大一上学期(第一学期)高数期末考试题

大一上学期高数期末考试

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. 设f(x) cosx(x sinx),则在x 0处有(

　).

（A）f (0) 2 （B）f (0) 1（C）f (0) 0 （D）f(x)不可导.

2. 设 (x) 1 x

1 x， (x) 3 3x，则当x 1时（　　）

.

（A） (x)与 (x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B） (x)与 (x)是等价无穷小；

（C） (x)是比 (x)高阶的无穷小； （D） (x)是比 (x)高阶的

无穷小.

3. 若

F(x) x

(2t x)f(t)dt

，其中f(x)在区间上( 1,1)二阶可导且

f (x) 0，则（ ）.

（A）函数F(x)必在x 0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x 0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y F(x)的拐点；（D）函数F(x)在x 0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y F(x)的拐点。1

4.

设f(x)是连续函数，且 f(x) x 2 0

f(t)dt , 则f(x) (

x2x2

（A）2 （B）2 2

（C）x 1 （D）x 2.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 2

5. lim(1 3sinx

x 0

x)

.

cosx

6.

已知

cosx

x

是f(x)的一个原函数,则 f(x)

x

dx lim 2

2

2

cos2

n 17.

n n(cosn cosn n )

.

12

x2arcsinx 1

－

1 x

2

dx

8. 2

.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9. 设函数y y(x)由方程

ex y

sin(xy) 1确定，求y (x)以及y (0). 求1 10. x7

x(1 x7

)dx.

)

x

1 xe，　　x 0

设f(x) 　求 f(x)dx．

32

2x x，0 x 1 11.

1

012. 设函数f(x)连续，，且x 0

g (x)并讨论g (x)在x 0处的连续性.

g(x) f(xt)dt

lim

f(x)

Ax，A为常数. 求

13. 求微分方程xy 2y xlnx满足

y(1)

1

9的解.

四、 解答题（本大题10分）

14. 已知上半平面内一曲线y y(x)(x 0)，过点(0,1)，且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）

15. 过坐标原点作曲线y lnx的切线，该切线与曲线y lnx及x 轴围

成平面图形D.

(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16. 设函数f(x)在 0,1 上连续且单调递减，证明对任意的q [0,1]，

q

1

f(x)dx q f(x)dx

.

17. 设函数f(x)在 0, 上连续，且0

x

f(x)dx 0

，0

f(x)cosxdx 0

.

证明：在 0, 内至少存在两个不同的点 1, 2，使f( 1) f( 2) 0.（提

F(x)

示：设

f(x)dx

）

解答

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

1cosx2

() c

e635. . 6.2x.7. 2. 8..

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

x y

)coxys(xy)(y ) e(1 y

ex y ycos(xy)

y (x) x y

e xcos(xy)

x 0,y 0，y (0) 1

7

7x6dx du 10. 解：u x　　

1(1 u)112

原式 ( )du

7u(1 u)7uu 1 1

(ln|u| 2ln|u 1|) c7 12

ln|x7| ln|1 x7| C77

11.

解： 3

1

f(x)dx xe xdx

3

00

xd( e x)

3

0 2

x x2

xe e cos d 　(令x 1 sin ) 3

4

12. 解：由f(0) 0，知g(0) 0。

x

1

xt u

2e3 1

g(x) f(xt)dt

x

f(u)du

x

(x 0)

g (x)

xf(x) f(u)du

x

x0

2

(x 0)

g (0) lim

x 0

f(u)du

x2

lim

x 0x

f(x)A

2x2

A

AA

22，g (x)在x 0处连续。

limg (x) lim

x 0

x 0

xf(x) f(u)du

x

02

dy2

y lnx

13. 解：dxx

y e

xdx

2

( e

xdx

2

lnxdx C)

11

xlnx x Cx 2

9 3

111

y(1) C, 0y xlnx x

39 9 ，

四、 解答题（本大题10分）

14. 解：由已知且 ，

将此方程关于x求导得y 2y y

2

特征方程：r r 2 0

y 2 ydx y

x

解出特征根：r1 1,r2 2.

其通解为

y C1e x C2e2x

代入初始条件y(0) y (0) 1，得

21y e x e2x

33故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

C1

21,C2 33

1

y lnx0 (x x0)

x0

15. 解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：

1y x

e 由于切线过原点，解出x0 e，从而切线方程为：

1

则平面图形面积

A (ey ey)dy

1

e 12

（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则

曲线y lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2

1

V1

1 e23

V2 (e ey)2dy

6D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

q

1

q

q

V V1 V2

(5e2 12e 3)

1

16. 证明：0

q

f(x)dx q f(x)dx f(x)dx q( f(x)dx f(x)dx)

q

1q

(1 q) f(x)dx q f(x)dx

f( 1) f( 2)

1 [0,q] 2 [q,1]

q(1 q)f( 1) q(1 q)f( 2)

1

故有：

q

f(x)dx q f(x)dx

证毕。

x

17.

F(x) f(t)dt,0 x

0证：构造辅助函数：。其满足在[0, ]上连续，在(0, )

上可导。F (x) f(x)，且F(0) F( ) 0

由题设，有

0 f(x)cosxdx cosxdF(x) F(x)cosx| sinx F(x)dx

，

有0，由积分中值定理，存在 (0, )，使F( )sin 0即F( ) 0

综上可知F(0) F( ) F( ) 0, (0, ).在区间[0, ],[ , ]上分别应用罗尔定理，知存在

1 (0, )和 2 ( , )，使F ( 1) 0及F ( 2) 0，即f( 1) f( 2) 0.

F(x)sinxdx 0

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