高等动力学习题答案（1.2.3章）

高等动力学习题答案

第一章

yAoB1.1解：

xC

D由此图可以看出，该均质杆的长度为L,并已知该杆的两个端点的坐标分别为A（x1,y1）,B（x2,y2），建立坐标系，根据其几何关系可确定其约束方程：（x1- x2）+ (y1-y2）=L 又∵△BOD∽△BAC

∴h/(y1-y2)=(-x2)/( x1- x2)=h?x2/L

所谓的完整系统即系统中的约束均为完整约束（仅对质点的位形加以限制约束）的系统，在此系统中的约束仅对杆的位形加以限制约束，故为完整系统。另外，均质杆的B和O两点与台阶构成点接触（高副），故f=3-2=1即自由度为1。

y22222P2?x2，y2??v?Px 1?1，y1? Ox题1.2图

1.2.解：因为制导系统保证质点p1的速度v始终对准质点p2，

所以，p1p2所形成的直线y?f(x)的斜率为

y?yx?x2211y??＝tan? x?可见是对位形和速度加以限制，此系统是非完整系统。

因为p2有两个自由度，p1有一个自由度，所以此系统有三个自由度。

1.3．解：（1）因为AB是长度为l的刚性杆，故AB两点坐标应该满足方程为：

(x2?x1)2?(y2?y1)2=l2

（2）选择中点OC的坐标xc,yc和相对轴X的倾角?为广义坐标。因

为接触点A的速度只能沿与AB杆垂直方向

即:

?1y=?cot? ?1x①

cot??x2?x1 ② y2?y1

?1(x2?x1)?y?1(y2?y1)?0 ①②两式联立得: x(3)f?3n?2pL?pH?3?1?2 故此系统为二自由度的非完整系统。

1.4 解:由几何关系知

???2???2l?Rcos1?l0 ??l?l?l0?2Rcos1222112?12?m2R2??2m1R2?22 对系统有

???112V?k?l2?k(2Rcos1?l0)2222T?因此,拉格朗日函数为 L?T?V?所以

???21112?12?m2R2??2m1R2??k(2Rcos1?l0)2

2222?L?1?m1R2????1

d??L?2??1????m1R?dt???1?

???2????2?L??kRsin1.?2Rcos1?l0???122??由于?1,?2是对称的,所以有

???2????2?L??kRsin1.?2Rcos1?l0???222??d??L?2??2????m2R?dt???2?

由拉格朗日方程

d??L??jdt???q??L??0有 ???q?????.?2Rcos12?l0??022???

????1??2???2?kRsin12.?m2R2?2Rcos?l0??0?22????1?kRsinm1R2??1??2????2?.?2Rcos1?l0??022??

???2????2???2?ksin1m2R?.?2Rcos1?l0??022????1?ksinm1R?所以,能量积分为T?V?C即

?1??2????21112?12?m2R2??2m1R2??k(2Rcos1?l0)2?C

2222化简为

2?12?m2R2??2m1R2??k(2Rcos?1??22?l0)2?C1

1.5．选取两圆柱的转角?1,?2为广义坐标，由题意可知

VB?R1?1?R2?2

此系统的动能为：

...1111222T?JA?1?JB?2?mB(R1?1?R2?2)?mC(R1?1)2

2222..

JB?1m1R12 2JB?12m2R2 2.....11112222222故：T?m1R1?1?m2R2?2?m2(R1?1?R2?2)?m3R1?1

4422...m1m2m32.2322??)R1?1?m2R2?2?m2R1R2?1?2 ?(4224

系统势能：

V??m2g(R1?1?R2?2)?m3g?1

拉格朗日函数： L?T?V

...m1m2m32.2322??)R1?1?m2R2?2?m2R1R2?1?2?m2gR1?1?m2g(R1?1?R2?2) ?(4224由拉格朗日方程：

d?L?L(.)?.?0 （i=1,2） dt????221 2

..m1m2m32..2(??)R1?1?m2R1R2?2?m3gR1?m2gR1?0 422....32m2R2?2?m2R1R2?1?m2gR2?0 2整理1，2式， 其能量积分：

T?V?C

....m132222(?m2?m3)R1?1?m2R2?2?m2R1R2?1?2?g(m3R1?1?m2R1?1?m2R2?2)?C 即：241.6解；此系统的自由度=3n?2pl?ph?3?1?2?0?1?2，系统。

