河北省衡水中学2012届高三上学期期末考试--数学理

2011—2012学年度上学期期末考试

高三理科数学试卷

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1. (1?i2005)?（ ） 1?i2005

D．－22005

A．i B．－i C．2

2.设偶函数f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上单调，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为

A．f(b－2)＝f(a＋1) B．f(b－2)>f(a＋1) C．f(b－2)

1，则D（?）为 （ ） 3

5. 欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( ) A.34种

6.设数列?an?为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1?a4?a7?99,a2?a5?a8?93，若对任意n?N，都有Sn?Sk成立，则k的值为（ ） A．22 B．21 C．20 D．19

- 1 -

? B.55种 C.89种 D.144种

7. 已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )

3π

A．24－

2C．24－π

π

B．24－ 3π

D．24－ 2

8. 在二项式(x?124x)n的展开式中，前三项的系数成等差数

列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为 （ ）

A．

1 6B．

10

1 4C．

1 3D．

512[来源:Z&xx&k.Com]

9. 若a＝

sinxdx，b＝??cosxdx，则a与b的关系( )

B．a>b D．a＋b＝0

A．a

πππ

10. 将奇函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω>0，－<φ<)的图象向左平移个单位得到的图象

226关于原点对称，则ω的值可以为 ( )

A．2 B．3 C．4 D．6

11.在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0），对于某个正实数k，存在函数f（x）=ax2（a＞0），使得

?OAOQ??（λ为常数）OP?????，这里点P、Q的坐标分别为P（1，f（1）），Q（k，f

?|OA||OQ|???（k）），则k的取值范围为（ ）

A、（2，+∞） B、（3，+∞） C、[4，+∞） D、[8，+∞）

12．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），，…，fn（x）=f（fn-1（x）），n=1，2，3，…．满足fn（x）=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设

1?2x,0?x???2f（x）=?，则f的n阶周期点的个数是（ ）

1?2?2x,?x?1?2?A、2n B、2（2n-1） C、2n D、2n2

- 2 -

第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 平面上三条直线x?2y?1?0,x?1?0,x?ky?0，如果这三条直线将平面划分为六部

分，则实数k的取值集合为 ．

14. 边长是22的正三角形ABC内接于体积是43?的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为 。

15. 设a，b，c依次是?ABC的角A、B、C所对的边，若

tanA?tanB?1005tanC，且

tanA?tanBa2?b2?mc2，则m=________________.

x2y2?2=1(b∈16. 双曲线N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|4b成等比数列，则b2=_________.

三、解答题（共6个小题，共70分）

17. （本题满分12分）已知函数f?x??3sin2x?23sinxcosx?5cos2x． （1）若f????5，求tan?的值；

a2?c2?b2c（2）设?ABC三内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且2，求f(x)在(0,B]上?22a?b?c2a?c的值域．

18．（本题满分12分）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD?DC?CB?1,?ABC?60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE?平面ABCD，

?CF?1.

（I）求证：BC?平面ACFE；

（II）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为?(??90)，试求cos?的取值范围.

?

- 3 -

19.（本题满分12分）某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果 如下表所示：

根据上表信息解答以下问题：

(1)从该单位任选两名职工，用?表示这两人休年假次数之和，记“函数f(x)?x2??x?1 在区间(4，6)上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；

(2)从该单位任选两名职工，用?表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量?的分

布列及数学期望E?.

20．（本题满分12分）若圆C过点M（0，1）且与直线l:y??1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点P(0,t)(t?0),且满足AB??PB(??1). （I）求曲线E的方程； （II）若t=6，直线AB的斜率为物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；

（III）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l上，求证：t与QA?QB均为定值。

- 4 -

????????1，过A、B两点的圆N与抛221．（本题满分12分）已知函数f(x)?2lnx?x2. (I) 求函数y?f(x)在?,2?上的最大值.

2

(II)如果函数g(x)?f(x)?ax的图像与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)，且0?x1?x2.

?1???

y?g/(x)是y?g(x)的导函数，若正常数p,q满足p?q?1,q?p.

求证：g(px1?qx2)?0.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 本题满分10分。

22．选修4-1：几何证明选讲

已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点， DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点. （1）求?ADF的度数. （2）若AB=AC，求AC:BC

- 5 -

D B F O E C A /

23.选修4-4：坐标系与参数方程

?2t?x??2(t是参数)，圆C的极坐标方程为已知直线l的参数方程是?2?y?t?42?2????2cos(??)．

4

24.选修4-5：不等式选讲

设a，b，c均为正实数，求证：

- 6 -

（1）求圆心C的直角坐标；

（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

111111????? 2a2b2cb?cc?aa?b2011—2012学年度上学期期末考试答案

1. 解答：

1?i20052005()?i?(i4)501?i?i故答案选A 1?i2. 解析：∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，此时f(x)＝loga|x|.

