2011届江苏省百校高三样本分析考试_数学

已经修改多得可以放心使用,高三最后阶段冲刺卷内有详细的解答答案

2011届江苏省百校高三样本分析考试

数 学 试 卷（I卷）

锥体的体积公式: V锥体=

Sh，其中S是锥体的底面积，h是高； 3

n

n

2

2

样本数据x1，x2， ，xn的方差s xi ，其中 xi．

i 1i 1

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．若复数z满足iz 2 3i（i是虚数单位），则z．

2．已知命题P：“ x R，x 2x 3 0”，请写出命题P的否定：． 34562

7．设函数fx为奇函数，则实数a ．

x

2

2

(第5题)

8．已知圆O：x y 9，过圆外一点P作圆的切线PA,PB（A,B为切点），当点P在直线2x y 10 0上运动时，则四边形PAOB的面积的最小值为 ▲ ．

9．在三棱锥P ABC中（如图所示），PA⊥面ABC，AB AC 3，PB PC 5，

BC 2，则点A到面PBC的距离为．

1

10．已知函数y 的图像与函数y logax（a 0且a 1）

2

x

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的图像交于点P(x0,y0)，如果x0 2，那么a的取值范围是．

x y 2 0

11．动点P(a,b)在不等式组 x y 0表示的平面区域内部及其

y 0

边界上运动，则

a b 3

的取值范围是 ▲ ． a 1

12．将首项为1，公比为2的等比数列的各项排列如右表，其中 第i行第j个数表示为aij(i,j N*)，例如a32 16．若aij 22011，则i j ▲ ． 解：ai1 2

n(n 1)1 2 4

8 16 32

（第12题）

所以有aij 2

n(n 1) 2j 1 263 31 58

13．记数列{an}的前n项和为Sn，若{d的值为．

解：用n 1,2,3代入得a1 a2d,a3 14．已知函数f(x) |1 为 ▲ ．

Sn

是公差为d的等差数列，则{an}为等差数列时an

2d

a2 a1 a3 2a2 2d2 3d 1 0

1

|,若0 a b，且f(a) f(b)，则2a b的最小值 x

解；所以1 所以用替代法立得 a (1 b)

二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤．

15.（本题满分14分）已知函数f(x) sinx cosx，f (x)是f(x)的导函数.

（I）求f (x)及函数y=f (x)的最小正周期； （Ⅱ）当x [0,

2

]时，求函数F(x) f(x)f (x) f2(x)的值域.

16.（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，点M、N分别为线段A1B、A1C1的中点，平面A1BC 侧面A1ABB1.

（Ⅰ）求证：MN//平面BCC1B1； （Ⅱ）求证：BC⊥侧面A1ABB1.

A1

N

C1 B1

M

C A处A 17．（本题满分15获悉后，测出该渔船在方位角为30 ，距离为10海里的C处，90

B

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的方向，以30海里/时的速度向小岛P靠拢．我海军舰艇立即以3海里/时的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．（注：方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角）

18.（本题满分15分）圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦.若圆锥曲线上的一条弦垂直

于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦.已知点P(x0,y0)、M(m,n)是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0).

（Ⅰ）试用x0,y0,m,n的代数式分别表示x

E

222

（Ⅱ）已知“若点P(x0,y0)是圆C：x y R上的任意一点（x0 y0 0），MN是垂直于

x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)，则

2

x2y2

. 类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为2 2 1(a b 0)（如xE xF R”．．ab

图），则xE xF也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明. ．．

(0 aa22 a3an 19．（本题满分16分）已知数集A a1,a2, an 1 a1, n 2a n,n 2)具有1

性质P：对任意自然数i,j 1 i j n ，aj

ai与aj ai两数中至少有一个属于A.