以上，下躯干相对垂直轴偏角?1.?2为广义坐标，下躯干质心速度vc2： vc2?(l?1)?(l2?2)?2ll2?1?2cos??l系统动能和势能为：

.2.2.2.2..11.211222T?m1l1?1?J1?1?J2?2?m2[l?1?l2?2?2ll2?1?2cos(?2??1)]2222V??m1gl1cos?1?m2g(lcos?1?l2cos?2)

.2.2..2?1?l2?2?2ll2?1?2cos(?2??1)

.22.2..L?T?V计算非保守力虚功?W1?(M1?M2)??1?Q?1???1;?W2?M2??2?Q?2???2 得广义力

Q?1?M1?M2;Q?2?M2

d(代入拉格朗日方程得

?L?qjdt.)??L?Qj(j?1,2……f) ?qj....(ml?J1?m2l)?1?m2ll2?2cos(?2??1)?m2ll2?1?2sin(?2??1)?(m1l1?m2l)gsin??M1?M2(m2l2?J2)?2?m2ll2?1cos(?2??1)?m2ll2?1?2sin(?2??1)?m2l2gsin?2?M2

2......2112..1.7解：设圆盘的中心o为坐标原点，取位移x，转角θ为广义坐标。

11?cos?)2?r2??2sin2?]?1J??2 （其中J?1mr2） ?2?[(x??r?m2x122221?cos??3mr2??2 ?2?m1xr?? ?(m1?m2)x124动能：T=势能：V??m1gr?sin? 将T和V代入拉格朗日函数L?T?V得：

1?cos??3mr2??2?mgr?sin? ?2?m1xr??(m1?m2)x1124?L?L?cos? ??m1r??0 ?(m1?m2)x则

??x?x?L?L3? ?cos??m1r2??m1gr?sin? ??m1xr ????2?Ld()??(m?m)??x??? 12x?mr1?cos? dt?Ld(?)3???m??? ? xrcos??m1r2?1dt2L?d(带入式

?L)?j?qdt??L?0得: ?qj??cos??0??m1r?(m1?m2)?x 32???cos??m1r??m1grsin??0m1?xr2??x??得：

m1grsin2?3m2?m1(3?2cos2?)????2(m1?m2)gsin?r[3m2?m1(3?2cos22?)]

拉格朗日函数L?T?V中不显含x，存在循环积分

?L?cos??c ??m1r??(m1?m2)x1??x能量积分：T+V=C 即：

1?cos??3mr2??2?mgr?sin??c ?2?m1xr??(m1?m2)x1124化简得：

13?2?cos??g?sin?)?c ?2?m1r(r???(m1?m2)x?x24 1．8

解：此系统为单自由度系统，但动能和势能不显含时间t,以干与铰链中心O的连线相

对垂直的偏角

?1 ,?2 为广义坐标，因为杆对O点的转动惯量

12 ml 3 J?所以，杆L1 的动能为：

T1?

杆L2 的动能为：

1111?12?m1l12??12 JW2??ml12??2236T2?111?12?m2l1l2??1??2cos(?2??1)JW2?m2l12?222

111?12?m2l22??22?m2l1l2??1??2cos(?2??1)?m2l12?262

系统的总动能：T ＝ T1 ＋ T2

系统的势能：

V?1111m1gl1cos?1?m2g(l1cos?1?l2cos?2)?k1?12?k2(?2??1)2 2222

拉格朗日函数L＝T－V中不显含t ，存在能量积分，将系统的动能T和势能V代入能量积分公式

T＋V＝C

得广义能量积分，整理后得

1?22(m1?2m2)gl1cos?1?m2gl2cos?2?k2?12?k2(?2??1)2?m2l22?3

1?12?m2l1l2??1??2cos(?2??1)?C?(m1?m2)l12?3?|x |?O ?题1.9图

2?1.9解：设滑块偏离圆心O的长度为x,则滑块的动能为：T=1/2*m[x∴To=1/2*m (Ωx)

2+(Ωx)

2]

?,T2=1/2*mx2

滑块的势能为V=1/2*k *x

∴滑块的相对势能为V*=V-To=1/2*k *x-1/2*m (Ωx)

222

2?∴广义能量积分为：T2 +V*=1/2*mx2+1/2*k *x-1/2*m (Ωx)

2

1.9.解：设滑块偏离圆心的距离为x，

则滑块的动能为

1??2T=m?x?2???x??2?21?21?mx?m22?

??x?

