高三数学一轮专题突破训练《导数及其应用》（理）及答案

2016届高三数学理一轮复习专题突破训练——导数及其应用

1?x． 1?x（Ⅰ）求曲线f(x)在点?0,f?0??处的切线方程；

1、已知函数f(x)?ln?x3?（Ⅱ）求证：当x??0,1?时，f(x)?2??x?3??；

???x3?（Ⅲ）设实数k使得f(x)?k??x?3??对x??0,1?恒成立，求k的最大值．

??2、已知函数

f(x)?xcosx?sinx,x?[0,]，

2?（1）求证：

f(x)?0；

（2）若a??sinx?b在(0,)上恒成立，求a的最大值与b的最小值.

2xlnx在点(1,0)处的切线． x3、设L为曲线C：y?(1)求L的方程；

(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．

4、已知函数

（1）当a = ?1时，求函数 f (x)的最小值； （2）当a≤1时，讨论函数 f (x)的零点个数。

5、已知函数f(x)?x?a?e2

?x．

（Ⅰ）当a?e时，求f(x)在区间[1,3]上的最小值； （Ⅱ）求证：存在实数x0?[?3,3]，有f(x0)?a.

6、已知f(x)??12ax?x?ln(1?x)，其中a?0． 2(Ⅰ)若函数f(x)在点(3,f(3))处切线斜率为0，求a的值； (Ⅱ)求f(x)的单调区间；

(Ⅲ)若f(x)在?0,???上的最大值是0，求a的取值范围．

1

7、设函数f(x)?ex?ax，x?R．

（Ⅰ）当a?2时，求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： f(x)?0； （Ⅲ）当a?1时，求函数f(x)在[0,a]上的最大值．

8、已知函数f(x)?1?lnx. 2x（Ⅰ）求函数f(x)的零点及单调区间； （Ⅱ）求证：曲线y?

9、已知函数f(x)?x?alnx,g(x)??(Ⅰ)若a?1，求函数f(x)的极值；

(Ⅱ)设函数h(x)?f(x)?g(x)，求函数h(x)的单调区间； (Ⅲ)若存在x0?[1,e]，使得f(x0)?g(x0)成立，求a的取值范围．

10、设n∈N*，函数

，函数

，x∈(0，+∞)，

lnx存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0??1. x1?a(a?0)． x（1）当n =1时，写出函数 y = f (x) ?1零点个数，并说明理由；

（2）若曲线 y = f (x)与曲线 y = g(x)分别位于直线l : y =1的两侧，求n的所有可能取值。

x3?x2?2ax(a?0). 11、已知函数f(x)?ln(2ax?1)?3（Ⅰ）若x?2为f(x)的极值点，求实数a的值；

（Ⅱ）若y?f(x)在?3,???上为增函数，求实数a的取值范围.

x2,a?R. 12、已知函数f(x)=x-a(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

2

（Ⅱ）若f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围.

13、已知定义在?1,???上的函数f?x??x?lnx?2，g?x??xlnx?x。

14、已知函数f (x) ＝ln x－ax＋ax (a∈R)．

( I ) 当a＝1时，求函数f (x)的单调区间；

( II ) 若函数f (x)在区间 (1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．

22

（I）求证：f?x?存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；

（II）若k?Z且g?x??k?x?1?对任意的x?1恒成立，求k的最大值。

eax,a?R． 15、设函数f(x)?2x?13时,求函数f(x)的单调区间； 51（Ⅱ）设g(x)为f(x)的导函数，当x?[,2e]时，函数f(x)的图象总在g(x)的图象的上方，求ae（Ⅰ）当a?的取值范围．

