《概率论与数理统计》习题集

《概率论与数理统计》习题集 第一章 随机事件及其概率

专业 班 姓名 学号

§1.1 样本空间及其随机事件

一. 单项选择题

*

1. 若A,B,C为三事件，则A,B,C中不多于一个发生可表为( )

(A) A?B?C (B) AB?AC?BC (C) A?B?C (D) AB?AC?BC 2. 设AB?C，则( )

(A) AB?C (B) A?C且B?C (C) AB?C (D) A?C或B?C 3. 设?={1,2,…,10},A={2,3,4},B={3,4,5}，则A?B=( ) (A) {2,3,4,5} (B) {1,2,3} (C) ? (D) ?

4. 从一大批产品中任抽5件产品，事件A表示：“这5件中至少有1件废品”，事件

，则AB表示( ) B表示“这5件产品都是合格品”

(A) 所抽5件均为合格品 (B) 所抽5件均为废品 (C) 可能事件 (D) 必然事件 二. 填空题

1. 设A,B为任意两个随机事件，则(A?B)B= . 2. 设有事件算式(AB)(AB)(AB)(AB)，则化简式为 . 3. 事件A,B,C至少有一个发生为 .

4．从标有1，2，3的卡片中无放回抽取两次，每次一张，用(X,Y)表示第一次取到的数字x，第二次取到y的事件，则样本空间?={ }，

*

P(X?Y?3)= . 5. 设S?{x0?x?2}，A?{x113?x?1}，B?{x?x?}，具体写出下列各式. 242（1） A?B= ；

1

（2） A?B= _； （3） AB= __； （4） AB= _ . 三. 试写出下列随机试验的样本空间：

（1） 记录一个班级一次数学考试的平均分数（以百分制记分）；

（2） 一射手对某目标进行射击，直到击中目标为止，观察其射击次数；

（3） 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标；

（4） 观察甲、乙两人乒乓球9局5胜制的比赛，记录他们的比分.

四. 设A,B,C为3个事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件：

（1） A发生；

（2） A不发生，但B,C至少有1个发生；

（3） 3个事件恰好有1个发生；

（4） 3个事件至少有2个发生；

（5） 3个事件都不发生；

（6） 3个事件最多有1个发生；

（7） 3个事件不都发生.

2

《概率论与数理统计》习题集 第一章 随机事件及其概率

专业 班 姓名 学号

§1.2 概率的直观定义

一. 单项选择题

1．袋中有8只红球，2只白球， 从中任取2只，颜色相同的概率为( ) （A）

161292 （B） （C） （D） 451045102．从一副除去两张王牌的52张牌中，任取5张，其中没有A牌的概率为( )

5548125C48C48 （A） （B） ) (D) 5 (C) (C525255213二. 填空题

1. 两封信随机地投入4个邮筒，则第一个邮筒只有一封信的概率为 . 2. 从数字1，2，3，4，5，中任取3个，组成没有重复的3位数，试求： （1）这个3位数是5的倍数的概率为 ； （2）这个3位数是偶数的概率为 ； （3）这个3位数大于400的概率为 .

3. 同时投掷两颗骰子，则“这两颗骰子中至少有一颗出现6点且两颗骰子点数之和 为偶数的概率为 .

4. 设箱中装着标有1~36的36个号码球，今从箱中任取7个，求“恰有4个球的号码能被5整除”的概率 .

5．在一本标准英语字典中，具有55个由两个不相同的字母所组成的单词. 现在从这26个英文字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述55个单词的概率为 .

6. 在电话号码簿中任意取一个电话号码，（设后面4个数的每一个数都是等可能性地取自0，1，…，9）, 则后面四个数全不相同的概率为 . 7. 在整数0至9中任取4个，能排成偶数的概率p= .

3

三. 计算题

1. 设号码锁有6个拨盘，每个拨盘上有从0到9的10个数字，当6个拨盘上的数字组成某一个6位数号码（开锁号码）时，锁才能打开，如果不知道开锁号码，试开一次就能把锁打开的概率是多少?如果要求这6个数字全不相同，这个概率又是多少?

2. 在房间里有10个人，分别佩戴着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码.

（1）求最小的号码为5的概率.

（2）求最大的号码为5的概率.

*

3.（会面问题）两人相约于8时至9时之间在某地会面，先到者等候另一个人15分钟后即可离开，求两人能够会面的概率.

4

《概率论与数理统计》习题集 第一章 随机事件及其概率

专业 班 姓名 学号

§1.3 概率的公理化定义

一. 单项选择题

1. 设A,B为随机事件，AB??，P(A)?0.4，P(A?B)?0.7，则P(B)=( ) (A) 0.3 (B) 0.4 (C) 0.2 (D) 0.1 2. 已知P(A)?a2，P(B)?b2，P(AB)?ab，则P(AB?AB)=( ) (A) a2?b2 (B) (a?b)2 (C) 2ab (D) a2?ab 3．下列正确的是：( )

(A) P(A)?1，则A为必然事件 (B) P(B)?0，则B?? (C) P(A)?P(B)，则A?B (D) A?B则P(A)?P(B) 二. 填空题

1. 当A与B互不相容时，PA?B? . 2. 若P(A)???11，P(B)?且B?A，则P(A?B)? ； 23P(AB)?____________________；P(AB)?_______________________.

