误！未找到引用源。2 //输出：。

step1:a=1；

step2:若a*a

5. a．用欧几里德算法求gcd（31415，14142）。

b. 用欧几里德算法求gcd（31415，14142）,比检查min｛m，n｝和gcd（m，

n）间连续整数的算法快多少倍？请估算一下。

a. gcd(31415, 14142) = gcd(14142, 3131) = gcd(3131, 1618) =gcd(1618, 1513) = gcd(1513,

105) = gcd(1513, 105) = gcd(105, 43) =gcd(43, 19) = gcd(19, 5) = gcd(5, 4) = gcd(4, 1) = gcd(1, 0) = 1.

b.有a可知计算gcd（31415，14142）欧几里德算法做了11次除法。

连续整数检测算法在14142每次迭代过程中或者做了一次除法，或者两次除法，因此这个算法做除法的次数鉴于1·14142 和 2·14142之间，所以欧几里德算法比此算法快1·14142/11 ≈ 1300 与 2·14142/11 ≈ 2600 倍之间。 6.证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立. Hint:

根据除法的定义不难证明:

? 如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;

? 如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.

对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。 数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。故gcd(m,n)=gcd(n,r)

7.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次? Hint:

对于任何形如0<=m

gcd(m,n)=gcd(n,m)

并且这种交换处理只发生一次.

8.a.对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?(1次) b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?(5次) gcd(5,8) 习题1.2 1.(农夫过河)

P—农夫 W—狼 G—山羊 C—白菜 2.(过桥问题)

1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒

4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数) 算法Quadratic(a,b,c)

//求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法 //输入:实系数a,b,c

//输出:实根或者无解信息 If a≠0

D←b*b-4*a*c If D>0

temp←2*a

x1←(-b+sqrt(D))/temp x2←(-b-sqrt(D))/temp return x1,x2

else if D=0 return –b/(2*a) else return “no real roots” else //a=0

if b≠0 return –c/b else //a=b=0

if c=0 return “no real numbers” else return “no real roots”

5. 描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法

a.用文字描述 b.用伪代码描述 解答：

a.将十进制整数转换为二进制整数的算法 输入：一个正整数n

输出：正整数n相应的二进制数

第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n 第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步 第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出 b.伪代码

算法 DectoBin(n)

//将十进制整数n转换为二进制整数的算法 //输入：正整数n

//输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中 i=1

while n!=0 do { Bin[i]=n%2; n=(int)n/2; i++; }

while i!=0 do{ print Bin[i]; i--; }

9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进. 算法 MinDistance(A[0..n-1]) //输入:数组A[0..n-1]

//输出:the smallest distance d between two of its elements

习题1.3

1. 考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.

a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序

b.该算法稳定吗? c.该算法在位吗? 解:

a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:

b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序 c.该算法不在位.额外空间for S and Count[] 4.(古老的七桥问题)

第2章 习题2.1

7.对下列断言进行证明:(如果是错误的,请举例) a. 如果t(n)∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n)) 解:

a. 这个断言是正确的。它指出如果t(n)的增长率小于或等于g(n)的增长率，那么 g(n)的增长率大于或等于t(n)的增长率

由 t(n)≤c·g(n) for all n≥n0, where c>0 则：()t(n)?g(n) for all n≥n0

c1

b. 这个断言是正确的。只需证明?(?g(n))??(g(n)),?(g(n))??(?g(n))。

设f(n)∈Θ(αg(n)),则有：

f(n)?c?g(n) f(n)?c1g(n)

for all n>=n0, c>0

for all n>=n0, c1=cα>0

即：f(n)∈Θ(g(n))

又设f(n)∈Θ(g(n)),则有：f(n)?cg(n) for all n>=n0,c>0

f(n)?c??g(n)?c1?g(n) for all n>=n0,c1=c/α>0

即：f(n)∈Θ(αg(n))

8．证明本节定理对于下列符号也成立： a.Ω符号 b.Θ符号 证明：

a。we need to proof that if t1(n)∈Ω(g1(n)) and t2(n)∈Ω(g2(n)), then t1(n)+ t2(n)∈Ω(max{g1(n), g2(n)})。 由 t1(n)∈Ω(g1(n))，

t1(n)≥c1g1(n) for all n>=n1, where c1>0 由 t2(n)∈Ω(g2(n))，

T2(n)≥c2g2(n) for all n>=n2, where c2>0 那么，取c>=min{c1,c2},当n>=max{n1,n2}时： t1(n)+ t2(n)≥c1g1(n)+ c2g2(n) ≥c g1(n)+c g2(n)≥c[g1(n)+ g2(n)] ≥cmax{ g1(n), g2(n)} 所以以命题成立。

b. t1(n)+t2(n) ∈Θ(max(g1(n),g2(n)))

