最新北师大版八年级数学（上）第七章 平行线的证明教案

第七章 平行线的证明 §7.1 为什么要证明

【教学目标】 知识与技能目标：

1.经历观察、验证、归纳等过程，让学生初步了解猜测得到的结论不一定正确。要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理，从而认识证明的必要性。 2. 了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等。

过程和方法目标：体会、检验数学结论常用的方法：实验验证、举反例验证、计算、推理等，发展学生推理能力。

情感与价值目标：通过积极参与，理解数学的严谨性；培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习数学的自信心，让学生体会数学来源于生活又为生活服务的道理。 【教学重点】 理解判断一个结论是否正确需要进行证明。

【教学难点】理解数学证明的重要性；验证某些问题的结论正确与否。 【教学方法】问题情境、观察猜想、交流讨论、验证总结 【教学过程】

一、创设情境，引入新课

内容1.课件展示故事《知人不易》谈谈自己的感受. 颜回是孔子最得意的门生。

有一次孔子周游列国，困于陈蔡之间七天没饭吃.颜回好不容易找到一点粮米，便赶紧埋锅造饭.米饭将熟之际，孔子闻香抬头，恰好看到颜回用手抓出一把米饭送入口中。

等到颜回请孔子吃饭，孔子假装说：「我刚刚梦到我父亲，想用这干净的白饭来祭拜他。」颜回赶快说：「不行，不行，这饭不干净，刚刚烧饭时有些烟尘掉入锅中，弃之可惜，我便抓出来吃掉了.」

孔子这才知道颜回并非偷吃饭，心中相当感慨，便对弟子们说：「所信者目也，而目犹不可信；所恃者心也，而心犹不足恃.弟子记之，知人固不易！」

内容2.我们再来欣赏几组图片(多媒体展示)：

上图中的线是直的吗 ?

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下图中中心的两个圆哪个大?

【师】我们常说，“百闻不如一见”，“耳听为虚，眼见为实”，但“眼见真的全为实”吗？ 以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论。那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?今天这节课我们就通过具体问题来探讨判断数学结论正确性的方法——引入新课，

【设计意图】通过故事和精美的图片，使学生在愉快的氛围中激发起学习兴趣，燃起学习热情。 二、活动探究 课件展示内容：

活动一：猜一猜，比一比 1．、观察图1中两条线段a与b的长度相等吗？请你先观察，再度量一下．

图2 图1

2、观察图2并思考：图2中四边形是正方形吗？然后设法验证． 3、观察下列图形，回答下列问题：

（1）线段a，b相等吗? （2）谁与线段d在一条直线上？

a

b

通过观察四幅图使我们明白：眼见 （未必、一定）为实，只有实践才能出真知的道理。

【设计意图】通过看一看，让学生明白视觉有可能产生错觉，了解生活中的错觉.然后

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通过测量让他们知道仅仅靠观察得到的数学结论不一定正确，同时也锻炼了学生的语言表达能力。

在活动1的基础上，问：所有的数学结论都可以用实验的方法来验证吗？ 活动二：想一想，量一量

如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你猜一猜，再设法检验你的猜想。你能肯定你的结论对所有的?ABC都成立吗?与同伴进行交流。

位置关系： 数量关系：

学生以小组为单位进行讨论交流。

活动2让我们明确：毕竟是测量结果，测量有 ，结论难以令人信服，还需寻求更可信的方法。

【设计意图】通过测量得到问题的结论，多次实验后认为结论的正确性，但毕竟是测量得出的，还得需要证明，让学生体会证明的必要性。 活动三：做一做，推一推

质数：就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数又叫做 数。如2，3，5，7，11，13，17，19，23……这样的数就是质数。

合数：一个数的约数除了1和它本身，还有其它的约数，叫做合数. 如 4、6、8、9、10、12、14、15、16……这样的数就是合数。 寻找质数：（1）不难发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2－n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n， n2－n+11的值都是质数。你认为呢？与同伴交流。

n n2－n+11 是否为质数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … （2）你能否得到结论：对于所有自然数n， n2－n+11的值都是质数？ 先猜测，后验证判断。

答：猜测结果为 。 别太相信你的眼验证如下： 睛和直觉呦！

判断：猜测的结果与验证的结果 一样。 举反例是一种常用验证数学结论不正确的方法。

【设计意图】让学生进一步对归纳所得的结论产生怀疑，且体验举反例是判断错误结论的方法.通过该题的计算，用归纳的方法，仍不能判断数学结论的正确性，同时培养了学生的合作竞争意识。 活动四：试一试，算一算