（Ⅰ）分别判断数集 1,2,3 与 0,3,6 是否具有性质P，并说明理由； （Ⅱ）证明：a1

0，且a1 a2 a3 an an；

n2

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（Ⅲ）证明：数列 an 是等差数列.20．（本题满分16分）已知：二次函数f(x) ax2 bx 1，其中a,b R，g(x) ln(ex)，且函数F(x) f(x) g(x)在x 1处取得极值.

（I）求a,b所满足的关系；

（II）若直线l：y kx(k R)与函数y f(x)在x [1,2]上的图象恒有公共点，求k的最小值；

（III）试判断是否存在a ( 2,0) (0,2)，使得对任意的x [1,2]，不等式

(x a)F(x) 0恒成立？如果存在，请求出符合条件的a的所有值；如果不存在，说

明理由.

数学Ⅱ（附加题）

21．[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答．．．．．．．题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．若多做，则按作答．．．．．．的前两题评分．

A.选修4—1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，延长AB到C，使AB 2BC，过点C作圆O的切线CD

D

与圆切于点D，连结AD，求 DAC的度数．

B.选修4—2: 矩阵与变换

设变换矩阵M ，N

A

O

C

（第21题A）

2 00 3 0 1 1

． 0

（I）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；

22

（Ⅱ）写出圆x y 1在矩阵NM的作用下的新曲线的方程．

C．选修4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，圆C的方程为 2cos ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴

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x 1 2t

建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 （t为参数），求圆C上的任意一

y 2t

点到直线l的距离的最小值．

D．选修4—5: 不等式选讲

已知a,b，c均为正数，证明：a b c (值时，等号成立．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解．．．．．．．答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22．（本题满分10分）某同学参加学业水平测试3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为0.5，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

3

3

3

1113

) 18，并确定a,b,c为何abc

(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求p，q的值； (Ⅲ)求数学期望E .

23．（本题满分10分）斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面为一等腰直角三角形，直角边AB=AC=2，侧棱与底面成60 角，BC1⊥AC，BC1=26，求BC1与底面ABC所成角的正弦值.

1

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数 学 试 卷（I卷）参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

562

1．3 2i 2． x R,x 2x 3 0 3． 4 4． 5． 6．乙

67

7． -1 8．

9．

14

．

143

10．[16, ) 11． ， 1 3， 12．122 13．1或

23

3

2

二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤．

15.

