精品2019高中数学第三章指数函数和对数函数3.2指数与指数函数课

※精品试卷※

3.2 指数与指数函数

A组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、选择题

1．(2018·茂名模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图像如图2-5-3所示，则函数g(x)＝a＋b的图像是( )

x

图2-5-3

C [由函数f(x)的图像可知，－1＜b＜0，a＞1，则g(x)＝a＋b为增函数，当x＝0时，g(0)＝1＋b＞0，故选C.]

3?22?32?2???2．(2016·山东德州一模)已知a＝??5，b＝??5，c＝??5，则( ) ?5??5??5?A．a＜b＜c C．c＜a＜b

B．c＜b＜a D．b＜c＜a

x32?2?xD [∵y＝??为减函数，＞，∴b＜c.

55?5?32

又∵y＝x5在(0，＋∞)上是增加的，＞，

55

2

∴a＞c，∴b＜c＜a，故选D.]

3．(2016·河南安阳模拟)已知函数f(x)＝a，其中a＞0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于( ) A．1 C．2

B．a D．a

2

xA [∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0. 又∵f(x)＝a，

∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a＝1， 故选A.]

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0

x※精品试卷※

?1?2x－x4．函数y＝??2的值域为( )

?2??1?A.?，＋∞? ?2??1?C.?0，? ?2?

1??B.?－∞，? 2??D．(0,2]

?1?t22

A [∵2x－x＝－(x－1)＋1≤1，又y＝??在R上为减函数，

?2??1?2x－x?1?11?1?∴y＝??2≥??＝，即值域为?，＋∞?.] ?2??2?2?2?

1?????2?x－7，x＜0，

5．设函数f(x)＝???

??x，x≥0，

A．(－∞，－3) C．(－3,1)

若f(a)＜1，则实数a的取值范围是( )

B．(1，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

?1?a?1?aC [当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为??－7＜1，即??＜8，

?2??2??1?a?1?－3

即??＜??， ?2??2?

1

因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；

2当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为a＜1， 所以0≤a＜1.

故a的取值范围是(－3,1)．] 二、填空题

3?－1?7?014?6．计算：??3×?－?＋8×2－4?2??6?

?－2?＝________.

?3?3??

2

31

2?12?1??2 [原式＝??3×1＋24×24－??3＝2.] ?3??3?

7．已知函数f(x)＝4＋ax－1

的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．

(1,5) [由f(1)＝4＋a＝5知，点P的坐标为(1,5)．] 8．若函数f(x)＝2________.

1 [由f(1＋x)＝f(1－x)得a＝1，从而函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，从而m的最小值为1.] 三、解答题

|x－a|

0

(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上是增加的，则实数m的最小值等于

?1?ax9．(2018·深圳模拟)已知函数f(x)＝??，a为常数，且函数的图像过点(－1,2)．

?2?

(1)求a的值；

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(2)若g(x)＝4－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．

－x?1?－a[解] (1)由已知得??＝2，解得a＝1.

?2??1?x(2)由(1)知f(x)＝??，

?2?

?1?x?1?x?1?x??1?x?2?1?x?1?x－x2

又g(x)＝f(x)，则4－2＝??，即??－??－2＝0，即????－??－2＝0，令??＝t，则t＞0，t－t－2

?2??4??2???2???2??2?

＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，

?1?x又t＞0，故t＝2，即??＝2，解得x＝－1，

?2?

故满足条件的x的值为－1.

1

10．已知函数f(x)＝x＋a是奇函数．

2－1

(1)求a的值和函数f(x)的定义域； (2)解不等式f(－m＋2m－1)＋f(m＋3)＜0.

111

[解] (1)因为函数f(x)＝x＋a是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即－x＋a＝即x－a，

2－12－11－2＝

－a＋ax1－2

x2

2

a·2x＋1－a1－2

xx1

，从而有1－a＝a，解得a＝.3分

2

又2－1≠0，所以x≠0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).5分

(2)由f(－m＋2m－1)＋f(m＋3)＜0，得f(－m＋2m－1)＜－f(m＋3)，因为函数f(x)为奇函数，所以f(－m＋2m－1)＜f(－m－3).

2

2

2

2

2

2

8分

2

2

由(1)可知函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的，从而在(－∞，0)上是减少的，又－m＋2m－1＜0，－m－3＜0，所以－m＋2m－1＞－m－3，解得m＞－1，所以不等式的解集为(－1，＋∞)．

B组 能力提升 (建议用时：15分钟)

2

2

12分

?1?a?1?b1．已知实数a，b满足等式??＝??，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b?2??3?

＝0.其中不可能成立的关系式有( ) A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

?1?x?1?x?1?a?1?bB [函数y1＝??与y2＝??的图像如图所示．由??＝??得a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.

?2??3??2??3?

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故①②⑤可能成立，③④不可能成立．]

2．(2018·江淮十校联考)函数f(x)＝x－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(b)与f(c)的大小关系是( ) A．f(b)≤f(c) C．f(b)＞f(c)

xxxx2

xxB．f(b)≥f(c) D．与x有关，不确定

xxxxA [由f(x＋1)＝f(1－x)知：函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，∴b＝2.由f(0)＝3知c＝3，∴f(b)＝f(2)，

f(cx)＝f(3x)．

当x＞0时，3＞2＞1，又函数f(x)在[1，＋∞)上是增加的， ∴f(3)＞f(2)，即f(b)＜f(c)；

当x＝0时，3＝2＝1，∴f(3)＝f(2)，即f(b)＝f(c)； 当x＜0时，0＜3＜2＜1，又函数f(x)在(－∞，1)上是减少的， ∴f(3)＞f(2)，即f(b)＜f(c)． 综上知：f(b)≤f(c)．故选A.]

3．已知f(x)＝?

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx?x1＋1?x3(a＞0，且a≠1)．

?

?a－12?

(1)讨论f(x)的奇偶性；

(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立． [解] (1)由于a－1≠0，则a≠1，得x≠0， ∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}. 对于定义域内任意x，有

2分

xxf(－x)＝?

x?－x1＋1?(－x)3

??a－12?

?ax＋1?(－x)3 ＝???1－a2?

＝?－1－＝?

??

113

＋?(－x) ?a－12?

x?x1＋1?x3＝f(x)． ?

?a－12?

5分

∴f(x)是偶函数.

(2)由(1)知f(x)为偶函数，

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∴只需讨论x＞0时的情况． 当x＞0时，要使f(x)＞0， 即?

?x1＋1?x3＞0，

?

?a－12?

ax＋1ax－

x0

11

即x＋＞0，即a－12

xx＞0， 9分

即a－1＞0，a＞1，a＞a.又∵x＞0，∴a＞1. 因此a＞1时，f(x)＞0.

12分

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