当a>1时，函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)； 当0f(2)＝f(b－2)． 综上，可知f(b－2)

3. 解析：对于k?0,s?1,?k?1，而对于k?1,s?3,?k?2，则k?2,s?3?8,?k?3，后面是k?3,s?3?8?211,?k?4，不符合条件时输出的k?4．故答案选A 4． B

5. 解法1：分类法：

第一类：没有一步两级，则只有一种走法；

1第二类：恰有一步是一步两级，则走完10级要走9步，9步中选一步是一步两级的，有C9?9种可能走法；

2第三类：恰有两步是一步两级，则走完10级要走8步，8步中选两步是一步两级的，有C8?28种可能走法；

1345依此类推，共有1?C9=89，故选(C)。 ?C82?C7?C6?C5解法2：递推法：

设走n级有an种走法，这些走法可按第一步来分类，

第一类：第一步是一步一级，则余下的n?1级有an?1种走法； 第二类：第一步是一步两级，则余下的n?2级有an?2种走法，

于是可得递推关系式an?an?1?an?2，又易得a1?1,a2?2，由递推可得a10?89，故选(C)。 6. 答案:C 13π27. 解析：该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3×2×4－3×π×1＝24－2. 2×答案：A 8.答案：D

9. 解析：∵(－cosx)′＝sinx，(sinx)′＝cosx，

π

sinxdx＝－cos2＋cos＝－cos2，

2

∴a＝

b＝?1cosxdx＝sin1.

?0

91∴b－a＝sin1＋cos2＝－2sin21＋sin1＋1＝－2(sin1－)2，

84∵00，a

- 7 -

ππ

10. 解析：因为函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，所以φ＝kπ.又因为－<φ<，所以φ＝0.

22πωπ

将函数 f(x)＝Asinωx(A≠0，ω>0)的图象向左平移个单位得到 f(x)＝Asin(ωx＋)，

66πω

该函数仍是奇函数，所以＝kπ，φ＝6k，k∈Z，ω的值可以为6.答案：D

611. 解：由题设知，点P（1，a），Q（k，ak2），A（5，0）， ∴向量 OP =（1，a）， OA=（5，0）， OQ=（k，ak2）， ∴

OA|OA| =（1，0），

OQ|OQ| =（

11?ak22，

ak1?ak22），

?OAOQ???（λ为常数）∵ OP???，． ??|OA||OQ|???1ak?∴1=λ（1+

1?ak22），a=

1?ak222，

两式相除得，k-1= 1?a2kk-2=a2k＞0 ∴k（1-a2）=2，且k＞2． ∴k=

，

22

，且0＜1-a＜1． 21?a2∴k= ＞2．

1?a2故选A．

1]时，f1（x）=2x=x，解得x=0 212当x∈（ ，1]时，f1（x）=2-2x=x，解得x=

2312. 解：当x∈[0，

∴f的1阶周期点的个数是2

1]时，f1（x）=2x，f2（x）=4x=x解得x=0 4112当x∈（ ， ]时，f1（x）=2x，f2（x）=2-4x=x解得x=

425132当x∈（ ， ]时，f1（x）=2-2x，f2（x）=-2+4x=x解得x=

24334当x∈（ ，1]时，f1（x）=2-2x，f2（x）=4-4x=x解得x=

45当x∈[0，

∴f的2阶周期点的个数是22

依次类推 ∴f的n阶周期点的个数是2n 故选C． 13．

?0,?1,?2?

43 3- 8 -

14.

15. 2011提示：由已知

tanA?tanBsinA?sinBsinA?sinBsinC ???1005tanA?tanBsinAcosB?cosAsinBsin?A?B?cosC即

sinsinA?sinB?cosCsinA?sinBsinCC1005?1005，由正余弦定理有 ?1004，亦即2cossinCsinCcosCC?a2?b2?c2?ab???2222ab???1005，即a?b?c?1005，将a2?b2?mc2代入，得

2c2c2?m?1??1005，于是m?2011

216. 解：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y), 则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|, 依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2 ∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜17. 解：（1）由f∴351717, 又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1. 答案：1 333????5，得3sin2??23sin?cos??5cos2??5．

1?cos2?1?cos2??3sin2??5?5． ∴3sin?2?22co?s?2， 1

即3sin2??1?cos2? ?23sin?cos??2sin2?

sin??0或tan??3， ∴tan??或0t?an?（2）由

．3………………6分

2accosBccosB1cosB1?,即?,得?,

2abcosC2a?cbcosC2a?csinBcosC2sinA?sinC则cosB??1即B?，……………………………………8分

32又f?x??3sin2x?23sinxcosx?5cos2x?3sin2x?cos2x?4＝

2sin(2x?由0?x?π)?4………………………………………10分 6?3，则

1π剟sin(2x?)261，故5剟f(x)6，即值域是?5,6?.……12分

18. （I）证明：在梯形ABCD中， ∵ AB//CD,AD?DC?CB?1，

?∠ABC＝60，∴ AB?2

∴ AC?AB?BC?2AB?BC?cos60?3∴ AB?AC?BC

- 9 -

222o222∴ BC⊥AC

∵ 平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD?AC,BC?平面ABCD ∴ BC⊥平面ACFE …………………6分

（II）由（I）可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴，y轴,z轴的如图所示空间直角坐标系，令FM??(0???3)，则C(0,0,0),A(3,0,0)，B?0,1,0?,M??,0,1?