16、已知f(x)?ax?2(a?0). 2(x?1)（Ⅰ）若a?1，求f(x)在x?1处的切线方程；

（Ⅱ）确定函数f(x)的单调区间，并指出函数f(x)是否存在最大值或最小值．

3

参考答案

1、解析:（Ⅰ） 因为

f(x)?ln(1?x)?ln(1?x)，所以

f'(x)?又因为

11'?， f(0)?2． 1?x1?xf(0)?0，所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?2x．

x3)， （Ⅱ）令g(x)?f(x)?2(x?32x4则g(x)?f(x)?2(1?x)?．

1?x2''2因为g'(x)?0(0?x?1)，所以g(x)在区间(0,1)上单调递增．所以g(x)?g(0)?0,x?(0,1),

x3)． 即当x?(0,1)时，f(x)?2(x?3x3)对x?(0,1)恒成立． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当k?2时，f(x)?k(x?3x3)，则 当k?2时，令h(x)?f(x)?k(x?3kx4?(k?2)h(x)?f(x)?k(1?x)?． 21?x''2所以当0?x?4k?2k?2')上单调递减． 时，h(x)?0，因此h(x)在区间(0,4kk3k?2x)． 当0?x?4时，h(x)?h(0)?0，即f(x)?k(x?3kx3)并非对x?(0,1)恒成立． 所以当k?2时，令f(x)?k(x?3综上可知，k的最大值为2．

2、⑴证明：f??x??cosx?x??sinx??cosx??xsinx，

?π??π?x??0??时，f??x?≤0，从而f?x?在?0??上单调递减， ?2??2??π?所以f?x?在?0??上的最大值为f?0??0，

?2?所以f?x?≤f?0??0. ⑵法一：

4

sinxsinx?a”等价于“sinx?ax?0”；“?b”等价于“sinx?bx?0”， xx令g?x??sinx?cx，则g??x??cosx?c.

当x?0时，“

?π?当c≤0时，g?x??0对任意x??0??恒成立.

?2??π??π?当c≥1时，因为对任意x??0??，g??x??cosx?c?0，所以g?x?在区间?0??上单调递减.

?2??2??π?从而g?x??g?0??0对任意x??0??恒成立.

?2?π??当0?c?1时，存在唯一的x0??0??，使得g??x0??cosx0?c?0，

2??π??且当x??0?x0?时，g??x??0，g?x?单调递增；当x??x0??时，g??x??0，g?x?单调递减。

2??所以g?x0??g?0??0。

π2?π??π?进一步，“g?x??0对任意x??0??恒成立”当且仅当g???1?c≥0，即0?c≤.

2π?2??2?2?π?综上所述，当且仅当c≤时，g?x??0对任意x??0??恒成立；

π?2??π?当且仅当c≥1时，g?x??0对任意x??0??恒成立.

?2?2sinx?π?所以，若a??b对任意x??0??恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1.

πx?2?法二：

sinx?π??x??0??， x?2?cosx?x?sinx则g??x??，由⑴知，g??x?≤0，

x2?π??π?2故g?x?在?0??上单调递减，从而g?x?的最小值为g???，

?2??2?π22故a≤，a的最大值为.

ππb的最小值为1，下面进行证明：

?π?h?x??sinx?bx，x??0??，则h??x??cosx?b，

?2??π?当b?1时，h??x?≤0，h?x?在?0??上单调递减，从而h?x?max?h?0??0，

?2?令g?x??所以sinx?x≤0，当且仅当x?0时取等号.

sinx?π?从而当x??0??时，?1.故b的最小值小于等于1。

x?2??π?若b?1，则h??x??cosx?b?0在?0??上有唯一解x0，且x??0?x0?时，h??x??0，

?2?故h?x?在?0?x0?上单调递增，此时h?x??h?0??0, sinx?b与恒成立矛盾，故b≥1， x综上知：b的最小值为1. sinx?bx?0?5

故f(x)的零点为e. ??????1分

1(?)?x2?(1?lnx)?2x2lnx?3f'(x)?x?（x?0）. ??????3分 223(x)x

令 f'(x)?0，解得 x?e.

