2有理数全章教案

数怎么不够用了（1）

教学目标

1．使学生了解正数与负数是从实际需要中产生的；

2．使学生理解正数与负数的概念，并会判断一个数是正数还是负数； 3．初步会用正负数表示具有相反意义的量；

4．在负数概念的形成过程中，培养学生的观察、归纳与概括的能力． 教学重点和难点 重点 负数的意义． 难点 负数的意义． 教学手段

现代课堂教学手段 教学方法

启发式教学 教学过程

（一）、从学生原有的认知结构提出问题

大家知道，数学与数是分不开的，它是一门研究数的学问．现在我们一起来回忆一下，小学里已经学过哪些类型的数？

学生答后，教师指出：小学里学过的数可以分为三类：自然数(正整数)、分数和零(小数包括在分数之中)，它们都是由于实际需要而产生的．

为了表示一个人、两只手、??，我们用到整数1，2，?? 4.87、??

为了表示“没有人”、“没有羊”、??，我们要用到0．

但在实际生活中，还有许多量不能用上述所说的自然数，零或分数、小数表示． （二）、师生共同研究形成正负数概念

某市某一天的最高温度是零上5℃，最低温度是零下5℃．要表示这两个温度，如果只用小学学过的数，都记作5℃，就不能把它们区别清楚．它们是具有相反意义的两个量．

现实生活中，像这样的相反意义的量还有很多．

例如，珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的．

和“运出”，其意义是相反的． 同学们能举例子吗？

学生回答后，教师提出：怎样区别相反意义的量才好呢？ 待学生思考后，请学生回答、评议、补充．

教师小结：同学们成了发明家．甲同学说，用不同颜色来区分，比如，红色5℃表示零下5℃，黑色5℃表示零上5℃；乙同学说，在数字前面加不同符号来区分，比如，△5℃表示零上5℃，×5℃表示零下5℃??．其实，中国古代数学家就曾经采用不同的颜色来区分，古时叫做“正算黑，负算赤”．如今这种方法在记账的时候还使用．所谓“赤字”，就是这样来的．

现在，数学中采用符号来区分，规定零上5℃记作+5℃(读作正5℃)或5℃，把零下5℃记作-5℃(读作负5℃)．这样，只要在小学里学过的数前面加上“+”或“-”号，就把两个相反意义的量简明地表示出来了．

让学生用同样的方法表示出前面例子中具有相反意义的量：

高于海平面8848米，记作+8848米；低于海平面155米，记作-155米；

1

教师讲解：什么叫做正数？什么叫做负数？强调，数0既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限，表示“基准”的数，零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量．并指出，正数，负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号．

（三）、运用举例 变式练习 例 所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合．把下列各数中的正数和负数分别填在表示正数集合和负数集合的圈里：

此例由学生口答，教师板书，注意加上省略号，说明这是因为正(负)数集合中包含所有正(负)数，而我们这里只填了其中一部分．然后，指出不仅可以用圈表示集合，也可以用大括号表示集合．

课堂练习

任意写出6个正数与6个负数，并分别把它们填入相应的大括号里： 正数集合：｛ ?｝， 负数集合：｛ ?｝． （四）、小结

由于实际生活中存在着许多具有相反意义的量，因此产生了正数与负数．正数是大于0的数，负数就是在正数前面加上“-”号的数．0既不是正数，也不是负数，0可以表示没有，也可以表示一个实际存在的数量，如0℃． 六、练习设计

1．北京一月份的日平均气温大约是零下3℃，用负数表示这个温度．

2．在小学地理图册的世界地形图上，可以看到亚洲西部地中海旁有一个死海湖，图中标着-392，这表明死海的湖面与海平面相比的高度是怎样的？

3．在下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ -3.6，-4，9651，-0.1．

4．如果-50元表示支出50元，那么+200元表示什么？ 5．河道中的水位比正常水位低0.2米记作-0.2米，那么比正常水位高0.1米记作什么？ 6．如果自行车车条的长度比标准长度长2毫米记作+2毫米，那么比标准长度短3毫米记作什么？

7．一物体可以左右移动，设向右为正，问：

(1)向左移动12米应记作什么？(2)“记作8米”表明什么？ 七、板书设计

2．1数怎么不够用了（1） （一）知识回顾 （四）例题解析 （六）课堂小结 （二）观察发现 例1、例2 （三）解方程 （五）课堂练习 练习设计

八、课后记

2

数怎么不够用了（2）

教学目标

1．使学生理解有理数的意义，并能将给出的有理数进行分类； 2．培养学生树立分类讨论的思想． 教学重点和难点

重点 有理数包括哪些数． 难点 有理数的分类及其分类的标准． 教学手段

现代课堂教学手段 教学方法

启发式教学 教学过程

（一）、从学生原有的认知结构提出问题 1．什么是正、负数？

2．如何用正、负数表示具有相反意义的量？数0表示量的意义是什么？举例说明． 3．任何一个正数都比0大吗？任何一个负数都比0小吗？ 4．什么是整数？什么是分数？ 根据学生的回答引出新课． （二）、讲授新课

1．给出新的整数、分数概念

引进负数后，数的范围扩大了．过去我们说整数只包括自然数和零，引进负数后，我们把自然数叫做正整数，自然数前加上负号的数叫做负整数，因而整数包括正整数(自然数)、负整数和零，同样分数包括正分数、负分数，即

2．给出有理数概念

整数和分数统称为有理数，即

有理数是英语“Rational number”的译名，更确切的译名应译作“比 3．有理数的分类

为了便于研究某些问题，常常需要将有理数进行分类，需要不同，分类的方法也常常不同根据有理数的定义可将有理数分成两类：整数和分数．有理数还有没有其他的分类方法？

待学生思考后，请学生回答、评议、补充． 教师小结：按有理数的符号分为三类：正有理数、负有理数和零，简称正数、负数和零，即

并指出，在有理数范围内，正数和零统称为非负数．并向学生强调：分类可以根据不同需要，用不同的分类标准，但必须对讨论对象不重不漏地分类．

（三）、运用举例 变式练习

例1 将下列数按上述两种标准分类：

例2 下列各数是正数还是负数，是整数还是分数： 课堂练习

25，-100按两种标准分类．

2．下列各数是正数还是负数，是整数还是分数？ （四）、小结

教师引导学生回答如下问题：本节课学习了哪些基本内容？学习了什么数学思想方法？应注意什么问题？

3

七、练习设计

1．把下列各数填在相应的括号里(将各数用逗号分开)： 正整数集合：｛ ?｝； 负整数集合：｛ ?｝； 正分数集合：｛ ?｝； 负分数集合：｛ ?｝． 2．填空题：

的数是______，在分数集合里的数是______；

(2)整数和分数合起来叫做______，正分数和负分数合起来叫做______． 3．选择题

(1)-100不是 [ ] A．有理数 B．自然数 C．整数 D．负有理数 (2)在以下说法中，正确的是 [ ] A．非负有理数就是正有理数 B．零表示没有，不是有理数 C．正整数和负整数统称为整数 D．整数和分数统称为有理数 八、板书设计

2．1数怎么不够用了（2）（一）知识回顾 （三）例题解析 （二）观察发现 例1、例2

（四）课堂练习 九、教学后记

练习设计

4

（五）课堂小结 一、课题 §2.2数轴（1）

二、教学目标

1．使学生正确理解数轴的意义，掌握数轴的三要素；

2．使学生学会由数轴上的已知点说出它所表示的数，能将有理数用数轴上的点表示出来；

3．使学生初步理解数形结合的思想方法． 三、教学重点和难点 重点 初步理解数形结合的思想方法，正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数． 难点 正确理解有理数与数轴上点的对应关系． 四、教学手段

现代课堂教学手段 五、教学方法

启发式教学 六、教学过程

（一）、从学生原有认知结构提出问题

1．小学里曾用“射线”上的点来表示数，你能在射线上表示出1和2吗？ 2．用“射线”能不能表示有理数？为什么？

3．你认为把“射线”做怎样的改动，才能用来表示有理数呢？

待学生回答后，教师指出，这就是我们本节课所要学习的内容——数轴． （二）、讲授新课

让学生观察挂图——放大的温度计，同时教师给予语言指导：利用温度计可以测量温度，在温度计上有刻度，刻度上标有读数，根据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数，从而得到所测的温度．在0上10个刻度，表示10℃；在0下5个刻度，表示-5℃．

与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零．具体方法如下(边说边画)：

1．画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点(通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边)用这点表示0(相当于温度计上的0℃)；

2．规定直线上从原点向右为正方向(箭头所指的方向)，那么从原点向左为负方向(相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负)；

3．选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，?从原点向左，每隔一个长度单位取一点，依次表示为-1，-2，-3，?