证明：由大?的定义知，必须确定常数c1、c2和n0，使得对于所有n>=n0，有：

c1max((g1(n),g2(n))?t1(n)?t2(n)?max(g1(n),g2(n))

由t1(n)∈Θ(g1(n))知，存在非负整数a1,a2和n1使： a1*g1(n)<=t1(n)<=a2*g1(n)-----(1)

由t2(n)∈Θ(g2(n))知，存在非负整数b1,b2和n2使： b1*g2(n)<=t2(n)<=b2*g2(n)-----(2) (1)+(2):

a1*g1(n)+ b1*g2(n)<=t1(n)+t2(n) <= a2*g1(n)+ b2*g2(n) 令c1=min(a1,b1),c2=max(a2,b2)，则

C1*(g1+g2)<= t1(n)+t2(n) <=c2(g1+g2)-----(3) 不失一般性假设max(g1(n),g2(n))=g1(n).

显然，g1(n)+g2(n)<2g1(n)，即g1+g2<2max(g1,g2)

又g2(n)>0，g1(n)+g2(n)>g1(n),即g1+g2>max(g1,g2)。

则（3）式转换为：

C1*max(g1,g2) <= t1(n)+t2(n) <=c2*2max(g1,g2) 所以当c1＝min(a1,b1),c2＝2c2=2max(c1,c2)，n0＝max(n1,n2)时，当n>=n0时上述不等式成立。 证毕。

习题2.2

2. 请用错误！未找到引用源。的非正式定义来判断下列断言是真还是假。 a. n(n + 1)/2 ∈ O(n3) b. n(n + 1)/2 ∈ O(n2) c. n(n + 1)/2 ∈ Θ(n3) d. n(n + 1)/2 ∈ Ω(n) 答：c假，其它真。

5.按照下列函数的增长次数对它们进行排列（按照从低到高的顺序）

(n?2)!, 5lg(n+100)10

, 22n

, 0.001n4

+3n3

+1, ln2

n,错误！未找到引用源。3n

.

答：习题2.3

1. 计算下列求和表达式的值。

答

，

：

3. 考虑下面的算法。

a． 该算法求的是什么？ b． 它的基本操作是什么？ c． 该基本操作执行了多少次？

d． 该算法的效率类型是什么？

e． 对该算法进行改进，或者设计一个更好的算法，然后指出它们的效率类型。

如果做不到这一点，请试着证明这是不可能做到的。

9.证明下面的公式：

可以使用数学归纳法，也可以像10岁的高斯一样，用洞察力来解决该问题。这个小学生长大以后成为有史以来最伟大的数学家之一。 数学归纳法：

高斯的方法：

习题2.4

1. 解下列递推关系 （做a,b） a.

?x(n)?x(n?1)?5当n>1时 ??x(1)?0 解：

b.

解：

?x(n)?3x(n?1)??x(1)?4当n>1时

2. 对于计算n!的递归算法F(n)，建立其递归调用次数的递推关系并求解。

解：

3. 考虑下列递归算法，该算法用来计算前n个立方的和：S(n)=13+23+…+n3。 算法S(n)

//输入：正整数n

//输出：前n个立方的和 if n=1 return 1

else return S(n-1)+n*n*n

a. 建立该算法的基本操作次数的递推关系并求解

b. 如果将这个算法和直截了当的非递归算法比，你做何评价？ 解：

7. a. 请基于公式2n=2n-1+2n-1，设计一个递归算法。当n是任意非负整数的时候，该算法能够计算2n的值。

b. 建立该算法所做的加法运算次数的递推关系并求解

c. 为该算法构造一棵递归调用树，然后计算它所做的递归调用次数。 d. 对于该问题的求解来说，这是一个好的算法吗？ 解:a.算法power(n)

//基于公式2n=2n-1+2n-1,计算2n //输入:非负整数n

n

//输出: 2的值 If n=0 return 1

Else return power(n-1)+ power(n-1)

c.

n

C(n)??2i?0i?2n?1?1

8.考虑下面的算法

算法 Min1(A[0..n-1])

//输入:包含n个实数的数组A[0..n-1] If n=1 return A[0]

Else temp←Min1(A[0..n-2])

If temp≤A[n-1] return temp Else return A[n-1] a.该算法计算的是什么?

b.建立该算法所做的基本操作次数的递推关系并求解 解:

a.计算的给定数组的最小值

?C(n?1)?1b.C(n)??