3. 设A,B,C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?11P(AB)?P(CB)?0，，P(AC)?，48则A,B,C至少有一个发生的概率为 .

4. 从0，1，2，…,9等10个数字中任意选出3个不同数字，试求下列事件的概率 (1) 3个数字中不含0和5的概率为 ； (2) 3个数字中不含0或5的概率为 ； (3) 3个数字中含0但不含5的概率为 . 5. 设P(A)?11如果A与B互不相容，则P(BA)? . ，P(B)?，326. 设随机事件A,B及A?B的概率分别为0.4，0.3和0.6，则PAB?_______.

?? 5

三 计算题

1. 已知P(A)?a, P(B)?b, P(AB)?c，求以下概率：

（1）P(A?B)； （2） P(AB)； （3）P(AB)； （4）P(A?B).

2. （1） 在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少

（设一年以365天计算）?

（2） 在房间里有4个人，问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?

3. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.问发生一个部件强度太弱的概率是多少?

*

4. 从5双不同鞋子中任意取4只，4只鞋子中至少有2只鞋子配成一双的概率是多

少?

6

《概率论与数理统计》习题集 第一章 随机事件及其概率

专业 班 姓名 学号

§1.4 条件概率与乘法公式

一. 单项选择题

1. 设随机事件A,B互不相容，且P(A)?0.4，P(B)?0.5，则P(A|B)=( ) (A) 0 (B) 0.4 (C) 0.5 (D) 0.6 2．设A,B均为空概率事件，且A?B，则成立( )

(A) P(A?B)?P(A)?P(B) (B) P(AB)?P(A)?P(B) (C) P(A|B)?二. 填空题

1. 已知P(A)?a，P(B)?b(b?1),P(A?B)?c，则P(AB)= ；

P(A|B)=__________________.

P(A) (D) P(A?B)?P(A)?P(B) P(B)2．设6件产品中有4件正品，2件次品，采用不放回形式抽样，每次抽1件，连抽2次.记A表示事件“第一次抽到正品”，B表示事件“第二次抽到正品”，则

P(B|A)? ______；P(AB)? ______；P(B)? __, 3. 甲、乙是位于某省的二个城市，考察这二城市六月份下雨的情况.以A,B分别表示甲、乙二城市出现雨天这一事件.根据以往气象记录知P(A)?P(B)?0.4，

P(AB)?0.28，则P(A|B)= ；P(B|A)= ；P(A?B)= __ . 三. 计算题

1. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球，m只红球，乙袋中装有N只白球，M只 红球.今从甲袋中任意取一只放入乙袋中，再从乙袋中任取一只，问取到白球的 概率是多少?

7

2. 对某台仪器进行调试，第一次调试能调好的概率是1/3；在第一次调试的基础上，第二次调试能调好的概率是3/8；在前两次调试的基础上，第三次调试能调好的概率是9/10.如果对仪器调试三次，问：能调好的概率是多少?

3. 将二信息分别编码为A和B传送出去，接收站接收时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与信息B传送的频繁程度为2:1.若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少?

4. 设某厂产品的合格率为0.96，现采用新方法测试，一件合格产品经检查而获准出厂的概率为0.95，而一件废品经检查而获准出厂的概率为0.05，试求使用这种方法后，获得出厂许可的产品是合格品的概率及未获得出厂许可的产品是废品的概率.

*

5. 某光学仪器厂制造的透镜，在第一次落下打破的概率为1/2，第二次落下时打破

的概率为3/10，第三次落下时打破的概率为9/10.如果透镜落下三次，它打破的概率是多少?

8

《概率论与数理统计》习题集 第一章 随机事件及其概率

专业 班 姓名 学号

§1.5 事件的独立性

一. 单项选择题

1．甲、乙、丙三人独立地向目标射击一次，其命中率分别为0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率为( )

(A) 0.9 (B) 0.92 (C) 0.94 (D) 0.95 2．设A,B独立，则下面错误的是( )

(A) A,B独立 (B) A,B独立 (C) P(AB)?P(A)P(B) (D)AB?? 3. 设P(A)?0，P(B)?0，则由A,B相互独立不能推出( ) (A) P(A|B)?P(A) (B) P(A?B)?P(A)?P(B) (C) P(B|A)?P(B) (D) P(BA)?P(B)P(A)

4. 每次试验成功概率为p?0?p?1?，则在3次重复试验中至少失败1次的概率 为( )

(A) (1?p)3 (B) 1?p3 (C) 3(1?p) (D) (1?p)3?p(1?p)2?p2(1?p) 二. 填空题

1. 设A,B为二相互独立的事件，P(A?B)?0.6，P(A)?0.4，则P(B)? __. 2. 加工一产品经过三道工序，第一，二，三道工序不出废品的概率为0.9，0.95，0.8，若各工序是否出废品为独立的，则经过三道工序而不出废品的概率为 . 3. 设P(A)?11P(A?B)? ___. ，若A、则P(A?B)? __；P(B)?，B独立，