设圆的半径为r，则圆的周长C= ；若圆的周长为C，则圆的半径r= 。 一个圆环外圆周长比内圆周长多6πcm，则环宽为______cm．

如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与赤道之间的间隙能有多大？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。

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答：猜测结果为 。 验证如下：

解：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为：

()c?1c???________(m)= (cm) 2?2?2?答：它们的间隙不仅 ，而且 。 说明：猜测的结果与验证的结果 一样。

进一步明确：要说明一个结论是否正确，光靠观察、猜测是不够的，必须经过有根有据的 才行．

学生先自己感觉，然后再分小组讨论交流，发表自己的见解，最后进行计算验证自己的所想。教师参与到学生中间去，对计算有所迷惑的小组，进行适当的引导。验证结束后，小组派代表回答.

【设计意图】通过这个问题让学生感受凭直觉得到的结论不一定正确，需要通过计算进行推理.感受为什么要证明。 三、归纳明晰 活动一：读一读 课本“费马的失误”

【设计意图】通过阅读材料使学生认识到，仅由几个特殊情况归纳出来的结论并不可靠，即使如费马这样的名家，归纳的结论也难免错误。 活动二：议一议

【师】实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验等方法是人们认识事物的重要手段。那么通过实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验等方法得到的结论都正确吗？通过以上问题，你怎样才能判断一个结论是否正确?说说你的经验与困惑。 学生讨论交流，教师参与其中，然后进行归纳。

【生】实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验是不够的，必须进行有根有据的证明。

【设计意图】本环节是本节课的重难点，从学生的实际情况出发，让学生理清判断一个数学结论的正确性必须进行有根有据的证明.利用小组合作方式培养学生的合作意识。

【实际效果】学生在自由愉快的环境中学习，在讨论中探索知识，最后得出结论。 四、巩固提高 1.随堂练习

22.当n为正整数时，n?3n?1的值一定是质数吗?

3.下列判断是否正确?

（1）从书架上抽出5本书，5本书都是数学书，因此书架上的书都是数学书. （2）有一条线段AB长3cm，另一条线段BC长2cm，那么AC长为5cm. 4.此次数学考试七年级九班全班65名学生没有不及格的。李妙是七年级九班的一名学生，由此推断李妙考试 (填“及格”或“不及格”)。

（学生先独立完成，然后再交流自己的结果， 教师巡视，了解学生对知识的掌握情况。）

【设计意图】在巩固提高过程中，让学生进一步体会证明的必要性，明白数学来源于生活，又服务于生活，联系生活. 五、课堂小结

【师】通过本节课的学习，你有哪些收获？和大家一起分享吧！

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【生1】我知道了眼睛看见的未必是真实的. 【生2】实验得到的结论也不一定是真实的. 【生3】归纳得到的结论同样不一定真实.

【生4】要判断一个数学结论是否正确，仅仅靠观察、测量、经验或实验是不能确定的，必须是一步一步有根有据的证明。 ……

学生畅所欲言，相互进行补充，用自己的语言进行归纳 【设计意图】引导学生自己小结本节课的的知识点，使学生再次回顾探索的整个过程，体会学习的成果，感受成功的喜悦，在整个过程中，体会证明的必要性. 五、布置作业 习题7.1

板书设计： 7.1为什么要证明 活动探究： 活动一：猜一猜，比一比 巩固提高： 活动二：想一想，量一量 活动三：做一做，推一推 活动四：试一试，算一算 活动五：读一读 活动六：议一议 例题： 结论： 要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验。 观察、归纳、猜测、直觉、经验是不够的，必须进行。 有根有据的证明。

§7.2 定义与命题（一）

【教学目标】 知识与技能：

1.了解定义、命题、真命题、假命题的含义。 2.了解命题的结构，会区分命题的条件和结论；会把一个命题写成“如果??那么??”的形式；会判断命题的真假。

3.用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征。 过程与方法：

1.经历感受定义的含义，体验命题的含义，感悟数学术语的科学性和严密性.