提问：我们能不能用这条直线表示任何有理数？(可列举几个数)

在此基础上，给出数轴的定义，即规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 进而提问学生：在数轴上，已知一点P表示数-5，如果数轴上的原点不选在原来位置，而改选在另一位置，那么P对应的数是否还是-5？如果单位长度改变呢？如果直线的正方向改变呢？

通过上述提问，向学生指出：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可． 三、运用举例 变式练习

例1 画一个数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点： 例2 指出数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数． 课堂练习

5

说出下面数轴上A，B，C，D，O，M各点表示什么数？ 最后引导学生得出结论：正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，零用原点表示．

（四）、小结

指导学生阅读教材后指出：数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法．

本节课要求同学们能掌握数轴的三要素，正确地画出数轴，在此还要提醒同学们，所有的有理数都可用数轴上的点来表示，但是反过来不成立，即数轴上的点并不是都表示有理数，至于数轴上的哪些点不能表示有理数，这个问题以后再研究． 七、练习设计

1．在下面数轴上：

(1)分别指出表示-2，3，-4，0，1各数的点． (2)A，H，D，E，O各点分别表示什么数？

2．在下面数轴上，A，B，C，D各点分别表示什么数？

3．下列各小题先分别画出数轴，然后在数轴上画出表示大括号内的一组数的点： (1)｛-5，2，-1，-3，0｝； (2)｛-4，2.5，-1.5，3.5｝； 八、板书设计 2．2数轴（1） （一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结 例1、例2 （二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计

九、教学后记

6

一、课题 §2.2数轴（2）

二、教学目标

1．使学生进一步掌握数轴概念；

2．使学生会利用数轴比较有理数的大小； 3．使学生进一步理解数形结合的思想方法． 三、教学重点和难点

重点：会比较有理数的大小．

难点：如何比较两个负数(尤其是两个负分数)的大小． 四、教学手段

现代课堂教学手段 五、教学方法

启发式教学 六、教学过程

（一）、从学生原有的认识结构提出问题 1．数轴怎么画？它包括哪几个要素？

2．大于0的数在数轴上位于原点的哪一侧？小于0的数呢？ （二）、师生共同探索利用数轴比较有理数大小的法则 在温度计上显示的两个温度，上边的温度总比下边的温度高，例如，5℃在-2℃上边， 5℃高于-2℃；-1℃在-4℃上边，-1℃高于-4℃．

下面的结论引导学生把温度计与数轴类比，自己归纳出来：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．

（三）、运用举例 变式练习 通过此例引导学生总结出“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”的规律．要提醒学生，用“＜”连接两个以上数时，小数在前，大数在后，不能出现5＞0＜4这样的式子．

例2 观察数轴，找出符合下列要求的数： (1)最大的正整数和最小的正整数； (2)最大的负整数和最小的负整数； (3)最大的整数和最小的整数； (4)最小的正分数和最大的负分数．

在解本题时应适时提醒学生，直线是向两边无限延伸的． 课堂练习

2．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”把它们连接起来： （四）、小结

教师指出这节课主要内容是利用数轴比较两个有理数的大小，进而要求学生叙述比较的法则．

七、练习设计

1．比较下列每对数的大小：

2．把下列各组数从小到大用“＜”号连接起来：

(1)3，-5，-4； (2)-9，16，-11；

3．下表是我国几个城市某年一月份的平均气温，把它们按从高到低的顺序排列． 八、板书设计

7

2．2数轴（2） （一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结 例3、例4 （二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计

九、教学后记

8

绝对值

教学目标

1、使学生掌握有理数的绝对值概念及表示方法；

2、使学生熟练掌握有理数绝对值的求法和有关的简单计算；

3、在绝对值概念形成过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的概括能力

教学重点和难点

正确理解绝对值的概念 教学手段

现代课堂教学手段 教学方法

启发式教学 教学过程

（一）、从学生原有的认知结构提出问题 1、下列各数中：

+7，-2，数?

2、什么叫做数轴?画一条数轴，并在数轴上标出下列各数： -3，4，0，3，-15，-4，

121，-83，0，+001，-，1，哪些是正数?哪些是负数?哪些是非负3523，2 23、问题2中有哪些数互为相反数?从数轴上看，互为相反数的一对有理数有什么特点? 4、怎样表示一个数的相反数?

（二）、师生共同研究形成绝对值概念

例1 两辆汽车，第一辆沿公路向东行驶了5千米，第二辆向西行驶了4千米，为了表示行驶的方向(规定向东为正)和所在位置，分别记作+5千米和-4千米这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了

我们知道，出租汽车是计程收费的，这时我们只需要考虑汽车行驶的距离，不需要考虑方向当不考虑方向时，两辆汽车行驶的距离就可以记为5千米和4千米(在图上标出距离)这里的5叫做+5的绝对值，4叫做-4的绝对值

例2 两位徒工分别用卷尺测量一段1米长的钢管，由于测量工具使用不当或读数不准确，甲测得的结果是1.01米，乙侧得的结果是0.98米甲测量的差额即多出的数记作+0.01米，乙测量的差额即减少的数记作-0.02米

如果不计测量结果是多出或减少，只考虑测量误差，那么他们测量的误差分别是0.01和0.02这如果请有经验的老师傅进行测量，结果恰好是1米，我们用有理数来表示测量的误差，这个数就是0(也可以记作+0或-0)，自然这个差额0的绝以值是0

那么，有

+5的绝对值是5，在数轴上表示+5的点到原点的距离是5； -4的绝对值是4，在数轴上表示-4的点到原点的距离是4；

+001的绝对值是001，在数轴上表示+001的点到原点的距离是001； -002的绝对值是002，在数轴上表示-002的点它到原点的距离是002； 0的绝对值是0，表明它到原点的距离是0

一般地，一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离 为了方便，我们用一种符号来表示一个数的绝对值约定在一个数的两旁各画一条竖线

9

来表示这个数的绝对值如

+5的绝对值记作∣+5∣，显然有∣+5∣=5；

-0.02的绝对值记作∣-0.02∣，显然有∣-0.02∣=0.02； 0的绝对值记作∣0∣，也就是∣0∣=0

a的绝对值记作∣a∣，(提醒学生a可以是正数，也可以是负数或0) 例3 利用数轴求5，32，7，-2，-71，-05的绝对值 由例3学生自己归纳出：

一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0

1、用a表示一个数，如何表示a是正数，a是负数，a是0?

a是正数：a＞0; a是负数:a＜0; a是0:a=0 2、怎样表示a的本身,a的相反数?