234. 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，以概率0.20定为不合格品不能出厂，现该厂生产了n(n?2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）. 则

9

其中全部能出厂的概率a? ； 其中恰好有两件不能出厂的概率??________ ； 其中至少有两件不能出厂的概率??__________ . 三.计算题

1. 制造一种零件采用两种工艺，第一种工艺有三道工序，每道工序的废品率分别为0.1，0.2，0.2；第二种工艺有两道工序，每道工序的废品率均为0.3，如果采用第一种工艺，在合格品中一级品率为0.8，而采用第二种工艺，在合格品中一级品率为0.9，问：哪一种工艺能保证得到一级品的概率较大?

2．在一批产品中有1%的废品，试问：任意选出多少件产品，才能保证至少有一件废品的概率不小于0.95?

*

3. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三

次为0.7.飞机击中一次而被击落的概率为0.2，击中两次而被击落的概率为0.6.若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率.

10

三. 计算题

1?x2?2?1. 设随机变量X的分布函数为F(x)??A?Be??0x?0，求(1)A,B；

x?0(2)P?2?X?2； (3)X的概率密度.

?

2. 修理某机器所需时间（单位：h）服从为参数??

(1)修理时间超过2h的概率是多少?

(2)若已持续修理了9h，总共需要至少10h才能修好的概率是多少?

1

的指数分布，试问： 2

?x)求,：(1)常数A； 3. 设随机变量X的概率密度为f(x)?Ce(???x???(2)X的分布函数.

4. 某厂生产的电子管寿命X（单位：h）服从N(1600,?2)，若电子管寿命在1200小时以上的概率不小于0.96，求?的值.

16

《概率论与数理统计》习题集 第二章 随机变量及其分布

专业 班 姓名 学号

§2.4 随机变量函数的分布

二. 单项选择题

1. 已知连续型随机变量X的分布函数为FX(x),则随机变量函数Y?2X?1的分布函数为( )

1?y?1?1?y?1??y?1??y?1?fFfX?（A）FX? （B） （C） （D）X?X?????

222?2?22??????2. 已知连续型随机变量X～fX(x)，Y??4X?1，则fY(y)?( )

11?y1y?11y?11y?1fX() （B） ?fX(?) （C） ?fX() （D） fX() 4444444413．设随机变量X服从参数为的指数分布，则X的密度函数为( )

211?y2?y2??2?2y?0 （B） ?y?0 （A）?ye?e??y?0y?0?0?0 （A）

（C） 1e2?x2?2y?1?1?e2????x???? （D） ?2?0?y?0y?0

二. 填空题

1.设随机变量X的分布律为 X 则Y?8?X2的分布律为: p

______________________________.

?2 0.4 ?1 0.3 2 0.3 2. 设随机变量X服从?0,2?上的均匀分布，则随机变量Y?X2在?0,4?内的概率分布函数为____________________.

3. 设随机变量X服从?0,1?上的均匀分布，则随机变量函数Y??2lnX的概率密度为fY?y??__________________.

*

4. 若随机变量Y服从?1,6?上的均匀分布，则方程x2?Yx?1?0有实根的概率

是_____________.

17

三. 计算题

1. 设X的分布律为 X p ?2 15 ?1 16 0 15 1 115 2 1130 求：(1)Y?1?X的分布律；(2) Y?X2的分布律. 2. 设XN(0,1),试求：

(1)Y?eX的概率密度； (2)Y?|X|的概率密度.

*

3. 设对圆片直径进行测量，测量值X在?5,6?上服从均匀分布，求圆片面积Y的概

率密度.

*

?2x?4. 设随机变量X的概率密度为f(x)???2??0

0?x??其它，求Y?sinX的概率密度.

18

《概率论与数理统计》习题集 第二章 随机变量及其分布

专业 班 姓名 学号

习 题 课

一．单项选择题

1.已知随机变量X只能取?1,0,1,2五,个数值，其相应的概率依次为

11111，则c?( ) ,,,,2c4c8c16c16c(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 1

2．设随机变量X在区间[2,a]上服从均匀的分布，且P(X?4)?0.6，则a=( ) (A) 5 (B) 7 (C) 8 (D) 6

3. 随机变量X~N(2,?2),P(0?X?4)?0.3，则P?X?0??( ) (A) 0.5 (B) 0.3 (C) 0.35 (D) 0.7

4．设随机变量X~B(3,0.4)，且随机变量Y?X(3?X)/2，则P(Y?1)?( ) (A) 0.432 (B) 0.72 (C) 0.288 (D) 0.5 二. 填空题

1. 设随机变量X的分布函数为

x?a,?0,? F(x)??0.4,a?x?b,其中0?a?b，则P(a/2?X?b)? . ?1,x?b,?2．设随机变量X的概率密度为

?2x,0?x?1, f(x)??以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X?1/2}出现的

其它，?0,次数，则P?Y?2?? __.

