高考数学 备考冲刺之易错点点睛系列 专题08 立体几何(学生版)

立体几何

一、高考预测

立体几何由三部分组成，一是空间几何体，二是空间点、直线、平面的位置关系，三是立体几何中的向量方法．高考在命制立体几何试题中，对这三个部分的要求和考查方式是不同的．在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断、考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题，试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题；在空间点、直线、平面的位置关系部分，主要以解答题的方法进行考查，考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问；对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．

2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直.

3。直线与平面所成角的范围是]2,0[π；两异面直线所成角的范围是]2,0(π

.一般情况下，求二面角往往是指定的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可.

4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去

求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为a 时，其所成角的大小应为||arccos a .

特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是不一样的.本题中的向量1BD 与所成的角大小是两异面直线DE 与BD 1所成角的补角.

8.正方体中线面关系可以说是高考中的重点内容，相当一部分的高考题是以正方体作为载体进行命题，或是截取正方体的一部分进行命题.请特别关注正方体表面按不同形式的展开图，会由展开的平面图形想象立体图形.

9.三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚.外心：三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等（充要条件）；内心：三侧面与底面所成的二面角相等（充要条件）；垂心：相对的棱垂直（充要条件）或三侧棱两两垂直（充分条件）.

10.关注正棱锥中的几个直角三角形：（1）高、斜高、底面边心距组成的直角三角形；

（2）侧棱、斜高、底面棱长的一半组成的直角三角形；（3）底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的一半组成的直角三角形.（4）高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角

形.进一步关注的是：侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些直角三角形中.

11。特别注意有一侧棱与底面垂直且底面为正方形、直角梯形、菱形等四棱锥，关注四个面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热点内容.

12。对平面图形的翻折问题要有所了解：翻折后，在同一半平面内的两点、点线及两线的位置关系是不变的，若两点分别在两个半平面中，两点之间的距离一般会发生变化.要认清从平面图形到空间图形之间的联系，能够从平面图形的关系过渡到空间图形的关系，根据问题画出空间图形.

三、易错点点睛

2.（1）正方体ABCD—A1 B1 C1D1中，P、Q、R、分别是AB、AD、B1C1的中点。那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（）

（A ）三角形 （B ）四边形 （C ）五边形 （D ）六边形 (答案：D)

（2）在正三棱柱ABC -111A B C 中，P 、Q 、R 分别是BC 、1CC 、11A C 的中点，作出过

三点P 、Q 、R 截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。 答案：五边形。

【知识点分类点拔】解决异面直线所成角的问题关键是定义，基本思想是平移，同时对

本题来说是解决与两异面直线所成的等角的直线条数，将两异面直线平移到空间一点时，一方面考虑在平面内和两相交直线成等角的直线即角平分线是否满足题意，另一方面要思考在空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的条数，此时关键是搞清平面外的直线与平面内的直线所成的角θ与平面内的直线与平面外的直线在平面内的射影所成的角α的关系，由公式cos cos cos θαβ=（其中β是直线与平面所成的角）易知cos cos θα<θα?>，cos cos θβθβ（最小角定理）故一般地，若异面直线a 、b 所成的角为θ，L 与a 、b 所成的角均为?，据上式有如下结论：当02θ?<<

时，这样的直线不存在；当2πφ=时，这样的直线只有一条；当

22θπθ?-<<时，这样的直线有两条；当2πθ?-=时这样的直线有3条；当22πθ

π

?-<<时，这样的直线有四条

2.如果异面直线a 、b 所在的角为100?

,P 为空间一定点，则过点P 与a 、b 所成的角都

是50?的直线有几条？ A 、一条 B 二条 C 三条 D 四条 (答案：C)

【易错点4】求异面直线所成的角，若所成角为090，容易忽视用证明垂直的方法来求

夹角大小这一重要方法1、在三棱柱111ABC A B C -

中，若1AB =

，则11AB C B 与所成角的大小为（ ）A 、060 B 、090 C 、0105 D 、0

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【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。

解析：如图1,D D 分别为11,B C BC 中点， 连结1,A D D C ，

设11,B B A ==则则AD 为1AB 在平面1BC

上的射影。又

112BC BE BD C BC BC ==∠==22212cos DE BE BD BE BD C BC ∴=+-??