a的本身是自然数还是a.a的相反数为-a. 现在可以把绝对值的代数定义表示成

如果a＞0，那么a=a； 如果a＜0，那么a=-a； 如果a=0，那么a=0 例4 求8，-8，

11，-，0，6，-π，π-5的绝对值（由绝对值的代数定义）， 44

（三）、课堂练习 1、下列哪些数是正数? -2，?1，?3，0，-?2，-（-2），-?2 32、在括号里填写适当的数： ??3.5=( )；

1=( )； -?5=( )； -?3=( )； ()=1， ??=0； 2-

??=-2

1111|×|-|，÷|-|。 23223、计算下列各题：

|-3|+|-5|；|+2|-|-2|；|-3|-|-2|；|-

（四）、小结

指导学生阅读教材，进一步理解绝对值的代数和几何意义 七、练习设计

1、填空：

(1)+3的符号是_____，绝对值是______； (2)-3的符号是_____，绝对值是______；

10

(3)-

12的符号是____，绝对值是______； (4)10-5的符号是_____，绝对值是______ 2、填空：

(1)符号是+号，绝对值是7的数是________； (2)符号是-号，绝对值是7的数是________；

(3)符号是-号，绝对值是035的数是________； (4)符号是+号，绝对值是113的数是________； 3、(1)绝对值是

34的数有几个?各是什么? (2)绝对值是0的数有几个?各是什么? (3)有没有绝对值是-2的数? 4、计算：

(1)|-15|-|-6|； (2)|-024|+|-506|； (3)|-3|×|-2|；(4)|+4|×|-5|； (3)|-12|÷|+2|； (6)|20|÷|-12| 5、填空：

(1)当a＞0时，|2a|=________； (2)当a＞1时，|a-1|=________； (3)当a＜1时，|a-1|=________ 八、板书设计 2．3绝对值（1） （一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结 例1、例2 （二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计

九、教学后记

11

有理数的加法

教学目标

1．使学生掌握有理数加法的运算律，并能运用加法运算律简化运算； 2．培养学生观察、比较、归纳及运算能力． 教学重点和难点

1．重点：有理数加法运算律．

2．难点：灵活运用运算律使运算简便． 教学手段

现代课堂教学手段 教学方法

启发式教学 教学过程

（一）、 从学生原有认知结构提出问题 1．叙述有理数的加法法则．

2．“有理数加法”与小学里学过的数的加法有什么区别和联系？

答：进行有理数加法运算，先要根据具体情况正确地选用法则，确定和的符号，这与小学里学过的数的加法是不同的；而计算“和”的绝对值，用的是小学里学过的加法或减法运算．

3．计算下列各题，并说明是根据哪一条运算法则？

(1)(-9.18)+6.18； (2)6.18+(-9.18)； (3)(-2.37)+(-4.63)； 4．计算下列各题：

(1)[8+(-5)]+(-4)； (2)8+[(-5)+(-4)]； (3)[(-7)+(-10)]+(-11)； (4)(-7)+[(-10)+(-11)]； (5)[(-22)+(-27)]+(+27)； (6)(-22)+[(-27)+(+27)]．

（二）、师生共同研究形成有理数运算律 通过上面练习，引导学生得出：

交换律——两个有理数相加，交换加数的位置，和不变． 用代数式表示上面一段话： a+b=b+a．

运算律式子中的字母a，b表示任意的一个有理数，可以是正数，也可以是负数或者零．在同一个式子中，同一个字母表示同一个数．

结合律——三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 用代数式表示上面一段话： (a+b)+c=a+(b+c)．

这里a，b，c表示任意三个有理数． （三）、运用举例 变式练习

根据加法交换律和结合律可以推出：三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加．

例1 计算16+(-25)+24+(-32)．

引导学生发现，在本例中，把正数与负数分别结合在一起再相加，计算就比较简便． 解：16+(-25)+24+(-32)

=16+24+(-25)+(-32) (加法交换律) =[16+24]+[(-25)+(-32)] (加法结合律)

12

=40+(-57) (同号相加法则) =-17． (异号相加法则) 本例先由学生在笔记本上解答，然后教师根据学生解答情况指定几名学生板演，并引导学生发现，简化加法运算一般是三种方法：首先消去互为相反数的两数(其和为0)，同号结合或凑整数．

例2、10袋小麦称重记录如图所示，以每袋90千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．

总计是超过多少千克或不足多少千克？ 10袋小麦的总重量是多少？

教师通过启发，由学生列出算式，再让学生思考，如何应用运算律，使计算简便． 解：7+5+(-4)+6+4+3+(-3)+(-2)+8+1 =[(-4)+4]+[5+(-3)+(-2)]+(7+6+3+8+1) =0+0+25=25． 90×10+25=925．

答：总计是超过25千克，总重量是925千克． 课堂练习

1．计算：(要求注理由)

(1)23+(-17)+6+(-22)； (2)(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)； (3)(-7)+(-6.5)+(-3)+6.5． 2．计算：(要求注理由) 七、练习设计

1．计算：(要求注理由)

(1)(-8)+10+2+(-1)； (2)5+(-6)+3+9+(-4)+(-7)； (3)(-0.8)+1.2+(-0.7)+(-2.1)+0.8+3.5； 2．计算(要求注理由)

(1)(-17)+59+(-37)； (2)(-18.65)+(-6.15)+18.15+6.15；

3．当a=-11，b=8，c=-14时，求下列代数式的值： (1)a+b； (2)a+c； (3)a+a+a； (4)a+b+c． 利用有理数的加法解下列各题(第4～8题)：

4．飞机的飞行高度是1000米，上升300米，又下降500米，这时飞行高度是多少？ 5．存折中有450元，取出80元，又存入150元以后，存折中还有多少钱？ 6．一天早晨的气温是-7℃，中午上升了11℃，半夜又下降了9℃，半夜的气温是多少？ 7．小吃店一周中每天的盈亏情况如下(盈余为正)：

128.3元，-25.6元，-15元，27元，-7元，36.5元，98元 一周总的盈亏情况如何？

8．8筐白菜，以每筐25千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：

1.5，-3，2，-0.5，1，-2，-2，-2.5 8筐白菜的重量是多少？ 八、板书设计

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2．4有理数的加法（2） （一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结 例1、例2 （二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计

九、教学后记

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2.05有理数的减法

【教学目标】

知识目标：掌握有理式的减法的运算法则，并会应用法则说明问题。 能力目标：培养学生观察、归纳的数学能力及转化的数学思想。

情感目标：使学生感受事物之间的相互联系，以及已知与未知之间的转化，提高学生的学习兴趣。

【教材分析】根据斯托利亚尔的观点，我们把教学作为一个过程，那么

在教学一个新的内容时，我们总是把学生视为探索者，将教学过程模拟成一个“科研过程”，引导学生发现矛盾，提出问题，最后用新的理论来解决原先提出问题，解决原先发现的矛盾．这种教法，归纳起来就是“三部曲”：提出问题——建立理论——解决问题．这节课的设计正是这一教学方法的具体体现．

? 重点：有理数的减法的运算法则，以及法则的应用。

? 难点：在实际生活中，正、负关系的确定以及原有知识的掌握。

【教学准备】

观察、归纳、合作交流、对比、类比等

【教学过程】

一.创设情境、提出问题 全国北方主要城市天气预报

城市 济南 兰州 哈尔滨 银川 沈阳 呼和浩特 乌鲁木齐 …………. 天气 多云 小雨 小雪 小雪 小雪 雨夹雪 晴 ……….. 最高温 33 9 3 -1 5 -1 12 ………. 最低温 25 5 -3 0 -2 -3 -1 ……….. 15