1?2 其中，T0?m?x，T2＝mx

21222 滑块的势能为

V＝kx ?滑块的相对势能

2221 V?＝V－T0＝1 2kx－2m?x122 广义能量积分为

2221 T2＋V?mx?1 2kx?2m?x?C12??2

1.10. 解：1）以AB杆为研究对象

AB的势能: V??mg(2lcos??lcos?)

s ??3mglco?AB的动能：

21112?co?c???(2??m[(2?l?s??los?)l?siln?2?s?in)]m2l[ ??(2)]2212111?]2?[m(2lsin?)2]??2 +m[lsin??221214?2?242? 2]?8?sin??s??i2n ?ml2[?23314?2?2sin2??4sin2???2]?3mglcos? ?8?故L?T?V?ml2[?233T?因为L不显含?，存在循环积分

所以

?L?C ???182??C sin??C1 ?即ml2?sin2?????23系统为定常约束，存在能量积分 T?V?C

14?2?2sin2??4sin2???2]?3mglcos??C ?8?即ml2[?233???时 2）当?12422ml?sin???2?m?l22si?n2 23314?2?2sin?21(?8???)m2l2??2s2?in) T2?m2l(? 2332相对势能：V*?V?T0??3mglcos??ml2?2sin2?

31 ??ml(9gcos??2l?2sin2?)

3 T0?广义能量积分：V*?T2?C 即

12?2(1?2si?n=C) ?ml(9gcos??2l?2sin2?)?2ml2?331.11解：由1.7题知：

11?cos?)2?r2??2sin2?]?1J??2 （其中J?1mr2） ?2?[(x??r?m2x122221?cos??3mr2??2 势能：V??mgr?sin? ?2?m1xr?? ?(m1?m2)x11241?cos??3mr2??2?mgr?sin? ?2?m1xr??则拉格朗日函数L?T?V?(m1?m2)x1124由上式知：拉格朗日函数L?T?V中不显含x，存在循环积分

动能：T=?cos??Lc1?m1r??????(m1?m2)x?m1r?cos??c1 得：x 代入拉格朗日函数得：

??xm1?m222?22c?mr?cos?32?21??1L?m1r??m1gr?sin?

2(m1?m2)4??cx?劳斯函数：R?L1

?2cos2?3?cos?c1?m12r2?c1?m1r?2?2 R??m1r??m1gr?sin??c12(m1?m2)4m1?m2?co??c1?sr?23m1cos ?m1r[?(?)?g?si?n?22m1?m2m1?m22c1 ]?2(m1?m2)由R?R0?R1?R2其中R0，R1，R2分别是非循环速度的零次，一次，二次函数

?cos?r?23m1cos?m1rc1?则：R0?m1rg?sin? R1? R2?m1r[?(?)]

22m1?m2m1?m2劳斯势能：VR??R0??m1gr?sin?

d(拉格朗日方程：

?L)?j?qdt??L?0可以用劳斯函数表示为?qjd(?R)?j?qdt??R?0 ?qj其中：

?R?(3?m1cos?)?c1cos?] ?mr[r?1???2m1?m2m1?m2?Rd(?)???mr[r???(3?m1cos?)]

1dt2m1?m2?R?m1rgsin? ????(?则用劳斯函数表示的拉格朗日方程为：r?

32m1cos?)?gsin??0

m1?m2?；?；1.12.解：分解质点P的速度在三个方向上：（1）径向速度r（2）POZ平面上的速度r??。所以动能为： （3）XOY平面上的圆周速度rsin??? T?1?22??2??srin????m?r??r ?????2??以XOY平面为参考面

ros?? V??mgc因此，拉格朗日函数为： L?T?V?12?kr?? l21?2122?2??rsin???????mgrcos??k?r?l? ??r?mr???2?2??L中不含?，则?为循环坐标，所以

?LC1???C1，?，代入L中，得 2???m?rsin???2C121?212????r??L?m?r?mgrcos??kr?l ???222?2m?rsin????????2C121?212????m?r??r??劳斯函数为R?L?C1? ?mgrcos??kr?l???222?2m?rsin???????所以，VR??R0?C122m?rsin??212?mgrcos??k?r?l?

2?d??R??R?0???dt?????????将R代入?得劳斯函数表示的拉氏方程

?d??R???R?0????dt???r??r?C12cos???????r??gsin???0?mr2r22m?rsin??? ?2C1?m??2?gcos??k?r?l??r??r??02?2m?rsin???????

?T1d?T1?T2?2???ml?()?ml??0 ?12?12??dt?????VQj???0 ?Bkj??(?1lcos???2lsin?)