2.从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性，通过对某些语句特征的判断学会严谨的思考习惯。

3.通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法。 情感态度价值观：

1.通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立

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统一体。

2.通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系。

3.在合作交流的过程中，鼓励学生大胆尝试，获得成功的体验，培养学生合作意识和团队精神。

【教学重点】理解命题的组成：条件和结论；会判断命题的真假。 【教学难点】找出命题的条件和结论 【教学方法】引导发现、合作探究 【教学过程】

第一环节：情景引入（由学生表演） 活动内容：

小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》. 小亮说：……

小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……” 小亮说：“……” 小刚说：“……” 小亮说：“哈！，这个黑客终于被逮住了.”……

坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着： 一人说：“这黑客是个小偷吧？”

另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼。”…… 一人说：“那因特网肯定是一张很大的网。”

另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网。”……（表演结束） 教师提出问题：在这个小品中，你得到什么启示？

人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行。为此，我们需要给出它们的定义。——引入新课

① 关于“黑客”对话的片断来引入生活中交流时必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行；

② 对定义含义的解释；

③ 举例说明生活中和数学学习中所熟知的定义（学生举例，看哪个小组的举例又多又好）。

活动目的：让学生通过对一个学生比较感兴趣的名词：“黑客”、“因特网”的不同理解，从而使学生了解定义的含义，由此产生了对定义的兴趣。

第二环节：了解定义、命题含义

活动内容1：定义的含义（师生互动）

［师］在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义.

如：“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国

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公民”的定义。

大家还能举出一些例子吗？

［生］“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。 ［生］“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义。

［生］“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是“平行四边形”的定义。 ［生］“角是由两条具有公共端点的射线组成的图形”是“角”的定义。 ……

［师］同学们举出了这么多例子。说明定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定。

设计意图：兴趣是最好的老师。根据学生的年龄特点，安排趣味情境，提出问题，设置悬念，激发学生学习兴趣。而且从身边的生活实例引出数学问题，学生更熟悉。同时在这个设计的这个环节，培养了学生的自学能力，独立思考解决问题的能力。 活动内容2：命题含义（投影展示情景） 如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染。 如果B处工厂排放污水，那么__________处便会受到污染； 如果C处受到污染，那么__________处便受到污染； 如果E处受到污染，那么__________处便受到污染； 如果环保人员在h处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？你是怎么想的？与同伴交流。 ［生］如果B处工厂排放污水，那么a、b、c、d处便会受到污染. ［生］如果B处工厂排放污水，那么e、f、g处也会受到污染的. ［生］如果C处受到污染，那么a、b、c处便受到污染. ［生］如果C处受到污染，那么d处也会受到污染的. ［生］如果E处受到污染，那么a、b处便会受到污染.

［生］如果h处受到污染，我认为是A处的那个工厂或B处的那个工厂排放了污水.因为A处工厂的水向下游排放，B处工厂的污水也向下游排放。

学生讨论交流互动，老师归纳：同学们在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断。像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题。 即：命题是判断一件事情的句子。如：

熊猫没有翅膀；对顶角相等。大家能举出这样的例子吗？……

［师］很好。大家举出许多例子，说明命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，

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不能同时既否定又肯定。如： 你喜欢数学吗？ 作线段AB=a.

平行用符号“∥”表示.

这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题。一般情况下：疑问句不是命题。图形的作法不是命题。

小结：命题的判断只有两种形式，要么肯定，要么否定。作判断时，必须泾渭分明，不能模棱两可；二是命题的句子只能是完整的句子，对一件事情的前因后果应叙述完整。从语法上讲，它应是陈述句，不能是祈使句、疑问句或感叹句。

活动目的：通过对水流的污染问题引入命题的概念，使学生了解命题的含义，会判断某些语句是不是命题。学生通过小组讨论交流、互相帮助，培养了合作学习团队精神。

第三环节：探索命题的结构与真假 活动内容Ⅰ：课本想一想

1．探讨命题的结构特征：投影展示

观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同结构特征？与同伴交流。 （1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等。 （2）如果a=b，那么a2=b2。

（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。 （4）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。

（5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 分小组交流讨论，教师引导进行归纳。 2．总结命题的结构特征

学生活动——探索命题的结构特征，学生观察、分组讨论，得出结论 （1）上述命题都是“如果……，那么……”的形式叙述的。 （2）上述命题都是由已知得到结论。 （3）上述个命题都有条件和结论。 教师活动——归纳总结