温差 8 4

提出问题：师：哈尔滨的最高 温度为 3 度，最低 温度为 –3 度 ，这天哈尔滨的温差为多少？列出算式

生：（小组讨论）根据前两市的计算方法，可知温差

应为最高气温-最底气温的差，所以应为3 -（ - 3）= ？ 二、分析探索、问题解决：

师：你能否用身边的知识找到等式的答案？ 生：（小组讨论）例如：跳水运动员从3米(即：3)板高处

跳进泳池，一直到水下3米(即：-3)才停止下沉，那他一共经过的距离是6米［即：3 -（ - 3）＝6］。

师：大家注意观察下面的两个算式，你能得到什么启发。

3 -（ - 3）＝6

3 + 3 ＝6

生：（小组讨论）相同点：两个算式的结果都等于6。

不同点：原来的“-”变成了“+”；原来的（-3）变成了（+3）。

师：大家再来观察下列一组数值，你能得出什么结论？ ?50 - 20 = 30 50 +（-20）=30 50 -10=40 50 +（- 10 ）= 40 50 - 0 = 50 50 +0 = 50 50 -10 = 40 50 +（-10）= 40 50 - 20 = 30 50 + （-20）=30 三、.知识理顺、得出结论

生：（小组讨论）减去一个数，等于加上这个数的相反数

16

注：也可以有其他得表述方法、及法则中的两个变化 四、应用反思、拓展创新： 例1 计算下列各题：

（1）9 -（-5） （2）（-3）- 1 （3）0 – 8 （4）（-5） - 0 例2：解决开课提到的城市温差问题：（省略）

例3：世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度是 8848 米，吐鲁番盆地的海拔高度是 –155 米，两处高度相差多少米？估计有多少层楼高？ 生：独立完成 例4：（课本38页，略） 五、 小结回顾纳入体系：

师：通过本课的探讨学习，你获得了那些新的知识，你认为你有那些方面的进步。

生：（个人回顾———同桌交流——给大家说说） 六、 布置作业：

根据个人能力在课本38页的1、2、3小题中任选2道，感兴趣的同学做一下第五题及试一试，看你又有怎样的收获。

【教后札记】： 。

17

有理数的加减混合运算（1）

教学目标

1．使学生理解有理数的加减法可以互相转化，并了解代数和概念； 2．使学生熟练地进行有理数的加减混合运算； 3．培养学生的运算能力． 教学重点和难点

重点：准确迅速地进行有理数的加减混合运算． 难点：减法直接转化为加法及混合运算的准确性． 教学手段

现代课堂教学手段 教学方法

启发式教学 教学过程

（一）、从学生原有认知结构提出问题 1．叙述有理数加法法则． 2．叙述有理数减法法则． 3．叙述加法的运算律．

4．符号“+”和“-”各表达哪些意义？ 5．化简：+(+3)；+(-3)；-(+3)；-(-3)． 6．口算：

(1)2-7； (2)(-2)-7； (3)(-2)-(-7)； (4)2+(-7)； (5)(-2)+(-7)； (6)7-2； (7)(-2)+7； (8)2-(-7)． （二）、讲授新课

1．加减法统一成加法算式 以上口算题中(1)，(2)，(3)，(6)，(8)都是减法，按减法法则可写成加上它们的相反数．同样，(-11)-7+(-9)-(-6)按减法法则应为(-11)+(-7)+(-9)+(+6)，这样便把加减法统一成加法算式．几个正数或负数的和称为代数和．

再看16-(-2)+(-4)-(-6)-7写成代数和是16+2+(-4)+6+(-7)．

既然都可以写成代数和，加号可以省略，每个括号都可以省略，如：

(-11)-7+(-9)-(-6)=-11-7-9+6，读作“负11，负7，负9，正6的和”，运算上可读作“负11减7减9加6”；

16+2+(-4)+6+(-7)=16+2-4+6-7，读作“正16，正2，负4，正6，负7的和”，运算上读作“16加2减4加6减7”．

例1 把(-20)+(+3)-(+5)-(-7)写成省略括号的和的形式，并把它读出来． 课堂练习

(1)把下面各式写成省略括号的和的形式： ①10+(+4)+(-6)-(-5)； ②(-8)-(+4)+(-7)-(+9)． (2)说出式子8-7+4-6两种读法． 2．加法运算律的运用

既然是代数和，当然可以运用有理数加法运算律：a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)． 例2 计算-20+3-5+7． 解：-20+3-5+7 =-20-5+3+7

18

=-25+10 =-15．

注意这里既交换又结合，交换时应连同数字前的符号一起交换． 课堂练习 (1)计算：

①-1+2-3-4+5； ②(-8)-(+4)+(-6)-(-1)． (2)用较为简便的方法计算下列各题： （三）、小结

1．有理数的加减法可统一成加法．

2．因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便．但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．

七、练习设计

1．计算：

(1)3-8； (2)-4+7； (3)-6-9； (4)8-12； (5)-15+7； (6)0-2； (7)-5-9+3； (8)10-17+8；

(9)-3-4+19-11； (10)-8+12-16-23． 2．计算：

(1)-4.2+5.7-8.4+10； (2)6.1-3.7-4.9+1.8； 3．计算：

(1)-216-157+348+512-678； (2)81.26-293.8+8.74+111； 4．计算：

(1)12-(-18)+(-7)-15； (2)-40-28-(-19)+(-24)-(-32)； 5．计算：

(1)(+12)-(-18)+(-7)-(+15)；

(2)(-40)-(+28)-(-19)+(-24)-(32)； (3)(+4.7)-(-8.9)-(+7.5)+(-6)； 八、板书设计

2．6有理数的加减混合运算（1） （一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结 例1、例2 （二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计

九、教学后记

19

有理数的加减混合运算（2）

教学目标

让学生熟练地进行有理数加减混合运算，并利用运算律简化运算． 教学重点和难点

重点：加减运算法则和加法运算律． 难点：省略加号与括号的代数和的计算． 教学手段

现代课堂教学手段 教学方法

启发式教学 教学过程

（一）、从学生原有认知结构提出问题 什么叫代数和？说出-6+9-8-7+3两种读法． （二）、讲授新课 1．计算下列各题： 2．计算：

(1)-12+11-8+39； (2)+45-9-91+5； (3)-5-5-3-3； (7)-6-8-2+3.54-4.72+16.46-5.28；

3．当a=13，b=-12.1，c=-10.6，d=25.1时，求下列代数式的值：

(1)a-(b+c)； (2)a-b-c； (3)a-(b+c+d)； (4)a-b-c-d； (5)a-(b-d)； (6)a-b+d； (7)(a+b)-(c+d)； (8)a+b-c-d； (9)(a-c)-(b-d)； (10)a-c-b+d． 请同学们观察一下计算结果，可以发现什么规律？ a-(b+c)=a-b-c； a-(b+c+d)=a-b-c-d； a-(b-d)=a-b+d；

(a+b)-(c+d)=a+b-c-d； (a-c)-(b-d)=a-c-b+d．

括号前是“-”号，去括号后括号里各项都改变了符号；括号前是“+”号(没标符号当然也是省略了“+”号)去括号后各项都不变．

4．用较简便方法计算： (4)-16+25+16-15+4-10． （三）、课堂练习

1．判断题：在下列各题中，正确的在括号中打“√”号，不正确的在括号中打“×”号： (1)两个数相加，和一定大于任一个加数． （ ） (2)两个数相加，和小于任一个加数，那么这两个数一定都是负数． （ ） (3)两数和大于一个加数而小于另一个加数，那么这两数一定是异号． （ ） (4)当两个数的符号相反时，它们差的绝对值等于这两个数绝对值的和． （ ） (5)两数差一定小于被减数． （ ） (6)零减去一个数，仍得这个数． （ ） (7)两个相反数相减得0． （ ） (8)两个数和是正数，那么这两个数一定是正数． （ ） 2．填空题：

20

(1)一个数的绝对值等于它本身，这个数一定是______；一个数的倒数等于它本身，这个数一定是______；一个数的相反数等于它本身，这个数是______．

(2)若a＜0，那么a和它的相反数的差的绝对值是______． (3)若|a|+|b|=|a+b|，那么a，b的关系是______． (4)若|a|+|b|=|a|-|b|，那么a，b的关系是______． (5)-[-(-3)]=______，-[-(+3)]=______． 这两组题要求学生自己分析，判断题中错的应举出反例，同时要求符号语言与文字叙述语言能够互化． 七、练习设计