0?for all n>1 n=1

9.考虑用于解决第8题问题的另一个算法,该算法递归地将数组分成两半.我们

将它称为Min2(A[0..n-1])

算法 Min(A[r..l]) If l=r return A[l] Else temp1←Min2(A[l..(l+r)/2]) Temp2←Min2(A[l..(l+r)/2]+1..r) If temp1≤temp2 return temp1 Else return temp2 a.建立该算法所做的的操作次数的递推关系并求解 b.算法Min1和Min2哪个更快?有其他更好的算法吗? 解:a. 习题2.5 3.java的基本数据类型int和long的最大值分别是错误！未找到引用源。当n最小为多少的时候，第n个斐波那契数能够使下面的类型溢出。 a.int类型 b.long类型

4.爬梯子 假设每一步可以爬一个或两格梯子，爬一部n格梯子一共可以用几种的不同方法？（例如，一部3格的梯子可以用三种不同的方法爬：1-1-1，1-2和2-1）。

6.改进算法Fib，使它只需要?（1）的额外空间。

7.证明等式：

答：数学归纳法证明

习题2.6

1. 考虑下面的排序算法,其中插入了一个计数器来对关键比较次数进行计数. 算法SortAnalysis(A[0..n-1])

//input:包含n个可排序元素的一个数组A[0..n-1] //output:所做的关键比较的总次数 count←0

for i←1 to n-1 do v←A[i] j←i-1

while j>0 and A[j]>v do count←count+1 A[j+1]←A[j] j←j+1 A[j+1]←v return count

比较计数器是否插在了正确的位置?如果不对,请改正. 解:应改为:

算法SortAnalysis(A[0..n-1])

//input:包含n个可排序元素的一个数组A[0..n-1] //output:所做的关键比较的总次数 count←0

for i←1 to n-1 do

v←A[i] j←i-1 while j>0 and A[j]>v do count←count+1 A[j+1]←A[j] j←j+1 if j>=0 count=count+1 A[j+1]←v return count 习题3.1 04. a.设计一个蛮力算法,对于给定的x,计算下面多项式的值: P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 并确定该算法的最差效率类型. b.如果你设计的算法属于Θ(n2),请你为该算法设计一个线性的算法. C.对于该问题来说,能不能设计一个比线性效率还要好的算法呢? 解: a. Algorithms BruteForcePolynomialEvaluation(P[0..n],x) //由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值 //输入:P[0..n]是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x //输出: 多项式p在给定点x的值 p=0.0 for i=n to 0 do power=1 for j=1 to i do power=power*x p=p+P[i]*power return p 算法效率分析: 基本操作:两个数相乘,且M(n)仅依赖于多项式的阶n ninM(n)??i?0?1?j?1?i?0i?n(n?1)2??(n) 2b. tha above algorithms is very inefficient, because we recompute powers of x again and again as if there were no relationship among them.In fact ,we can move from the lowest term to the highest and compute xi by using xi-1. Algorithms BetterBruteForcePolynomialEvaluation(P[0..n],x) //由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值 //输入:P[0..n]是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x //输出: 多项式p在给定点x的值 P=P[0] power=1 for i←1 to n do power←power*x p←p+P[i]*power

return p

基本操作乘法运算总次数M(n):

M(n)??2?2n??(n)

i?1nc.不行.因为计算任意一个多项式在任意点x的值,都必须处理它的n+1 个系数.例如: (x=1,p(x)=an+an-1+..+a1+a0,至少要做n次加法运算) 5.应用选择排序对序列E,X,A,M,P,L,E按照字母顺序排序.

6.选择排序是稳定的吗?(不稳定)

7.用链表实现选择排序的话,能不能获得和数组版相同的Θ(n2)效率?

Yes.Both operation—finding the smallest element and swapping it –can be done as efficiently with the linked list as with an array.

8.应用冒泡排序对序列E,X,A,M,P,L,E按照字母顺序排序.

9.a.请证明,如果对列表比较一遍之后没有交换元素的位置,那么这个表已经排好序了,算法可以停止了.

b.结合所做的改进,为冒泡排序写一段伪代码. c.请证明改进的算法最差效率也是平方级的. Hints:

a. 第i趟冒泡可以表示为:

如果没有发生交换位置,那么:

b.Algorithms BetterBubblesort(A[0..n-1])

//用改进的冒泡算法对数组A[0..n-1]排序 //输入:数组A[0..n-1]

//输出:升序排列的数组A[0..n-1]

count←n-1 //进行比较的相邻元素对的数目 flag←true //交换标志 while flag do flag←false

for i=0 to count-1 do if A[i+1]

swap(A[i],A[i+1]) flag←true count←count-1

c最差情况是数组是严格递减的,那么此时改进的冒泡排序会蜕化为原来的冒泡排序.