∠111232326=

+-??=而2220111,90362BE DE BD BED +=+==∴∠=∴11AB C B 与垂直。

【知识点归类点拨】

求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如0

90时，可以采用证明垂直的方法来求之

【易错点5】对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆

1、如图，在北纬045的纬线圈上有B 两点，它们分别在东经0

70与东经

0160的经度上，设地球的半径为R ，求B 两点的球面距离。

解析：设北纬0

45圈的圆心为O '，地球中心为O ，则00011607090,AO B ∠=-=

0145,,OBO OB R ∠==11,,O B O A R AB R ===连结,AO AB ，则0,60AO BO AB R AOB ===∴∠=11263AB R R ππ∴=

=。故A 、B 两点间的球面距离为1

3

R π。 【知识点归类点拨】数学上，某点的经度是：经过这

点的经线与地轴确定的平面与本初子午线（00经线）和地

轴确定的半平面所成的二面角的度数。某点的纬度是：经

过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。如下图：

图（1）：经度——P 点的经度，也是AB AOB ∠或的度数。图（2）：纬度——P 点的纬度，也是POA ∠PA 或的度数

（III ）由II 知，OF ⊥平面PBC ，F ∴是O 在平面PBC 内的射影.D 是PC 的中点，若点F 是PBC 的重心，则B 、F 、D 三点共线，∴直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD .OB PC ⊥ PC BD ∴⊥ PB BC ∴=，即1K =.反之，当1K =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥，O ∴在平面PBC 内的射影为PBC ?的重心.

方法二:OP ⊥平面ABC ,,,OA OC AB BC ==,,.OA OB OA OP OB OP ∴⊥⊥⊥ 以O 为原点，射线OP 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -(如图)，设,

AB a =

则,0,0)A ,,0)2B ,(,0,0)C .设OP h =, 则(0,0,)P h

(I) D 为PC 的中点，∴OD →＝1

(,0,)2h ，又,0,)PA a h →=-,∴OD →

＝-12PA →

∴OD →//PA → ∴OD //平面PAB .

【知识点分类点拔】解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：①要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？②所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？③所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？④怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论

【易错点7】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系数，导致出错

1如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，

60。

AD=PAD为等边三角形，并且与底面成二面角为0

求四棱锥P—ABCD的体积。

⊥。作PO⊥平面ABCD，解析：如图，去AD的中点E，连结PE，则P E A D

垂足为O ，连结OE 。

根据三垂线定理的逆定理得OE AD ⊥，所以PEO ∠为侧面PAD 与底面所成二面角的

平面角。由已知条件可060,6PEO PE ∠==，所以PO =P —ABCD 的体积

1

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P ABCD V -=??。【知识点归类点拨】计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易求

【知识点归类点拨】求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线，确定垂足，转化为解三角形求边长，或者利用空间向量表示点到平面的垂线段，设法求出该向量，转化为计算向量的模，也可借助体积公式利用等积求高

2、 如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影

是△ABD 的垂心G.（Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角

函数值表示）；(Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.

答案：（Ⅰ）;32arcsin （Ⅱ）3

62.

解法2 如图3所示，延长CE 与C 1B 1交于点F ，连结AF ，则截面A 1EC∩面A 1B 1C ＝AF ．∵EB 1⊥面A 1B 1C 1，∴过B 1作B 1G⊥A 1F 交A 1F 于点G ，连接EG ，由三垂线定理知∠EGB 1就是所求二面角的平面角．

即所求二面角的度数为45°．【知识点归类点拨】二面角平面角

的作法：（1）垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，

通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角。（2）垂线法：是指

在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；（3）三垂线法：是指利用三垂线定理或逆定理作出平面角