1．当a=2.7，b=-3.2，c=-1.8时，求下列代数式的值： (1)a+b-c； (2)a-b+c； (3)-a+b-c； (4)-a-b+c． 2．分别根据下列条件求代数式x-y-z+w的值： (1)x=-3，y=-2，z=0，w=5；

(2)x=0.3，y=-0.7，z=1.1，w=-2.1；

3．已知3a=a+a+a，分别根据下列条件求代数式3a的值： (1)a=-1； (2)a=-2； (3)a=-3； (4)a=-0.5．

4．(1)当b＞0时，a，a-b，a+b，哪个最大？哪个最小？ (2)当b＜0时，a，a-b，a+b，哪个最大？哪个最小？

5．判断题：对的在括号里打“√”，错的在括号里打“×”，并举出反例．(1)若a，b同号，则a+b=|a|+|b|． (2)若a，b异号，则a+b=|a|-|b|． (3)若a＜0、b＜0，则a+b=-(|a|+|b|)． (4)若a，b异号，则|a-b|=|a|+|b|． (5)若a+b=0，则

|a|=|b|． （ ）6．计算：(能简便的应当尽量简便运算) 八、板书设计 §2.6有理数的加减混合运算（2） （一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结 例4、例5 （二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计

九、教学后记

） ） ） ） 21

（（ （（

课题 ：水位的变化

教学目标:

知识目标：熟悉在水位变化过程中出现的量，进一步加深对有理数意义的理解，巩固用

有理数表示实际生活中的量。能用折线统计图、条形统计图描述事例的变化过程。

能力目标：能综合运用有理数及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题，体会

数学与现实生活的联系。

情感目标：通过师生之间的相互交流、探讨，培养学生理论联系实际的观点，提高解决

实际问题的能力。

教学重点:

有理数的意义加法减法在实际中的综合运用。

教学难点:

运用有理数及其运算解决实际问题

教学方法:

师生探讨法

教具:

图片

教学过程:

（一）回顾总结

与学生一起回忆所学知识，包括有理数的分类、什么是数轴、相反数、绝对值，以及有理数的加减运算。复习时可让学生自己说说：你已经学了关于有理数的哪些知识？能举例说明吗？

（设计理念：通过学生自己回忆可避免传统教学一问一答的方式，同时也可活跃学生的思维，为新课的学习做准备。）

（二）创景激思

我们学了有理数的有关知识后，不仅要记住，更主要的是理解后会运用，尤其是在现实生活中的运用。每年汛期，电视新闻节目中都要发布国家防汛抗旱总指挥部和水利部提供的《汛情通报》，定时向观众发布某水文站的水位情况，尤其是关心实际水位与警戒水位的相对位置，这是很重要的。

组织学生观看有关汛期的图片，以调动学生的积极性。让学生感受汛期水位的变化，从而引出课题—水位的变化。

（设计理念：通过创设情景，激发学生的学习兴趣，同时也体会到知识与现实生活有着密切的联系。）

三）新课讲解

让学生看一看书上某市流花河的水文资料，了解其水位情况。如：最高水位、警戒水位、平均水位、最低水位。

22

教师可设置问题引导：你能说说以上图片反映了哪些信息吗？这些数据代表的实际含义是什么？

（设计理念：通过实例，学会对资料提供的数据作简单的分析了解，培养学生观察与思考的能力）

例1：某同学记录了今年雨季流花河一周内的水位变化情况，（注：上周末的水位达到警戒水位，正号表示水位比前一天上升，负数表示水位比前一天下降）

星 期 水位变化（米） 一 ＋0.20 二 ＋0.81 三 —0.35 四 ＋0.03 五 ＋0.28 六 —0.36 七 -0.01 观察上表 你能回答以下问题吗？

（1）若取河流警戒水位为零，你会用有理数来表示其最高水位、平均水位、最低水位吗？ （2）若取流花河的平均水位为零，那么其最高水位、警戒水位、最低水位分别记作什么？ （3）本周哪一天河流的水位最高？哪天的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与 警戒水位的距离分别是多少米？

（4）与上周末相比，本周末水位是上升了还是下降了？能否借助有理数的加减混合运算，

用数学表达式表示本周的水位呢？ （5）你能通过已知每天水位的变化

（6）若以警戒水位为0点，那么本周每天的水位分别记作什么？

（7）以警戒水位为0，你能用折线统计图或条形统计图表示本周的水位情况吗？

（设计理念：鼓励学生进行自主探索和合作交流，逐步解决问题。引导学生自主地从事观察、估算、验证等数学活动，使学生形成对数学知识的理解和有效的学习策略。）

（四）活动探究

一个病人每天下午需要测量一次血压，下表是该病人星期一至星期五的血压变化情况，该病人上个星期日的变化为160个单位。 日期 收缩压的变化（与前一天比较） 星期一 升30单位 星期二 降20单位 星期三 升17单位 星期四 升18单位 星期五 降20单位

（1）该病人哪一天的血压最高？哪一天的血压最低？ （2）与上周相比，本周五的血压是升了还是降了？

（学生独立思考后交流，教师根据巡查情况，及时纠正学生的错误）

（设计理念：该问题的设计是让学生运用所学知识，解决实际问题，加深学生对所学知识的理解，并体会数学知识的应用价值，从而增强学习数学的信心与决心）

（五）归纳总结，知识回顾

通过这节课的学习，同学们有何收获？学到了什么？

（设计理念：学生可以发表各自的见解，畅所欲言，充分体验学习的成功与喜悦。教师在赞赏学生学习成果的同时，把学生所说概括成要点加以强调，或做出补充，最后加以总结。）

（六）布置作业：

习题2.9 1、2 预习内容：P64—66

（七）课后反思

23

有理数的乘法

【教学目标】

知识与能力：在理解有理数乘法意义的基础上，掌握有理数的乘法法则，并正确地进行乘

法运算。理解几个有理数相乘，积的符号如何确定。理解有理数的倒数定义。

过程与方法：让学生通过相同数的加法体验乘法运算法则，会类比出若干个相同负数的加

法运算(即负数的乘法运算)。通过对特例的归纳，鼓励学生自主探索有理数的乘法法则。经历有理数的乘法法则的实验与探索过程，提高学生观察、归纳、猜想、验证的能力，不断增强运算能力。

情感态度与价值观：提供适当的情景，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作

学习中，学会交流与合作。在经历有理数的乘法法则的自主探究，合作交流，归纳总结，使其充分体会到知识产生、规律发现的过程，感受生活中乘法运算的存在与价值，让学生融入到数学学习中来，融身到数学活动中去。

【教学重点、难点】

重点：了解有理数乘法法则的发现以及形成过程，掌握乘法法则的关键，运用乘法法则准

确地进行有理数的运算。

难点：掌握有理数乘法法则中的符号规则，并能准确、熟练地应用于有理数乘法运算中去。 【教学准备】电脑、投影 【设计思路】本节课是在小学已接触到的乘法、初中刚学习过的有理数的加减法基础上进行

的。通过对实际问题的解决，引入有理数的乘法法则。本课程十分注重学生的自主探究，合作交流，归纳总结，使其充分体会到知识产生、规律发现的过程，让学生融入到数学学习中来，融身到数学活动中去。

【教学过程】

(一)创设情景，提出问题

人类因为没有保护好环境，连续几年全球气温都在不断的上升，今年也不例外。自七月份宁波市进入高温天气以来，几乎没有下过一场雨。由于高温，据市某水文观测站测得的数据显示：我市某水库的水位在某段高温天气以每天3.5cm的速度下降，问连续四天高温该水库的水位下降了多少？这个实际问题与有理数的乘法有什么联系呢？让我们来共同研究吧。

24

由上面的问题可知，该水库的水位到第四天下降了3.5×4＝14cm。根据生活经验及前面的结果，如果把下降记为“－”，则有(－3.5)×4＝－14。 (二)合作交流，探索新知

1、根据上述结果，结合生活中的经验，自编一道类似的实际问题，并把要求的结果写成像(－3.5)×4＝－14这样的算式。

2、由上面的问题所写的负数与正数的乘法运算方法，计算：

(－3)×4= ；(－3)×3= ；(－3)×2= ；(－3)×1= . 结合课本，用数轴表示上述相应算式的几何意义。

3、计算下列各式，并回答：若一个因数继续逐级减少，下面的积会有什么变化？ (－3)×(－1)= ；(－3)×(－2)= ；(－3)×(－3)= ；(－3)×(－4)= .