32 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：

f(x) (0,e) 32e 0 323232(e,??) 32f'(x) f(x)

? ↘ ? ↗ 所以 f(x)的单调递减区间为(0,e)，单调递增区间为(e,??). ??????6分

1?x?1?lnx1?lnxlnx（Ⅱ）令g(x)?.则g'(x)?x??f(x). ??????7分 22xxx11因为 f()?4?4ln2?4?4??6，f(e)?0，且由（Ⅰ）得，f(x)在(0,e)内是减

22函数，

所以 存在唯一的x0?(,e)，使得g'(x0)?f(x0)?6. 当x?[e,??)时，f(x)?0. 所以 曲线y?由g'(x0)?12lnx存在以(x0,g(x0))为切点，斜率为6的切线. ??????10分 x1?lnx02得：. ?6lnx?1?6x002x0

2lnx01?6x01所以 g(x0)????6x0.

x0x0x0

因为 x0?所以

1, 2

1?2，?6x0??3. x0

所以 y0?g(x0)??1. ??????13分

11

9、（Ⅰ）f(x)?x?alnx的定义域为(0,??)． ???1分 当a?1时，f?(x)?x?1． ???2分 x由f?(x)?0，解得x?1.当0?x?1时，f?(x)?0,f(x)单调递减； 当x?1时，f?(x)?0,f(x)单调递增；

所以当x?1时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)=1?ln1?1； ??..4分 （Ⅱ）h(x)?f(x)?g(x)?x?alnx?1?a，其定义域为(0,??)． xx2?ax?(1?a)(x?1)[x?(1?a)]?又h?(x)?． ????..6分 22xx由a?0可得1?a?0，在x?(0,1?a)上h?(x)?0，在x?(1?a,??)上h?(x)?0， 所以h(x)的递减区间为(0,1?a)；递增区间为(1?a,??)． ??..??7分 （III）若在[1,e]上存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，

即在[1,e]上存在一点x0，使得h(x0)?0．即h(x)在[1,e]上的最小值小于零． ?8分 ①当1?a?e，即a?e?1时，由（II）可知h(x)在[1,e]上单调递减． 故h(x)在[1,e]上的最小值为h(e)，

1?ae2?1?a?0，可得a?由h(e)?e?． ???9分 ee?1e2?1e2?1因为； ???10分 ?e?1．所以a?e?1e?1②当1?1?a?e，即0?a?e?1时，

由（II）可知h(x)在(1,1+a)上单调递减，在(1?a,e)上单调递增．

h(x)在[1,e]上最小值为h(1?a)?2+a?aln(1?a)． ???11分

因为0?ln(1?a)?1，所以0?aln(1?a)?a．

?2+a?aln(1?a)?2，即h(1?a)?2不满足题意，舍去． ????12分

e2?1综上所述:a?(,??)． ???13分

e?1

12

10、

x[2ax2?(1?4a)x?(4a2?2)]2a2?x?2x?2a?11、（Ⅰ）解：f?(x)? 1分

2ax?12ax?1因为x = 2为f (x)的极值点，所以f?(2)?0 2分

即

2a?2a?0，解得：a = 0 4a?1 3分

又当a = 0时，f?(x)?x(x?2)，当x?(0,2)时，f?(x)?0,x?(2,??)时，f?(x)?0,

13

从而x = 2为f (x)的极值点成立． 6分 （Ⅱ）解：∵f (x)在区间[3，+∞)上为增函数，

x[2ax2?(1?4a)x?(4a2?2)]≥0在区间[3，+∞)上恒成立． 8分 ∴f?(x)?2ax?1①当a = 0时，f?(x)?x(x?2)≥0在[3，+∞)上恒成立，所以f (x)在[3，+∞)上为增函数，故a = 0符合题意． 9分 ②当a > 0时，2ax2?(1?4a)x?(4a2?2)≥0在区间[3，+∞)上恒成立． 令g(x)?2ax2?(1?4a)x?(4a2?2)，其对称轴为1?∵a > 0，∴1?1 4a1?1，从而g (x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可， 4a3?133?13≤a≤ 44由g(3)??4a2?6a?1≥0，解得：∵a > 0，∴0?a≤3?13． 13分 43?13] 4综上所述，a的取值范围为[0， 14分[来

12、(Ⅰ) f(x)的定义域为xx?a.

