2022年黑龙江省大庆市数学高二(下)期末学业水平测试试题含解析

2020年黑龙江省大庆市数学高二(下)期末学业水平测试试题

一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）

1．有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出不同的四位数个数为（ ） A ．78

B ．102

C ．114

D ．120

【答案】C

【解析】

分析：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2；③若取出的四张卡片为2张1和2张2；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得结论.

详解：根据题意，分四种情况讨论：

①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；

此时有4424A =种顺序，可以排出24个四位数. ②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，

若重复的数字为1，在2,3,4中取出2个，有233C =种取法，安排在四个位置中，

有2412A =种情况，剩余位置安排数字1，可以排出31236?=个四位数

同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；

③若取出的四张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有24

6C =种情况， 剩余位置安排两个2，则可以排出616?=个四位数；

④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，在2,3,4中取出1个卡片，

有133C =种取法，安排在四个位置中，有14C 4=种情况，剩余位置安排1，

可以排出3412?=个四位数，则一共有243636612114++++=个四位数，故选C.

点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.

2．()()511x x -+展开式中2x 项的系数是

A ．4

B ．5

C ．8

D ．12 【答案】B

【解析】

【分析】

把（1+x ）5 按照二项式定理展开，可得（1﹣x ）（1+x ）5展开式中x 2项的系数．

【详解】

（1﹣x ）（1+x ）5=（1﹣x ）（1+5x+10x 2+10x 3+5x 4+x 5），其中可以出现的有1*10x 2

和﹣x*5x ，其它的项相乘不能出现平方项，故展开式中x 2项的系数是10﹣5=5，

故选B ．

【点睛】

这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等．

3．函数()x f x e x =-(e 为自然对数的底数)在区间[]1,1-上的最大值是( )

A ．11e +

B ．1

C ．1e +

D ．1e -

【答案】D

【解析】

分析：先求导，再求函数在区间[-1,1]上的最大值.

详解：由题得()1,x f x e =-'令10,0.x e x -=∴= 因为111(1)11,(1)11,(0)101f e f e e f e

--=+=+=-=-=-=. 所以函数在区间[-1,1]上的最大值为e-1.

故答案为D.

点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 设()y f x =是定义在闭区间[],a b 上的函数，()y f x =在(),a b 内有导数，可以这样求最值：

①求出函数在(),a b 内的可能极值点（即方程/()0f x =在(),a b 内的根12,,,n x x x L ）；

②比较函数值()f a ，()f b 与12(),(),,()n f x f x f x L ，其中最大的一个为最大值，

最小的一个为最小值.

4．角α的终边与单位圆交于点??,则cos2=α（ ） A ．15 B ．-15 C ．35 D ．35

- 【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角函数的定义，求得cos 5

α=

，再由余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】

由题意，角α的终边与单位圆交于点??

,1=，

由三角函数的定义，可得cos α=，则223cos 22cos 1215αα=-=?-=-， 故选D.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的定义，以及余弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的定义，以及余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

5．函数()321212

f x x x x =+-+的极大值为（ ）

A ．3

B ．52

C

D ．2

【答案】B

【解析】

【分析】 求得函数的导数()(1)(32)f x x x '=+-，得出函数的单调性，再根据集合的定义，即可求解.

【详解】

由题意，函数()321212

f x x x x =+-+，则()232(1)(32)f x x x x x '=+-=+-， 令()0f x '>，即(1)(32)0x x +->，解得1x <-或23x >

， 令()0f x '<，即(1)(32)0x x +-<，解得213

x -<<， 即函数在2(,1),(,)3

-∞-+∞上函数()f x 单调递增，在2

(1,)3

-上函数()f x 单调递减， 所以当1x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值()512

f -=，故选B. 【点睛】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及求解函数的极值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系，以及极值的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6．某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有（ ）

A ．80种

B ．90种

C ．120种

D ．150种

【答案】D

【解析】

【详解】 不同的分配方案有种，选D.

7．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()21f x x =+ ，则()7f = （ ）

A ．2

B ．2-

C ．1

D ．1- 【答案】B

【解析】

【分析】

由()()4f x f x +=-，可得()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，据此可得()()71f f =-，结合函数的周期性与奇偶性，即可求解．

【详解】

根据题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=-，则有()()()84f x f x f x +=-+=，

则函数()f x 是周期为8的周期函数，则()()71f f =-，

又由函数为奇函数，则()()()211112f f -=-=-+=，

则()12f -=-，即()72f =-；

故选B ．

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

8．在方程sin {cos 2x y θ

θ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）

A ．(2,7)

B ．12(,)33

C ．(1,0)

D ．11(,)22

【答案】D

【解析】 分析：化参数方程2x sin y cos θθ=??=?（θ为参数）为普通方程，将四个点代入验证即可.

