3.6三角形外角定理

3 .6关注三角形的外角

如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其 A 它角有什么关系?

能证明你的结论吗?

∠1+∠4=1800 ; ∠1>∠2; ∠1>∠3; ∠1=∠2+∠3.

2

3

B

4 1 C

D

证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理), ∠1+∠4=1800(平角的意义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 在这里,我们通过三角 形内角和定理直接推导 出两个新定理.像这样, 由一个公理或定理直接 推出的定理,叫做这个公 理或定理的推论.

A 2

3

B

4 1 C

D

推论可以当作定理使用.

三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻的内角. △ABC中: ∠1=∠2+∠3; ∠1>∠2,∠1>∠3.

3

B

A 2

4 1 C

D

这个结论以后可以直接运用.

E

例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD 平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.

A

B

· C ·

D

证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∠B=∠C (已知), 例题是运 1 用了定理 ∴∠C= ∠EAC(等式性质). “内错角 2 相等,两直 方 ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 线平行” 法 1 得到了证 一 ∴∠DAC=2 ∠EAC(角平分线的定义). 实. ∴∠DAC=∠C(等量代换).

∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).

还有其它方法吗？

E

例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD 平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.

A

·D

C

B

·

证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),

方 法 二

∠B=∠C (已知), 1 ∴∠B= ∠EAC(等式性质). 2 ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 1 ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义). 2 ∴∠DAE=∠B(等量代换).

∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).

这里是运 用了公理 “同位角 相等,两直 线平行” 得到了证 实.

E

例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD 平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.

证明:由证法1可得: ∠DAC=∠C (已证),

A

B

· ·C

D

∵ ∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换).

∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行).

这里是运用了定理“同旁内角互 补,两直线平行”得到了证实.

方 法 三

已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°. 求:∠B和∠ACB的大小. A 解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知), ∠DCA=100°(已知), ∠A=45°(已知), B ∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义). ∴ ∠ACB=80°(等式的

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