??12????1lcos???2lsin??0 ……………（1） 代入劳斯方程得：ml?12d?T1??1?l1l2???2cos(?1??2)?l1l2??2sin(?1??2)] ()?[l12??dt??14Qj???V1?mgl1sin?1 Bkj??l1sin?1?l1cos?1 ??2代入劳斯方程得：

1??1?l2???2cos(?2??1)?l2??2sin(?2??1)?2mgsin?1]??1l2sin?1??2l1cos?1?0 ml1[l1?4 ………………….(2)

d?T1??2?2l1l2???1cos(?1??2)?2l1l2??1sin(?1??2)] ()?m[2l22??2dt??8Qj???V1?mgl2sin?2 Bkj?l2sin?2?l2cos?2 ??2代入劳斯方程得：

1??2?2???1cos(?2??1)?l1??12sin(?2??1)?2gsin?2]??1l2sin?2??2l2cos?2...(3) ml2[l2?42.8解：以广义坐标xc，?的导数取作准速度，令u1?xc，u2??

题1.3的约束方程为

...yc??(xccot???csc?xc)

....22. A

与广义坐标xc，yc，?对应的广义力分别为：

?1?0，?2??mgsin?，?3?0

h11?1，h21??cot?，h32?1其余hjv?0导出

代入（2.3.16）即

?1?mgsin?cot?，?1?0

~~

.. B

利用式（2.3.23）计算加速度能量G并利用A式消去yc得： G?11??21?2?cot?)?1l???2? ?c2???c2?l2??c?c?m(?xy)??csc2?(?x?2?x?2122?12?

C

将B，C式代入（2.3.19）导出运动的微分方程

?G1~?cot?)???c?2x?c??mcsc2?(2?x1?mgsin?cot? ?c2??x??即

??c?x?ccot??gsin?cos?sin??0 x?G1??1??~?l2??l???2?0 ????126即

???0 ?即

?c?x?ccot??gsin?cos?sin??0?x?????? ???0??为广义速率，令u?x? ?c,u2???c,?2-9．解：取x1?c??cot?x?c??cot?u1 则约束条件为：y用i,j,k表示x,y,z各轴的基矢量，将冰刀的质心速度vc和角速度?用广义速率表示为：

vc?u1(i?cot?j),??u2k

可直接从上式得出刚体的质心偏速度和偏角速度：

vc(1)?i?cot?j,vc(2)?0?(1)?0,?(2)?k

刚体上作用力的主矢和主矩为：

F??2mg(sin?j?cos?k),M?0

惯性力的主矢和主矩为：

?1i?(?u?1cot??u1u2csc2?)j,F*??2m[u2ml2??M???k12*

所以：

??F?v(1)?M??(1)?2mgsin?cot?F1c??F?v(2)?M??(2)?0F2c2?*?F*?v(1)?M*??(1)??2m(u?F?uucot?)csc?1c112

??F?vF2c**(2)?M??*(2)ml2?2 ??u6代入方程得：

?1?u1u2cot??2mgsin?cos?sin??0u

??2?0uNN1ri???ri????ri?Fi??无关项? 2.10 解: 由式2.4.6知 Z??mi??i?12i?1所以由题意得:

11m???xc2???yc2??J2???mgsin???yc?22

11??2?mgsin????m???xc2???yc2??ml2?yc224Z?把上式代入 ?Z?0,得

???xc????yctan??gsin?tan??yc????xccot??gsin? ?????????01。2T?J?2.12解：由题知：转子的动能和势能分别为：{ 2V?01nnEm???Lkrikir2k?1k?1111122磁场的能量为?L11i10?L22i2?L12i10i2?L21i2i10

22221122?L11i10?L22i2?L12i10i2且L12?L0cos?22静电场能量：Ee?0 代入公式L?T~~（qj，qj）。?Vek）?E（得： （qj）?E（mqj，eqj，ek）。1。21122L?J??L11i10?L22i2?L0cos?i10i2

222~已知忽略转子的机械阻尼，故总耗散函数为：

???（??（?0??（?qqj）eej）eej）代入拉格朗日-麦克斯韦方程：

。。。12Ri2 2{

d?L?L??（。）???Qjdt?q?qj?q。jjd?L?L??（。）??。?ukdt?e?ek?ekk~~~~

得

{

J??i10i2L0sin??ML22?Ri2?L0i10?sin??0。。。

1。2T?J?2.12解：由题知：转子的动能和势能分别为：{ 2V?01nnEm???Lkrikir2k?1k?1111122磁场的能量为?L11i10?L22i2?L12i10i2?L21i2i10