详解：方程2x sin y cos θθ

=??

=?（θ为参数）消去参数得到212,y x =-将四个点代入验证只有D 满足方程. 故选D. 点睛：本题考查参数分析与普通方程的互化，属基础题

9．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、 ，其焦距为2c ，点,2a Q c ?? ???

在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且1125|PF PQ F F +恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A ．1

,52? ?? B ．1,42?? ? ??? C ．1,32?? ? ??? D ．2,52? ??

【答案】B

【解析】由题设可得22214a e b +<，即()()

22241141e e e -+<-，解之得212e <，即02e <<；结合图形可得1121222PF PQ PF PF F F a c +>++=+，即122104

a c c e +?，应选答案B 。 点睛：解答本题的关键是建构不等式（组），求解时先依据题设条件，将点,

2a Q c ?

? ???代入椭圆方程得到

22214a e b +<，即()()

22241141e e e -+<-，解之得212e <，从而求得02e <<，然后再借助1125PF PQ F F +与椭圆的几何性质，建立了不等式122104a c c e

+?，进而使得问题获解。 10．已知集合{}0,1,2P =，{|2}Q x x =<，则P Q I =（ ）

A ．{}0

B ．{0,1}

C ．{}1,2

D ．{0,2}

【答案】B

【解析】

【分析】

利用集合的基本运算定义即可求出答案

【详解】 已知集合{}0,1,2P =，{|2}Q x x =<，利用集合的基本运算定义即可得：{}0,1P Q ?= 答案：B

【点睛】

本题考查集合的基本运算，属于基础题

11．抛物线24y x =的焦点为F ，点(5,3)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ?周长的最小值为

A ．6

B ．8

C ．11

D ．13

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】 求△MAF 周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M 在准线上的射影为D ，

根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，

因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.

根据平面几何知识，可得当D ，M ，A 三点共线时|MA|+|MD|最小，

因此最小值为x A ﹣（﹣1）=5+1=6，

∵，

∴△MAF 周长的最小值为11，

故答案为：C ．

12．已知抛物线22y px ＝（p 是正常数）上有两点()11,A x y 、()22,B x y ，焦点F ， 甲：2

124

p x x =； 乙：212y y p =-； 丙：234

OA OB p ?=-u u u v u u u v ； 丁：112FA FB p

+=. 以上是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件有几个（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 【答案】B

【解析】

【分析】

设直线AB 的方程为x my t =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数t 的值，可以得出“直线AB 经过焦点F ”的充要条件的个数.

【详解】

设直线AB 的方程为x my t =+，则直线AB 交x 轴于点(),0T t ，且抛物线的焦点F 的坐标为,02p ?? ???

. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立22y px x my t ?=?=+?，消去x 得，2220y pmy pt --=，

由韦达定理得122y y pm +=，122y y pt =-. 对于甲条件，()()22

222

122121222224444y y pt y y p x x t p p p -=====，得2p t =±， 甲条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件；

对于乙条件，2122y y pt p =-=-，得2

p t =，此时，直线AB 过抛物线的焦点F ， 乙条件是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件； 对于丙条件，221212324OA OB x x y y t pt p ?=+=-=-uu r uu u r ，即223204

t pt p -+=， 解得2p t =或32

p t =，所以，丙条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件； 对于丁条件，

11121111112222

p p p p

FA FB x x my t my t +=+=+++++++()()()()()12122121212222222m y y t p m y y t p p p p p my t my t m y y m t y y t ++++++==????????+++++++++ ??? ? ?????????

22222

222222222222pm t p

pm t p p p p p m pt m t pm t p m t ++++===??????-++?++++ ? ? ???????， 化简得2

24

p t =，得2p t =±，所以，丁条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件. 综上所述，正确的结论只有1个，故选B.

【点睛】

本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.