此外，如果有一个因数是0,所得的积还是0。如： 11

0×(－3)=0， ×0 =0，0×(－3 )＝0。

27

思考：如何确定两个有理数的积的符号和绝对值？从以上得出的几个算式，你能发现什

么规律？

通过特例的归纳，鼓励学生自己总结有理数的乘法法则。并运用自己的语言加以描述，与同伴交流共同完成。

综合以上各种情况，我们有有理数的乘法法则：

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，积为零。

例如：（－5）×（－3）???????????? 同号两数相乘

（－5）×（－3）=＋（ ）???????????得正

5×3=15????????????????把绝对值相乘 所以（－5）×（－3）=15。

（－6）×4???????????????异号两数相乘 （－6）×4=－（ ）??????????????得负 6×4=24????????????????把绝对值相乘 所以（－6）×4=－24。 (三)指导应用，深化理解 例1 计算

3131

(1) ×1 ； (2) (－2.5)×4 ； (3) （－5）×0× ；(4) (－ )×(－3)； 432351

(5) （－6）×(－ )×（－4） (6) (－ )×1； （7）(－7) ×(－1)。

45按课本讲解、板书。（组织学生口头回答例题的解答。有理数乘法运算分两步：确定积

的符号；把绝对值相乘。）

探究以下三个问题：

341

问题1: 与 这两数有何关系？－ 与－3呢？类比小学学过的有关倒数的定义。

433 在小学我们学过，两个正有理数乘积为1时，称这两个正有理数互为倒数。同样，这个

规定在负数中仍然适用。

344

若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。例如， 是 的倒数， 也是

433

25

31

的倒数，－ 与－3互为倒数。0没有倒数。 43

问题2：几个有理数相乘，因数都不为零时，积的符号怎样确定？有一个因数为0时，积是多少？

有多个不为零的有理数相乘时，可以先确定符号，再将绝对值相乘。当相乘的数中，负数有奇数个时，积为负；负数有偶数个时，积为正。若其中一个乘数为零时，积为零。

问题3：做完第（6）、（7）题，能发现什么规律？一个数与－1相乘，积是多少？一个数与1相乘，积是多少？

让学生自己总结：一个数乘以1都等于它本身；一个数乘以-1都等于它的相反数．+(-5)可以看成是1×(-5)，-(-5)可以看成是(-1)×(-5)．同时教师强调指出，a可以是正数，也可以是负数或0；-a未必是负数，也可以是正数或0． 补充例题：

541

1. 计算：(-3)× × (－1 )× (－ )

654

渗透化归思想，有理数的乘法实际上就是在确定完积的符号后，转化为小学中算术数的

乘法。

2.某一物体温度每小时上升a度，现在温度是0度．问：

(1)t小时后温度是多少？ (2)当a，t分别是下列各数时的结果： ①a=3，t=2；②a=-3，t=2； ②a=3，t=-2；④a=-3，t=-2； 教师引导学生检验一下(2)中各结果是否合乎实际． 随堂练习：

1.课本例1下的课内练习第1、2、3题。（可先让学生在课本上解答，再请学生回答。若有错误，请其他同学及时纠正。）

2.填空；

(1)一个数与它的相反数的积 (大于0；小于0；不大于0；不小于0)。 (2)一个数与 的积是它本身；一个数与 的积是它的相反数。

(3)三个有理数的积为0,那么，这三个数中至少 ；三个数的积是负数，那么，这三个数的符号情况是 。

21

(4)－2的倒数是 ；0.1的倒数是 ；－ 的倒数是 ；1 的倒数是 ；

321

－2 的倒数是 。 2

(5)如果两个数的积是－1,我们称它们互为负倒数。那么，－2的负倒数是 ；0.01的负倒数是 。

(6) 一个数的倒数是它本身，这个数是 。

(7)用“＞”或“＜”号连接：如果 a＜0，b＜0，那么 ab 0；如果 a＜0，b＜0，那么ab 0；如果a＞0时，那么a 2a；如果a＜0时，那么a 2a．

3.计算： 3

(1) (－2)×（－1）； (2)（－ ）×0； (3)－4.8×(－45)； (4)7.2×(－0.6)；

43

(5)－3×(2－3)×(5－4)×(－1 )； (6)5×(－12)×∣－7∣×∣－3＋3∣.

5

探究活动1：

26

6

下面是某同学错误计算(－12.5)×(－ )×(－4)的过程，你能帮他改正吗？

76256753006

解：(－12.5)×(－ )×(－4)＝－ × ×(－4)＝－ ×(－4)＝－ ＝－42 727777同类变式：计算(1－2)(2－3)(3－4)???(2003－2004)

探究活动2：

某地区，夏季高山上的温度从山脚起每升高100米，温度降低0.6℃,已知山脚的温度是24℃,山高800米，求山顶的温度是多少？

探究活动3：

赵先生将甲、乙两种股票同时卖出，其中甲种股票卖价是1200元，盈利20%；乙种股票卖价是1200元，亏损20%,问两种股票合计是盈利还是亏？ (四)归纳小结，反思提高

问题：通过本课的探讨学习，你获得了哪些新的知识，你认为有哪些方面的进步。（让学生进行小结，经过学生个人回顾—同桌交流—给大家说说的过程，总结本节课的所做、所听、所感，让知识系统化、合理化。重视学生之间的相互补充，训练学生的归纳和表述能力，提高学生学习的积极性和主动性）

可以从以下三个方面归纳：

1.知识：有理数的乘法法则和倒数的概念，会进行有理数的乘法计算，能说出一个数的倒数。应用有理数乘法法则计算时，要同时确定“积”的符号、计算“积”的绝对值。学习有理数的乘法为下节课乘法运算律打下基础。

2.方法：本节课我们从实例出发，经过比较归纳，得出了有理数乘法的法则。今后我们经常要用类似的思想方法研究其他问题。

3.体验：感受生活中乘法的存在与价值，数学来源于生活，通过探索与交流体验知识的形成过程。

(五)布置作业：课本2.3(1)节作业题的A组、B组。

27

有理数的除法 教学目的

1．掌握有理数的除法法则，并正确应用法则进行有理数的除法运算．2．理解有理数的倒数的意义，并利用倒数使除法转化为乘法． 教学重点

正确应用法则进行有理数的除法运算． 教学难点

对零不能做除数及零没有倒数的理解． 教学过程 一、引入 1．填空：

(1)2×(－3)=( )；(2)( )×(－3)= －6；(3)2×( )= －6．

提问：上述(2) 、(3)已知什么求什么？用什么方法？如何列式？ 回答：已知积与一个因数求另一个因数，用除法．列式为： (－6)÷(－3)=2，(－6)÷2=－3． 2．计算