（1）一般地，每个命题都是由条件和结论两部分组成的，条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项。

（2）命题通常都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出部分是条件，“那么”引出部分是结论。每个命题都有条件和结论。

活动目的：对命题的结构进行分析，让学生会判断一个命题的条件和结论。

应告诫学生当一个命题改写成“如果……那么……”的形式时，要注意改写时不要机械地添上“如果”和“那么”，应适当地补充一些修饰语句，使改写后的语句通顺，完整。 活动内容Ⅱ：课本做一做

1．探究命题的真与假：投影展示

找出下述命题中的条件和结论，指出它们哪些是正确的命题？哪些是不正确的命题？你又是如何知道的呢？

（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果a≠b，b≠c，那么a≠c； （3）全等三角形的面积相等。 （4）等腰三角形的两个底角相等。

（5）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 分组交流、讨论、教师引导使得学生形成共识。

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2．探究真假命题的验证 结论：

（1）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。 （2）有的命题的描述没有用“如果……那么……”的形式，在分析时可以扩展成这种形式，以分清条件和结论。

（3）说明一个命题是假命题，通常举出一个反例就可以了。使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。但是要说明一个命题是正确的无论验证多少个特例，也无法保证命题的正确性．如何验证命题的正确性呢？

活动目的： 使学生了解命题有真假之分，并且知道怎样去判断真假命题。 第四环节：展示生动 活动内容1：随堂练习 活动内容2：

1.你能列举出一些命题吗？ 2.举出一些不是命题的语句。 答案：如：

①画线段AB=3 cm.

②两条直线相交，有几个交点？ ③等于同一个角的两个角相等吗？

④在射线OA上，任取两点B、C。等等。

3.认真思考以下句子，并回答哪些是命题，并判断命题的真假。 （1）动物都需要水 （是） （2）猴子是动物的一种（是） （3）美丽的天空（否） （4）负数都小于零（是）

（5）你的作业做完了吗？（否） （6）如果a=b，a=c，那么b=c（是） （7）如果|a|=3，那么a=3（是） （8）作线段AB的中垂线（否）

（9）两个锐角之和一定是钝角（假命题）

活动目的：训练与反馈。让学生展示这节课的成果，培养了学生的自信心。 第五环节：课堂小结

活动内容：师生互动，归纳总结： 1.本课时学习了什么内容？ 2.有哪些数学方法？ 3.你还有哪些困惑？

设计意图：前后呼应，让整堂课成一整体。让学生进一步感受一方面数学来源于生活又实践于生活，感受学习数学知识的重要性. 同时使学生对本节知识体系有一个清晰的认识。同时对本节课中还存的困惑，及时的进行解决，不让学生留下残缺，争取达到透彻的目的。

第六环节 课后作业 习题7.2

§7.2 定义与命题（二）

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【教学目标】 知识与技能

1.理解公理、定理和证明的含义以及它们与命题之间的联系与区别。 2.理解本教科书上的八条基本事实，并通过实例感受证明的过程与格式。

3.结合实例意识到证明的必要性，培养说理有据，有条理的表达自己想法的良好意识，体会证明的严密性。 过程与方法

1.通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立统一体。使学生学会反面思考问题的方法，培养学生的语言表达能力。 2.经历实际情境，初步体会公理化思想和方法。 情感态度与价值观

阅读有关《原本》和公理化的资料，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣。 【教学重点】正确区分公理、定理和证明间的关系。

【教学难点】如何证明一个定理，明确证明的过程与格式。 【教学方法】探讨发现、合作交流 【教学过程】

第一环节：回顾引入 1.活动内容：投影展示 阅读下面的句子：

①三角形内角和等于180°。 ②对顶角相等。 ③今天天气好吗? ④连接A，B两点。 ⑤正数大于负数。 ⑥作线段AB∥CD。

⑦能被5整除的数末位数字一定是0。 ⑧绝对值相等的两个数一定相等。 ⑨天空是美丽的。

（1）在上面的句子中，属于命题的是：

（2）在上面的句子中，是命题的改写成“如果……，那么……”的形式，并说出它们的条件和结论。

（3）在上面的命题中，假命题的是

设计意图：学生举手发言，提问个别学生。回顾上节知识，为本节课的展开打好基础。 2.引入新课

想一想：举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？

设计意图：由上节课的知识内容自然的过度到本节课的知识点，开门见山，直奔主题， 为本节课的展开打好基础做好铺垫，自然地过渡到本节课的目标，从而出示目标。 3.出示本课时教学目标