二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）

13．在区间[]-33，

上随机取一个数x ，使得125x x -++≤成立的概率为 ． 【答案】

56 【解析】

【分析】 利用零点分段法解不等式125x x -++≤，得出解集与区间[]3,3-取交集，再利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率．

【详解】

当2x -≤时，()()1212215x x x x x -++=---+=--≤，解得3x ≥-，

此时32x --≤≤；

当21x -<<时，()()121235x x x x -++=--++=≤成立，此时21x -<<；

当1x ≥时，()()1212215x x x x x -++=-++=+≤，解得2x ≤，此时12x ≤≤. 所以，不等式125x x -++≤的解集为[]

3,2-， 因此，由几何概型的概率公式可知，所求事件的概率为()()235336--=--，故答案为56

.s 【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法、几何概型概率公式的计算，解题的关键就是解出绝对值不等式，解绝对值不等式一般有零点分段法（分类讨论法）以及几何法两种方法求解，考查计算能力，属于中等题． 14．高一（10）班有男生36人，女生12人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本，则抽取男生的人数为__________人．

【答案】6

【解析】

分析：根据分层抽样的定义直接计算即可.

详解：设抽取男生的人数为x ，

因为男生36人，女生12人，从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本， 所以8116486366

x x =?=?=， 取男生的人数为6，故答案为6.

点睛：本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.

15．多项式()5122x x ??+

+ ???

的展开式中，含2x 项的系数是________. 【答案】200

【解析】

【分析】

根据题意，由二项式定理可得，()52x +的通项公式为5152r r r r T C x -+=，令2,3r r ==，求出对应1r T +的值即可求解.

【详解】

根据题意，由二项式定理可得，()52x +的通项公式为5152r r r r T C x -+=，

当2r =时，可得232235280T C x x ==，当3r =时，可得323345240T C x x ==，

所以多项式()5122x x ??++ ???的展开式中，含2x 的项为232128040200x x x x

?+?=， 故多项式()5122x x ?

?++ ???

的展开式中，含2x 项的系数为200. 故答案为：200

【点睛】

本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数；考查运算求解能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

16．已知tan()1αβ+=，tan()5αβ-=，则tan 2β=______.

【答案】23

-

【解析】

【分析】

利用两角差的正切公式()()tan 2tan βαβαβ=+--????展开，代入相应值可计算出 tan 2β的值．

【详解】

()()()()()()tan tan 152tan2tan 1tan tan 1153

αβαββαβαβαβαβ+---??=+--=

==-??++-+?. 【点睛】 本题考查两角差的正切公式的应用，解题时，首先应利用已知角去配凑所求角，然后在利用两角差的公式展开进行计算，考查运算求解能力，属于中等题．

三、解答题（本题包括6个小题，共70分）

17．如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，

AD//BC ，BC ＝2AD ，AD ⊥CD ，PD ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点.

(1)求证：AE//平面PDC ；

(2)若BC ＝CD ＝PD ，求直线AC 与平面PBC 所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）155

【解析】

【分析】 （1）取PC 的中点F ，连结DF 、EF ，推导出四边形ADFE 是平行四边形，从而//AE DF ，由此能证明//AE 平面PDC ．

（2）推导出DF PC ⊥，由//AE DF ，得AE PC ⊥，再推导出PD BC ⊥，BC CD ⊥，从而BC ⊥平面PDC ，BC DF ⊥，BC AE ⊥，AE PC ⊥，进而AE ⊥平面PBC ，连结EC ，AC ，则AEC ∠就是直线AC 与平面PBC 所成角，由此能求出直线AC 与平面PBC 所成角的余弦值．

【详解】

解：（1）证明：取PC 的中点F ，连结DF 、EF ，

E Q 是PB 的中点，//E

F BC ∴，且2BC EF =， //AD BC Q ，2BC AD =，//AD EF ∴，且AD EF =，

∴四边形ADFE 是平行四边形，//AE DF ∴，

又DF ?平面PDC ，//AE ∴平面PDC ．

（2）解：PD DC =Q ，PDC ∴?是等腰三角形，

DF PC ∴⊥，又//AE DF ，AE PC ∴⊥，

PD ⊥Q 平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，

PD BC ∴⊥，又BC CD ⊥，BC ∴⊥平面PDC ，

DF ?Q 平面PDC ，BC DF ∴⊥，BC AE ∴⊥，

又AE PC ⊥，AE ∴⊥平面PBC ，

连结EC ，AC ，则AEC ∠就是直线AC 与平面PBC 所成角，

设2PD CD BC ===，

在Rt PCB ?中，解得22=PC 23PB =3EC =

， 在Rt ADC ?中，解得5AC =

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/js7l.html