解

：

（

I

）

∵

f (x) cosx sinx， 2分

∴ f (x) cosx

sinx= x 所以y=f (x)的最小正周期为T＝2

π. 5分 （Ⅱ）

4

)，

F(x) cos2x sin2x 1 2sinxcosx 1

sin2x cos2x 1x )， 9

4

分

∵x [0,

2

]，2x

5

[,],∴444

sin(2x ) [， 12分

4∴函数F(x

)的值域为

0,1 . 14分

16.证明：（Ⅰ）连接BC1，在三角形A1BC1内，点M、N分别为线段A1B、A1C1的中点，

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∴

MN//BC1， 4

分

又

MN 面A1BC1， BC1 面A1BC1C

分

，∴

MN//

平面

B

11. 6

BC

（Ⅱ）过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，

则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC 侧面A1ABB1=A1B,得

AD

⊥

平

面

A1BC, 10分

又BC 平面A1BC，所以AD⊥BC. 因为三棱柱

ABC—A1B1C1是直三棱柱， ∴ AA1⊥底面

ABC， 12分

所以AA1⊥BC. 又

AA1

AD=A，从而BC⊥侧面

A1ABB1 . 14分 17． 解：设舰艇收到信号后x小时在

B

处靠拢渔船，则

AB 3x,BC 30x， 2分

又AC 10, ACB 120 ， 由余弦定理，得 AB AC BC 2AC BCcos ACB， 即

2

2

2

(3x)2 102 (30x)2 2 10 (30x)cos120 ， 5

分

2

化简，得 18x 3x 1 0，解得x

1

(小时) 20(分钟)（负值舍3

理

，

得

去）． 8分 由正

弦定

ABBC

． 10分

sin ACBsin BAC

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sin BAC

BCsin ACB30xsin120 1

AB2x

．所以

BAC 30 ， 13分

所以方位角为30 +30 =60 ．

答：舰艇应沿方位角为60 的方向航行，经过20分钟就可以靠近渔

船． 15分

18.（Ⅰ）解：因为MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，所以N(m, n)，

则lMP:y n

y0 n

(x m) x0 m

my0 nx0

y0 n

令y 0,则xe 用 n n 同理可得：xF

my0 nx0

，

y0 n

m2y02 n2x02

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：xE xF ，

y02 n2

x2y2

M,P在椭圆C：2 2 1上，

abx02m222

∴n b(1 2),y0 b(1 2)，

aa

2

2

x02m222

mb(1 2) b(1 2)x0

b2(m2 x02)2 a 则xE xF （定值）. 222

xbm22

(m x)b2(1 02) b2(1 2)02aaa

22

∴xE xF是与MN和点P位置无关的定值.

19．解：（Ⅰ）由于3+3与3-3均不属于数集 1,2,3 ，∴该数集不具有性质P.

0, 6由于0 0,3

P. 4分

0 ,33 ,6 3都,6属于数集 0,3, 6， ∴该数集具有性质

（Ⅱ）∵A a1,a2, an 具有性质P，∴aj由于

ai与aj ai中至少有一个属于A， an an an

，故

n 2时，0 a1 a2 a3 an,

∴

an an A

.

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从而0 an∵0 a1∴an

an A，∴a1 0.

a2 a3 an（,n 2），

ak an故an ak A(k 2,3, ,n).

由A具有性质P可知

an ak A(k 1,2, ,n).

又∵an an∴an

an an 1 an a2 an a1，

an a1 0,an an 1 a2, an a2 an 1,an a1 an，

从而an an an an 1 an a2 an a1 a1 a2 an，

n

an. 2

n

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a1 a2 a3 an an ①

2

n 1

an 1 n 2 ② ∴a1 a2 a3 an 1 2

nn 1

an 1， 由①-②得an an

22 an ∴a1 a2 a3

(n 2)an (n 1)an 1 n 2 ③

∴(n 1)an 1 nan④，

由④-③得(n 1)(an 1 2an an 1) 0(n 2)，

an 1 2an an 1 0， 即an 1 an an an 1.

故数列

an 成等差数列. 2

2ax2 bx 1

(x 0)，20．解：（I） 由已知得F(x) ax bx 1 ln(ex)，∴F (x)

x

∵F (1) 0，∴b 1 2a，

2ax2 (1 2a)x 1

代入F(x)

x

'

2a(x

1

)(x 1)2a， x

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∴

1 12a

，

1

a 2分

2

（II）由题意得：方程kx ax2 (1 2a)x 1在x [1,2]时总有解，

1ax2 (1 2a)x 1

∴k ，即k ax 1 2a，

xx

∵当a 0时， k ax

1

1 2a在x [1,2]时单调递减，∴x

k

3

， 4分 2

113

当0 a 时，由k a 2 0，同理可得k ，

4x2

当

111

a 1时，由ax 1 2a 2a 1 2a（当且仅当x 时，取4xa

“=”）得k 2a 1 2a，

a 1 当时，同理

k 2 a. 6分

可得

∴要使得直线l：y kx(k R)与函数y f(x)在x [1,2]上的图像总有交点，

31

、2a 1 2a（ a 1），2 a（a 1）三者中的最大值，

42

12331

∵2a 1 2a 2(a ) （ a 1），又2 a 1（a 1），

2224k∴ 的最小值为

实数k应取

3

. 10分 2

（III）∵F(x) ax (1 2a)x lnx ，

当a (0,2)时 ∵x [1,2]，∴由(x a)F(x) 0得F(x) 0，

2

2ax2 (1 2a)x 1

∵F(x)

x

'

2a(x

1

)(x 1)， x

'

∴x [1,2]时，F(x) 0，函数y F(x)单调递增，∴

F(x)mi nF(1) 1 a 0，

∴

a (0,1]

时成

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立. 13分 当a [ 1,0)且a

1

时，∵F(1) 1 a 0，F(2) 2 ln2 0，类似地可2

由单调性证得F(x) 0，又(x a) 0，∴(x a)F(x) 0成立，

当 2 a 1时，(x a)F(x) 0等价于 由上可知，此时不成立.