3. 设某批电子元件的寿命X服从正态分布N(?,?2)，若??160，且

P(120?X?20)0?0.8，则?? .（注：?(1.28)?0.9）

4．设随机变量X的概率密度为

0?x?1,?x,?f(x)??2?x,1?x?2,则P?1/4?X?3/2?? . ?0,其他，?

19

三．计算题

1. 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门，若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数X的分布律.

?C,|x|?1,?22. 随机变量X的概率密度为f(x)??1?x求：(1)常数C；(2) X的分布

?0,其它?布函数；(3)P??12?X?1?

3. 设随机变量X的分布函数为F(x)?(3)P?X?0?

A求(1)常数A；(2)X的概率密度；1?e?x

4. 某元件寿命X服从参数为??1的指数分布，3个这样的元件使用1000小时1000后，都没有损坏的概率是多少?

5. 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从于正态分布

N(72,?2),96分以上占考生2.3%，试求考生的外语成绩在60~84分之间的概率

20

《概率论与数理统计》习题集 第三章 多维随机变量及分布

系 专业 班 姓名 学号

§3.1§3.2 二维随机变量及其分布

一．单项选择题

1. 设F(x,y)是任意两个随机变量X和Y的联合分布函数，则错误的是( ) （A）F(x,y)对于每一个自变量单调不减 （B）F(x,y)对于每一个自变量右连续 （C）F(??,y)?F(x,??)?0,F(??,??)?1 （D）对于任意的a?b,c?d，有

P(a?X?b,c?Y?d)?F(b,d)?[F(a,d)?F(b,c)]?F(a,c)

2. 随机变量X和Y相互独立，都服从于0?1分布：P(X?0)?P(Y?0)?则P(X?Y)?( )

2, 357（A）0 （B） （C） （D）1

99二．填空题

1. 设二维联合变量(X,Y)的联合分布列为

(1) a? ； (2) X,Y独立吗? ；

(3) F(0,2)? ； P(?1?X?0,2?Y?3)? .

Y X ?1 0 ?1 1 3 a/3 a 1/12 1/8 3/8 2a ?Cx0?x?4,0?y?12. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??，

其它?01 则：(1)C? ；(2) P(?1?X?3,?Y?1)? ；

2(3) fX(x)? ； (4) fY(y)? .

21

三．计算题

1. 设袋中有4个球，分别标有数字1,2,2,3从袋中任取一球（其数字记为X）之后不能再放回，再从袋中任取一球（其数字记为Y），求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律，并判断X,Y是否独立.

?Cy(1?x)0?x?1,0?y?x2. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度f(x,y)??，求常

0其它?数C，并判断X,Y是否独立.

?1?(x?y)0?x?2,0?y?23. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度f(x,y)??8,求常

?其它?0数C，并判断X,Y是否独立.

4. 设G表示抛物线y?x2及直线y?x所包围的区域，X,Y服从G上的均匀分布，求联合概率密度.

22

《概率论与数理统计》习题集 第三章 多维随机变量及分布

系 专业 班 姓名 学号

*§3.3§3.4 二维随机变量的分布

一．单项选择题

1．设X与Y相互独立，且P(X?0)?P(Y?0)?1，则P(max{X,Y}?0)?( ) 31581（A） （B） （C） （D）

9993

二．填空题

1．设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,0?y?2?2x上服从均匀分布.求随机变量Z?X?Y的分布函数F(z)＝_________________.

12．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1,1),Y～N(0,)，Z?X?2Y，求随机

2变量Z的概率密度为________________.

3．设X~N(1,3)，Y~N(2,2)，且X与Y相互独立，则X?Y~_____________.

三．计算题

1.设随机变量U与V相互独立，且P(U?0)?P(U?1)?12，P(V?0)?，23P(V?1)?1U,V?，Y?max{U,V}求（1）X,Y的分布律； ，记X?min?3（2）(X,Y)的分布律.

23

?6x,0?x?y?12. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)??， 求

?0,其 它（1） （2）当X?1/3时，X,Y的边缘密度函数；Y的条件密度函数fYX(yx?1/3)；（3）P(X?Y?1).

3. 设随机变量X在(0,a)上随机地取值，服从均匀分布，当观察到X?x(0?x?a) 时，Y在区间(x,a)内任一子区间上取值的概率与子区间的长度成正比， 求： （1）(X,Y)的联合密度函数f(x,y)； （2） Y的密度函数fY(y).

4. 随机变量X与Y相互独立，且X与Y的分布律相同，X的分布律为 （1） 求Z?X?Y的分布律； （2） 求M?max?X,Y?的分布律 （3） 求N?min?X,Y?的分布律.