多媒体出示，让一名学生读出来，共同学习，从而明确本节课的学习目标。 设计意图：明确本节课的学习目标，使学生的学习有针对性。 第二环节：介绍《几何原本》、公理、定理等知识 活动内容：读一读《原本与几何原本》 1.学生阅读：

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在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。公元前3世纪，人们已经积累了大量知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》，为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创新:挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理，除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。 2.教师说明： （1）《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍象《原本》这样编排，因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作。 （2）公理、证明及其定理的定义 ①公理：公认的真命题称为公理 ②证明：演绎推理的过程称为证明。

除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。 ③定理：经过证明的真命题称为定理。

每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。且证明时所需的定义、公理和其它定理都要编写在这个定理的前面。

（3）公理、定理、概念和证明的关系（投影展示）

有关概念、公理 定理1

条件1

有关概念、公理 定理2

定理3 ……

条件2 ……

第三环节：介绍本教材的公理（学生阅读）

本套教材选用九条基本事实（即公理）作为证明的出发点和依据。（略） 其它公理：

此外，数与式的运算律和运算法则，等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质也可作为证明的依据。比如：如果a=b，b=c，那么a=c．（等量代换）

活动目的：采取教师讲解与学生习读相结合的方式。培养学生公理化思想和方法，养成科学、严谨思维习惯。

第四环节：交流汇报，教师点拨 1.探究证明的格式

活动内容：自学例题，并总结得出“对顶角相等”这一定理。注意格式及每一步的依据。 处理方式：学生先自学例题，然后小组讨论交流每一步的依据，最后教师点拨注意格式。

2.课本所给定理共有三条，你是如何证明的？小组交流成果。

处理方式：让学生分小组合作讨论，得出证明的方法。当然三个定理学生未必能一一做出，多数学生可能考虑根据条件，画出图形，结合图形，写出 已知、求证；最后有条理地写出证明过程来解决，所以教师可以作必要引导，然后学生根据教师的引导作进一步的求解。

设计意图：以“小组学习”的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，既培养了学生数学转化的思想意识，又提高了学生的观察力和运用数学语言的表述能力.

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3.明确证明一个文字题应该写出已知及其求证，最后来证明，每证明一步要写出依据。 第五环节：练习巩固，拓展提高 活动内容：随堂练习。

处理方式：可由学生直接到黑板板演过程，其余学生练习本上完成。完成后可由学生对板演的过程进行矫正，充分发挥学生的小老师的作用。 设计意图：通过该题让学生进一步体会证明定理的一般步骤： 1.根据条件，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； 2.结合图形，写出 已知、求证；

3.分析因果关系，找出由已知推出结论的途径； 4.有条理地写出证明过程(每一步推理要有依据)。 第六环节：反思与小结

活动内容：这节课你的主要收获是什么？还有没有感到困惑的地方？ 学生畅谈自己的收获，并提出自己的困惑之处！

设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，学生对本节课所学进行梳理，形成了较为清晰的知识脉络。并养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识。 第七环节：课后作业： 习题7.3 附1：初中数学九大公理，三大重要思想 九大公理（即九条基本事实）： 12 ①两点确定一条直线。 ②两点之间线段最短。 ③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 本节知识概念图 附2：

§7.3平行线的判定

【教学目标】

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知识目标：

1.理解掌握平行线的判定公理及两个判定定理。

2.通过经历探索平行线的判定方法的过程，逐步掌握规范的推理论证格式。 技能与方法：

通过学生画图、讨论、推理等活动，发展学生的逻辑推理能力，了解化归和分类的思想。

情感、态度与价值观：

通过活动及实际问题的探究，使学生了解数学知识的联系性，在观察，猜想，思考的推理过程中培养学生们的合作交流意识。

【教学重点】平行线的判定公理和定理的应用 【教学难点】证明过程的规范表达

【教学方法】尝试指导、引导发现、交流讨论 【教学过程】

第一环节：情景引入

活动内容：回顾两直线平行的判定方法

师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？

生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线。

生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行。 师：很好。这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的。 上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题。除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实。

我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义。“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理。那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨。引入新课

活动目的：由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回忆起这些知识，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔。