22221122?L11i10?L22i2?L12i10i2且L12?L0cos?22静电场能量：Ee?0 代入公式L?T~~（qj，qj）。?Vek）?E（得： （qj）?E（mqj，eqj，ek）。1。21122L?J??L11i10?L22i2?L0cos?i10i2

222~已知忽略转子的机械阻尼，故总耗散函数为：

???（??（?0??（?qqj）eej）eej）代入拉格朗日-麦克斯韦方程：

。。。12Ri2 2{

d?L?L??（。）??。?Qjdt?q?qj?qjjd?L?L??（。）??。?ukdt?e?ek?ekk~~~~

得

{

J??i10i2L0sin??ML22?Ri2?L0i10?sin??0。。。

高等动力学习题答案

第三章

3.1 试利用李雅普诺夫直接方法判断下列系统的零解稳定性：

2???x1?x2?x1x2 （1）??

2??x2??x1?x1x2 解：选择正定的李雅普诺夫函数， V（x1,x2）?x1?x2 计算V沿方程解曲线的全导数，得

22?V??V?2222 V＝x1?x2?2x1(x2?x1x2)?2x2(?x1?x1x2)??4x1x2

?x1?x2? 由于V 为负定，系统的未扰运动为渐近稳定。

3???x1?x2?x1（2） ??

3??x2??x1?x2? 解：选择正定的李雅普诺夫函数， V（x1,x2）?x1?x2

计算V沿方程解曲线的全导数，得

22?V??V?3344 V＝ x1?x2?2x1(x2?x1)?2x2(?x1?x2)??（2x1＋x2）?x1?x2? 由于V 为负定，系统的未扰运动为渐近稳定。

3???x1?x2＋x1 （3）??

3??x2?x1?x2? 解：选择不定的李雅普诺夫函数， V（x1,x2）?x1－x2

计算V沿方程解曲线的全导数，得

22?V??V?3344x1?x2?2x1(x2＋x1)－2x2(x1?x2)?（2x1＋x2） V＝ ?x1?x2? 由于V 为正定，系统的未扰运动为不稳定。

?3.10 利用劳斯－赫尔维茨判据判断以下系统的零解稳定性。

???3x1?3x2?2x3?x1??? ?x2?x1?x2?x3

???x3＝－3x1?x2?

解：系统的扰动方程变形为

??3x1＋3x2－2x3＝0?x1＋?? ?x2－x1－x2＋x3＝0

???x3＋3x1＋x2＝0? 行列式为

s＋3－133s?11－21?s(s?1)(s?3)?9?2?6(s－1)－（s?3）?3s?s3?2s2?5s?2 s32本征方程为 s?2s?5s?2?0

可得a0?1?0,a1?2?0,a2?5?0,a3?2?0,a1a2?a0a3?10?2?8?0 所以，系统的零解稳定。

3.1(1)解：选择正定的李雅普诺夫函数：V(x1,x2)?x1?x2计算V沿方程的解曲线的全导数，得到：???V/?xx???V/?xx?V112222?2x1(x2?x1x2)?2x2(?x1?x1x2)??4x1x2?0?为半负定，系统的未扰由于V运动稳定。（2）解：选择正定的李雅普诺夫函数：V(x1,x2)?x1?x2计算V沿方程的解曲线的全导数，得到：???V/?xx???V/?xx?V11322222222?2x1(x2?x1)?2x2(?x1?x2)??（2x1?x2）?0?为负定，系统的未扰运由于V动渐近稳定。（3）解：选择不定的李雅普诺夫函数：V(x1,x2)?x1?x2计算V沿方程的解曲线的全导数，得到：???V/?xx???V/?xx?V1132222443?2x1(x2?x1)?2x2(x1?x2)?（2x1?x2）?0?为正定，系统的未扰运由于V动不稳定。??Ax方程可列出该系统系数3.10解：根据x矩阵A??3?32???A??11?1?，根据矩阵A的本征方程A?sE?0得到关于s的代数方程：??3?10???A?sE?（?3?s）(s2?10s?6)??s3?2s2?5s?2?0整理一下为：s3?2s2?5s?2?0根据表3.1的劳斯?赫尔维茨判据，?a0?1?0,a1?2?0,a2?5?0,a3?2?0,a1a2?a0a3?8?0?可以看出该系统稳定。443

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jtpd.html