24

X p 0 1/6 1 1/3 2 1/2 《概率论与数理统计》习题集 第三章 多维随机变量及分布

系 专业 班 姓名 学号

习 题 课

一．选择题

1. 设随机变量X和Y有相同的概率分布

P(XY?0)?1,则P(X2?Y2)?( )

（A）0 （B）0.25 （C）0.50 （D）1

*

X P ?1 0 1 0.25 0.5 0.25 2. 设X和Y相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是( )

（A）(X,Y) （B）X?Y （C）X2 （D）X?Y

二．填空题

1. 设二维联合变量(X,Y)的联合分布列为

则,a,b应该满足条件 ， 若X和Y相互独立，则a? ，b? . X 1 2 1/6 1/9 1/18 1/3 a b Y1 2 3 ?10?x?1,0?y?12. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??

其它?0 则P(X?0.5,Y?0.6)? . 三．计算题

??A(1?x2?y2)1. 设随机变量(X,Y)的联合密度为f(x,y)??0??x2?y2?1，

其它求系数A.

25

2. 设随机变量X随机的在1,2,3这三个整数中任取一个，另一个随机变量Y则随机的在1~X中任取一个整数，求(X,Y)的联合分布律，边缘分布律，并判断X,Y独立与否.

??ke?(2x?3y)3. 设随机变量(X,Y)联合密度为f(x,y)??0??x?0,y?0，求常数k，并求

其它出P(0?X?1,0?Y?2).

??Cxy34. 设随机变量(X,Y)联合密度为f(x,y)????00?x?1,0?y?1，

其它(1)求C (2)证明X,Y相互独立.

26

《概率论与数理统计课外习题》 第四章 随机变量的数字特征

系 专业 班 姓名 学号

§4.1 数 学 期 望

一．单项选择题

1. 设随机变量X与Y，则以下说法正确的是( )

（A）E(X?Y)?E?X??E?Y? （B）E(XY)?E?X??E?Y? （C） E?X???xkpk （D）E?X???k?1?????xf(x)dx

2. 设随机变量X~B(10,0.5)，Y~P(2)，求E(2X?Y?3)?( )

（A）9 （B）19 （C）12 （D）5

3. 现有6张奖券，其中4张为1元，2张为2元，今某人从中随机无放回的抽取3张，则此人所得奖金的数学期望为( )

（A）5 （B）4 （C）3 （D）2

二．填空题

??x21. 设X的密度函数为f(x)????0?1?x?2，则E?X?? ；

其他若Y?3X?1，则E?Y?? . 2. 设随机变量X的概率分布如下表：

(1)求E?X?? ；

(2)若Y?3X?1，E?Y?? ；(3)若Y?2X2,E?Y?? . 3. 设X与Y相互独立，X~E(3),Y~U(3,5)，则E(X?Y)2? . 三．计算题

1. 设二维联合变量(X,Y)的联合分布列为 求E?X?,E?Y?,E?XY?

YX P ?1 0 1 0.25 0.5 0.25 1 1/4 0 2 1/2 1/4 X 1 2 27

?1?1x?e52. 已知X~f(x)??5?0?x?0x?0，求X不超过自己数学期望的概率.

??e?x3. 设随机变量X的密度函数为X~f(x)????0x?0，求下列两种情况的E?Y?. x?0 (1) Y?2X, (2) Y?e?2X.

*

4. 设(X,Y)在圆盘x2?y2?R2上服从均匀分布，求点(X,Y)到圆心的距离的数学期望.

0?x?2?ax3?5. 设X~f(x)??cx?b2?x?4，且E?X??2,P(1?X?3)?,求a,b,c.

4?0其它?

28

《概率论与数理统计课外习题》 第四章 随机变量的数字特征

系 专业 班 姓名 学号

§4.2§4.3 方差与协方差

一．单项选择题

1. 以下说法正确的是( )

（A）D(X?Y)?D?X??D?Y? （B）D(XY)?D?X??D?Y?

（C）D?X??E(X?EX)2 （D）cov(X,Y)?E?X??E?Y??E?XY? 2. 设随机变量X~N(1,2),Y~P(3)，则下列等式不成立的是( ) （A）E(X?Y)?4 （B）D(2Y?3)?12 （C）D(X?Y)?5 （D）D(3X)?18 二．填空题

1. 设X和Y相互独立，它们的分布率分别为：

9 10 11 Y X 则

D(X)??2 0.3 0 0.1 1 0.4 2 0.3 P 0.3 0.5 0.2 P ; D(Y)? ; D(Y?2X)? . 2. 已知X的概率密度为f(x)?1e?(x?1),则D(X)? . 2?3. 设X为随机变量，且E(X)??2,D(X)?3，则E(3X2?6)? .

114. 已知X~N(0,9),Y~B(18,),相关系数???，则cov(X,Y)? . 325. 随机变量X~B(100,0.4)，由切比雪夫不等式估计P(300?X?500) . 三．计算题

1. 设随机变量X~U[2,3]，随机变量Y?X2,求E?Y?,D?Y?.

29

2. 设随机变量X和Y的方差分别为25，36，相关系数为0.4，求D(X?Y),

D(X?Y).

?1X?0?3. 设随机变量X~U[?1,2],则随机变量Y??0X?0,求D(Y).