第二环节：探索平行线判定方法的证明 活动内容证明1：投影展示

证明1：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言。所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：

c如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被

直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补．

a求证：a∥b． 1

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b3如何证明这个题呢？我们来分析分析。

师生分析：

要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明。这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行。

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因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°，所以：∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°，所以∠1=180°－∠2，因此由等量代换可以知道：∠1=∠3。

学生分小组讨论并书写推理过程，投影展示学生成果。

师：这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理。

这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行． 注意：

（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据。用来证明新定理。 （2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内。

活动内容证明2：投影展示

证明2：内错角相等，两直线平行。

师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（投影展示）

学生独立用规范的语言书写这个真命题的证明过程，然后交流展示。

师：这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行． 活动内容3：投影展示

借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？ 生1：已知，如图，直线a⊥c，b⊥c．求证：a∥b．

生2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论．

师：同学们讨论得真棒。下面我们总结借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，可以得到哪个正确的结论？哪些可以判定两直线平行？

活动目的：通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式。 第三环节：反馈练习 活动内容：随堂练习

活动目的：巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况进行分析，以便调整前进． 第四环节：课堂小结

活动内容：教师引导学生反思总结。

① 这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．同学们来归纳一下完成下表：

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∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等） ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换) 活动目的：

用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力。 教学效果：

添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的．

活动内容二：想一想、开阔思野：

“搬三个角”的特点：把角?搬?到一起，让顶点重合、两条边形成一条直线，以便利用平角定义。 在证明三角形内角和定理时，可以把三个角集中到三角形的某一个顶点吗？引导学生叙述证明过程。 证明：过A点作DE∥BC ∵DE∥BC

∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等） ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换) 探讨：

那么是否可以把三个角集中到三角形的一边上呢？集中在内部任意一点上呢？外部呢？引导学生开阔思维，大胆探索证明方法。 让学生讲解自己的思维过程和解法。

解题反思：通过作辅助线，合理地把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角，这样就可以证明三角形的内角和等于180°。 活动内容三：例题解析

例1 如图在△ABC中，∠ABC=38°， ∠ACB=62°，AD平分∠BAC。 求∠ADB的度数。

学生交流完成、展示。最后师生共同订正。 第三环节：反馈练习 活动内容1：

（1）△ABC中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？ 2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？

（2）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？ （3）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？

（4）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角．

（5）任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角． （6）三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？ （7）已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A。 (a)求∠B的度数；

(b)若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？ 活动内容1：随堂练习 活动目的：

通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对三角形内角和定理的概念是否清楚，能否灵活运用三角形内角和定理，以便教师能及时地进行查缺补漏。

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第四环节：课堂小结 活动内容：

1、证明三角形内角和定理有哪几种方法？ 2、辅助线的作法技巧.

3、三角形内角和定理的简单应用.

活动目的：复习巩固本课知识，提高学生的掌握程度． 第四环节：课后作业 习题7.6

§7.5三角形内角和定理（二）

【教学目标】

1.理解掌握三角形外角的概念及三角形内角和定理的推论及其应用，体会几何中简单的不等关系的证明。

2.通过探索三角形内角和定理的推论的活动，培养学生的论证能力，拓宽学生的解题思路，从而使学生能灵活地应用所学知识解决实际问题。

3.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。

4.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣. 【教学重点】三角形内角和定理的推论

【教学难点】三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用 【教学方法】引导探究、交流讨论 【教学过程】

第一环节：温故知新，引入新课 活动内容1：

在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质。——板书课题 活动内容2：

概念：三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。

结合图形指明外角的特征有三： (1)顶点在三角形的一个顶点上． (2)一条边是三角形的一边．

(3)另一条边是三角形某条边的延长线．

活动目的：让学生回忆三角形内角和定理的证明，引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。 第二环节：合作探索，学习新知

要求学生按照对概念的理解画出三角形的外角，指名上台画外角并点评。 活动内容1：议一议：

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1、根据不同的结果，提出问题： 一个三角形有多少个外角？ 每个外角又与内角有什么关系？

∠1与△ABC的三个内角有什么大小关系？

也可设置如下问题探究三角形外角与内角的关系。 问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？

问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？

2、根据学生的回答提出：能够证明你的结论吗？ 由学生探讨三角形外角的性质，并归纳得出：

推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

活动内容2：三角形外角和探究

已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角． 求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°

分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角 之和即得证． 证明：（略）

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活动内容3：新知应用

例2 已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C． 求证：AD∥BC

分析：要证明AD∥BC，

E

只需证明“同位角相等”，即需证明∠DAE=∠B.