10.冒泡排序是稳定的吗?(稳定) 习题3.2

1. 对限位器版的顺序查找算法的比较次数:

a. 在最差情况下

b. 在平均情况下.假设成功查找的概率是p(0<=p<=1) Hints:

a. Cworst(n)=n+1

b. 在成功查找下,对于任意的I,第一次匹配发生在第i个位置的可能性是p/n,

比较次数是i.在查找不成功时,比较次数是n+1,可能性是1-p.

6.给出一个长度为n的文本和长度为m的模式构成的实例,它是蛮力字符串匹配算法的一个最差输入.并指出,对于这样的输入需要做多少次字符比较运算.

Hints:

文本:由n个0组成的文本

模式:前m-1个是0,最后一个字符是1 比较次数: m(n-m+1)

7.为蛮力字符匹配算法写一个伪代码,对于给定的模式,它能够返回给定的文本中所有匹配子串的数量.

Algorithms BFStringmatch(T[0..n-1],P[0..m-1]) //蛮力字符匹配

//输入:数组T[0..n-1]—长度为n的文本,数组P[0..m-1]—长度为m的模式 //输出:在文本中匹配成功的子串数量 count←0

for i←0 to n-m do j←0

while j

count←count+1 return count

8.如果所要搜索的模式包含一些英语中较少见的字符,我们应该如何修改该蛮力算法来利用这个信息.

Hint:每次都从这些少见字符开始比较,如果匹配, 则向左边和右边进行其它字符的比较. 习题3.4

8.解释一下如何对排序问题应用穷举查找，并确定这种算法的效率类型。

答：生成给定元素的一个排列，通过连续比较它们之间的元素，检查他们是否符合排序的要求。如果符合就停止，否则重新生成新的排列。

最差情况生成排列的个数是n！，每趟连续元素比较次数为n-1次。所以效率类型为O（n！（n-1））。

9.幻方 一个n阶幻方是把从1到 n2的整数填入一个n阶方阵，每个整数只出现一次，使得每一行，每一列，每一条主对角线的和都相等。

a.证明：如果一个n阶幻方存在的话，所讨论的和一定等于n(n2+1)/2。

答：令s为n阶幻方的每一行的和。则把从1到 n2的整数求和可得如下式子

由上式可得：

习题4.1 1.a.为一个分治算法编写伪代码,该算法求一个n个元素数组中最大元素的位置. b.如果数组中的若干个元素都具有最大值,该算法的输出是怎样的呢? c.建立该算法的键值比较次数的递推关系式并求解. d.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较 解:a. Algorithms MaxIndex(A[l..r]){ Input:A portion of array A[0..n-1] between indices l and r(l≤r) Output: The index of the largest element in A[l..r] if l=r return l else temp1←MaxIndex(A[l..(l+r)/2]) temp2←MaxIndex(A[(l+r)/2..r]) if A[temp1]≥A[temp2] return temp1 else return temp2 } b.返回数组中位于最左边的最大元素的序号. c.键值比较次数的递推关系式: C(n)=C( n/2 )+C( n/2 )+1 for n>1 C(1)=0 设n=2k，C(2k)=2C(2k-1)+1 =2[2 C(2k-2)+1]+1=22C(2k-2)+2+1 =2[22C(2k-3)+1]+2+1=23C(2k-3)+ 22+2+1 =... =2iC(2k-i)+ 2i-1+2 i-2 +...+2+1 =... =2kC(2k-k)+ 2k-1+2 k-2 +...+2+1=2k－1=n-1 可以证明C(n)=n-1对所有n>1的情况都成立（n是偶数或奇数） d.比较的次数相同，但蛮力算法不用递归调用。 2、a.为一个分治算法编写伪代码，该算法同时求出一个n元数组的最大元素和最小元素的值。 b.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。 c.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。 解答： a.同时求出最大值和最小值，只需要将原数组一分为二，再使用相同的方法找出这两个部分中的最大值和最小值，然后经过比较就可以得到整个问题的最大值和最小值。

b.用a中的编码对文本ABACABAD进行编码；

c.对于编码为100010111001010文本用a中的编码进行解码。 答：a.

习题12.1

3.用回溯法对下图求哈密顿回路问题。

答：

6.用回溯法生成｛1，2，3，4｝的所有排列。

7.a.应用回溯法对“子集和”问题的下面实例求解：S=｛1，2，4，5｝，d=11.

习题12.2

5.用分支限界算法对背包问题的以下实例求解。

答:

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