??1X?0?

4. 设灯管使用寿命X服从指数分布，且其平均使用寿命为3000h，现有10只这样的灯管（并联），每天工作4小时，求150天内这10只灯管：

(1）需更换灯管的概率； (2)平均有几只要更换； (3)需要更换灯管数的方差.

*

?1?5. 设(X,Y)~f(x,y)??2??00?x?1,1?y?3其他，求E?XY?,D?XY?.

30

《概率论与数理统计课外习题》 第四章 随机变量的数字特征

系 专业 班 姓名 学号

§4.3 相 关 系 数

一．单项选择题

1. 对于随机变量X和Y，若E?XY??E?X??E?Y?,则( ) （A）D(X?Y)?D?X??D?Y? （B）D(XY)?D?X??D?Y?

（C）X与Y独立 （D）X与Y不独立

2. 设随机变量X和Y独立同分布，U?X?Y和V?X?Y,则U与V之间的关系是( )

（A）独立 （B）不独立 （C）相关 （D）不相关 3. 设随机变量X和Y满足cov(X,Y)?0，则必有( )

（A）E?XY??E?X??E?Y? （B）D(XY)?D?X??D?Y? （C）X与Y独立 （D）以上都不对 二．填空题

1. 已知cov(X1,Y)?6,cov(X2,Y)?2，则cov(5X1?3X2,Y)? . 2. 设D?X??0,D?Y??0,若a?0及b使P(Y?aX?b)?1，则?XY? . 3. 设随机变量X和Y，D(X?Y)?7,D?X??4,D?Y??1,则?XY? . *

4. 设X~f(x)?1(???x???)，E?X?? . 2?(1?x)三．计算题

1．设随机变量X和Y，?XY?0，E?X??E?Y??1,D?X??2,D?Y??4,

2?(X?Y)求E???.

31

《概率论与数理统计课外习题》 第四章 随机变量的数字特征

系 专业 班 姓名 学号

习 题 课

一．计算题

1. 设随机变量X和Y有E?X??2,EX2?20,E?Y??3,EY2?34,

?????XY?0.5,求E(3X?2Y),D(3X?2Y)

2. 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟，第25分钟和第55分钟从底层开始起行.假设一游客在早上八点的第X分钟到达底层侯梯处，且X在(0,60)内均匀分布，求该游客等候时间的数学期望. .

*

3. 设送客汽车载有20位乘客，自始发站开出，旅客共有10个车站可以下车，如果到达一个车站没有旅客下车就不停车，求平均停车次数.（设每位旅客在各站下车等可能）

32

《概率论与数理统计》习题集 第五章 极限定理初步

专业 班 姓名 学号

§5.1§5.2 大数定律与中心极限定理

一．单项选择题

1. 设随机变量X~N(?,?2),则随?的增大，概率P?X?????是( ) (A) 单调增大 (B) 单调减小 (C) 保持不变 (D) 增减不变 2. 设nA为n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的

?n?概率，?为大于零的数，则limP?A?p????( )

n???n?(A) 0 (B) 1 (C) 二．填空题

1. 设随机变量X的数学期望E(X)??，方差D(X)??2，则由切比雪夫不等式

?1? (D) 2???2?n???1 pq??P?X???3???_________. 2. 设X1,X2,为相互独立的随机变量序列，且Xi(i?1,2,)服从参数为?的泊松分

?n?X?n??i??i?1布，则limP??x??_________.

n??n???????3. 设X表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则P?a?X?b??__________. 三．计算题

1. 对敌人的防御阵地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其数学期望是2，方差是1.69，求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率.

33

2. 某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.

3. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少?

4. 设某车间有400台同类型的机器，每台的电功率为Q(W)，设每台机器开动时间

3为总工作时间的，且每台机器的开与停是相互独立的，为了保证以0.99的概

4率有足够的电力，问本车间至少要供应多大的电功率?

*

5. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1(元)、1.2(元)、1.5(元)各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5.若售出300只蛋糕.(1)求收入至少400(元)的概率；(2)求售出价格为1.2(元)的蛋糕多于60只的概率.

34

《概率论与数理统计》习题集 第五章 极限定理初步

专业 班 姓名 学号

习 题 课

1. 为了测量AB两地间距离，采取分段测量相加的方法，现将AB两地距离分为100 段，设每段测量误差服从U[?1,1].问测量值总和产生误差绝对值超过10m的概率.

2. 某商店出售某种贵重商品.根据经验，该商品每周销售量服从参数为??1的泊松分布.假定各周的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该商店一年内(52周)售出该商品件数在50件到70件之间的概率.

3. 某保险公司多年的统计资料表明：在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.求被盗索赔户不少于14户，且不多于30户的概率的近似值.

35

《概率论与数理统计》习题集 第七章 参数估计

专业 班 姓名 学号

§7.1 点估计

一．单项选择题

1. 设0，1，0，1，1为来自两点分布总体B(1,p)的样本观察值，则p的矩估计值( )

1234(A) (B) (C) (D)

55552. 设0，2，2，3，3为来自均匀分布总体U(0,?)的样本观察值，则?的矩估计值为( ).