??f￠(x)=x(x-2a). 2(x-a)（1）当a=0时，f(x)?x(x?0),f￠ (x)=1，则x????,0?，?0,???时，f(x)为增函数；（2）当a>0时，由f￠(x)>0得，x?2a或x?0，由于此时0?a?2a，

所以x?2a时,f(x)为增函数，x?0时，f(x)为增函数；

由f￠(x)<0得，0?x?2a，考虑定义域，当0?x?a，f(x)为减函数，

a?x?2a时，f(x)为减函数；

（3）当a<0时，由f￠(x)>0得，x?0或x?2a，由于此时2a?a?0，所以 当x<2a时，f(x)为增函数，x?0时，f(x)为增函数.

(x)<0得，2a?x?0，考虑定义域，当2a?x?a,f(x)为减函数， 由f￠a?x?0时，f(x)为减函数.

综上，当a=0时，函数f(x)的单调增区间为(-?,0),(0,+?当a>0时，函数f(x)的单调增区间为x?14

).

(?,0)，(2a,+?),

单调减区间为(0,a)，(a,2a).

当a<0时，函数f(x)的单调增区间为x?单调减区间为(2a,a)，(a,0).

?????????.7分

（Ⅱ）解：

（1） 当a?0时，由(Ⅰ) 可得，f(x)在(1,2)单调增，且x?(1,2)时x?a. （2） 当0?2a?1时，即0?a?(?,2a)，(0,+?)

1时，由(Ⅰ) 可得，f(x)在(2a,+?2)单调增，即在(1,2)单

调增，且x?(1,2)时x?a.

(3)当1?2a?2时，即

1?a?1时，由(Ⅰ) 可得，f(x)在(1,2)上不具有单调性，不合题意. 2(4)当2a?2，即a?1时，由(Ⅰ) 可得，f(x)在(0,a),(a,2a)为减函数，同时需注意a??1,2?，满足这样的条件时f(x)在(1,2)单调减，所以此时a?1或a?2. 综上所述，a?1或a?1或a?2. 2?????????.14分

13、解：（I）f?x??x?lnx?2，x??1,???，则f??x??1?

故f?x?在?1,???上单调递增，（3分） 而f?3??1?ln3?0,f?4??2?ln4?0， 所以f?x?存在唯一的零点x0??3,4?。（6分）

1?0， x（II）由（I）f?x?存在唯一的零点x0显然满足：x0?lnx0?2?0，

且当x??1,x0?时，f?x??f?x0??0；当x??x0,???时，f?x??f?x0??0， 当x?1时，g?x??k?x?1?等价于设h?x??则h??x??xlnx?x?k，

x?1xlnx?x。

x?1

x?lnx?2?x?1?2?f?x??x?1?2，故h??x?与f?x?同号，因此当x??1,x0?时，h??x??0；

当x??x0,???时，h??x??0，所以h?x?在?1,x0?上单调递减，在?x0,???上单调递增，

15

（10分）

故h?x?min?h?x0??x0?lnx0?1?x0?x0?1???x0，

x0?1x0?1

由题意有k?h?x?min?x0，又k?Z，而x0??3,4?，故k的最大值是3。（13分）

14、解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?lnx?x2?x，定义域是(0,??).

f'(x)?1?2x?1， x由f'(x)?0，解得0?x?1；由f'(x)?0，解得x?1；

所以函数f(x)的单调递增区间是?0,1?，单调递减区间是?1,???. ???????5分 （Ⅱ）（法一）

因为函数f(x)在区间(1,??)上是减函数，所以f'(x)?0在?1,???上恒成立， 则f(x)?分

① 当a?0时，g(x)??1?0，所以a?0不成立. ???????9分

2② 当a?0时，g(x)?2a2x2?ax?1，??9a?0，对称轴x?'1?2a2x?a?0，即g(x)?2a2x2?ax?1?0在?1,???上恒成立. ???????7xa. 24a1?a??或a?1?g(1)?02????g(1)?2a?a?1?0?2，即?，解得? ?a21?1a?4a????2a?0或a??4a??4所以实数a的取值范围是a??