28

?6?(?1)?2?6?(?3)??6?(?1)33 ?6?1??3归纳1、2得到?6?2??6?122二、新课 1．互为倒数：

定义：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数叫做互为倒数．

说明：零没有倒数．由倒数的定义很容易得出这个结论．因为零乘以任何数都得零，找不到一个数与零的乘积为1，所以零没有倒数． 如何求一个数的倒数？

(1)求一个整数的倒数分之一即可． (2)求一个分数的倒数

即：求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子、分母颠倒． 说明：

(1)求一个小数的倒数，则可以先将这个小数化成分数，再求这个分数的倒数． (2)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数． 2．有理数的除法法则1： 观察结论：

?6?(?3)??6?(?1)3得有理数除法法则1 ?6?2??6?12 29

注意：零不能做除数．

说明：零做除数时，有两种情况： (1)被除数不是零．

如：－10÷0；按除法的意义，是求一个数，使它与0的积是－10，这样的数不存在． (2)被除数是零．

如：0÷0；按除法的意义是求一个数，便它与0的积是0，这样的数有无穷多个．

为了保证除法的结果是存在的且是唯一的，所以规定：零不能做除数．或说零做除数无意义．

3．有理数的除法法则2

观察例题1的(1)～(3)，有理数的除法可以化为有理数的乘法，所以，对于有理数的除法也有与乘法类似的法则．

例2．化简下列分数：

?24?12（1）3 （2）?16 例3．计算：

(1)

2133173?()?(?)???(?)2??52(2) 284 (3) 34

解：

30

3)?(?3)?3?3?3?2?2?1?7?(?3)?1?8?3?32?2?1?2?3?4?12?((1) 42747(3)3425252535(2)28说明：一般说来，能整除的情况下，采用法则2，在确定符号之后直接除．在不能整除的情况下采用法则1，将除数换成倒数，转化为乘法． 三、小结

1．指导学生看书，重点是除法法则．

2．归纳有理数除法的一般步骤：(1)确定商的符号；(2)把除数化为它的倒数； (3)利用乘法计算结果．

四．作业： 1． 习题2.10 2． 作业本2.10

有理数的乘方

教学目标

1．在现实背景中理解有理数乘方的意义，会进行有理数乘方的运算。在理解基础上，把有理数的乘方运用到新的情境中，提高解决问题的能力。运用计算机信息技术，培养学生综合探索、创造能力。

2．经历“做数学”和“用数学”的过程，感受数学的奇妙性，领会重要的数学建模思想、归纳思想，形成数感、符号感，发展抽象思维。

3．围绕问题的提出，采用“问题情境一建立模型一解释一应用与拓展”的方式，通过创造性的教学设计，向学生提出挑战性的学习任务，在信息技术的帮助下，有效开展“操作一观察一探究一发现一猜想一验证一拓广”的教学，让学生体验科学研究的一般过程，进行有效的学习。

4．认识数学与生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性，提高数学素养。通过参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲，形成主动学习态度，培养科学探索精神。提升人文素质，鼓励猜想，倡导参与，与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，建立自信心。

教学重点：关注学生小组合作参与学习的程度，使学生经历知识形成与应用的过程，积累数学活动经验。

教学难点：有理数乘方的应用与拓展。 教学过程

一、情境导入。

以小组合作方式，把厚0.1毫米的纸依次折叠并计算纸张的厚度，引导学生观察、发现纸张厚度所发生的变化是在成倍地增加。同时提出问题：把足够长的厚0.1毫米的纸继续折叠20次、30次，会有多厚？鼓励学生大胆猜想。

教师用计算机显示高高的楼房和高约8848米的珠穆朗玛峰的图片，使学生感受它们的高度，同时教师作出假设：如果一层楼按高3米计算，把足够长的厚0.1毫米的纸继续折叠

31

20次有34层楼高，继续折叠30次后有12个珠穆朗玛峰高。这一惊人的猜想使学生精神集中、思维活跃，进入最佳状态，带着这样的问题学生自然喜欢上探究课。

二、概念教学。

运用数学建模思想把生活问题数学化，结合概念教学的特点和学生的认知水平，发挥学生的主体作用。

计算机显示：相同加数的加法如何简化？ 6+6+6+6+6=-

10+10+10+10+10+10= 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=

教师提出问题：相同因数的乘法如何简化？ 6×6×6×6×6×6×6×6=

10×10×10×10×10×10×10×10= (-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)= 教师出示：边长为6的正方形的面积和棱长为6的正方体的体积的表示方法，由学生小组合作完成试一试。

教师有针对性地讲解有理数的乘方的概念。 有理数的乘方：有n个相同因数的积的运算。

这样，学生通过自主、积极的思维而成功地构建了数学概念，为解决数学问题提供了可能。这时候，计算机显示“相信自己行，才会我能行；互相支持行，合作大家行”的鼓励性语言。

三、前进一步。

首先，以小组合作方式完成底数分别为正数、负数、零，指数分别为奇数、偶数的有理数乘方的运算，并总结确定幂的符号运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；零的非零次幂都是零。

同时运用计算机显示数值变化规律的优势，由小组合作完成表格计算。 （一）完成下列表格（求几个相同因数的积）：

n ? 1 2 3 4 5 6 ? 3 ?

（二）1米长的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此截下去，第七次剩下的小棒有多长？

n 1 2 3 4 5 6 7 ? ? 学生由此感受到： 底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快。

底数大于零而小于1时，乘方运算的结果减小得很快。 四、数学乐园。

为帮助学生综合运用已有的知识和经验解决生活中的数学问题，发展解决问题的能力，与学生共同进入数学乐园的学习活动。

计算机显示细胞分裂过程，教师提出问题： 1．请你用数学知识说明其中数量变化的过程。 2．请你解释为什么人称癌细胞分裂为疯狂分裂？

这样，既加强了学科间的横向联系又深化了数学内涵。 古时候，在一个王国里有一位聪明的大臣发明了国际象棋并献给了国王。国王从此迷上

32

? 了下棋。为了向聪明的大臣表示感谢，国王答应满足大臣的一个要求。大臣说：“就在这个棋盘上放上些米粒吧。第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒??一直到第64格。”“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑。大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”你认为国王的国库里有这么多米吗？

这时，学生自然会感到：数学好学有用又好玩。 五、“想入非非”。 至此，学生可以根据已有的知识和经验，运用计算机计算并验证情境导入中所提出的设想：如果一层楼按高3米计算，把足够长的厚0.1毫米的纸继续折叠20次有104米高，有34层楼高；继续折叠30次后有10万多米高，有12个珠穆朗玛峰高。

220=1048576 1048576×0.1毫米=104.8576米

230=1073741824 1073741824×0.1毫米=107374.1824米

教师鼓励学生继续大胆猜想：如果有足够长的厚为0.1毫米的纸，折叠40次的厚度能否从地球到达月球？

学生想像的空间越来越大，课堂教学也达到了高潮。 六、回顾与思考。

1．本节课你学到了什么？2．本节课你有什么感受？还有什么困惑？ 七、作业。

1．教材第76页第1题、第2题。2．搜集生活中运用乘方的实例。

有理数混合运算

【教学目标】

知识目标：掌握有理数混合运顺序并培养综合运用有理数运算解决实际问题。 【教学重点、难点】

重点：有理数混合运算顺序。 难点：有理数混合运算规律。 【教学工具】： 扑克牌 【教学过程】 （引入）

同学们我们应该玩过有一种“24”点的扑克游戏吧。它的游戏规则是：任抽4张牌，列算式计算，结果为“24”者获胜。例如（教师拿一副牌任抽4张，若算不出则重新抽牌，直到能算出为止）梅花3，方块4，红桃5，方块2，列出算式：（5－2＋3）×4