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

*

3. 设X~U[0,?]，则?的极大似然估计值是( )

ii (A)x (B) maxxi (C) 2x (D) minxi

4．设X1,X2,L,Xn来自正态总体X~N(m,s2)的样本，其中?未知，则?2的极大似然估计量是( )

1nn?1n2(Xi?X)2 (A) ?(Xi??) (B) ?ni?1ni?11n1n2(Xi?X) (D) ?(Xi?X)2 (C) ?n?1i?1ni?1二．填空题

1. 设总体X的分布律或者概率密度为f(x;?)，X1,X2,L,Xn是总体X的样本，极

?满足_________ _. 对于样本观测值x1,x2,L,xn，未知参数?的极大似然估计?大似然估计法依据_________ 原理；样本的似然函数为______ _；

2. 设X1,X2,L,Xn是总体X的样本，用矩法估计未知参数时，

（1）若总体中只含有一个未知参数时，可用方程_________ _ 解出未知参数；

（2）若总体中含有两个未知参数时，可用方程组_________ 解出未知参数.

41

三．计算题

??1???x,0?x?11．对容量为n的样本，总体X概率密度为f(x;?)??0,其他??（??0）

求总体X的参数q的矩法估计量及极大似然估计量.

?2?2(??x),0?x??n2．对容量为的样本，求概率密度为f(x;?)????0,其它?参数?的矩法估计量.

的总体X的

3．设电话总机在某段时间内接到呼唤的次数服从参数未知的泊松分布，现在收集了如下42个数据：

接到呼唤次数 0 1 2 3 4 5

出现的频数 7 10 12 8 3 2

用极大似然估计法估计上述的未知参数.

42

《概率论与数理统计》习题集 第七章 参数估计

专业 班 姓名 学号

§7.2§7.3§7.4 估计量与区间估计

一．单项选择题

1. 设??1，??2是?的两个估计量，若??1比??2有效，即( )

?) (B) D(??) ?)?D(??)?D(? (A)D(?2211?) (D) ??，??均无偏且D(??) ?)?D(?(C)??1无偏且D(??1)?D(?212211nX??Xi, 2. 设随机变量X1,X2,L,Xn独立同分布，且D(X1)??，ni?1221nS??Xi?X则( )

n?1i?1(A)S是?的无偏估计量 (B)S是?的极大似然估计量 2??(C)S2是?2的无偏估计量 (D)S与X相互独立

3. 单个正态总体期望未知时，对取定的样本观察值及给定的?（0???1），欲求总体方差的置信度1－?的置信区间，使用的统计量服从( ) (A) F分布 (B)t分布 (C)?2分布 (D)标准正态分布

二．填空题

1. 设总体X~N(m,s2)，X1,X2,L,Xn为来自总体的样本，当用2X?X1，X及

121X1?X2?X3作为?的估计时，最有效的是_________. 2362. 设X1,X2,?,X100为正态总体X的样本，

（1）?2已知时，正态总体均值?的90%的置信区间为__________ _； （2）?2未知时，正态总体均值?的90%的置信区间为__________ _； （3）?未知时，正态总体方差?2的90%的置信区间为__________ _.

43

三．计算题

1. 设X1,X2,X3为来自总体X的样本,试证统计量：

111111 X1?X2?X3，?2(X1，X2，X3)?X1?X2?X3，236244111都是总体X期望E(X)的无偏估计量，并指出?3(X1，X2，X3)?X1?X2?X3，333哪一个估计量更有效.

?1(X1，X2，X3)?

2. 用机器装罐头，已知罐头质量服从正态分布N(?,0.022).随机抽取25个罐头进行测量，算得其样本均值X?1.02kg.试求总体期望?的置信度为95％的置信区间.

3. 从某商店一年来的发票存根中随机抽取26张，算得平均金额为78.5元，样本标准差为20元.假定发票金额服从正态分布.试求该商店一年来发票平均的置信度为90％的置信区间.

4. 随机取某种炮弹9发做实验，得炮口的速度的样本标准差S?11m/s.设炮口的速度服从正态分布,求这种炮弹炮口的速度方差?2和标准差?的置信度为0.95的置信区间.

44

《概率论与数理统计》习题集 第七章 参数估计

专业 班 姓名 学号

习 题 课

一．选择题

1. 设总体X的分布函数为F(x)，则总体均值?和方差?2的矩估计分别为( ).

??1n21n22（xi?x）(A)??x,???xi (B)??x,???

ni?1ni?1??n?1n222（xi?x） (D)??x,???（xi?x）(C)??x,?? ?n?1i?1i?1??2?2二．填空题

kn?k1. 设总体X服从二项分布，它的概率分布为P(X?k)?Ck(k?1,2,，n),其npq中0?p?1,q?1?p.又设X1,X2,L,Xn是总体X的样本，则未知参数p的矩法估计量为____________________.