综上，存在符合条件的

a x 2 1 x a

且 .

F(x) 0F(x) 0

a，其所有值的集合为

11

[ 1, ) ( ,0) (0,1]. 16分

22

数学Ⅱ（附加题）

21．[选做题] A.解：连结OD、BD，

∵AB是圆O的直径，∴ ADB 90 ,AB 2OB，

∵DC是圆O的切线，∴ CDO 90 ． 4分 又因为AB 2BC，∴OB BC OD,

∴ ODB为等边三角形，∴ DOB 60, 7分

又∵OA OD，∴ DAO ADO 30,

C

∴ DAC 30． 10分

B.解：（I）由已知得矩阵M的特征值为2和3，对应的特征向量为 及

1

0

0

1 ； 5分

22

（Ⅱ）圆x y 1在矩阵N

M的作用下的新曲线的方程为

x2y2

1． 10分 94

22

C．解：将圆C化成直角坐标方程是(x 1) y 1，圆心是(1,0)，半径为

1． 4分

直

线

l

化成普通方程

是

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x y 1 0， 6分

则

圆

心

到

直

线

的

距

离

为

2． 8分

∴圆

C上的任意一点到直线l的距离的最小值为

2 1． 10分

D．证明：a b c 3abc， ①

3

3

3

111131( )3 (3) 27， ② abcabcabc

所以a b c (

3

3

3

111327

) 3abc ， ③ abcabc

又3abc

2727 2(3abc) 18， ④ abcabc

27

时④式成立， abc

当且仅当a b c时①②式成立，当且仅当3abc 即当且仅当a b c

2

23

3时，等式成立．

【必做题】22．解：事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1,2,3，由题意知 P A1 0.5，P(A2) p,P(A3) q,

（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ 0”是对立的，所以该

生

至

少

有

1

门

课

程

取

得

优

秀

成

绩

的

概

率

是

1 P 0 1 0.12 0.88 2分

（II）由题意知

P 0 P123 0.5 1 p 1 q 0.12 , P 3 P A1A2A3 0.5pq 0.12,

整理得 pq 0.24，p q 1, 由

p q

，可得

p 0.4,q 0.6. 6分

（III）由题意知E 0 P 0 1 P 1 2 P 2 3 P 3 ,

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a P( 1) P(A1A2A3) P(A1A2A3) P(A1A2A3)

411

(1 p)(1 q) p(1 q) (1 p)q 0.38, 555

b P( 2) 1 P( 0) P( 1) P( 3) 0.38,

E 0 P( 0) 1 P( 1) 2P( 2) 3P( 3) 1.5．

10分

23．解：如图所示，建立空间坐标系O xyz，并设C1点的坐标为(x,y,z)，根据题设条件，

CC1 (x,y 2,z)，底面ABC的法向量n=k=(0,0,1).

由|BC1| 6，BC1 ，CC1与底面所成的角0B即<CC1,n>=30，得到C1的坐标所满足的方程组

x2 y2 z2 4x 20,

6分 y 0,

z2 3x2 3y2 12y 12.

解此方程组，得C1点的坐标是(2,0,26)或( 1,0,). 8分 所以BC1 (0,0,26)或BC1 ( 3,0,).

（第23题）

|BC1 k|sin |cos BC1,k | |BC1| |k|

|BC1 k|

或sin |cos BC1,k | |BC1| |k|

所以

BC1

与底面

ABC

1 . 1

或

所成的角的正弦值为

. 10分 4

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