请问： ①这是我们以前学过的什么运算。 ②整数加减乘除混合运算顺序如何。

现在我们已经把数扩充到了有理数，那有理数的运算顺序于如何呢？ 12

如：3＋50÷2×（－ ）－1

5

①问：这个算式中有几种运算？（引出有理数混合运算概念） ②如何计算这个式子的结果？

这个问题就是我们今天讲的有理数的混合运算 （板书：§2.6有理数混合运算）。

（教师讲）有理数混合运算它的运算顺序跟整数混合运算顺序差不多。

一般地：

有理数混合运算顺序：先算乘方，在算乘除，最后算加减，有括号的先算括号。

33

例1：计算

215212322

⑴ （－6）×（ － ）－2 ⑵ ÷ － ×（－6）＋3

32633

21123

解：⑴ （－6）×（ － ）－2＝36× －8＝6－8＝－2

326

5215315722

⑵ ÷ － ×（－6）＋3＝ × － ×36＋9＝ －12＋9＝－ 63362344课内练习：1.要求每一小组拿出一个正确的答案和完整的解题过程。

122

计算：⑴ 1.5－2×（－3） ⑵－ ×（－2）÷（ ）

23223322

⑶8－8×（ ） ⑷ ÷（－ ）＋（－ ）×21

3247

2.各小组讨论探究,下列各题的计算过程及答案是否正确?若不正确如何改正。 123132

①74－2÷70=70÷70=1 ②（1 ）－2= 1 －6=－4

24413

③2－6÷3× =6－6÷1=0

3

例2.半径是10cm ，高为30cm的圆柱形水桶中装满水，小明先将桶中的水倒满2个底面半径为3cm 高为6cm的圆柱形杯子，再把剩下的水倒入长,宽,高分别为40cm ,30cm和20cm 的长方体容器内,长方体容器内水的高度大约是多少?( Л取3容器厚度不算)

解：水桶内水的体积为Л×10×30 ,倒满2个杯子后,剩下的水的体积为：

（Л×10×30－2×Л×3×6）

∴长方体容器内水的高度为：（Л×10×30－2×Л×3×6）÷（40×30）

=（9000－324）÷1200=8676÷1200≈7cm

答：长方体容器内水的高度大约是7cm. 反馈练习（各小组讨论并解）：

某小区有个圆形花坛的半径为3m,中间雕塑的底面

边长为1.2m 的正方形(图).计算实际种花的面积是多少? 小结：有学生自己完成(有理数混合运算顺序)

作业：作业题

34

2

2

2

22

有理数复习课

教学目标

1、复习整理有理数有关概念和有理数运算法则，运算律以及近似计算等有关知识； 2、培养学生综合运用知识解决问题的能力； 3、渗透数形结合的思想 教学重点和难点

重点：有理数概念和有理数运算 难点：负数和有理数法则的理解 教学手段

现代课堂教学手段 教学方法

启发式教学 教学过程

（一）、讲授新课

1、阅读教材中的“全章小结”，给关键性词语打上横线 2、利用数轴患讲有理数有关概念 本章从引入负数开始，与小学学习的数一起纳入有理数范畴，我们学习的数地范围在不断扩

大从数轴上看，小学学习的数都在原点右边(含原点)，引入负数以后，数轴的左边就有了 实际意义，原点所表示的0也不再是最小的数了数轴上的点所表示的数从左向右越来越大 ，A点所表示的数小于B点所表示的数，而D点所表示的数在四个数中最大

我们用两个大写字母表示这两点间的距离，则AO＞BO＞CO，这个距离就是我们说的绝对值

由AO＞BO＞CO可知，负数的绝对值越大其数值反而越小

由上图中还可以知道CO=DO，即C，D两点到原点距离相等，即C，D所表示的数的

35

绝对值相等，又它们在原点两侧，那么这两数互为相反数从数轴上看，互为相反数就是在原点两侧且到原点等距的两点所表示的数

利用数轴，我们可以很方便地解决许多题目 例1 (1)求出大于-5而小于5的所有整数；

(2)求出适合3＜x＜6的所有整数； (3)试求方程x=5，2x =5的解； (4)试求x＜3的解

解：(1)大于-5而小于5的所有整数，在数轴上表示±5之间的整数点，如图，显然有±4，±3，±2，±1，0

(2)3＜x＜6在数轴上表示到原点的距离大于3个单位而小于6个单位的整数点 在原点左侧，到原点距离大于3个单位而小于6个单位的整数点有-5，-4；在原点右侧距离原点大于3个单位而小于6个单位的整数点有4，5

所以 适合3＜x＜6的整数有±4，±5

(3) x=5表示到原点距离有5个单位的数，显然原点左、右侧各有一个，分别是-5和5

所以x=5的解是x=5或x=-5

同样2x=5表示2x到原点的距离是5个单位,这样的点有两个,分别是5和-5. 所以2x=5或2x=-5，解这两个简易方程得x=

55或x=- 22(4) x＜3在数轴上表示到原点距离小于3个单位的所有点的集合. 很显然-3与3之间的任何一点到原点距离都小于3个单位

所以 -3＜x＜3

例2 有理数a、b、c、d如图所示，试求c,a?c,a?d,b?c 解：显然c、d为负数，a、b为正数，且a?d.

c=-c， (复述相反数定义和表示) a?c=a-c，(判断a-c＞0) a?d=-a-d，(判断a+d＜0) b?c=b-c(判断b-c＞0)

3、有理数运算

36

(1)+17+20； (2)-13+(-21)； (3)-15-19； (4)-31-(-16)； (5)-11×12； (6)(-27)(-13)； (7)-64÷16； (8)(-54)÷(-24)； (9)(-

133)； (10)-()2； 22(11)-(-1)100； (12)-2×32； (13)-(2×3)2； (14)(-2)3+32 计算［4(

121111)÷2(-)］÷［(-)2+(-)3+(-)+1］ 222224、课堂练习

(1)填空：

①两个互为相反数的数的和是_____；

②两个互为相反数的数的商是_____；(0除外) ③____的绝对值与它本身互为相反数； ④____的平方与它的立方互为相反数； ⑤____与它绝对值的差为0； ⑥____的倒数与它的平方相等； ⑦____的倒数等于它本身；

⑧____的平方是4，_____的绝对值是4；

223⑨如果-a＞a，则a是_____；如果a=-a3，则a是______；如果a??a，那么a

是_____；如果?a=-a，那么a是_____；

10 如果x3=1476，(-2453)3=-14760，那么x=____ (2)用“＞”、“＜”或“=”填空： 当a＜0，b＜0，c＜0，d＜0时：

cd?a?aa?baba3b4①____0； ②____0； ③_____0；④____0；⑤3____0；

abcc?dcca3?b3(?b)22a?⑥____0； ⑦____0； ⑧____0； 3dbc11_____； ab1110a＜0，b＜0，则_____.

aba＞b时，⑨a＞0，b＞0，则练习设计

1、写出下列各数的相反数和倒数

原 数 5 -6

2 1 05 -1 3 相反数 倒 数 2、计算：

(1)5÷0.1； (2)5÷0.001； (3)5÷(-0.01)；(4)0.2÷0.1；(5)0.002÷0.001； (6)(-0.03)÷0.01 3计算：

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(1)??1378?7?12??????11?7??； (2)(-81)÷14?4?4?9÷(-16)；

(3)

2?2?8?3?5????25???21????14???0.25 (4)3(-2.5)(-4)+5(-6)(-3)2； (5)｛0.85-［12+4×(3-10)］｝÷5； (6)22+(-2)3×5-(-0.28)÷(-2)2 (7)［(-3)3-(-5)3］÷［(-3)-(-5)］

分别根据下列条件求代数式x2?y24x?y的值：

(1)x=-1.3，y=2.4； (2)x=56，y=-34 板书设计

§2.12有理数复习 （一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结 例1、例2 （二）观察发现 （四）课堂练习 练习设计

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