*

2. 设X1,X2,L,Xn和Y1,Y2,L,Ym是分别来自总体XnnN(?,1)和YN(?,22)的两个

样本，?的一个无偏估计有形式T?a?Xi?b?Yi，则a和b应该满足________

i?1i?1条件；当a=__________，b=__________时，T最有效. 三．计算题

1. 设总体X的概率密度为

??x??1,0?x?1,??0f(x)??

其他?0,X1,X2,L,Xn为X的样本，（1）求?的矩法估计量；（2）求?的极大似然估计量.

45

2. 随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（一厘米计）为

2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.14 2.10 2.15 2.12 2.14

2.10 2.13 2.11 2.11设钉长服从正态分布，分别在下列条件：（1）?未知；（2）已知?=0.01（厘米） 求总体均值的置信度为0.9的置信区间.

3. 冷抽铜丝的折断力服从正态分布.从一批铜丝中任取10根，测试折断力，得数

据为

578 572 570 568 572

570 570 596 584 572求方差?2与标准差?的置信区间. （?=0.05）

46

《概率论与数理统计》习题集 第八章 假设检验

专业 班 姓名 学号

第八章 假设检验

一．选择题

1. 在假设检验中,记H0为原假设,第一类错误为( ) (A)H0为真，接受H0 (B) H0不真，拒绝H0 (C)H0为真，拒绝H0 （D）H0不真，接受H0

222. 设X和S是来自正态总体N(?,?)的样本均值和样本方差,样本容量为n，

为( ) n(A) H0:???0的拒绝域 (B) H0:???0的接受域 (C) m的一个置信区间 (D) ?的一个置信区间

2X??0?t0.05(n?1)S二．填空题

1. 检验假设的方法是依据 的原理. 2. 在U检验时，用统计量 ，若H0:???0时，它的拒绝域

为 . 3. 在?22检验时，用统计量 ，若H0:?2??0时，它的拒绝

域为 .

三、 计算题

1. 早稻收割根据长势估计平均亩产为310kg，收割时，随机抽取了10块，测出每

110块的实际亩产量为X1,X2,L,X10，计算得X??Xi?320，如果已知早稻亩产

10i?1量X服从正态分布N(?,144)，试问所估产量是否正确? （?=0.05）

47

22. 自动车床加工零件的长度服从正态分布N(?,?)，车床正常时，加工零件长度

均值为10.5，经过一段时间生产后，要检验这车床是否工作正常，为此抽取该车床加工的31个零件，测得数据如下： 零件 10.1 10.3 10.6 11.2 11.5 11.8 12.0 长度 频数 1 3 7 10 6 3 1

若加工零件长度方差不变，问此车床工作是否正常? （?=0.05）

3. 某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）长期以来服从方差?2?5000 的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变.现随机取26只电池，测出其寿命的样本方差s2?9200.问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化? （?=0.02）

48

《概率论与数理统计》习题集 第八章 假设检验

专业 班 姓名 学号

习 题 课

一．选择题

1. 在假设检验中，显著水平?的意义是( ) (A)原假H0成立，经检验被拒绝的概率； (B)原假设H0不成立，经检验被拒绝的概率； (C)原假设H0成立，经检验不能被拒绝的概率； (D)原假设H0不成立，经检验不能被拒绝的概率；

2. 在假设检验中，原假设H0，备择假设H1，第二类错误为( ) (A)H0为真，接受H0 (B)H0不真，接受H0 (C)H0为真，拒绝H1 (D)H0为真，拒绝H0

3. 对显著水平?检验结果而言，犯第一类（去真）错误的概率P?拒绝H0H0为真?? ( )

(A)? (B)1?? (C)大于? (D)小于或等于? 二．填空题 1. 设总体XN(?,?2)，待检的原假设H0:?2??02，对于给定的显著性水平?，

????若拒绝域为?0,?2?(n?1)????2?(n?1),???,则相应的备择假设H1:_____ . 1??2??2?2. 设X1,X2,L,Xn是来自正态总体N(?,?2)的简单随机样本，其中参数?和s2未

n1n知，记X??Xi，Q??(Xi?X)2则假设H0:??0的T检验使用的统计量

ni?1i?1T?_____ _. 3. 由容量n?11的样本，计算得X?3，?Xi2?200，则S2? . i?1114. 假设检验的方法是依据 原理.

49

三、计算题

1. 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484.如果认为方差没有变化，可否认为现在生产的铁水的平均含碳量仍为4.55? (??0.05)

2. 某厂生产乐器用合金弦线，其抗拉强度服从均值为10560(公斤/厘米2)的正态分布，现从一批产品中抽取10根，测得其抗拉强度(单位:公斤/厘米2)10512，10623，10668，10554，10776， 10707，10557，10581，10666，10670问这批产品的抗拉强度有无显著变化?(??0.01)

3. 某种导线的电阻服从正态分布N(?,0.0052)，今从新生产的一批导线中随机抽取9根，测其电阻，然后计算出样本标准差s?0.004?，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005? (??0.05)

50

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jsco.html