同底指数函数与对数函数的交点问题
更新时间:2023-09-16 03:15:01 阅读量: 高中教育 文档下载
同底指数函数与对数函数的交点问题
x函数y?a与y?logax图像的交点问题解答如下: x一、a?1时方程a?logax的解
xx先求如图3所示曲线y?a与y?logax相切时a的值。设曲线y?a与y?logax相切
于点M(x0,x0),由于曲线y?a在点M处的切线斜率为1,
x0x???a?x0,?a0?x0,即?x?x0(a)'|?1??x?x0?alna?1 所以?x
?ax0?x0,11?则alna??1lna?x0?lna所以? 1e?,所以a?ee,此时x0?elna即。
以上说明,当a1?ee1x时,两条曲线y?a与y?logax相切于点M(e,e)。
因此有以下结论: ①当a1?ee,方程(*)无解(见图1所示);
②当1?a?1ee,方程(*)有且只有两解(见图2所示);
③当a1?ee,方程(*)有且只有一解(见图3所示)。
用计算器可算得
x二、0?a?1时方程a?logax的解
x先求如图5所示曲线y?a与y?logax相切时a的值。
x设曲线y?a与y?logax相切于点P,由对称性知,点P在直线y?x上,设P(x0,y0)。 x由于曲线y?logax(或y?a)在点P处切线的斜为?1, x0??a?x0,?(logax)'|xx??10?所以?
1ee?1.44467。
?ax0?x0,??1?xlna??1即?0
??1?1?1?1?,,?alna????elnalna即???1?x??x?100??e ?lna?所以
11a?()ex0?e。此时,e。 则
111a?()e,xe时,两条曲线y?a与y?logax相切于点P(ee)。 以上说明,当
因此有以下结论:
10?a?()ee时,方程(*)有且只有三解(见图4所示); ①
1a?()ee时,方程(*)有且只有一解(如图5所示); ②当
1()e?a?1③当e时,方程(*)有且只有一解(如图6所示)。
综上所述,得:
1a?(0,()e)xa?logax有且只有三解; e当时,方程1a?()e时,方程ax?logaxe当有且只有一解; 1a?(()e,1)xe当时,方程a?logax有且只有一解;
当
1a?(1,ee1?ee)时,方程ax?logax有且只有两解;
当ax时,方程a?logax有且只有一解;
当
1a?(ee,??)x时,方程a?logax无解。
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