1,a?1. ???????13分 21?2a2x2?ax?12（法二）f(x)??2ax?a?，定义域是(0,??).

xx'①当a?0时，f(x)?lnx在区间(1,??)上是增函数，所以a?0不成立. ???????8分 ②a?0时，

22'令f(x)?0，即2ax?ax?1?0，则x1??11,x2?， ???????9分 2aa'（i）当a?0时，由f(x)?0，解得x?1， a所以函数f(x)的单调递减区间是??1?,???. ?a?16

因为函数f(x)在区间(1,??)上是减函数，+所以（ii）当a?0时，由f'(x)?0，解得x??所以函数f(x)的单调递减区间是??1?1，解得a?1. ???????11分 a1， 2a?1?,???. ?2a?11?1，解得a??. 2a2因为函数f(x)在区间(1,??)上是减函数，所以?综上实数a的取值范围是a??或a?1. ???????13分

12e(3x2?10x?3)315、（Ⅰ）解：当a?时，f?(x)?． 2255(x?1)由f?(x)?0得3x?10x?3?0，解得x?2由f?(x)?0得3x?10x?3?0，解得

23x51或x?3； 31?x?3． 311(??,)((3,??)所以函数f(x)的单调增区间为,，单调减区间为,3)．

33 ?????..5分

eax(ax2?2x?a)（Ⅱ）因为g(x)?f?(x)?，

(x2?1)2又因为函数f(x)的图象总在g(x)的图象的上方，

eaxeax(ax2?2x?a)1x?[,2e]恒成立． ?所以f(x)?g(x)，即2在22ex?1(x?1)eax?0，所以a(x2?1)?2x?(x2?1)，所以(a?1)(x2?1)?2x． 又因为2x?1又x?1?0，所以a?1?22x． x2?1设h(x)?2x1(x?[,2e])即可． a?1?h(x)，则minx2?1e22(1?x)2(1?x2)11??x?1； x?[,2e]h(x)??0又h?(x)?2．由，注意到，解得222ee(x?1)(x?1)

17

2(1?x2)1x?[,2e]，解得1?x?2e． 由h?(x)?2，注意到?0e(x?1)2所以h(x)在区间?,1?单调递增，在区间?1,2e?单调递减． 所以h(x)的最小值为h()或h(2e)．

?1??e?1e2e4e4e2eh(2e)??，，作差可知， 2222e?14e?14e?1e?14e所以a?1?2．

4e?1因为h()?1e4e2?4e+1)． ?????..13分 所以a的取值范围是(??,24e?116、（Ⅰ）当a?1时，f(x)?x?2，

(x?1)2f?(x)?f(1)??(x?1)(x?3) ????2分 4(x?1)31，f?(1)?? ????3分 4231所以直线方程为y???(x?1)，

4215即y??x? ????4分

24a(x?1)2?(ax?2)2(x?1)?(x?1)(ax?a?4)（Ⅱ）f?(x)?=

(x?1)4(x?1)4其中a?0，x?(??,?1)?(?1,??) ????2分 令f?(x)?0，得x?1?1） 当1?4 ax f?(x) f(x) 4??1，即0?a?2时， a44(??,1?) 1? aa小于0 递减 等于0 极小值 4(1?,?1) a大于0 递增 (?1,??) 小于0 递减 444f(x)的增区间是 (1?,?1)，减区间是(??,1?)和(?1,??)，当x?1?时，取得极小值

aaa18

4时，f(x?f(1?)。又x?(?1,??)a40?f(?1，所)以f(x)有最小值

a4a2； ????6分 f(1?)?a4(a?2)2） 当a?2时，f(x)的减区间是(??,?1)和(?1,??)，f(x)无最大值和最小值。 ????7分

3）当a?2时，f(x)的增区间是 (?1,1?)，减区间是(??,?1)和(1?,??)，当x?1?时，取得极大值f(1?)。又x?(??,?1)时，f(x)?0?f(1?4a4a4a4a4)，所以f(x)有最大值a4a2f(1?)?。 ????9分

a4(a?2)

19

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