A D

想一想，还有没有其他的证明方法呢？

这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证. B C 还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.

例3 如图7-19，P是△ABC内一点，连接PB，PC. 求证:∠BPC>∠A

活动目的：通过例题的讲解让学生进一步熟悉三角形外角的两个推论，并知道如何利用推论进行解题，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考。尤其是通过例3的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性。 第三环节：课堂练习，加深理解 活动内容1：随堂练习

D 活动内容2：

2 已知：如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角，

E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE． C E 求证：∠1>∠2． 1

A B

F

第四环节：课堂反思，归纳小结

活动内容：

师：通过本节课的学习，你有什么收获？与大家分享。

学生畅所欲言，自行归纳出本节课所学知识，使学生对本节课的知识形成体系，便于学生理解、掌握与记忆。充分发挥了学生的主体作用，锻炼了学生分析、归纳、概括能力和语言表述能力。

推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 活动目的：

复习巩固所学知识，理清思路，培养学生的归纳概括能力． 第五环节：课后作业，强化目标 习题7.7

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第七章《平行线的证明》回顾与思考

【教学目标】 知识与技能：

1.复习本章学过的知识要点，了解各知识点之间的关系，巩固所学的知识，并能用这些知识解决一些问题。 2.掌握证明的步骤与格式．

过程与方法：经历知识的总结过程，回顾知识点，发展形成知识结构的能力。 情感、态度与价值观：进一步发展学生有条理地思考和表达的能力。

【教学重点】进一步理解掌握本章的公理及定理，掌握证明的步骤与格式，在证明过程中发展初步的演绎推理能力。

【教学难点】掌握证明的方法及应用定理解决问题 【教学方法】自主反思、归纳总结 【教学过程】

第一环节 知识回顾 活动内容：

1.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？举例说明！ 2.平行线的性质定理与判定定理分别是什么？ 3.三角形内角和定理是什么？

4.与三角形的外角相关有哪些性质？ 5.证明题的基本步骤是什么？ 活动目的：

通过学生的回顾与思考，使学生对平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质有一个更深层次的认识，为下一步的简易的逻辑推理作好知识准备．

知识网络图如下：

???定理??????判定??平行线???????性质??真命题?推论??证明?应用????分类???内角和定理????????三角形??推论（外角）证明?命题??????? ??公理??????假命题?反例???条件（题设部分）?结构????结论?第二环节 做一做

活动内容：

1.下列语句是命题的有（ ） （1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；（3）对顶角相等；（4）花儿在春天开放；（5）对应角相等的两个三角形是全等三角形；

2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例.

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（1）同角的补角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）若|a|=|b|，则a=b.

3.如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3=________. 4.用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是_____。 5.如图所示，△ABC中，∠ACD=115°，∠B=55°， 则∠A= ， ∠ACB= 6.△ABC的三个外角度数比为3∶4∶5，则它的三个外角度数分别为 _____. 7.已知，如图，AB∥CD，若∠ABE=130°， ∠CDE=152°，则∠ BED=__________.

AAFB

第 3 题图 第 5 题图 BED第7题图

CDC

活动目的：

通过以上习题的练习，使学生对本章的一些基本知识，如：定义、命题、平行线的性质定理与判定定理、三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念有一个更清楚的认识。

第三环节 想一想 活动内容：

1、已知，如图，∠1+∠2=180°，求证：∠3=∠4.

2、已知，如图，直线AB∥ED. 求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD.

活动目的：

学生在进行了一些必要的知识准备之后，有必要对学生进行简单几何证明题的训练，从而培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

第四环节 试一试 活动内容：

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将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短.而是如图的连法最短（即用线段AE、DE、EF、CF、BF把四个顶点连接起来），已知图中∠DAE=∠ADE=30°，∠AEF=∠BFE=120°，你能证明此时AB∥EF吗？

答案：能。证明（略） 活动目的：

通过螺旋式上升的练习，使得学生逐步提高学生的逻辑思维能力，发展学生的合情推理能力，提高分析问题的能力． 第五环节 反馈练习 活动目的：

通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求，体现不同的学生在数学上得到不同的发展． 第五环节 课后作业 《复习题》

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