易错点10 三视图

一个棱锥的三视图如图，

则该棱锥的全面积（单位：2

cm ）为( )

（A ）48+（B ）48+

（C ）36+（D ）36+解析:棱锥的直观图如右，则有PO ＝4，OD ＝3，

由勾股定理，得PD ＝5，AB ＝62，全面积为： 21×6×6＋2×21×6×5＋2

1×62×4＝48＋122，故选.A 。

2、如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，∠ADB ＝90°，AB ＝2AD ．（Ⅰ）证明：PA ⊥BD ；

（Ⅱ）若PD ＝AD ，求二面角A -PB -C 的余弦值．

4、已知四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ABCD ⊥底面, 90ADC ∠=，AB CD ||，122AD CD DD AB ====. ⑴求证：11AD B C ⊥； ⑵求二面角11A BD C --的正弦值;

（3）求四面体11A BDC 的体积.

A

1C D 1D A B B 1C 1

5、如图，在四面体ABCD 中，二面角B CD A --的平面角为?60，

,CD AC ⊥,CD BD ⊥且,2BD CD AC ==点E 、F 分别是AD 、BC 的

中点.

(Ⅰ)求作平面α，使EF ?α，且AC ∥平面,αBD ∥平面α；

（Ⅱ）求证：BCD EF 平面⊥.

7、如图，在三棱柱__111ABC A BC 中，1,AC BC AB BB

⊥⊥，12,AC BC BB D ===为AB 的中点，且1CD DA ⊥.

①求证：1BB ⊥平面ABC ；

②求多面体__111DBC A B C 的体积.

8、三棱锥O-ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，P 为OC 中点，PQ 垂直BC 于Q ，OA=OB=OC=2，过PQ 作一个截面，交AB 、AO 于R 、S ，使PQRS 为梯形。

（1）求SO AS 、RB

AR 的值； （2）求五面体ACPQRS 的体积。

P C D E F B A 9、如图，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，

AB=2AD=2，点E 为AB 上一点

(I) 当点E 为AB 的中点时,求证；BD 1//平面A 1DE

(II )求点A 1到平面BDD 1的距离；

(III) 当

时，求二面角D 1-EC-D 的大小.

11、如图所示四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,四边形ABCD 中,AB AD ⊥,//BC AD ,2PA AB BC ===,4AD =,E 为PD 的中

点,F 为PC 中点.（Ⅰ）求证:CD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求证://BF 平面ACE ；

（Ⅲ）求直线PD 与平面PAC 所成的角的正弦值；

12、如右图所示，四棱锥P —ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD 是∠ADC=60°的菱形，M 为PB 的中点．（1）求PA 与底面ABCD 所成角的大小；

（2）求证：PA ⊥平面CDM ；

（3）求二面角D—MC—B的余弦值．

15、如图5，AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，O是圆柱上底面的圆心，BF过O点，DE是过O点的动直径，且AB=2，BF=2AB.

（1）求证：BE⊥平面ACD；

（2）当三棱锥D—BCE的体积最大时，求二面角C—DE—A的平面角的余弦值.

题图

第19

17、如图所示，圆柱的高为2,PA 是圆柱的母线， ABCD 为矩形, AB=2，

BC=4， E 、F 、G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点。

（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；

（2）求证：PB//面EFG ；

（3）在线段BC 上是否存在一点M ，使得D 到平面PAM 的距离为2？

若存在，求出BM ；若不存在，请说明理由。

18、如图所示， 四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA = 1， PD ＝

2 ，E 为PD 上一点，PE = 2ED ．

（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求二面角D －AC －E 的余弦值；

（Ⅲ）在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF // 平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

E P D B A

E-中,底面ABCD为正方形, AE⊥平面CDE,已知

20、如图,在四棱锥ABCD

=DE

AE.（Ⅰ）若F为DE的中点,求证: BE//平面ACF；

,3=

4

（Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值；

E-有外接球，求出四棱

E-外接球的半径，没有的话请说明理由.

锥ABCD

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