∴ AB??3,1,0,BM???,?1,1? 设n1??x,y,z?为平面MAB的一个法向量， 由????n1?AB?0?n1?BM?0得???3x?y?0

??x?y?z?0 取x?1，则n1?1,3,3??，…………8分 ∵ n2??1,0,0?是平面FCB的一个法向量

??????|n1?n2|????∴ cos????|n1|?|n2|1?3?1?3???2??11???3?2…10分

?4 ∵ 0????有最小值 当??0时，cos3 ∴

7， 7 当???71?1,?…………………12分 3时，cos?有最大值。 ∴ cos???2?72?19.

- 10 -

(２) 从该单位任选两名职工，用?表示这两人休年假次数之差的绝对值，

则?的可能取值分别是0,1,2,3， …………7分

222111111C52?C10?C20?C15C5C10?C10C20?C15C20222于是P???0??，，?P(??1)??22C507C5049111111C5C20?C10C15C5C15310，…………10分 P(??2)??P(??3)??22C5049C5049

从而?的分布列：

? P 0 1 2 3 27[来源:学科网]22 4910 493 4922210351?的数学期望：E??0??1??2??3??． …………12分

749494949

- 11 -

12分

2(1?x)(1?x)21. 解：(Ⅰ)由f(x)?2lnx?x2得到：f?(x)?，

x ?x?[,2]，故f?(x)?0在x?1有唯一的极值点，f()??2ln2?12121， 4f(2)?2ln2?4，f(x)极大值?f(1)??1，

且知f(2)?f()?f(1)，所以最大值为f(1)??1．…………………4分 (Ⅱ)?g?(x)?122?2x?a，又f(x)?ax?0有两个不等的实根x1,x2， x2?2(lnx1?lnx2)?2lnx1?x1?ax1?0a??(x1?x2) …………………6分 则?，两式相减得到:2x?x12??2lnx2?x2?ax2?0于是g?(px1?qx2)?2(lnx1?lnx2)2?2(px1?qx2)?[?(x1?x2)]

px1?qx2x1?x2?2(lnx1?lnx2)2??(2p?1)(x2?x1)

px1?qx2x1?x2?2p?1,x2?x1?0，?(2p?1)(x2?x1)?0…………………8分

要证：g?(px1?qx2)?0，只需证：

2(lnx1?lnx2)2??0

px1?qx2x1?x2x2?x1x1?ln?0 ① 只需证：

px1?qx2x2 - 12 -

x11?t?t,0?t?1u(t)??lnt?0在0?t?1上恒成立， 令，只需证：x2pt?qq2p(t?1)(t?2)11p 又∵?u(t)???t(pt?q)2t(pt?q)221qq2q2∵p?q?1,q?，则?1,?2?1，于是由t?1可知t?1?0，t?2?0

2ppp故知u?(t)?0?u(t)在t?(0,1)上为增函数，

则u(t)?u(1)?0，从而知

x2?x1x?ln1?0px1?qx2x2，即①成立，从而原不等式成立.………12

22. (1)?AC为圆O的切线,∴?B??EAC.又知,DC是?ACB的平分线, ∴?ACD??DCB .∴?B??DCB??EAC??ACD,即 ?ADF??AFD 又因为

1(180???DAE)?45?…………….5 2ACAE? (2)??B??EAC,?ACB??ACB,∴?ACE∽?ABC∴.又?AB=AC, BCABBE为圆O的直径, ∴?DAE?90?∴?ADF?∴?B??ACB?30?,∴在RT⊿ABE中,

ACAE3…….10 ??tan?B?tan30??BCAB323. 解：解：（I）???2cos??2sin?，

??2?2?cos??2?sin?， …………（2分） ?圆C的直角坐标方程为x2?y2?2x?2y?0， …………（3分） 222222(,?)．…………（5分） )?(y?)?1，?圆心直角坐标为2222（II）方法1：直线l上的点向圆C 引切线长是

即(x?(22222t?)?(t??42)2?1?t2?8t?40?(t?4)2?24?26， 2222 …………（8分） ∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是26 …………（10分）

24.解、由于a，b，c均为正实数，所以

11111(?)??，当a?b时等号成立； 22a2b2aba?b- 13 -

11111，当b?c时等号成立； (?)??22b2c2bcb?c11111，当a?c时等号成立； (?)??22a2ca?c2ac三个不等式相加，即得

111111?????，当且仅当a?b?c时等号成 2a2b2cb?cc?aa?b - 14 -